题目多目标跟踪算法及实现研究

指导教师潘泉 学科（专业）

中国?西安 二００三年七月

随着科技技术，特别是ＩＴ技术的飞速发展，现代跟踪环境发生了显著变化， 隐身与反隐身、对抗与反对抗措施，强机动、高杂波、低检测概率和高虚警率等 问题，使得多目标跟踪技术、数据关联和跟踪系统设计遇到了强劲的挑战。本文 对此进行了深入的研究，主要贡献如下：

１．直角坐标系下的机动目标建模．在深入研究时间相关模型的基础上，提 出了一种自适应常加速模型――ＡｃＡ模型，并在理论和仿真两方面证实了它与

非零均值时间相关模型的等价性，在同等条件下，ＡＣＡ模型的复杂性和计算量 大大减少，能更为有效地应用于工程实践。 ２．极坐标系下的机动目标建模．给出了滤波模型的通用坐标系变换方法， 并用于建立极坐标系下的目标运动模型，此方法在一定条件下可以实现状态方程 的解耦，而且解耦条件非常容易满足，从而会大大降低计算量。与非解耦的经典 算法相比，在方向角估计精度相当的情况下，消除了径距估计的有偏性，从而大 大改进了径距估计精度，因而具有很好的工程应用前景。 ３．多模型算法和数据关联－通过对交互式多模型（ＩＭＭ）算法和概率数据

关联／联合概率数据关联（ＰＤＡ／ＪＰＤＡ）算法的研究，针对Ｂａｒ．Ｓｈａｌｏｍ和Ｂｌｏｍ等

提出的ＩＭＭＰＤＡ算法结构和理论上的缺陷，按全局最优的思想，提出了一种新

的综合ＩＭＭＰＤＡ／ＩＭＭＪＰＤＡ算法――Ｃ―ＩＭＭＰＤＡ／Ｃ―ＩＭＭＪＰＤＡ算法，使得

ＩＭＭＰＤＡ算法在结构和理论上趋向完善，仿真结果表明： Ｃ－ＩＭＭＰＤＡ／Ｃ―ＩＭＭＪＰＤＡ算法在减少计算量的同时，总体性能明显提高。

４．跟踪起始一通过对两点外推滤波器起始法的研究，导出了一种更精细的

构造波门的新方法。该方法可以利用关于目标速度极限的先验信息。仿真表明： 与其它波门构造方法相比，该方法构造的波门更为合理。

５．异类信息融合－通过对于地面跟踪系统中有关于电子地图的应用研究，

给出了一种基于电子地图的目标跟踪修正方法，从而能够更清晰的进行目标分

辨，现场联试结果证实了该方法的可行性，这使得边扫描边跟踪（ＴＷＳ）系统的

输出结果能够更好的应用于战场侦察。

６．跟踪系统设计与软件实现一对机动多目标跟踪系统的总体实现进行研 究，结合直升机远程战场侦察雷达Ｔｗｓ系统项目的研究，由系统分析、建模到

实现、仿真，提出了一套比较完整的跟踪系统设计方案。并在前面的研究基础上， 设计了一套机动多目标跟踪仿真软件系统，通过利用面向对象的程序设计思想， 按层次化结构，使其层次清晰，使用简单，具有较强的通用性并易于维护，为进

步的研究工作提供了一个有效的仿真环境。

本论文在国家自然科学基金以及国防“九?五”和“十?五”预研课题的资 助下完成。

卡尔曼滤波，目标跟踪，边扫描边跟踪，时间相关模型，自适应建模，交互 式多模型，概率数据关联，跟踪坐标系
ｔｈｅ ｒａｐｉｄ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ＩＴ

ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，

ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ－ｔｒａｃｋｉｎｇ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｈａｓ ｃｈａｎｇｅｄ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｉｓ

ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ．Ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

ｓｅｒｉｏｕｓ ｃｈａｌｌｅｎｇｅ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ｍａｎｅｕｖｅｒｉｎｇ，ｈｉｇｈ ｃｌｕｔｔｅｒ，ｌｏｗ

ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｈｉｇｈ ｆａｌｓｅ－ａｌａｒｍ ｒａｔｉｏ．Ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｋｅｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ

ｍａｎｅｕｖｅｒｉｎｇ

ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ

ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ

ｃｏｎ打ｉｂｕｔｉｏｎｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｔａｒｇｅｔ ｉｎ Ｃａｒｔｅｓｉａｎ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ―Ｂａｓｅ

１．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ Ｍａｎｅｕｖｅｒｉｎｇ

ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｔｉｍｅ―ｃｏｒｒｅｌａｔｅｄ ｍｏｄｅｌ，ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅ

ｎｅｗ Ａｄａｐｔｉｖｅ

Ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ

（ＡＣＡ）ｍｏｄｅｌ．Ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｍｅａｎ ｔｉｍｅ―ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ

ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ ＡＣＡ

ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｎｏｎ－Ｚｅｒｏ

ｍｅａｎ ｔｉｍｅ―ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ

ｉｎ ｆｉｌｔｅｒ ａｃｃｕｒａｃｙ ｗｈｉｌｅ

ｍｕｃｈ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｌｏａｄ ｉｓ ｓａｖｅｄ．

２．Ｍｏｄｅｆｉｎｇ Ｍａｎｅｕｖｅｒｉｎｇ

Ｔａｒｇｅｔ ｉｎ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ―Ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｂｅ ｅａｓｉｌｙ

ｍａｎｅｕｖｅｒｉｎｇ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ

ｆｒｏｍ Ｃａｒｔｅｓｉａｎ

ＣＯＯｒｄｉｎａｔｅｓ．Ｏｎｅ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｍｅｒｉｔ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｉＳ ｉｎ ｔｈａｔ ｔＩｌｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｒｒｏｒｓ

ｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ

ｂｅ ｄｅｃｏｕｐｌｅｄ．Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｂｕｒｄｅｎ

ｄｅｃｒｅａｓｅｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｈａｓ ｌｏｗｃｒ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｂｕｒｄｅｎ

ａｎｄ ｓａｍｅ ｆｉｌｔｅｒ ａｃｃｕｒａｃｙ，ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄ．

３．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｍｏｄｅｌ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ＆Ｄａｔａ

Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ－Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｔｈｅ

ｄｅｆｅｃｔｓ ｉｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｍｏｄｅｌ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ Ｄａｔａ

Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ（ＩＭＭＰＤＡ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ

ｎｅｗ Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ

ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂｙ Ｂａｒ－Ｓｈａｌｏｍ

Ｂｌｏｍ，ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅ

ＩＭＭＰＤＡ／ＩＭＭＪＰＤＡ ａｌｇｏｆｉｔｈｍ－－Ｃ―ＩＭＭＰＤＡ／Ｃ―ＩＭＭＪＰＤＡ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｉｌｌ ｄｅｃｒｅａｓｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｂｕｒｄｅｎ ａｎｄ ｂｅ ｏｆｍｕｃｈ ｂｅｔｔｅｒ

ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ．

４．Ｔｒａｃｋ Ｉｎｉｔｉａｌｉｚａｔｉｏｎ－Ａ ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｆｉｌｔｅｒ ｉｎｉｔｉａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ

ｐｒｉｏｒｉ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｇａｔｅ ｏｆ

ｆｉｌｔｅｒ．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｖｉａ Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｗｈｅｒｅ

ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ

ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ

ｔｗｏ ｏｔｈｅｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｉｓ ａｃｈｉｅｖｅｄ．

５．Ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｆｕｓｉｏｎ―Ａｓ ｗｅ ｋｎｏｗｎ，ｇｒｏｕｎｄ ｔａｒｇｅｔｓ ａｌｗａｙｓ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｂｙ ｒｏａｄｓ

ｒｉｖｅｒｓ．Ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｒｏａｄｓ

ｒｉｖｅｒｓ ａｒｏｕｎｄ

ｂｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｂｙ ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ ｍａｐ．Ｈｅｎｃｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ｆｕｓｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ ｍａｐ

ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ

ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ，ａ ｓａｔｉｓｆａｃｔｏｒｙ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｆｕｓｉｏｎ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ

Ｗｈｉｌｅ Ｓｃａｎ（Ｔｗｓ）ｓｕｒｖｅｉｌｌａｎｃｅ－ｓｙｓｔｅｍ

ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｆｉｌｔｅｒ ｂａｓｅｄ ｆｕｒｔｈｅｒ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｂｙ

ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ

ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｉＳ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｔｅｓｔｉｎｇ．

６．Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ Ｔｒａｃｋｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ Ｓｏｆｔｗａｒｅ

ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ．Ｗｅ

ｗｈｏｌｅ ｄｅｓｉｇｎ ｐｌａｎ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｍａｎｅｕｖｅｒｉｎｇ ｔａｒｇｅｔｓ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｍａｎｅｕｖｅｒｉｎｇ ｔａｒｇｅｔｓ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｏｆｔｗａｒｅ ｐａｃｋａｇｅ．Ｂｙ

ｏｂｊｅｃｔ―ｏｒｉｅｎｔｅｄ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｎｄ ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｉｔ ｉｓ ｍｕｃｈ ｃｌｅａｒ ｉｎ ｌａｙｅｒ ａｎｄ

ａｎｄ ｍａｉｎｔａｉｎ，ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ

ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｆｏｒ ｆｕｒｔｈｅｒ

ｒｅｓｅａｒｃｈ ｗｏｒｋ

Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ，Ｔａｒｇｅｔ Ｔｒａｃｋｉｎｇ，Ｔｒａｃｋ?Ｗｈｉｌｅ―Ｓｃａｎ，Ｔｉｍｅ．ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ， Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｍｏｄｅｌ，Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ Ｄａｔａ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ。
Ｔｒａｃｋｉｎｇ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ Ｓｙｓｔｅｍ

西北工业大学博士学位论文

多目标跟踪（ＭＴＴ）技术无论在军事领域还是在民用领域均有广泛的应用。它 可以用于空中（包括空．空、空一地、空．海）超视距多目标探测、跟踪与攻击．空 中交通管制、空中导弹防御，海洋监视，港口监视，卫星监控系统和机器视觉等。 近些年来，频繁的局部战争中，以美国为首的多国部队所使用的先进机载火控系 统、空中预警系统和地面“爱国者”防空导弹系统等武器装备就是多目标跟踪技 术综合应用的典型例证。目前为多目标跟踪提供数据的主要传感器有雷达、红外、 ＥＳＭ、ＩＦＦ和声纳等等。 多目标跟踪技术发展至今已有四十多年的历史，已经逐步发展成为一个比较 成熟的技术。１９５５年Ｗａｘ［１］首次提出了多目标跟踪的基本原理，１９６４年，Ｓｉｔｔｌｅｒ［２】 进一步完善了多目标跟踪理论，他提出的目标点迹概念和航迹最优数据关联的贝 叶斯方法为以后的研究奠定了基础。７０年代初期．Ｂａｒ－Ｓｈａｌｏｍ［３］和Ｓｉｎｇｅｒ［４］把 相关理论和卡尔曼滤波理论引入多目标跟踪，使多目标跟踪技术进入了飞速发展 的新阶段。国内外对以微波雷达为探测器的单传感器ＭＴＴ技术（即ＴＷＳ）进行 了大量的研究，提出了许多方法并相继得到了实际应用。到１９８６年单探测器ＭＴＴ

已发展成为一套比较完整的理论。

与此同时，现代战争环境发生了很大的变化，产生了一系列对抗与反对抗措 施，如有源电子干扰、反辐射导弹、隐身与反隐身技术、低空突防技术等等。在 给雷达系统带来许多问题的同时，也对多目标跟踪算法提出了更高的要求。其中 目标的强机动性，强杂波、低信噪比、低检测概率及高虚警率特性等，都是比较 棘手的问题。 本文就有关于单传感器多目标跟踪技术的一些关键问题进行比较深入的讨 论，包括单模型自适应滤波器建模，交互式多模型（ＩＭＭ）滤波算法与概率数据 关联（ＰＤＡ）算法或联合概率数据关联（ＪＰＤＡ）算法的结合，跟踪的起始、终 结以及跟踪算法的实现以及地面目标跟踪等问题，最后给出了一个地面目标跟踪 系统设计实例。 多目标跟踪技术大致可分为目标状态估计和数据关联两个主要方面。前一方 面提供跟踪需要的状态估计（预测）值，主要问题是数据精度：后一方面提供量 测与目标的对应关系，即量测与航迹的关联，主要问题是数据关联的正确性。

两北工业大学博士学位论文

从某种程度上可以说目标状态估计是整个多目标跟踪算法的关键。因为量测 与航迹的关联也需要知道量测到达时刻每条航迹的状态预测值，否则量测与航迹 的正确关联几乎是不可能的，精确的状态预测值，是得到正确关联的前提。 目前，状态估计方法有线性估计，非线性估计和自适应估计等几种。
此类算法假设目标的运动模型和观测均为线性的，并在线性变换的意义下计 算估计值。

盯一口ｆ口一∥一，，夕斌游一此类常系数滤波器Ｃ５―６］可以由目标的位置量

测来估计目标的位置和速度（以及加速度），目标运动模型为白噪声驱动的－－（三） 阶模型。实际上，常系数ｎ―Ｂ（ａ―Ｂ―Ｙ）对应于稳态卡尔曼滤波增益。 ｎ―Ｂ（ｎ―Ｂ―Ｙ）滤波器由于结构简单，计算量小，一般情况下，性能尚 可，在早期计算资源短缺时很受欢迎。ｔ

手力唾（Ｋａｌｍａｎ）藏茁一自从６０年代早期卡尔曼滤波［７―８］被提出以来，

它一直是线性系统估计的标准方法。它是建立在如下模型基础之上的： 状态方程：坼＋。＝Ｅ扎＋ＧⅥ

量测方程：Ｚｋ＝巩ｘｋ＋唯

其中也为ｋ时刻的状态向量，气为量测向量，Ｅ为状态转移矩阵，Ｇｋ为过程噪 声输入矩阵，茸。为量测矩阵，Ｋ为零均值白色过程噪声，魄为零均值白色量测 噪声。 目前，卡尔曼滤波仍然是多目标跟踪方面的一种基本（基础）方法。

§１．２．２非线性估计

卡尔曼滤波是单目标状态估计算法的基础，它要求目标运动模型和量测模型

都是线性的，严格说来，作为一种条件均值估计，卡尔曼滤波要求噪声是高斯分

布的。实际上许多系统无法满足线性条件，因此有一些非线性系统状态估计的方 法被提出。

扩羼卡参耍葱越ｆ】隧习一当运动模型和观测模型的非线性不太严重时，

可以沿着目标的假想轨迹进行线性化，从而对线性化后的模型使用卡尔曼滤波， 称之为扩展卡尔曼滤波。

丽北工业大学博士学位论文

扩展卡尔曼滤波是目前最常用的非线性滤波方法。其形式上类似于普通卡尔 曼滤波，但在滤波增益的计算上依赖于最近的估计结果，因此只能在线实时计算， 而不能像线性系统那样离线计算。 实际跟踪系统中，对于非线性情况，通过恰当的选取滤波器状态，一般可以 使得目标状态方程或量测方程其中之一变为线性的。例如对于雷达跟踪系统来 说，在直角坐标系下建模可以使得状态方程即目标运动方程线性：而在极坐标系 下建模时，可以使量测方程是线性的。

序劢．羁讶坟（Ｇａｕｓｓｉａｎ

Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ）【９－１０】一扩展卡尔曼滤波的

一个假设是：其状态的条件概率分布可以用一个高斯分布进行有效的近似。当此

近似条件不满足时，可以用一个高斯分布的加权和来近似。这样就得到了高斯和 滤波器，其操作上相当于一个扩展卡尔曼滤波器的集合。高斯和滤波器结构上几 乎与静态多模型滤波器一样，不过它在不同的假想轨迹上只对一个模型求值。

蠢劈嚣错崖．越越（ＯｐｔｉｍａｌＮｏｎｌｉｎｅａｒＦｉｌｔｅｒｉｎｇ）一在贝叶斯框架内，非线

性估计在概念上很简单［１１】。它使用Ｍａｋｏｖ转移概率ｐ（稚＋．ｆ砟）来描述目标的动 力学过程，量测模型由条件概率ｐ（气Ｉｋ）给出。因此最优非线性滤波可由如下方 程给出： 时间更新：ｐ（ｘ¨Ｉ

ｘｋ）ｐ（ｘ★ｆ ｚ。）硅％

量测更新：ｐ（％＋．１ Ｚ“１）＝Ｃ。ｐ（孔＋１ Ｉ以＋１）Ｊ口（耳。Ｉ ｚ‘），其中ｃ为归一化常数。 虽然最优非线性滤波具有很好的特性，但是由于它需要对状态空间进行离散 化和求取积分和，使得其计算负担极大。因此尽管此算法已提出了许多年，也只 有少数地方使用［１２．１４】。

粒手落兹（Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ）一解决非线性问题最广泛使用的是扩展卡尔

曼滤波，但其存在一些缺点：（１）当非线性函数的Ｔａｙｌｏｒ展开式的高阶项无法忽

略处理时，线性化会导致系统产生较大的误差以及滤波器难以稳定［１３０】：（２）在 许多实际问题中很难得到非线性函数的雅克比矩阵求导：（３）需要清楚了解非线

性函数的具体形式，无法做到黑盒封装，从而难以应用。虽然对它有很多的改进 方法，如高阶ＥＫＦ，迭代ＥＫＦ等，但这些缺陷仍然难以克服。 为了克服ＥＫＥ的这些缺点，被称为粒子滤波器（ＰＦ）［１３１－１３３１的方法在最近 几年得到人们的广泛关注。该方法使用参考分布随机产生大量粒子，然后将这些 粒子通过非线性函数变换得到的值，通过一定的策略统计组合，得到系统的估计。

陔方法解决了ＥＫＦ所存在的问题，但是，要得到高精度的估计，需要较多数目

的粒子，在二维、三维情况下就要达到数以千计［１３４１，从而产生较大的计算量， 很难满足实时性的需要。同时，粒子经过迭代后会产生退化问题。尽管目前已经

堕韭王、业查堂苎圭兰些堡－文 笙二童堕堡 有一些方法来降低粒子退化，如重采样方法ＳＩＳ等［１３１，１３３】，但仍无法彻底解决。

ＵＫＦ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ Ｋａｌｍａｎ

Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ）一最近又出现了一种新的非线性滤波

方法ＵＫＦ［１３５．１４４１，其形式上与ＰＦ近似，但根本思路是不同的。ＵＫＦ是以ＵＴ 变换为基础，采用卡尔曼线性滤波框架，具体采样形式为确定性采样，而非ＰＦ

的随机采样。ＵＫＦ的采样的粒子点（一般称为Ｓｉｇｍａ点）的个数很少，具体个

数根据所选择的采样策略而定。最经常使用的是２ｎ＋１个Ｓｉｇｍａ点对称采样［１３５］，

其计算量基本与ＥＫＦ算法相当，并且由于采用的是确定性采样，也避免了ＰＦ的

粒子点退化问题。正是由于ＵＫＦ的这些优点，所以ＵＫＦ日益得到关注，其应用 领域也不断扩展［１４５．１５０］。

§１．２．３自适应滤波

当目标机动时，普通卡耳曼滤波模型与目标运动不再匹配，从而使得滤波性

能下降。处理机动的一个方法是加大模型的过程噪声，以使得模型重新匹配，但

此方法会导致滤波精度降低，使得滤波器估计值更加依赖于量测。削弱对以往量 测的信息累积。为了解决机动目标跟踪问题，提出了多种自适应滤波的方法，通

过检测机动，以使得滤波器实时适应目标运动。 参露蕾争强萝一此类方法［１５，１６］滤波器结构固定，具有单一的滤波模型。它们

监视其自身的性能（例如检测残差），当检测到有机动时，将调整其自适应参数 （例如过程噪声方差，滤波器增益等）。下面对此类方法进行介绍： Ｃｈａｎ［２５］将目标机动加速度假设为未知确定性输入，选择一定拍数（窗口）

的新息用加权最小二乘法来估计其大小，显然，在窗口大时估计出的机动加速度

将存在较大的滞后，而窗口小时估计将出现较大的误差。这就是输入加速度模型。 １９７０年，Ｓｉｎｇｅｒ［４［提出了零均值时间相关模型，他根据平稳随机过程相关函

数的特性，提出了机动加速度的时间相关函数，提出了一个二阶系统一阶时间相

关模型，即Ｓｉｎｇｅｒ模型。对于目标作长时间强烈震荡机动的情况，有些学者建议

采用二阶时间相关模型，从而可得到一个二阶系统二阶时间相关模型。 Ｓｉｎｇｅｒ模型在目标机动不大的情况下，可以给出较好的跟踪性能，但对突变 机动或大机动目标，其跟踪性能不能令人满意。 Ｂｅｒｇ【１８】修改了Ｓｉｎｇｅｒ模型，他给Ｓｉｎｇｅｒ模型增添了平均跳跃项以改善估值

性能。 Ｈｅｌｆｅｒｔｙ［１９］将Ｓｉｎｇｅｒ模型修正后用于转弯情况，得到性能较好的转弯模型， 其转弯角度和角速度均假设为均匀分布。 ｗｈａｎｇ【２０１利用输入加速度估计方法来补偿Ｓｉｎｇｅｒ模型不适用于大机动的情

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况。是一种将Ｓｉｎｇｅｒ模型与输入加速度相结合的滤波算法。 Ｍｏｏｓｅ等【２ｌ－２３１提出了具有随机开关均值的相关高斯噪声模型，即半马尔可 夫模型，该模型把机动看作为相应于半马尔可夫过程描述的一系列有限指令，该

指令由半马尔可夫过程的转移概率来确定，转移时间为随机变量。该方法需要大

量的先验信息来确定输入ｕ（ｔ）的划分，这在实际中很难实现。 Ｃｈａｎ［２４－２６１和Ｂｏｇｌｅｒ［２７］先后对其算法进行了改进，对输入ｕ（ｔ）进行在线估 计，改进后的方法需要机动检测，而且ｕｆｔ）存在估计误差。

王在［２８，２９】中，根据三阶系统零阶时间相关模型，将机动假设为～种连续时

变过程，用新息的平方作在线估计以判定目标机动，并自动调整模型误差协方差 矩阵与实际系统匹配，以求改善滤波性能，这就是系统噪声水平漫步连续匹配法。 该方法对于非连续机动目标估计效果不好，未考虑新息的随机性，使得对模型误 差协方差的调整显得盲目。 Ｋｅｎｄｒｉｃｋ等［３０】提出的Ｎｏｖａｌ统计模型将机动目标的法向加速度ａ。表示为 ａ．（ｔ）＝ｂ＋ｃ．ｅｄ－ｅ（‘’（其中ｂ、ｃ、ｄ为待定常数。￡（ｔ）为零均值一阶时间相关高斯

随机过程）描述的非对称分布的时间相关过程。‘此模型描述的目标法向加速度是 非线性的，高斯过程可直接传播，且能保持概率密度函数的非对称性，被认为是 现代载人飞行器逃避机动的典型模型。 在［３ｌ】中，给出了一种在有动力学约束条件ａ?ｖ＝０时的自适应滤波算法。

它用于改善匀速直线和匀速转弯的跟踪性能。 两级Ｋａｌｍａｎ滤波［３２】的算法思想是：将原来的Ｋａｌｍａｎ滤波作为第一级， 增加第二级Ｋａｌｍａｎ滤波，根据一阶时间相关过程假设，利用第～级滤波器的残 差来估计机动加速度及其方差，用于校正第一级滤波器的状态预测值及其方差。 该算法可以在不利用先验信息的条件下降低建模误差。

非零均值时间相关模型对机动情况可得到较好的滤波效果，但对于弱机动情

周宏仁［３３．３６１认为当目标正以某一加速度机动时，下一时刻加速度的取值有 限，只能在“当前”加速度的邻域内变化。从而构造出非零均值时间相关模型即

“当前”模型，其机动加速度的“当前”概率密度用修正的瑞利分布描述。

该模型与传统的Ｓｉｎｇｅｒ模型相比，它能更为真实地反映目标机动范围和强度

的变化，是目前较好的模型，但因其离散化模型的状态转移矩阵以及模型误差协

方差矩阵的计算量较大，且单独使用时对于弱机动情况滤波效果不理想。要用于 实际工程中，尚有待改进，故该模型在国内讨论虽多，国外文献却很少讨论。

近年来．国内不少学者［３７―４０１从各方面对“当前”模型进行了研究。侯［３７１认为，

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当对目标加速度的统计特征无任何先验知识时，假设其服从高斯分布更为合理。 在此假定下，导出了一个高斯机动模型。与“当前”模型相比，计算量减少，位 置通道的精度与“当前”模型相同。但进一步的仿真发现，在速度和加速度通道 上的精度较“当前”模型有所下降。彭和吴［３８１将“当前”模型用于实际机载雷 达跟踪系统，并与Ｓｉｎｇｅｒ模型作了比较。２Ｅ［４１］对“当前”模型在多目标跟踪领 域的应用作了研究。 Ｅ．ＥＭＲＥ［４２］等在１９８９年提出了一种联合跟踪算法。他将机动问题与数据关 联问题联合考虑，在状态方程和量测方程中各引入一个时变的参数，认为正确的 数据关联就是对应于寻找系统的两个时变参数的正确的数值序列，在每一个固定

的时刻，参数只能取离散值中的某一个值。这样，机动目标跟踪问题就转化为一 个系统辨识问题。这个算法还包含了跟踪起始机理。但是此算法的计算复杂。

群Ｊ套域纫ｆ量雒宣遁垃斌兹）一此方法［４３１认为，要想使用单一模型来适

应所有情况，常常无法获得期望的效果。因此，此方法在检测到机动时增加状态 的维数，例如，在机动前，采用匀速运动模型（二维）；当检测到有机动时，立 即切换到匀加速运动模型（三维）；而当检测到机动结束时，再切换回匀速运动 模型。

此方法使用了模型切换（变维）思想，是多模型方法的原型。但由于模型切

换所使用的逻辑比较“硬”，因此效果不是很理想。

§１．２．４多模型算法

使用变维（ｖＤ）自适应滤波时，如果量测无法提供足够的信息用于模型的 判别，常常会产生模型的误判，导致性能低下。因此人们提出了一些适应于多种 目标运动模式的算法，即多模型算法。这些算法根据给定的量测，计算每个模型 正确的概率，然后将它们估计结果的加权和作为整个滤波器的估计。 有关多模型估计问题的研究可参见书籍［４４．４６】，综述［４７】，回顾［４８】。在数 学描述上，多模型估计可看作是一个混合状态系统的估计［４９１。

劳菸多镤型（Ｓｔａｔｉｃ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｍｏｄｅｌｓ）一早期［５０，５１１的多模型方法假设真

实目标的运动模型是静态的，且具有一个固定的模型集合。这种方法的各模型之
问是不切换的，其输出估计是各单独模型估计的直接加权综合。 因为目标模型不随时间变化，此方法实际上并不适用于机动目标跟踪，但是

它可以用于确定估计系统处于哪种离散状态。

锲璺缛锡谬剪（ＭｏｄｅｌＳｅｑｕｅｎｃｅＰｒｕｎｉｎｇ）一最优多模型方法要求对于每

一个可能的假设模型序列都要提供一个滤波器。因为假设模型序列的数量，以及

西北工业大学博士学位论丈

与之对应的滤波器数目，都会随着时间的推移以指数的形式增加，所以最优多模 型方法不是一个可实际应用的方法。一种明显的次优方法是根据这些模型序列出 现的概率，将其修剪到一个最小的可能模型序列集合。但是文献［５２】认为，相对 于其他方法来说，这种方法效果很差。

通用伪贝时新（ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＰｓｅｕｄｏ Ｂａｙｅｓｉａｎ，ＧＰＢ）信讨一遭甩恼受畸叛

方法［５３．５５１也是一种次优方法，它使用固定长度的模型序列，达到合并模型序列 以减少滤波器数量的目的。ｉ阶ＧＰＢ方法称为ＧＰＢｉ，它需要ｒ‘个滤波器（ｒ是 模型数）。ＧＰＢＩ使用上一拍的估计结果作为本拍的滤波器输入。

东互苛多撰型（ＩｎｔｅｒａｃｔｉｎｇＭｕｌｔｉｐｌｅＭｏｄｅｌｓ，ＩＭＭ）一交互式多模型算法

【５６．５８］是１９８４年由Ｈ．Ａ．Ｐ．Ｂｉｏｔａ［５６］首先提出的，其后由Ｂｌｏｍ和Ｂ扑Ｓｈａｌｏｍ等
合作形成了一套较为完整的ＩＭＭ算法［５７，５８］。ＩＭＭ概念上近似于ＧＰＢ２，但是 只有ＧＰＢｌ的复杂程度。 ＩＭＭ算法应用起来相对简单，且能够处理复杂的运动，故得到普遍的重视， 是多模型算法的主要发展趋势［５９―７０］，目前它是机动目标跟踪中最受欢迎的算法 之一。

变结构交互式多模型（Ｖａｒｉａｂｌｅ

Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ

Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｍｏｄｅｌｓ，

ＶＳＩＭＭ）一ＩＭＭ算法的缺点是采用一个固定的模型集合。为了适应不同的目 标、不同的环境、不同的时间、不同的运动情况，所需要的模型集合可能会相当

的大，在整个跟踪过程中，保持这个庞大的模型集合不仅会导致额外的计算负担， 而且会使估计性能下降。 为了解决这一问题，ｘ．Ｒｏｎｇ Ｌｉ等人提出了变结构多模型（ＶＳＭＭ）以及变 结构交互式多模型（ＶＳ４ＭＭ）ｆ４８，７１］的思想。

在ＩＭＭ算法结构的启示下，ｘ．ＲｏｎｇＬｉ等人还提出了混合估计概念，在一定

意义上，混合估计是传统的估计与决策方法的综合，目前具有马尔可夫开关参数

的系统己被广泛应用【５８．７０，７２．７５】。

１９６４年Ｓｉｔｔｌｅｒ［７６］指出：在跟踪多目标时，除了被描述为附加噪声的不确定 性外，量测还具有来源不确定性。当环境中存在杂波、虚警率较高或几个目标在 同一邻域内时，这种来源不确定性的情况便出现了。在这种环境中，一般的估计 方法，可能导致十分恶劣的结果。 当量测的来源不确定时，在进行状态估计之前，必须将量测与其它量测或航 迹进行关联。关联可能发生在两个量测集合之间（航迹起始），量测和已知航迹

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之间（航迹维持），以及来自于不同传感器的航迹之间（分布式系统的轨迹融合）。 较早的研究是将航迹的起始和维持分开来的：近来出现了一些将两者放在同一框 架内进行考虑的算法。 关联算法还可以按照两种方法分类，～是看它针对的是单目标还是多目标； 二是看它使用单次扫描还是多次扫描进行关联的判别。较早的研究一般考虑单目 标、单次扫描，近来有不少研究考虑了多目标、多次扫描。一般多目标、多次扫 描方法比单目标、单次扫描方法性能好，但计算量要大。

§１．３．１考虑单目标情况的关联算法

此类算法在由量测序列产生航迹时或进行量测与航迹的关联时，不考虑与其
它航迹的竞争，因此可能出现多条航迹共享相同量测的情况。

Ｍ／Ｎ艘ｊ影一这种方法是最早的航迹起始算法［７７１。它首先使用～个单独量

测来起始一个临时滤波器，并给出波门，在接下来的Ｎ拍之内，如果有Ｍ个量 测都落入波门，则认为这条航迹被确定，将其标志为确定航迹进行航迹维持算法。 通常使用Ｍ／Ｎ检测算法时要求前两拍要有量测，即２／２＆Ｍ／Ｎ检测。

此方法是实际中比较常用且最简单有效的航迹起始方法，但它不能给出一个 航迹可信度的度量值。 倒辫倡即ｊ鲮ｊ影―似然（率）检测［７６】方法也是一种用于航迹起始的方法，

此方法根据一定长度的量测序列构造似然（率）函数，并给出一个门限，当似然 （率）大于门限时，量测序列对应的航迹被确定；反之，将其删除。

蠢讶粥方游～在有多个量测落入航迹的波门时，此方法根据～种统计距离

的计算，选取～个最近的量测与航迹进行关联。此方法在单次扫描的基础上实行 一个硬性的判别。由于此方法简单，它很容易用于实际应用。但它在高杂波密度 情况下效果不好。 文献［７８】提出了一种修正最近邻法，计算量极小，在目标较少，杂波非常稀 疏的情况下，跟踪精度可以满足工程要求。

崭越分裂芽一轨迹分裂法［７９］是似然函数法在航迹维持算法中的简单应

用，它对于每个落入波门的量测都分裂出一条航迹，并根据一个门限来进行航迹

的修剪。这种方法使用了多次扫描来进行一个“软”的判定。由于这种方法要求

较大的计算资源，却只能获得有限的性能，现在已经很少有人使用。

穰犟兹萄蹼襞一概率数据关联算法（ＰＤＡ）【８１】对落入一条航迹波门内

的所有量测均进行概率意义下的关联。对于多个量测的关联使问题转变为一个非 线性滤波问题，因此ＰＤＡ中卡尔曼滤波增益无法先验给出。ＰＤＡ是一个全邻的

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关联算法，它应用起来相对简单，并且在杂波密度较高时，比最近邻方法有更好

性能。 最初ＰＤＡ方法是针对一定数目的航迹维持而提出的。通过将其与交互式多 模型算法结合，形成交互式多模型（ＩＭＭＰＤＡ）［８２］算法，可以将其转化为可处 理航迹起始的算法。 ＰＤＡ算法是针对单目标多回波情况提出的，『ｓ３］提出一种修正ＰＤＡ算法， 考虑了目标交叉的影响，跟踪多目标的精度有所改善。

．最劈贝甜崩≥劳滴８４】一由于只考虑当前时刻的目标关联，ＰＤＡ算法是一

种次优算法。最优方法需要考虑到当前时刻为止所有的关联假设，导致其关联假

设数目按指数增加，因此它实际上是不实用的，通常仅用于理论研究。一种近似 的方法是使用前ｎ次扫描，ＰＤＡ相当于ｎ＝０的最优方法。

§１．３．２考虑多目标情况的关联算法

通过考虑多目标特性，辨别同一量测不能同时属于几条航迹，能够提高算法 的关联性能。

意钟分直Ｐ ｆ全．昂最好萌”一这种方法是一种考虑了多目标的最近邻方法，

它在同一量测不能属于多个目标的假设下，计算全局统计距离，并选择具有最小 全局统计距离的量测与航迹关联集合。这种选择全局最优的方法相当于一个分配

问题，文献［ｓｓ－８７】中提出了一种可以有效的解决数据关联中出现的最优分配问题

蔫＿新税游一在文献［８８］提出了一种利用高斯和来进行关联的判别，从而进

屏含穰攀煎馐毙群（ＪＰＤＡＪ［８９．９１】一ＪＰＤＡ算法是在ＰＤＡ算法的基础上，

考虑多目标的联合事件，从而导出的方法。ＪＰＤＡ在回波密集的情况下，比ＰＤＡ 算法明显提高了精度，因此它在应用中是较受欢迎的关联方法。ＪＰＤＡ算法的一 个缺点是它认为目标的接近（例如目标交叉）是随机的，因而它对于有固定接近 目标的情况工作得不太好；ＪＰＤＡ算法的另一个缺点是在量测和目标数目较大时， 存在组合爆炸问题，一般对量测和目标数目有一定限制。 Ｌ．Ｈｏｎｇ［９２］提出了基于子波理论的数据关联方法，利用子波将复杂的ＪＰＤＡ

联合事件分解成相对简单的联合事件，再采用虚拟的多传感器系统，用数据融合 的方法合并结果，这是子波在多目标跟踪数据关联领域的首次应用。

堕ｊ！三些盔兰堡圭兰堡笙苎

§１．３．３考虑多目标多次扫描的关联算法

上一节提到的算法都是针对单次扫描情况来处理的，实际中由于量测和目标

的运动模型都有不确定性，有时使用单次扫描进行判定，可能得不到正确的关联

结果，这时，使用多次扫描的数据可能会提高关联性能。利用多次扫描的关联算 法的核心是要计算一个似然函数，而且此似然函数既可以用于航迹维持，也可以 用于航迹起始。

盛擞密射一整数规戋Ｉｊ法【９３】是最早出现的考虑多次扫描的关联算法。它计

算每一联合事件的后验概率，选择后验概率最大的联合事件关联。通过一系列变 换，Ｍｏｒｅｆｉｅｌｄ将这一过程对应于数学上早已研究过的整数规划方法。变换过程 中，假设每一联合事件的先验概率相等。这样假设的结果是变换方便，但没有充

分利用先验信息，如虚警概率，检测密度等。［９４．９５］继承了整数规划方法的思想，

提出了一种新的组合优化算法，具有较高的效率。其后验概率的计算方法与整数 规划方法相同，但在关联矩阵形成之前就把后验概率密度小的回波当成杂波去掉 了，剩下的回波不是已确认目标就是新目标。按其计算方法，新目标和杂波的先

验概率都相等，这不太符合实际情况。ＪＰＤＡ方法中后验概率的计算比较合理，

既没有漏掉先验信息，也没有过多假设先验信息。关于组合优化法，１９６］提出了 一种更有效的算法。１９７】简单介绍了组合优化方法在多目标跟踪系统中的应用。

多詹艟鼹霹～多假设跟踪（ＭＨＴ）【９８．１００］计算每个假设的后验概率，通

过删除后验概率小的假设和合并近似的假设来确认关联。在零次回扫，合并所有 假设的情况下，多假设法就是ＪＰＤＡ法，只不过二者的后验概率计算方法稍微不

同。多假设法优点适用于低检测概率、密集杂波和高虚警率情况下的多目标跟踪； 缺点是过多地使用了一些先验信息，如已进入跟踪的目标数，虚警回波数，新目 标数，虚假目标密度以及被检测目标密度等。 多鳝分露（Ｎ－ＤＡｓｓｉｇｎｍｅｎｔ）一传统的ＭＨＴ方法需要显式的展开和计算

许多假设，在过去的十多年里，出现了一些不需要显式的展开和计算假设的优化

方法，这就是多维分配算法［１０１．１０７１。这些方法更容易应用，且能更有效的利用

多维分配算法既可以用于航迹起始，也可以用于航迹维持。在需要使用多次 扫描睛况时，多维分配比ＭＨＴ在计算形式上更加吸引人，因此近些年来多维分

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§１．３．４不使用数据关联的跟踪

近些年来出现了一些不使用显式关联函数的跟踪方法。这些方法将所有目标 和量测看作是一个系统的组成元素，从而对整个系统的状态进行估计，因而不需 要显式提出关联假设。这类方法有对称量测方程（Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ）（ＳＭＥ）【１０８－１０９】和多目标非线性滤波【１１０－１１５］等。
第一章为综述，介绍跟踪系统的发展现状。 第二章为单目标单滤波器模型研究，对非零均值时间相关模型的算法改进以 及仿真计算。 第三章研究跟踪系统中的坐标变换，提出一种构造极坐标系滤波模型的方 法。 第四章研究交互式多模型（ＩＭＭ）算法和概率数据关联（ＰＤＡ）算法，并将 两者恰当结合，改善了由于量测集合的不一致带来的滤波器不稳定问题。

第五章研究跟踪滤波器起始方面的一些问题。

第六章为地面跟踪系统中电子地图的应用研究。 第七章在第五、六两章的研究基础上，结合实际项目，讨论直升机远程战场 侦察雷达边扫描边跟踪数据处理系统的实现问题。 第八章在前面的研究基础上．进行通用的跟踪系统仿真平台设计，介绍跟踪 算法仿真软件系统的构成和实现思想。 最后一章是总结与展望。

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非零均值时间相关模型研究

第二章非零均值时间相关模型研究

当日标运动加速度不为零时，对目标加速度的描述主要有白噪声描述和有色 噪声描述两种方法。传统的设计思想认为，若加速度为常数或小范围波动时，采 用匀加速运动（ＣＡ）模型，并假设系统建模误差为高斯过程，它具有固定的均 值和方差；若加速度不仅包含随机机动，同时包含确定机动时，一般认为用有色 噪声而不是用白噪声描述机动加速度将更为合理，其中最为典型和实用的是所谓 时间相关模型，它将机动加速度描述为具有指数衰减（或指数振荡衰减）形式相 关函数的时间相关过程。而对形式复杂的各类实际机动目标跟踪滤波器设计，则 往往对ＣＡ方程采用自适应检测技术，调整系统建模误差方差，如Ｘ ２分布检验 与状态噪声检测法或系统噪声水平漫步匹配法等等。当需要兼顾匀速运动和加速 运动的跟踪精度时，则往往不得不采用模型切换技术。对时间相关模型，若指令 性机动较大时，则采用非零均值的各类有色噪声描述机动加速度，以期获得稳定 和收敛的跟踪效果。如Ｓｉｎｇｅｒ模型、“当前”模型等等。 本章的研究将表明，当采用非零均值描述有色机动加速度后，上述两大类方

法可以在适当选择ＣＡ模型的建模误差方差后得到形式和性能的很好统一，也就

是说，可以用ＣＡ模型的简单形式和参数几乎完全等价于有色噪声的复杂模型形 式和多参数。理论分析和仿真都表明，本章提出的一种形式简单的自适应加速度 （ＡＣＡ）模型，无论是在稳态精度还是动态性能方面均与Ｓｉｎｇｅｒ和“当前”以及各 种改进方法相当，而且计算量和参数调整都大大简化了。另外，本章还将从机理 上描述各类非零均值时间相关模型对各类目标运动跟踪收敛的本质，进而从另一

方面证明此算法的合理性。

§２．２匀加速目标模型

设状态向量为 Ｘ２ｐ膏主】‘ 在理想情况下ｚ（ｔ）＝０ （２．１） （２．２）

考虑实际上加速度不可能是绝对精确的常数，假设它的轻微变化用零均值白噪声 描述， ｉ（０２ｗ（０

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第二章非零均值时间相关模型研究

Ｆｃ。＝ｅ‰７＝ｉ ０

假定ｑ是常数，则ｗ（ｋ）的协方差阵为

ＱｃＡ：Ｅ【ｗ（ｋ）、ｖＴ（ｋ）】：【Ｑｕ】３。３：ｑＩ

Ｔ４／８ Ｔ３／３ Ｔ２／２

通常认为在采样周期内，加速度的变化用√（珐。）。＝√９７’近似表示，并以此

其中，ｘ（ｋ）是ｋ时刻的状态，ｚ∞为ｋ时刻的量测，ＦＣＡ为状态转移矩阵，Ｈ为量

狈４矩阵，ｗ（ｋ）是具有协方差矩阵Ｑ（ｋ）的零均值、白色高斯噪声序列，ｖ（ｋ）是具有 协方差阵Ｒ（ｋ）的零均值、白色高斯噪声序列。假定初始状态Ｘ（０）是高斯的，具 有均值囊（０１０）和协方差Ｐ（ＯｌＯ），并假定ｗ（ｋ）、ｖ（ｋ）和ｘ（Ｏ）无关，则基于方程（２．ｔ０）

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非零均值时间相关模型研究

Ｐ：。（ｋ＋ｌ『ｋ＋１）２［Ｉ―ｗ：＾（ｋ＋１）Ｈ】Ｐｃ＾（ｋ＋ｌｌｋ）

ｗｃＡ（ｋ＋１）＝Ｉｋ（ｋ＋１１ｋ）Ｈ１［｝ＩＰｈ（ｋ＋ｌＩｋ）Ｈ１＋Ｒ（ｋ＋１）］＿１

式中下标ＣＡ表示匀加速运动。
设目标机动由两部分组成，即由指令引起的确定性机动，作用函数为ｕｆｌ）， 以及由随机因素引起的随机机动，作用函数为ｗ（ｔ）。例如目标缓慢转弯往往引起 长达一分钟的相关加速，目标作躲避机动时的相关加速时间在１０秒到３０秒之间， 而由大气湍流或飞机自身随机因素引起的相关加速度时间只有１～２秒钟。因此 采用ｎ阶时间相关模型（或１３．阶马尔可夫模型）描述机动目标运动：
其中ｘｍ为目标位鼍。 通常认为Ｕ（ｔ）为时间相关随机过程，设其相关函数为Ｒｕ（ｔ，ｔ，），有 Ｒｕ（ｔ，ｔ１）＝Ｅ｛Ｕ（ｔ）Ｕ（ｔ１）｝ 为简便起见，假设Ｕ（ｔ）为平稳随机过程，即： Ｒｕ（ｔ，ｔ１）；Ｒｕ（ｔｌ－ｔ）２ Ｒｏ＠

再根据平稳随机过程相关函数的特性，如对称性、衰减性等，可知对二阶系

统一阶时间相关模型（ｎ＝２），时间相关函数为指数衰减形式： Ｒｕ（Ｔ）＝ａ２ｕｅ“‘‘‘ （ａ≥０） （２．１６）

其中，当ｎ＝２时，Ｕ（ｔ）即为目标的指令机动加速度ａｕ（ｔ），ａ为在（ｔ，ｔ＋旬区间内目标

机动特性的待定参数，也即是机动时间常数的倒数，Ｇｊ为指令机动加速度方差。

对２阶系统２阶时间相关模型，

Ｒｕ（Ｔ）＝ａ：ｅ“”＋ＣＯＳＤｌ：

式中ａ２。和ａ的意义同前，Ｂ为机动振荡频率。（２．１７）式对应目标作长时间强烈振

对二阶系统零阶时间相关模型，这时由于ｕ（ｔ）＝０，Ｎ（２．１３）式与（２．３）式相同， 退化为ＣＡ模型。 鉴于非零均值时间相关模型性能优于零均值时间相关模型，这里直接讨论非 零均值情况。记目标加速度为 ａ（０＝衰（ｔ）＋ａｏ（ｔ） （２．１８）

其中百（ｔ）为ｔ时刻ａ（ｔ）的均值，ａ（ｔ）～Ｆｑ（ｔ），Ｇ：），而ａ。（ｔ）一Ｆｌ（ｏ，ｏ：）。

不失一般性，考虑（２．１６）式的二阶系统一阶时间相关模型，应用

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第二章非零均值时间相关模型研究

（２．２２）式构造了形式完整的一阶时间相关模型。同理可推得对应（２．１７）式的非

菹（ｔ）＋２０谊（ｔ）＋（Ⅱ２＋ｐ２）ａ（ｔ）一蓄（ｔ）一２古（ｔ）一（旺２＋Ｄ２）百（ｔ）

＝４２ａｏｂ（ｔ）＋√２０【６：（ａ２＋ｐ２）ｕ（ｔ）

式中ｕ（ｔ）为单位强度的白噪声，即其功率谱密度Ｓｕ（叻＝１。

下面给出一阶时间相关模型的具体算法，设状态向量ＤＪ（２．１）式，其中

『訇＝暖：１ １］［訇＋匡；］［薹：习＋瞄］ｗｃｔ，

岩（ｒ）＝靠ｘ（ｆ）＋％彳ｏ）＋ｆ ０ ｆｗ（Ｏ

Ｘ（ｋ＋１）＝最―ｒ（七）＋‰彳（七）＋％（．ｉ｝）

ＦＲ＝ｅｈ７＝ｌ １０

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第二章北零均值时问相关模型研究

＿（ｋ）：圈 Ｌ８ｋｊ

对上式积分后整理，可得噪声序列Ｗａ（ｋ）均值为零，方差为

ｑａ ｑ ２３ ｑ１３ ｑ２３

％ （ ｋ ） Ｗ ＴＲ （ ｋ Ⅺ ＝ ２ ｄｄ

Ｐ。．， ． 。 ． ，。Ｌ ｑ

ｑ¨＝寺（１＿ｅ－２ａＴ＋２订＋詈∥Ｔ３－２０ｃ２Ｔ２－４叮ｅ－ａＴ）

ｑ１２２耳１（１＋ｅ。２“一２ｅ－ａＴ＋２ｃｉＴｅ－＝ｒ＿２ｃｔＴ＋戗２Ｔ２）
ｑ１３。五ｉ。、１＿ｅ－２ａＴ＿２ｄＴｃ“）

２奇（４ｅ－＝ｒ＿３＿ｅ－２。Ｔ＋２（ｚＴ） ２孬１（ｅ－２ａＴ＋ｌ一２ｅ－ａＴ）

ｑ矿去（１＿ｃ－２“）

对于飞机转弯，Ｉ／ｑ的典型值是６０秒，对于躲避机动１／ａ＝２０秒左右，大 气湍流ｌ／ａ＝１秒左右。Ｔ对机载雷达一般在Ｏ．Ｉ～１０秒左右。若０【Ｔ＜＜Ｉ，表示采 样周期Ｔ比机动时间常数１／ａ小得多，此时Ｑ。为

Ｑ。。２ａ０２．附Ｔ／８¨Ｔ…／３ Ｔ佰／２ｆ

设观测方程同（２．ｎ）Ｒ，其他初始条件同§２．２节，则基于（２．２６）和（２．１１）式的 离散Ｋａｌｍａｎ滤波方程如下：

文（ｋ＋１ｌ ｋ）＝ＦｅＸ（ｋｌ ｋ）＋ＵＲ（ｋ）Ａ（ｋｌ ｋ）

Ｒ（ｋ＋１ｌｋ＋１）＝Ｒ（ｋ＋１１ｋ）＋Ｗｔ（ｋ＋１）［ｚ（ｋ＋１）－ＨＲ（ｋ＋ｌｌｋ）］（２．３３ｂ）

ＰＲ（ｋ＋ｌＩｋ）＝ＦＲＰＲ（ｋ『ｋ）《＋Ｑ。（ｋ）

Ｐ；（ｋ＋１Ｉｋ＋１）＝【Ｉ―ＷＲ（ｋ＋１）Ｈ】ＰＲ（ｋ＋１Ｉｋ）

（２．３３ｃ） （２．３３ｄ）

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第二章非零均值时间相关模型研究

ｗＲ＝ＰＲ（ｋ＋１］ｋ）Ｈ１［ＨＰＲ（ｋ＋１Ｉｋ）Ｈ‘＋Ｒ（ｋ＋１）１。１

比较（２．１２）式和（２．３３）式，后者由于引入了参数０【而计算明显不同。而ａ往往 要先验确定或由仿真、实验寻找。当ａ增大，ａ（ｔ）很快变得不相关：当Ⅸ－－ｙ０，则 由式（２．２０）产生ａ。（ｔ）需对白噪声积分，即维纳过程是不稳定的，这时它适用于对 具有小过程噪声方差ｑ的时变加速度机动建模。［１８］曾对ａ参数进行寻优仿真研 究表明：在线自适应调整ｏｃ极易造成系统不稳定和跟踪发散，而离线确定固定值 ｄ又很难兼顾各类机动情况。对（２．２３）式，则由于又增加了参数Ｄ。使得滤波器 设计更加困难，【３５１研究表明，其性能在绝大多数情况下，不会优于直接采用（２．２２） 的形式。如何确定参数毡（和１３），从而使跟踪算法在计算量或是参数确定方面 得以大大简化，又不至于造成性能下降，这是十分令人关注的研究课题。

§２．４自适应加速度运动模型（ＡＣＡ）

注意（２．３３ａ）式中，夏（ｋＩｋ）定义如下： Ａ（ｋｌｋ）＝Ｅ［Ｘ。ＩＺ。】 其中Ｚ。表示至ｋ时刻获得的所有量测集合， 理而广泛采用的近似为 Ａ（ｋｌｋ）ａ Ｅ［Ａｋ ｒＺ。】 （２．３５） 因此有： （２．３６）

由于五。很难直接计算得到，一个合

其中Ａ（ｋ）＝【ａｋ，ａ。】７，即瓦的条件期望由Ａ。的条件期望代替

Ａ（ｋｌｋ）ｍ［ｘ（ｋｌｋ），￡（ｋ＋１Ｉｋ）ｒ
将（２．３６）式代ｘ（２．３３ａ）式，并由（２．２７）和（２．２８）式，有 女（ｋ＋１Ｉｋ） 文（ｋ＋１Ｉｋ） 杖ｋ＋１ｌｋ）

先解上式矩阵方程的第三行，有

曼（ｋ＋１］ｋ）＝ｅ－ａＴ曼（ｋＩｋ）＋（一而１八Ｉ―ｅ

＋（１＋击）（１《咏（ｋ＋ｌｆｋ）

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非零均值时间相关模型研究

ｌＩ。。ｋ＋，Ｉｋ，．２ｌ：ｊ ｊ＿｜Ｌ薹：：：列２ＲＡ爻’（ｋＩｋ） ｉ（ｋ＋ＩＬｋ）］ｘ（ｋ＋ｌｌｋ）：ｐ率斗一，

点可以非常直接和直观地推论：由于ＰＲ（ｋｌｋ）收敛（或ＷＲ（ｋＩｋ）收敛），则非零

件下的ＣＡ模型。而动态精度，则取决于Ｑ。与ＱｃＡ的计算。另～个非常直接

式中Ａ。。为目标可能的最大机动加速度值，ｉ（ｋ）为ｋ时刻加速度均值，Ｖ（?）

ＡＣＡ模型的稳态精度分析

稳态精度分析可以在连续域中对方程采用拉普拉斯变换，也可以在离散域中

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非零均值时间相关模型研究

对方程采用Ｚ变换进行。这里不妨采用拉氏变换。 重写（２．４）式，并增加观测方程如下：

ｉ（ｔ）＝＋ｃＡｘ（ｔ）＋ｗ（ｔ） ｚ（ｔ）＝Ｈｘ（ｔ）＋ｖ（ｔ） （２．４２）

其中十。。和ｗ（ｔ）意义同（２．４）式，ｚ（ｔ）为观测状态向量，Ｈ为观测矩阵，当仅有位嚣 观测时，Ｈ＝【ｌ，０，０】，ｖ（ｔ）为观测噪声，设其均值为零，方差为Ｒ。 考虑系统进入稳态，由卡尔曼滤波得状态估计方程为

ｉ（ｔ）＝＋ｃＡｉ（ｔ）十ｗｃＡ（ｔ）［ｚ（ｔ）一Ｈｉ（ｔ）】 ；［十ｃＡ―ｗｅＡ（ｔ）Ｈ】ｉ（ｔ）＋ｗｃＡ（ｔ）ｚ（ｔ）

式中ｗｃＡ（ｔ）为卡尔曼增益阵，稳态时ｗｃＡ（ｔ）将趋近于一常数阵Ｗｃ。，对（２．４４）式 两边取拉氏变换，并假设初始状态为零，有

ｓ囊（ｓ）＝（夺ｃＡ―ｗｃＡＨ）殳（ｓ）＋ｗｃＡ《ｓ） （２．４５）
囊（ｓ）＝（ｓｌ一十ｃＡ＋ＷｃＡＨ）一。ＷｃＡｚ（ｓ）

将（２．４３）式代Ｘ（２．４６）式，有

赳ｓ）＝（ｓ１一＋ｃ＾＋Ｗｃ＾Ｈ）～ＷｃＡＨｘ（ｓ）

＋（ｓＩ一÷ｃＡ＋ｗｊ＾Ｈ）～ＷｃＡＬｆＶ（ｔ）） 式中Ｌ｛ｖ（ｔ））是观测噪声的拉氏变换。

设真实状态的拉氏变换为ｘ（ｓ），则滤波误差的拉氏变换为

ｊｉ（ｓ）＝ｘ（ｓ）一爱（ｓ）＝【Ｉ一（ｓｌ一中ｃＡ＋ＷｃＡＨ）－。ｗｃＡＨ】ｘ（ｓ）

十（ｓＩ一牵ｃＡ＋１ｗ３＾Ｈ）＿ｗｃＡＬ｛Ｖ（ｔ）｝ 令： 弱＝［Ｉ一（ｓｌ―十ｃＡ＋ｗ文Ｈ）＿１ｗｃＡＨ】ｘ（ｓ）

竞Ｒ＝（ｓＩ一巾ｃＡ十ｗｃＡＨ）＿ｗｃＡＬ｛ｖ（ｔ））

（２．４９） （２．５０）

显然，￣ｄ是由系统建模误差引起的误差，而繇是由观测误差引起的误差。这里

主要分析弼。将十ｃＡ代入，并注意到

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第二章非零均值时间相关模型研究

（ｓ１吨一毗Ｈ）一２孤盎鬲Ｋｋ２￥－Ｉｋ一２也＋ｋｓ２

两惫ｋ螂， 矗ｋ≥ｔｓ‰ｋ荆 点怒邮，

ｓ３＋ｋｌｓ２＋ｋ２ｓ＋３“、。７

ｓ３＋ｋｔｓ２＋ｋ，ｓ＋ｋ，＾、。’

（１）、砹ｋ（ｓ）为单位脉冲加运反输入，则

＊（ｓ）＝１，ｉ（ｓ）＝！，ｘ（ｓ）：了１

耶壮＊ｌ缈ｉｍ再最’当－０

￣ｄ（ｔ）ｋ＝０，‰（ｔ１…＝０；

（２）、设冀（ｓ）为单位阶跃加速度输入，则

鼬牲＝ｌ。ｉｍｓ‘再志｛＝。

ｊｌ（ｓ）２ｉ１，㈣２了１，ｘ（ｓ）２了１

ｘｏ（ｔ）Ｉ，．。＝０，要。ｏ）Ｉ，＋。＝０；

（３）、设ｋ（ｓ）为单位斜坡加速度输入，则

｝｝（ｓ）２击，琊）２孬１，ｘ（ｓ）２豇１

蜀（ｒ）ｆ ｒ＋。＝ｌｉｍｏ ５

。。。。。。。‘。―――――――－＿。?。。‘‘―－。＿ ＿－＿?‘～＝。一

ｓ’＋ｋｔｓ２＋ｋ２Ｊ＋ｋ３

驯…＝酉ｋＩ，翻Ｌ＝冬。

上述分析可见，对脉冲加速度和单位阶跃加速度输入，ＡＣＡ模型的稳态系

统建模误差为零。注意到对非零均值时间相关模型，其误差方程式与（２．５１）式完

全相同，只是ｗｃＡ阵值不同，但稳态时，ＷＣＡ－－与ＷＲ只有很小的差异，对稳态精

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非零均值时间相关模型研究

度而言，两者的分析结果是一致的。 当加速度作单位斜坡输入时．ＡＣＡ模型的稳态系统建模误差为为常值，这

意味着无论是ＡＣＡ模型还是非零均值时间相关模型，对变加速运动（那怕是线

性变化），其跟踪误差都不为零。因此，从本质上讲，无论何种改进，在变加速 运动时，单滤波器技术很难满足跟踪精度要求。

ＡＣＡ模型的动态精度分析

注意（２．１２）式与（２，３３）式，其差别主要是对状态估计的协方差矩阵的求取不 同，从而造成ｗ（ｋ＋１）的求取差异，因而使ＡＣＡ模型与时间相关模型的动态跟踪 性能可能不同。分析Ｐ（ｋ忙１）阵，因为它反映了不同的Ｆｃ。、ＦＲ对Ｐｃ。（ｋ）与ＰＲ（ｋ）的 影响。为了集中分析ＦｃＡ与ＦＲ，设ＱｃＡ与ＱＲ取成相同值，并设Ｐｃ。（ｏ）、ＰＲ（Ｏ）取 相同值。 当Ｈ＝［１，０，０】时，由（２．１２ｅ）式和（２．３３ｅ）式，有：

ｐ１１（ｋ＋１ｌｋ）＋ｒ（ｋ＋１）

ＰｌＩ（ｋ＋１ｌｋ）＋ｒ（ｋ＋１）

式中Ｂ。为Ｐ（ｋ＋１）阵的第一行第一列元素，“ｋ＋１）为观测协方差阵。显然，滤波器 增益阵当ｒ（ｋ＋１）相同时，仅与Ｐｌ。（ｋ＋ｌｌｋ）、Ｐ，２（ｋ＋１ｍ）和Ｐｌ，（ｋ＋ｌｌｋ）有关。设ｋ时刻， ＰＲ（ｋｔｋ）与Ｐｃ。（ｋｌｋ）相同（严格讲当ｋ＝Ｏ时刻成立），讨论ｋ＋ｌ时刻，两者的差异。

ｃｋ＋?Ｉｋ，＝ｒｊ琮ｃｋＩｋ，《２［ｉ ｊ；］［蓦ｉ芝Ｐ１２；曼ｉ］［孝兰ｉ］ｃｚ．ｓｚ，

（２．５３ａ） （２．５３ｂ）

‘：―－―］―＋―ｃｔ―Ｔ了＋―ｅ―－一ａＴ，ｅ：―１－－ｅ―－。Ｔ，￡：ｅ一“

Ｐｉ（ｉ，ｊ＝１，２，３）中略去了时间标记（ｋＪｋ）。

ＰＲＩＩ（ｋ＋ｌＩｋ）＝ＢＩ＋２ＴＰ，２＋２ｆ１ Ｐ１３＋Ｔ２Ｐ２２＋２Ｔｆｌ Ｐ２３＋ｆ？Ｐ３３

ＰＲｌ２（ｋ＋ｌｌｋ）＝Ｐ１２＋ｆ２ＰＩ ３＋ＴＰ２２＋（Ｔｆｚ＋ｆ【）Ｐ２３＋ｆＩｆ２ Ｐ３３
ＰＲ。，（ｋ＋１ Ｊｋ）＝ｆ３Ｐ１３＋Ｔｆ３Ｐ２３＋ｆｌｆ３ Ｐ３３

旦型生坠竖盔！塑圭兰堡堡苎 ＰＲ２：（ｋ＋ｌｆｋ）＝Ｐ２ｚ＋ｆ２ Ｐ２，＋ｆ２ Ｐ３：＋￡Ｐ３，

篓三童ｊ！至望堕盟塑塑差堡型堕窒

２３（ｋ＋ｌｌｋ）＝￡Ｐ３２＋ｆ２ｅ Ｐ３，

ＰＲ。，（ｋ＋１ｆｋ）＝坪Ｂ，

‰ｃｔ＋啪＝ｋ‰ｃ蚓ｔ，Ｆ＆：陛

扩Ｔ， ，。 ． ．，上 ％‰％

Ｐ＾ＡｌＩ（ｋ＋ｌ』ｋ）等Ｐ１１．２ＴＰ，２＋Ｔ２Ｒ３＋Ｔ３ｅ２３＋Ｔ２ Ｐ２２十Ｉ．Ｔ４ Ｐ３３

（２．５５ａ） ｆ２．５５ｂ） （２．５５ｃ） （２．５５ｄ） ｆ２．５５ｃ） 佗．５５０

Ｐｃ＾ｎ（ｋ＋ｌｌｋ）＝Ｐｔ２＋码３＋ＴＰ２２＋Ｔ２ Ｐ２３＋Ｉ．Ｔ３％ ＰＣＡｌ３（ｋ十１１ｋ）＝Ｐ１３十ＴＰ２３＋去Ｔ２Ｐ”

Ｐｃ＾２２（ｋ＋１Ｉｋ）＝Ｐ２２＋ＴＰ２３＋玛２＋Ｔ２％

Ｐｃ＾２３（ｋ＋１Ｉｋ）＝Ｂ２＋ＴＰ３３ ＰｃＡ”（ｋ＋１ｌｋ）＝Ｐ３３

定义氟ｋ＋ｌｌｋ）为两者相应元素差值，则有：

Ｅｌ（ｋ＋１１ｋ）２ ＰＲｌＩ（ｋ＋Ｉｉｋ）一ＰｃＡＩｌ（ｋ十１ｆｋ）＝ａｌＰ，３＋△２ ｐ２３＋△３％

其中：△ｌ＿一；ａｒ＋ｏ（ｎ∽，△２＝÷ｒ＋ｏ（押）“＝丢酊‰（ａｚｒ）

＝（一；，一ＩＴ３ｐ２，一Ｔ４Ｐ３Ｐｎ（ｋ＋ｌＩｋ）－；Ｔ２ＰＩ

＋Ｏ（ａ２ｒ）Ｂ３＋ｏ（ｃｔ２Ｔ５）Ｐ２３＋ｏ（ｃｔ２Ｔ６）Ｐ３３ 设Ｔ＝Ｉ，则

耳【（ｋ＋１Ｉｋ）＝～ｊｌａ（２８３＋Ｂ３＋ｏ．５９３）十ｏ（吐２）

茸：（ｋ＋ｌｔｋ）＝一西１ ａ（６Ｐｉ３＋８Ｐ２３＋Ｐ３３）＋ｏ（Ⅱ：）

（２．５６ｂ） （２．５６ｃ） （２．５６ｄ）

豆，（ｋ＋１Ｉｋ）＝一ｊ１口（３ Ｐ１３＋３Ｐ２，＋２Ｐ３３）＋ｏ（０【：）

￣２：（ｋ＋ｌ『ｋ）ｚ一丢ｏｌ（已，＋％＋Ｂ，）＋ｏ（ｏｌ ｚ）

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第二章非零均值时间相关模型研究

Ｐ２３（ｋ＋１Ｉｋ）＝－－寺ｃｔ（２Ｐ３２＋３Ｐ３３）＋ｏ（ｃｔ２）

（２．５６ｅ） （２．５６０

ｅ３３（ｋ＋Ｉｌｋ）＝一２ｃ】【Ｐ３３＋Ｏ（ｃｃ２）

一般地，ｏ【为＜＜ｌ的正数（根据［１２９］的研究，ａ的值取以０．１为宜），因此

（２．５６）式表明（注意Ｐ（ｋ＋ｌｌｋ）为对称阵），ＰＲ（ｋ刈ｋ）与Ｐｃ。（ｋ＋ｌＩｋ）相差不大（小

于２ｃ１Ｐ（ｋｌｋ）），在采样周期Ｔ较小时这种差距会更小。另外注意到ＰＲ（ｋ＋ｔｌｋ）与 Ｐｃ＾Ｃｋ＋１）ｋ）均收敛，因此前文假设上面分析从ｋ时刻计算，不失其有效性。可以 预见，两种方法的动态性能不会有明显差异。 ３、两种方法的机理分析 （２．５１）式和（２．５６）式反应了ＡＣＡ模型与时间相关模型的性能同异，得到的基 本结论是两者相差不大，将会在后面通过Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ仿真，进一步验证上述分 析。这里从机理上对两种方法再作一些剖析。

（１）、非零均值时间相关模型对单位阶跃加速度输入收敛的机理。

潘安君等［４０】证明了对单位阶跃加速度输入，“当前”模型具有收敛性，而 零均值假设的Ｓｉｎｇｅｒ模型不收敛。本文从更为一般的意义上证明了对于所有非零 均值的时间相关模型，对脉冲加速度输入、阶跃加速度输入，其稳态跟踪误差为 零，而对于斜坡加速度输入，其稳态误差不为零。原因非常明显，因为进入稳态 后，非零均值时间相关模型本质上就是ＣＡ模型。而ＣＡ模型对脉冲加速度输入 和阶跃加速度输入是模型匹配的，而对斜坡加速度输入模型不匹配。 （２）、时间相关模型中加速度均值的意义 在Ｓｉｎｇｅｒ提出时间相关模型时，采用了一种零均值的均匀分布描述机动加速 度的统计特征。而［２７，４０］等则分别采用了商斯、修正瑞利和截断高斯分布，但均 假设均值非零。 重写（２．１３）、（２．１７）和（２．Ｉｓ）式如下：

（２．１３）式：旦掣：ｕ（ｔ）＋ｗ（ｔ）

（２．１７）式：Ｒ。（｛）＝ｄ：ｅ“‰ｏｓ即

（２．１８）式：ａ（ｔ）＝百（ｔ）＋ａ０（ｔ） （２．１３）式中，当ｎ＝２时，Ｕ（ｔ）和ｗ（ｔ）对应为加速度状态，其中Ｕ（ｔ）为指令引起 的确定加速度变化，它具有相关特征，而ｗ（ｔ）为随机分量。即有ｕ（ｔ）＝ａ（ｔ）。在（２．１８） 式中，一般均假设ａ０（ｔ）具有（２．１７）式的相关函数的加速度分量。而ｉ（ｔ）的物理意 义不十分明确，可以说ｉ（ｔ）更多地具有数学意义而不具有明确的物理意义，因为 按照一般的证明方法，在（２．１９）至（２．２３）式中，都无形之中假设了ｉ（ｔ）不具有相关

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第二章非零均值时间相关模型研究

特征，这很难给予解释。因为若Ｕ（ｔ）确实可用一种分布来描述其特征的话，其均 值似乎应该与Ｕ（ｔ）一样具有时间相关特征。从这个意义上讲，直接采用ＣＡ模型 而不采用非零均值时间相关假设似乎更为合理和明确。 （３）、系统协方差矩阵方程式的意义

在时间相关模型中，（２．１７）式的０２Ｊ的计算是十分重要的。在基于非零均值相

关模型的一系列算法中，大多数采用了类似“当前”模型的形式：

ｏ：＝÷÷【Ａ。。一Ｉｉ（ｔ）ｌｆ

当目标匀速运动时，百（ｔ）＝Ｏ，则实际上预留了很宽的带宽，对匀速运动目标滤波

效率很低。当目标机动，且加速度吣）与Ａ。。较接近时，系统带宽变窄，滤波效

率提高，特别当ａ（ｔ）为阶跃函数形式时，根据前面的分析，其跟踪是收敛的。（２．５７） 式的一个特点是它在每个ｔ时刻，都预留了加速度可能变化的最大滤波带宽，这 使得“当前”模型具有对突变加速度快速反应的良好性能，加之对阶跃加速度输

入稳态收敛，使得它多年来较受青睐。但（２．５７）式中［Ａ。。一Ｊｉ（ｔ＿】２的平方计算，从 实际效果看，当敏ｔ）精度较低时，滤波器带宽变化波动较大，对滤波性能带来不

利影响。 上面（２．３９）式中，Ｔ（?）的函数形式可以根据实际跟踪环境和要求来选取。在

§２．６节的仿真中发现，对大多数情况，（２．３９）式中取掣（ｘ）＝ＩｘＩ比取甲（ｘ）：Ｘｚ跟踪

ＡＯＡ与“当前”模型的仿真比较

本节将时间相关模型中性能最为突出的“当前”模型与ＡＣＡ模型作一Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ仿真比较，采用图２．１中的匀速，匀加速，脉冲加速度和正弦加速度四种 运动目标，考虑Ｎ（２．５３）式和（２．５５）式中对采样周期Ｔ很敏感，特别对Ｔ从Ｏ．５ｓ～ ４ｓ的各种参数进行了仿真。另外对观测噪声均方差口，也从５０ｍ～４００ｍ的不同参 数进行了仿真（只有位置量测）。

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第二章非零均值时间相关模型研究

图２．１四种目标的加速度变化 （纵坐标为加速度，单位ｒｎ／ｓ２；横坐标时间，单位ｓ）

四种日标的运动方程如下： ●第一种目标的运动方程为：ｘ（ｔ）－－ｘｏ＋４００ｔ

?第二种目标的运动方程为：ｘ（ｔ）＝ｘｏ＋４００ｔ＋去×４０ｔ２

●第三种目标的运动方程为：

ｔ＜４０ ４０＜ｔ＜６０

ｘ（１）：｛磁＋４００（ｔ－４０）＋ｉ１×４０（ｔ－４０）２

●第四种目标的运动方程为：

Ｉｘ；＋ｖ’（ｔ一６０）ｔ≥６０

川）＝ＸＯ－ｉ－（ｖｏ＋》一器ｓｉｎ（Ｏ．１ｔ）

设Ｘ（ｏ）＝【１ｅ４ｍ，４００ｍＪｓ，ｏｎ“ｓ２ｌ，（２．３９）式中取Ａｎ。＝６０ｍ／ｓ２，甲（ｘ）＝Ｈ，Ｃｑ＝ｌｍ／ｓ２。
表２．１～表２．４反映了两种模型的滤波效率，从数据可知，两种滤波效率相 当。仔细区分则在匀加速时，“当前”略好一些，在其它情况下，ＡＣＡ都要比 当前好。其中滤波器信噪压缩比定义为

其中：ｉ＝吉塾’￣ｋ＝符善［ｘ（ｋ）－瓤耻）］２，汹，ｎ为每次Ｍｏｎｔｅ

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非零均值时同相关模型研究

真的时间采样点总数，Ｎ为仿真总次数。本节仿真中ｎ＝１００，Ｎ＝１００。

表２．１对第一种轨迹，两种模型滤波算法信噪压缩比
ＡＣＡ Ｏ．５ ０．５８２ ０．５６７

Ｔ（ｓ）（嘶＝１００ｍ）

仃，（ｍ）（Ｔ＝ｉｓ）

２ ０．８５２ ０．８４０

５０ ０．７２８ ０．７０９

１００ ０．７３０ ０．７１４

２００ Ｏ．７３１ Ｏ．７１９

４００ ０．６９７ ０．６８９

０．７４６ ０．７３３

０．９５１ ０．９４５

表２．２对第二种轨迹，两种模型滤波算法信噪压缩比

Ｔ（ｓ）（ａ，＝１００ｍ）

０．５ Ｏ．５３ｌ ０．５５６ ｌ ０．６４６ ０．６７６ ２ Ｏ．７７１ ０．８０７ ４ ０．８８９ ０．９２０ ５０ ０．６５４ ０．６８５

ｏｖ（ｍ）（Ｔ＝ｌｓ）

１００ ０．６４７ ０．６８ｌ ２００ ０．６４６ ０．６７４ ４００ ０．６４０ ０．６７８

表２．３对第三种轨迹，两种模型滤波算法信噪压缩比

Ｔ（ｓ）（ｏｖ＝１００ｍ）

Ｏ．５ ０．６０２ ０．５９８ ｌ ０．７９３ Ｏ．７６１ ２ ０．８９３ ０．８６８ ４ ０．９６０ ０．９５０ ５０ ０．９７７ ０．８８５

ａ。（ｍ）（Ｔ＝ｌｓ）

１００ ０．８００ ０．７６７ ２００ Ｏ．７１７ ０．７０９ ４００ ０．７０５ ０．６９７

表２．４对第四种轨迹，两种模型滤波算法信噪压缩比

Ｔ（ｓ）（ａ，＝１００ｍ：

０．５ ０．６４０ ０．６２７ １ ０．７９４ ０．７６８ ２ Ｏ．９６１ Ｏ．９１６ ４ １．０２９ ０．９８３ ５０ １．１０１ ０．９９３

ｏ。（ｍ）（Ｔ＝Ｉｓ）

１００ ０．８３３ ０．７９３ ２００ Ｏ．７１２ ０．７０７ ４００ Ｏ．７０ｌ ０．７００

图２．２～图２．３给出对应四种轨迹两种模型在速度和加速度上的跟踪曲线（单

次仿真），这主要反映滤波的动态性能。“……”代表“当前”，“――”代表 ＡＣＡ，“一一”表示真实值。从图中可知，ＡＣＡ模型几乎具有与“当前“模型

完全相当的对强机动目标的快速反应能力。

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非零均值时间相关模型研究

四种轨迹下两种模型速度状态估计曲线对比图

四种轨迹下两种模型加速度状态估计曲线对比图

图２．４～图２．６给出对应四种轨迹两种模型在滤波器增益（ｋ，，ｋ：，ｋ３）变化比较 图。……代表“当前”，――代表ＡＣＡ。从图中可知，两者非常比较接近（还 可以通过选取适当Ｃｑ或改变甲伍）的形式使之更接近）。

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图２．４四种轨迹下两种模型滤波器增益ｋ．值曲线对比图

四种轨迹下两种模型滤波器增益ｋ：值曲线对比图

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图２．６四种轨迹下两种模型滤波器增益ｋ３值曲线对比图

ＡＣＡ与“当前”模型的状态估计一致性研究

！ｉ雹Ｅ｛［ｉ（ｋ）一ｘｏｒ＝０

由估计理论知，在非随机参数情况下，使用均方收敛准则，

为一致性条件。对于随机参数，它的估计均方收敛的要求是： ｌｉｍＥ（【ｉ（ｋ）一ｘｒ＝０ （２．５９）

在估计定常参数的问题中，（２．５８）式中定义的估计一致性为估计值随机收敛

于真实值。当估计动态系统的状态时，由于它是变化的，所以，一般将不出现估 计值随机收敛到真实值的情况。为检验～致性，可以利用的主要是ｋ时刻的状态

估计囊（ｋＩｋ）和其协方差矩阵Ｐ（ｋｉｋ）。

在线性高斯假设下，状态ｘ（ｋ）在ｋ时刻的条件概率密度函数（ＰＤＦ）为

Ｐ【ｘ（ｋ）Ｉ Ｚ。】＝Ｎ【Ｘ（ｋＸ囊（ｋＩ ｋ），Ｐ（ｋｌ ｋ）］ （２．６０）

由于实际建模总存在误差，这里感兴趣的主要是（２．６０）式成立的范围，考虑 到实际计算，通常（２．６０）式由以下条件均值代替，即由滤波器达到的估计误差的 期望值与滤波计算的协方差匹配， Ｅ｛［ｘ（ｋ）一文（ｋｆｋ）】【ｘ（ｋ）一建（ｋｆｋ）Ｊ１』Ｚ。｝＝Ｐ（ｋｆｋ） （２．６１）

若状态估计无偏，且（２．６１）式成立，则滤波器状态估计为一致的。（２．６ｔ）式本 质上是“有限样本一致性”，即基于有限观测值样本的估计误差应该与滤波计算

璺些三兰竺查茎苎主兰垡笙苎

检验滤波器的～致性，最常用的准则有： （１）、状态误差无偏且与它的协方差一致； （２）、新息具有（１）的同样性质；

笙三兰垫至望堕壁塑塑茎墼型堕塞

的协方差矩阵“一致”。而（２．５９）式的参数估计一致性具有无限样本渐近的性质。

（３）、新息的“白”度（即时间上不相关性）。 第一个准则最重要，一般用真实状态作比较，第二、三个准则是第一个的推 论，适用于实际计算。 １、状态误差的一致性检验 设滤波器状态偏差为

Ｘ（ｋｌｋ）＝ｘ（ｋ）一ｉ（ｋｌｋ）

定义归一化状态估计误差平方为： ｓ（ｋ）－－－芟。（ｋｌｋ）Ｐ。（埘ｋ）￣（蚓ｋ） （２．６３）

在滤波器是一致的假设（Ｈ。）条件下，（２．６１）式成立，￡（ｋ）服从具有１１。个自由度 的ｚ２分布，其中ｎ。是状态变量ｘ的维数，则由

检验（２．６４）式是否被接受，作为滤波器在（２．６１）式意义上是否一致。

设拭进行Ｎ次ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ仿真，得到Ｎ个独立样本￡１（ｋ），则样本均值为：

状态估计误差与滤波计算的协方差一致的假设Ｈ。被接受的条件是： （２．６６）

其中［ｒ１．ｒ２１为置信区间，于是置信度计算为

Ｐ辱（ｋ）∈【ｑ，ｒ２］ｌＨｏ）＝１一ａ

ｃｃ可根据要求的置信度选取，一般为５％或１０％。 对图２．１所示的４种轨迹，计算ＡＣＡ模型和“当前”模型的ｉ（ｋ），如图２．９

所示。……代表“当前”，――代表ＡＣＡ。其中Ｔ＝ｌｓ，１＂＝１００ｍ，Ｎ＝１００，ｃｔ＝５％，

１＂１ｘ；３，（２．３９）式中取Ａｍ。＝６０ｍ／ｓ２，ｖ（ｘ）＝ｌｘｌ，Ｃｑ＝１ｍ／ｓ２。从图２．７可见，ＡＣＡ

模型与“当前”模型一样都不具有状态误差一致性，但其状态误差一致性比当前

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非零均值时间相关模型研究

图２．７归一化状态误差平方的样本平均（图中所示区间具有９５％的置信度）

２、新息与新息协方差的一致性检验

用与第１小节类似的方法，设新息为

Ｖ（ｋ）＝Ｚ（ｋ）－Ｈ女（ｋｌｋ―１） （２．６８）

在滤波器是一致的假设条件下，归一化新息平方为

￡。＝Ｖ１（ｋ）ｓ“（ｋ）ｖ（ｋ）

服从具有ｎ：个自由度的ｘ２分布，其中ｓ（ｋ）为新息协方差矩阵，ｎ，是观测向量的

维数。由Ｎ个独立的样本￡：（ｋ）可计算样本均值，

滤波器新息与新息协方差阵一致的假设被接受的条件是：

ｉ。（ｋ）∈【ｈ，ｒ２】

Ｊｒ，，ｒ２】为置信区间，于是置信度可计算为

Ｐ氟（ｋ）∈【ｑ，ｒ２］１Ｈｏ）＝１一ｄ

图２．８给出了由（２．７１）式计算的对４种轨迹两种模型的ｉ，（ｋ）变化曲线。……

代表“当前”。――代表ＡＣＡ。各参数设置同第１小节，由图２．８可见，ＡＣＡ 模型的新息一致性在（１），（２）图（即加速度无变化时）与“当前”模型几乎完全 相当：而对（３）和（４）图（即加速度变化时）要比“当前”模型好。图２．９给出了当

观测噪声方差失配时滤波器ｉ。（ｋ）的曲线，即真实观测噪声ｒ＝３００ｍ，而模型的滤 波器设计噪声为ｒ＝１００ｍ。这时，情况类似，说明ＡＣＡ模型有一定的嗓声鲁棒性。

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非零均值时间相关模型研究

０ ０ ４ ５０ １ ００

＾～“’ｖ、小Ｊ ｕ、ｒ－ｖ ０

＾』Ｖ甲’ｗ’’ＶＦｖ－＇ｆ

图２＿８观测方差匹配时的归一化新息平方的样本平均 （图中所示区间具有９５％的置信度）‘

图２．９观测方差失配时的归一化新息平方的样本平均 （图中所示区间具有９５％的置信度） ３、新息的白度检验 理论上，可使用下列样本自相关统计量

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非零均值时间相关模型研究

Ｐ（ｋ，ｊ）＝∑【Ｖｉ（ｋ）］Ｔｖｉ（ｊｊ∑【Ｖ１（ｋ）］Ｔｖｉ（ｋ）∑叭订Ｖ’（ｊ）Ｉ‘

进行新息的白度检验。对于足够大的Ｎ值，（２．７３）式的密度的正态近似是可以接 受的。如果新息是白色的且均值为零，贝ＪＪ（２．７３）式的均值为零、方差为１／Ｎ。 用ｇ表示零均值、单位方差、正态随机变量，令ｑ满足关系： Ｐ鸦∈卜ｈ，ｒ，１）＝ｌ―ｄ （２．７４）

由于Ｆ（ｋ，ｊ）的标准偏差是ｌ／√百，卿ＪＦ（ｋ，ｊ）对应的置信区间为［一ｑ，√百，ｒｌ，√衲，若 Ｐ（ｋ，ｊ）∈【一ｑ／√瓦１／√＿】

成立，则新息序列不相关的假设被接受。 对于（２．７３）式，当Ｎ较大时计算量很大，一般可通过记录一次Ｍｏｎｔｅ

仿真中相隔ｆ步的新息的白色检验统计量作为时间平均自相关，进行单次白度检 验。（这种近似在一次仿真的总采样点数Ｄ足够大时是具有同样效果的，但只适

用于第２、３个准则，对第一个准则仍要通过Ｎ次独立Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ仿真计算）。 单次检验的样本自相关统计量为

芦（，）＝∑Ｖ’（七）Ｖ（≈＋Ｄ∑Ｖ７（七）Ｖ（≈＋，）

当ｎ足够大时，这个统计量是近似正态的，具有零均值、方差ｌ，ｎ。利用与（２．７３） 式相同的方法，可以做新息的白度检验。

图２．１０样本新息自相关值曲线（图中所示区间具有９５％的置信度）

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第二章非零均值时问相关模型研究

图２．１０给出了４种轨迹两种模型的新息自相关计算曲线，这里其他参数同 第１小节，Ｎ（２．７６）式中的，＝１＂－５０。由图２．１０可见，５０个点中，两种模型在（１） 到（３）图中新息白色性相当，而（４）情况下，ＡＣＡ的新息白色性比“当前”更好。 可见适当选取参数可以时ＡＣＡ模型具有比“当前”更好的滤波特性。

本章通过深入研究非零均值时问相关机动目标模型，提出自适应加速度运动 （ＡＣＡ）模型。并从模型设计机理、滤波器稳态误差、动态误差、仿真精度分析 和滤波器一致性检验，分析了ＡＣＡ模型的性能。得到如下结论： １、适当选择ＣＡ模型的系统协方差阵形式，可以设计与非零均值时间相关模型 性能相当的ＣＡ滤波器。 ２、ＣＡ模型的计算及参数调整均比时间相关模型容易。 ３、非零均值时间相关模型本质上是一种宽带设计的基于ＣＡ模型的滤波器，特 别是在稳态时，两者几乎完全一致。 ４、非零均值的均值在指令引起的机动假设中。物理意义不明确，其相关性很难 予以考虑。

５、用ｑ＝Ｃｑ甲ｌＡ。。。一Ｉｘ（ｋ］ｋ―Ｉ）１Ｉ来构造ＣＡ模型的系统协方差矩阵Ｑ（ｋ），与传

统自适应ＣＡ模型的不同点是，引入ｘ（ｋ［ｋ一１），使得Ｑ（ｋ）对强机动能自适应调整 滤波器带宽，改善滤波器精度。在ｉ（ｋ）为零时，以牺牲跟踪精度为代价，保持系 统足够带宽，以保证对突发强机动的快速反应性能。 ６、ＡＣＡ模型在具有更大的参数调整性时，亦不失参数稳定性，可以通过不同的

参数设计来适用不同的需求，从而其工程实用性更强。

７、显然，直接采用ＡＣＡ模型与直接采用“当前”模型一样，会造成弱机动或非 机动时，滤波精度下降，而对于空间运动目标，通常非机动和弱机动的飞行时间 占有很大比重，处理这种情况，通常要使用多模型算法，而将ＡＣＡ模型（或“当 前”模型）作为多模型的其中一个模型。

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第三章基于通用坐标系的滤波模型的变换

第三章基于通用坐标系的滤波模型的变换

目标跟踪的滤波模型建立总是基于一定的假设基础之上。对于简单（单一） 模型来说，这种假设通常可以分为动力学假设和噪声假设两个部分。动力学假设

是指无（模型）噪声时ｔ模型所能够准确跟踪的目标运动形式，或是模型的动力

学约束条件：噪声假设是指此模型在跟踪（某种特定的）实际运动目标时可能存 在的偏差。实际建模中，动力学约束条件～般变化不多，而模型噪声假设却多种

多样。例如，常用的匀速运动（ｃＶ＞模型，其动力学约束条件为曼＝０。噪声假 设为曼＝田（或简单地只说其噪声模型为女＝田），其中讨为零均值白噪声。再

如，常用的匀加速运动（ＣＡ）模型，其动力学约束条件为爱＝０，噪声假设为

爱＝霄（或简单地只说其噪声模型为爱＝霄），其中霄为零均值白噪声。当然，对

于ＣＡ模型还有其他许多关于西的假设，例如Ｓｉｎｇｅｒ模型中假设荫为零均值一 阶时间相关过程，而“当前”模型假设谛为非零均值一阶时间相关过程。

有关于单模型建模的方法有很多种［４５，１

１６，１ １７］，不再一一列举。这里希望

考虑的是有关于这些模型如何应用的问题：在本系统中实际上是以雷达作为传感

器来获取量测的，也就是说量测是在非线性的极坐标下的，因而如果要在直角坐 标系下滤波，哪怕各测量量是独立的也很难保持量测方差阵解耦。下面的工作是 希望找Ｎ－－＊中可ｖＡ直接将一种坐标体ＮＴ的状态方程直接转换到另一种坐标体 制下的通用方法。

§３．２一类简单模型在不同基下的变换

设空间Ｕ有两个完各的纂【－。，又：，…，Ｒ。】和【－ｌ，，。．．，，。】（ｍ毫Ｎ）．设Ｕ

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第三章基于通用坐标系的滤波模型的变换

中同一点在两个基下的坐标分别为Ｘ＝Ｉｘｌ，ｘ２，．，ｘ。】７，Ｙ＝【ｙｌ，ｙ２…．，ｙ。】７，它们 有如下关系： Ｘ＝Ｔ（ｙ），其中Ｔ连续且任意阶可微。

现在假设已知在基【ｉ，，爻２，．．，趸。】下的状态方程，其动力学假设为ｘ（“１＝０ （ｎ∈Ｎ），噪声假设为ｘ‘“’＝ｗ，若取状态变量ｘ＝Ｉｘ，ｘ’，．．，ｘ‘“’］７，则其状态 方程为：
ｏ ｏ ； ｏ ０ ，

希望导出在基瓯，，：，¨．，亨。】下的近似状态方程。

由于（下述求导过程只是示意性质，实际上由于Ｘ和Ｙ均为ｎ维向量．应使 用向量和矩阵导数）：

＝筹丢ｍ，＝嘉阢Ｍ ＝筹扣（ｙＭ＝筹州办∥）２＋川州 ＝嘉驷协（＂２＂（删’】

５ｄ－４Ｆ了［：ｒ‘”（ｙ）‘（ｙ）３＋３Ｔ”（ｙ）’ｙ’ｙ”＋ｒ’（＿ｙ）‘ｙ‘邳】
＝Ｃ（ｙ，Ｙ，．，ｙ（”－Ｏ）十Ｔ’（），）?Ｙ㈤ 于是有如下形式：
ｘ（“１＝Ｃ＋Ｄ～，Ｙ（”’

其中Ｃ＝Ｃ（ｙ，ｙ’，．．，Ｙ‘”１’），Ｄ＝【Ｔ’（ｙ）】～。 冈而．

两北工业大学博士学位论文 ｙ（ｎ）＝Ｄ．ｘ‘…一Ｄ．Ｃ＝Ｄ．１４＂一Ｄ?Ｃ

第三章基于通用坐标系的滤波模型的变换

设 ｆ＝－Ｄ?Ｃ 则有 Ｙ‘”’＝Ｄ?Ｗ＋， 取状态变量Ｙ＝眇，Ｊ，‘，．，ｙ‘”１’】７，则有

１●ｌ、 ● ●ｌＪ ―． 。． ．。 ．Ｌ ｙ

注意，上式中的ｆ＝【Ｔ’（ｙ）】一?Ｃ（ｙ，Ｊ，’，¨．，Ｙ‘””），Ｄ＝【Ｔ（ｙ）】～，故而上式其 实为一非线性微分方程组，要想对其直接求解仍是相当困难的，下面试图通过一 些简单的假设来导出实际可用的模型。

因为实际用的多是离散模型，考虑对上式进行离散化，要想直接求取状态转

移矩阵≯【（七＋１）ｒ，ｋＴ］一般是不太容易的，但如果假设由ｋＴ到（ｋ＋１）Ｔ这段时间内

ｆ和Ｄ为常值，事情就变得很简单了，上式除了多了一个输入项外几乎与基

【叉。，ｉ：，…，囊。】下的状态方程没有什么差别。这个假设在采样周期Ｔ不太大时一般 是可以接受的，不会产生过大的误差；其中ｆ为常值即表示ｙ（“’为常值，而Ｄ阵

是一个很重要的变换阵，通过它可把基隔，ｉ：，．．，囊。】下的一些重要参量变换到基 吼，，：，…，亨。】下，在实际的实时跟踪系统（如火控雷达跟踪系统）中的滤波起始

时一些参量的变换也将用到它。下面给出利用如上方法导出的几种常用模型的球 坐标形式。

§３．３匀速运动目标在平面极坐标系下的状态方程

首先给出将参量（速度、加速度等）由直角坐标变换到极坐标的变换阵Ｄ。 根据交换式

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对Ｔ关于时间ｔ求二阶导数可得

笙三童董士望里坐堡墨竺望鎏堡型塑銮垫

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则可求得ｗ，（ｋ）的协方差阵为： Ｏｒ（ｋ）＝Ｅ［ｗＡｋ）ｗ，．７（七）】

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＝Ｅ｛ｆ［ｒｉ７］Ⅵｃ七ｒ＋ｒ，ｄｒｃｒ［丁；＿‘］‘”ｃ灯＋ｒ，出，７） ＝Ｅ｛ｒ ｒ［丁ｊ７］、竹ｃ灯＋ｒ，ｗｒ７ ｃｔ丁＋