数学_第18页_有道词典
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在傳統中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關係畢竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如「a+b=b+a」。
不同的系統，會預計不同的公理。例如的公理，和的公理就有一點不同；另外，集合論的在許多系統的建構中，也富有爭議。有些系統堅持不預設選擇公理。也有一些數學家在建構系統時，刻意排除掉中的，以確保所有的證明，都可以直接演算。
在中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——和。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。和不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為了。
邏輯公理通常是被視為普遍為真的陳述（如 (A ∧ B) → A），而非邏輯公理（如a + b = b + a）則實際上是在一特定數學理論（如）中的定義性的性質。在後者的意思之下，公理又可被稱為「公設」。一般而言，非邏輯公理並不是一個不證自明的事實，而應該說是在建構一個數學理論的過程中被用來推導的一個形式邏輯表示式。要公理化一個知識系統，就是要去證明該系統的主張都可以由數目不多而又可明確理解的陳述（公理）推導出來。一般來說都有多種方法來公理化一個給定的數學領域。
然而，邏輯公理系統也並非唯一。、等新的邏輯結構，都建立在略有差異的公理上。因此，與其把公理看作不證自明的事實，不如看作是在一個特定的數學或邏輯系統中，先於一切的。
經由可靠的論證（、推理規則）由前提（原有的知識）導至結論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發展出來的，並已成為了現代數學的核心原則。除了之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數學，則為）則都必須藉助這些基本假設才能被證明。然而，對數學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終「公理」這一詞對今日的數學家眼中和在和眼中的意思也有了些許的不同。
古希臘人認為也是數種的其中之一，且視幾何學的定理和科學事實有同等地位。他們發展並使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，並以此來建構及傳遞知識。亞里斯多德的是對此傳統觀點的一決定性的闡述。
「公理」，以傳統的術語來說，是指在許多科學分支中所共有的一個不證自明的假設。
在各種科學領域的基礎中，或許會有某些未經證明而被接受的附加假定，此類假定被稱為「公設」。公理是許多科學分支所共有的，而各個科學分支中的公設則是不同的。公設的有效性必須建立在現實世界的經驗上。實際上，亞里斯多德擔心科學的內容無法被成功地傳遞，若讀者會懷疑公設的真實性的話。
傳統的做法在《》中被很好地描繪了出來，其中給定一些公設（從人們的經驗中總結出的幾何常識事實），以及一些「公理」（極基本、不證自明的斷言）。
能從任一點畫一條到另外任一點上去。
能在一條直線上造出一條連續的長線段。
能以圓心和半徑來描述一個。
每個都會相互等值。
（）若一條與兩條直線相交，在某一側的小於兩個直角，那麼這兩條直線在各自不斷地延伸後，會在內角和小於兩直角的一側。
等同於相同事物的事物會相互等同
若等同物加上等同物，則整體會相等。
若等同物減去等同物，則其差會相等。
相互重合的事物會相互等同。
整體大於部分。
近150年來，數學家所學到的是，將意思從數學陳述（公理、、、）和中抽離出去是很有用的。此一（或甚至可說是公式化）使得數學知識變得更一般化，容許多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。
結構主義的數學走得更遠，並發展出沒有「任一」特定應用的理論和公理（如、、、）。「公理」和「公設」之間的差異消失了。歐幾里得公設因為可以導出大量的幾何事實而被創造出來。這些複雜事實的真實性依賴於對基本假定的承認。然而，若捨棄第五公設，則可以得到有更多內容的理論，如。我們只需要準備以更彈性的方式來使用「線」和「平行」等術語。雙曲幾何的發展教導了數學家們公設應該被視為單純的形式陳述，而不是基於經驗的事實。
當數學家使用的公理時，其含義甚至變得更加地抽象了。體論的命題沒有關注於任一特定的應用上；數學家現在於完全的抽象化上工作著。體有許多的例子；而體論可以給出對所有這些例子適用的正確知識。
說體論的公理是「被視為不證自明的命題」是不正確的。實際上，體的公理是一套侷限。若任一給定的加法與乘法系統符合此些侷限，則我們對此系統立即可以得到許多額外的資訊。
現代數學家也對數學基礎作了相當程度的形式化，從而使得數學理論可以被視為數學物件，且本身亦能被視為是數學的一個分支。、、、和是此發展中的幾位關鍵角色。
在現今的理解裡，一套公理是任何形式陳述的斷言，而透過應用某些定義良好的規則，可由這些公理推導出其他形式陳述的斷言。在此觀點下，邏輯只是變成了另一個形式系統。一套公理應該是的，即應該不可能由此公理中導出矛盾來。一套公理亦應該是非冗餘的，即一個可以由其他公理導出的斷言不應被視為是一個公理。
近代的邏輯學家最初希望數學的不同分支，最好是所有的數學，都可以被一套相容的基本公理中推導出來。數學形式主義的一個早期成功的例子為希爾伯特對的公式化，以及相關地，對此些公理相容性的確定。
在更廣的方面來看，還有人企圖將所有數學放在的之下。不過，的出現和中相似的矛盾，指出任何此類的形式系統最終都有可能是不相容的。
此計畫遭受到的決定性挫敗是在1931年，哥德爾證明出只要一個相容的形式系統能夠蘊涵，就可以在系統內建構出一個其真實性和此套公理獨立的陳述。作為一個，哥德爾證明出一個如的理論，其相容性在理論本身之內會是一個不可證的斷言。
相信皮亞諾算術的相容性是合理的，因為它被的系統所滿足－一個但在直覺上易被接受的形式系統。然而，直到現在，依然沒有已知的方法判定集合論中的相容性。－此理論的關鍵假定，也依然是一個極具爭議的假設。更甚之，利用的技巧，可以證明獨立於策梅羅-弗蘭克爾公理之外。因此，即使是這種極一般的公理也還不能被視為是數學的決定性基礎。
在裡，公理可以清楚地被區別成兩種：邏輯公理和非邏輯公理（有些類似傳統上對「公理」和「公設」的區別）。
在一個語言中存在著某些普遍有效的公式，亦即被每個的每個結構所滿足的公式。口語上來說，是存在著在任一可能的論域、可能的和賦值上都是「正確」的陳述。通常將邏輯公理視為能充分證明所有此語言中的一套「最小」的重言式；在中有更多的邏輯公理是需要的，為了證明那些在嚴格意義上不是重言式的邏輯事實。
在裡，一般將邏輯公理視為所有如下形式的公式，其中的、和可以是語言中的任何公式，且包含的只有和兩種：
上面的每個形式都是一個「」，是用來產生無限多公理的規則。例如，若A、B和C是，則和都會是公理模式1.的例子，因此都會是公理。可以證明只要有這三個公理模式和「」，即可證明出所有命題演算中的重言式。也可證明只以其中的一對模式是無法和「肯定前件」一起充分證明出所有的重言式的。
其他包含著相同或不同邏輯運算符的公理模式也可以另行建構出來。
這些公理模式也被使用於裡，但需要附加上其他邏輯公理，藉以討論包含了量詞的命題。
等於公理 令為。對每個變數而言，公式
是普遍有效的。
這表示，對於任一變數，公式可被視為是一個公理。而且，在這例子裡，為了不落入含糊不清及一連串永不終止的「原始概念」之中，要不就是將的精確概念給先建立完全，要不就是得規範符號純形式及語法的用法，只視之為一個字串，且只是由符號組成的字串。確實就是這麼做的。
全稱例化公理模式 給定一在一階語言中的公式、一變數和一，公式
是普遍有效的。
其中代表以項來中的後所得到的公式。較不嚴謹地，這個例子允許我們如此陳述，若知道一特定性質對每個皆成立，且代表著此結構內的一特定物件，則應可主張是對的。
存在推廣公理模式 給定一在一階語言中的公式、一變數和一項，公式
是普遍有效的。
非邏輯公理是在特定理論中充當基本假設的一種公式。兩個不同的結構如和的推理可能涉及相同的邏輯公理；非邏輯公理則試圖汲取對特定結構（或一套結構，如）來講是特殊的地方。因此，非邏輯公理，不像邏輯公理，並不是「重言式」。非邏輯公理的別稱為「公設」。
幾乎每個現今的數學定律都是起始於一套給定的非邏輯公理，且曾被認為在原則上，每個理論都可以如此公理化，並且公式化成純粹邏輯公式的語言。但這已被證明是不可能的了；然而，最近此一做法又以的形式復活了起來。
非邏輯公理通常在數學論述中被簡稱為「公理」。這並不表示它們在某種絕對的意思上是正確的。例如，在一些裡，群運算是的，且這可以在加入加法公理下斷言，但去掉此公理就可以很好地發展（更一般化的）群論，且甚至可以拿此公理的否定來做非可換群的研究。
因此，公理和定義了的一起構成了形式邏輯系統的基礎。
此節會給出一些完全由一套非邏輯公理（或簡稱公理）發展出來的數學定律。任何對此些題目的嚴謹處理都起始於對公理的詳述。
基本理論如、和通常都是由非公理化的方式開始介紹，但通常直接或間接地都會使用到具選擇公理的（ZFC）的公理，或是一些極相似的，例如。後者是ZFC集合論的，在集合方面與ZFC具有相同的定理，因此兩者有緊密的聯繫。有時，稍強的理論如，或帶有允許使用的的集合論也會被使用，但實際上，大多數數學家都可以在弱於ZFC的系統中確實地證明他們所需要的命題，比如在中就可能做到這點。
在數學中，拓撲學的研究擴展成、、，和所有相關領域，如和。「抽象代數」也發展出、、和。
此列表可以擴展至包含大多數的數學領域，如、、、、和等。
是最廣被使用的「公理化」。這套公理的強度足以證明許多中重要事實，以及允許哥德爾建立他著名的。
設有一語言，其中，是一個常數符號且是一個且滿足如下公理：
，對任一中有一自由變數的公式而言。
其標準結構為，其中為自然數的集合、為，且自然被解釋為數0。
中的4+1個公設大概是最古老且最有名的一組公理。這些公理被稱為「4+1」，因為近兩千年來，（「通過一直線外一點恰好存在一平行線」）一直被懷疑可以從前4個公理中導出。但最後，第五公設還是被證實是獨立於前4個公理。確實，可以假設通過一直線外一點會沒有平行線、恰好有一平行線，或有著無限多條平行線存在。這些選擇給出了不同形式的幾何，其的內角和會分別為小於、等於或大於180度。這幾種幾何分別被稱為、和。
其研究的對象為。實數可唯一由一「戴德金完備有序體」（即帶有上界的非空實數集合必然有最小上界）所決定（在意義上）。然而，若要表達這些公理的性質，需要使用到。告訴我們若侷限於裡來描述，任何實數的公理系統都會允許有其他的模型，有些會小於實數，有些則會大於實數。後者有些被研究於中。
一致性的要求是最重要的。如果一公理系統，不會同時推導到命題「p」和「非p」，那麼它就稱為一致的系統。 不一致的系統，會同時推導出「p」和「非p」的矛盾結果，在數學推論上，是不能容許的。
演繹系統包括有邏輯公理的集合、非邏輯公理的集合和「推理規則」的集合。演繹系統的一個理想的性質為完備性。
一個系統被稱為是完備的，若對所有公式，
亦即，對任一為「邏輯結果」的陳述，皆存在一個從的陳述出發的「演繹」。這有時被表達為「所有真的陳述都是可證的」，但必須了解這裡的「真」意指「公理集合致使其為真」，而不是「在某一特定解釋下為真」。表明了某個常用類別的演繹系統的完備性。
注意「完備性」在中會有著不同的意思，其表示在算術理論中沒有一套「遞歸」且「一致」的非邏輯公理會是「完備」的，亦即總是存在一個算術陳述，其和都不能由給定的公理中證出。
這裡，一邊是指「演繹系統的完備性」，一邊則是指「一套非邏輯公理的完備性」。因此，完備性定理和不完備性定理，除了其名稱之外，並不相互衝突。
早期的視公理化幾何為的模型，且明顯地只能有此一模型。另一種數學系統可能存在的想法，對19世紀的數學家而言是極度困擾的，並費盡苦心地想要將這些系統從傳統算術中推導出來。證明這些努力大多都是白費的。最後，這些在代數系統中相互平行的抽象系統看起來似乎有其重要性，而也由此誕生了。以現在的觀點來看，任意的公式集合都可以作為公理，只要這些公式並未被發現為不一致的便可。
Mendelson, Elliot (1987). Introduction to mathematical logic. Belmont, California: Wadsworth & Brooks.
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集合論：對無窮概念的探索
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16 開 　　　
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內容簡介：書中介紹了集合論的基礎知識， 共有集合與公理，關係與函數，實數的構造，基數， 濾、理想與無界閉集，集合的宇宙，可構成集，力追 等g章內容；除了討論集合論的基本概念，還討論了可 構成集、力迫法等現代內容，同時還討論了與連續統 假設相關的一些哲學問題。
編寫本書的目的是讓讀者在初等集合論領域有一 個堅實的基礎。本書可以作為數學專業、電腦專業 和哲學專業高年級本科生教材。同時，對於那些關心 數學哲學以及當代數學基礎問題的人來說，書中的知 識也是必要的準備 本書還含有大量的習題和思考題，有助於讀者深 入理解所介紹的內容。圖書目錄：作者弁言
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第一章
集合與公理
1．1 羅素悖論
1．2 一點數理邏輯
1．4 習題
第二章
關係與函數
2．3 等價與劃分
2．5 習題
第三章
實數的構造
3．1 自然數
3．2 自然數上的遞迴定理與運算
3．4 整數與有理數
3．6 不可數集合
3．7 習題
第四章
4．1 良序集
4．3 超窮歸納與遞迴
4．4 序數算術
4．5 古德斯坦定理
4．6 選擇公理
4．7 習題
第五章
5．1 定義基數
5．2 基數算術
5．4 無窮和與積
5．5 基數冪運算
5．6 習題
第六章
濾、理想與無界閉集
6．1 集合上的濾
6．2 無界閉濾
6．3 習題
第七章
集合的宇宙
7．1 又一點數理邏輯
7．2 層壘的譜系
7．3 相對化
7．4 絕對性
7．5 基礎公理的相對一致性
7．6 基於良基關係的歸納與遞迴
7．7 基礎公理下的絕對性
7．8 不可達基數與ZFC的模型
7．9 反映定理
7．10 習題
第八章
8．1 可定義性與哥德爾運算
8．2 哥德爾的L
8．3 可構成公理與相對一致性
8．4 習題
第九章
9．1 力迫法的基本思想
9．2 脫殊擴張
9．4 M[G]中的ZFC
9．5 CH的相對獨立性
9．6 CH+ GCH的相對一致性
9．7習題
參考文獻
索引
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（重定向自）
在传统中，公理是没有经过证明，但被当作不证自明的一个命题。因此，其真实性被视为是理所当然的，且被当做演绎及推论其他（理论相关）事实的起点。当不断要求证明时，因果关系毕竟不能无限地追溯，而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单，且符合直觉，如“a+b=b+a”。
不同的系统，会预计不同的公理。例如的公理，和的公理就有一点不同；另外，集合论的在许多系统的建构中，也富有争议。有些系统坚持不预设选择公理。也有一些数学家在建构系统时，刻意排除掉中的，以确保所有的证明，都可以直接演算。
在中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——和。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为了。
逻辑公理通常是被视为普遍为真的陈述（如 (A ∧ B) → A），而非逻辑公理（如a + b = b + a）则实际上是在一特定数学理论（如）中的定义性的性质。在后者的意思之下，公理又可被称为“公设”。一般而言，非逻辑公理并不是一个不证自明的事实，而应该说是在建构一个数学理论的过程中被用来推导的一个形式逻辑表示式。要公理化一个知识系统，就是要去证明该系统的主张都可以由数目不多而又可明确理解的陈述（公理）推导出来。一般来说都有多种方法来公理化一个给定的数学领域。
然而，逻辑公理系统也并非唯一。、等新的逻辑结构，都建立在略有差异的公理上。因此，与其把公理看作不证自明的事实，不如看作是在一个特定的数学或逻辑系统中，先于一切的。
经由可靠的论证（、推理规则）由前提（原有的知识）导至结论（新的知识）的逻辑演绎方法，是由古希腊人发展出来的，并已成为了现代数学的核心原则。除了之外，没有任何事物可被推导，若没有任何事物被假定的话。公理即是导出特定一套演绎知识的基本假设。公理不证自明，而所有其他的断言（若谈论的是数学，则为）则都必须借助这些基本假设才能被证明。然而，对数学知识的解释从古至今已不太一样，且最终“公理”这一词对今日的数学家眼中和在和眼中的意思也有了些许的不同。
古希腊人认为也是数种的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的是对此传统观点的一决定性的阐述。
“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。
在各种科学领域的基础中，或许会有某些未经证明而被接受的附加假定，此类假定被称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的，而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。实际上，亚里斯多德担心科学的内容无法被成功地传递，若读者会怀疑公设的真实性的话。
传统的做法在《》中被很好地描绘了出来，其中给定一些公设（从人们的经验中总结出的几何常识事实），以及一些“公理”（极基本、不证自明的断言）。
能从任一点画一条到另外任一点上去。
能在一条直线上造出一条连续的长线段。
能以圆心和半径来描述一个。
每个都会相互等值。
（）若一条与两条直线相交，在某一侧的小于两个直角，那么这两条直线在各自不断地延伸后，会在内角和小于两直角的一侧。
等同于相同事物的事物会相互等同
若等同物加上等同物，则整体会相等。
若等同物减去等同物，则其差会相等。
相互重合的事物会相互等同。
整体大于部分。
近150年来，数学家所学到的是，将意思从数学陈述（公理、、、）和中抽离出去是很有用的。此一（或甚至可说是公式化）使得数学知识变得更一般化，容许多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。
结构主义的数学走得更远，并发展出没有“任一”特定应用的理论和公理（如、、、）。“公理”和“公设”之间的差异消失了。欧几里得公设因为可以导出大量的几何事实而被创造出来。这些复杂事实的真实性依赖于对基本假定的承认。然而，若舍弃第五公设，则可以得到有更多内容的理论，如。我们只需要准备以更弹性的方式来使用“线”和“平行”等术语。双曲几何的发展教导了数学家们公设应该被视为单纯的形式陈述，而不是基于经验的事实。
当数学家使用的公理时，其含义甚至变得更加地抽象了。体论的命题没有关注于任一特定的应用上；数学家现在于完全的抽象化上工作著。体有许多的例子；而体论可以给出对所有这些例子适用的正确知识。
说体论的公理是“被视为不证自明的命题”是不正确的。实际上，体的公理是一套局限。若任一给定的加法与乘法系统符合此些局限，则我们对此系统立即可以得到许多额外的资讯。
现代数学家也对数学基础作了相当程度的形式化，从而使得数学理论可以被视为数学物件，且本身亦能被视为是数学的一个分支。、、、和是此发展中的几位关键角色。
在现今的理解里，一套公理是任何形式陈述的断言，而透过应用某些定义良好的规则，可由这些公理推导出其他形式陈述的断言。在此观点下，逻辑只是变成了另一个形式系统。一套公理应该是的，即应该不可能由此公理中导出矛盾来。一套公理亦应该是非冗余的，即一个可以由其他公理导出的断言不应被视为是一个公理。
近代的逻辑学家最初希望数学的不同分支，最好是所有的数学，都可以被一套相容的基本公理中推导出来。数学形式主义的一个早期成功的例子为希尔伯特对的公式化，以及相关地，对此些公理相容性的确定。
在更广的方面来看，还有人企图将所有数学放在的之下。不过，的出现和中相似的矛盾，指出任何此类的形式系统最终都有可能是不相容的。
此计划遭受到的决定性挫败是在1931年，哥德尔证明出只要一个相容的形式系统能够蕴涵，就可以在系统内建构出一个其真实性和此套公理独立的陈述。作为一个，哥德尔证明出一个如的理论，其相容性在理论本身之内会是一个不可证的断言。
相信皮亚诺算术的相容性是合理的，因为它被的系统所满足－一个但在直觉上易被接受的形式系统。然而，直到现在，依然没有已知的方法判定集合论中的相容性。－此理论的关键假定，也依然是一个极具争议的假设。更甚之，利用的技巧，可以证明独立于策梅罗-弗兰克尔公理之外。因此，即使是这种极一般的公理也还不能被视为是数学的决定性基础。
在里，公理可以清楚地被区别成两种：逻辑公理和非逻辑公理（有些类似传统上对“公理”和“公设”的区别）。
在一个语言中存在着某些普遍有效的公式，亦即被每个的每个结构所满足的公式。口语上来说，是存在着在任一可能的论域、可能的和赋值上都是“正确”的陈述。通常将逻辑公理视为能充分证明所有此语言中的一套“最小”的重言式；在中有更多的逻辑公理是需要的，为了证明那些在严格意义上不是重言式的逻辑事实。
在里，一般将逻辑公理视为所有如下形式的公式，其中的、和可以是语言中的任何公式，且包含的只有和两种：
上面的每个形式都是一个“”，是用来产生无限多公理的规则。例如，若A、B和C是，则和都会是公理模式1.的例子，因此都会是公理。可以证明只要有这三个公理模式和“”，即可证明出所有命题演算中的重言式。也可证明只以其中的一对模式是无法和“肯定前件”一起充分证明出所有的重言式的。
其他包含着相同或不同逻辑运算符的公理模式也可以另行建构出来。
这些公理模式也被使用于里，但需要附加上其他逻辑公理，藉以讨论包含了量词的命题。
等于公理 令为。对每个变数而言，公式
是普遍有效的。
这表示，对于任一变数，公式可被视为是一个公理。而且，在这例子里，为了不落入含糊不清及一连串永不终止的“原始概念”之中，要不就是将的精确概念给先建立完全，要不就是得规范符号纯形式及语法的用法，只视之为一个字串，且只是由符号组成的字串。确实就是这么做的。
全称例化公理模式 给定一在一阶语言中的公式、一变数和一，公式
是普遍有效的。
其中代表以项来中的后所得到的公式。较不严谨地，这个例子允许我们如此陈述，若知道一特定性质对每个皆成立，且代表着此结构内的一特定物件，则应可主张是对的。
存在推广公理模式 给定一在一阶语言中的公式、一变数和一项，公式
是普遍有效的。
非逻辑公理是在特定理论中充当基本假设的一种公式。两个不同的结构如和的推理可能涉及相同的逻辑公理；非逻辑公理则试图汲取对特定结构（或一套结构，如）来讲是特殊的地方。因此，非逻辑公理，不像逻辑公理，并不是“重言式”。非逻辑公理的别称为“公设”。
几乎每个现今的数学定律都是起始于一套给定的非逻辑公理，且曾被认为在原则上，每个理论都可以如此公理化，并且公式化成纯粹逻辑公式的语言。但这已被证明是不可能的了；然而，最近此一做法又以的形式复活了起来。
非逻辑公理通常在数学论述中被简称为“公理”。这并不表示它们在某种绝对的意思上是正确的。例如，在一些里，群运算是的，且这可以在加入加法公理下断言，但去掉此公理就可以很好地发展（更一般化的）群论，且甚至可以拿此公理的否定来做非可换群的研究。
因此，公理和定义了的一起构成了形式逻辑系统的基础。
此节会给出一些完全由一套非逻辑公理（或简称公理）发展出来的数学定律。任何对此些题目的严谨处理都起始于对公理的详述。
基本理论如、和通常都是由非公理化的方式开始介绍，但通常直接或间接地都会使用到具选择公理的（ZFC）的公理，或是一些极相似的，例如。后者是ZFC集合论的，在集合方面与ZFC具有相同的定理，因此两者有紧密的联系。有时，稍强的理论如，或带有允许使用的的集合论也会被使用，但实际上，大多数数学家都可以在弱于ZFC的系统中确实地证明他们所需要的命题，比如在中就可能做到这点。
在数学中，拓扑学的研究扩展成、、，和所有相关领域，如和。“抽象代数”也发展出、、和。
此列表可以扩展至包含大多数的数学领域，如、、、、和等。
是最广被使用的“公理化”。这套公理的强度足以证明许多中重要事实，以及允许哥德尔建立他著名的。
设有一语言，其中，是一个常数符号且是一个且满足如下公理：
，对任一中有一自由变数的公式而言。
其标准结构为，其中为自然数的集合、为，且自然被解释为数0。
中的4+1个公设大概是最古老且最有名的一组公理。这些公理被称为“4+1”，因为近两千年来，（“通过一直线外一点恰好存在一平行线”）一直被怀疑可以从前4个公理中导出。但最后，第五公设还是被证实是独立于前4个公理。确实，可以假设通过一直线外一点会没有平行线、恰好有一平行线，或有着无限多条平行线存在。这些选择给出了不同形式的几何，其的内角和会分别为小于、等于或大于180度。这几种几何分别被称为、和。
其研究的对象为。实数可唯一由一“戴德金完备有序体”（即带有上界的非空实数集合必然有最小上界）所决定（在意义上）。然而，若要表达这些公理的性质，需要使用到。告诉我们若局限于里来描述，任何实数的公理系统都会允许有其他的模型，有些会小于实数，有些则会大于实数。后者有些被研究于中。
一致性的要求是最重要的。如果一公理系统，不会同时推导到命题“p”和“非p”，那么它就称为一致的系统。 不一致的系统，会同时推导出“p”和“非p”的矛盾结果，在数学推论上，是不能容许的。
演绎系统包括有逻辑公理的集合、非逻辑公理的集合和“推理规则”的集合。演绎系统的一个理想的性质为完备性。
一个系统被称为是完备的，若对所有公式，
亦即，对任一为“逻辑结果”的陈述，皆存在一个从的陈述出发的“演绎”。这有时被表达为“所有真的陈述都是可证的”，但必须了解这里的“真”意指“公理集合致使其为真”，而不是“在某一特定解释下为真”。表明了某个常用类别的演绎系统的完备性。
注意“完备性”在中会有着不同的意思，其表示在算术理论中没有一套“递归”且“一致”的非逻辑公理会是“完备”的，亦即总是存在一个算术陈述，其和都不能由给定的公理中证出。
这里，一边是指“演绎系统的完备性”，一边则是指“一套非逻辑公理的完备性”。因此，完备性定理和不完备性定理，除了其名称之外，并不相互冲突。
早期的视公理化几何为的模型，且明显地只能有此一模型。另一种数学系统可能存在的想法，对19世纪的数学家而言是极度困扰的，并费尽苦心地想要将这些系统从传统算术中推导出来。证明这些努力大多都是白费的。最后，这些在代数系统中相互平行的抽象系统看起来似乎有其重要性，而也由此诞生了。以现在的观点来看，任意的公式集合都可以作为公理，只要这些公式并未被发现为不一致的便可。
Mendelson, Elliot (1987). Introduction to mathematical logic. Belmont, California: Wadsworth & Brooks.
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