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债券久期和凸性的计算方法探讨
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内容提示：债券久期和凸性的计算方法探讨
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债券久期和凸性的计算方法探讨
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什么是货币基金的久期？它有什么作用？怎么样去衡量呢？
久期为基金投资的债券的距离到期日的加权平均数。久期60天，简单说就是基金持有的债券等平均60天就都到期了，当然，实际上可能会有10几天的，也可能有几个月的。久期越短，则流动性越好。而久期越长，理论上收益可能回越大。为保持货币基金的流动性，监管部门必须对基金的久期进行规定。
投资的债券的距离到期日的加权平均数。久期60天，简单说就是基金持有的债券等平均60天就都到期了，当然，实际上可能会有10几天的，也可能有几个月的。久期越短，则流动性越好。而久期越长，理论上收益可能回越大。为保持货币基金的流动性，监管部门必须对基金的久期进行规定。
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大家还关注第二节& 债券风险的测量
&知识点一、风险种类
&（一）利率风险
&（二）再投资风险
&（三）流动性风险
&流动性风险主要用于衡量投资者持有的债券的变现难易程度。买卖差价越大，流动性风险就越高。在一个交易非常活跃的市场中，债券交易的买卖差价通常很小，一般只有几个基点。
（四）经营风险
政府债券不存在经营风险；高质量的公司债券的持有者承受有限的经营风险，而低质量债券的持有者则承受比较多的经营风险。
在极端的情况下，低质量债券（垃圾债券）要求的收益率接近于权益所有者所要求的回报率，因此又被称为“高收益债券”。
（五）购买力风险
债券和其他固定收益债券，如优先股，易于受到加速通货膨胀的影响，即购买力风险的影响。但债券在通货紧缩时期或通货膨胀减速期是较具价值的投资。事实上，在资产配置方案中，固定收益证券的基本优点是在通货紧缩的条件下可以套期保值。
（六）外汇风险
（七）赎回风险
对于有附加赎回选择权的债券来说，投资者面临赎回风险。这种风险来源于三个方面：首先，可赎回债券的利息收入具有很大的不确定性；其次，债券发行人往往在利率走低时行使赎回权，从而加大了债券投资者的再投资风险；最后，由于存在发行者可能行使赎回权的价位，因此限制了可赎回债券的上涨空间，使得债券投资者的资本增值潜力受到限制。
例题：多选题
债券投资者所面临的主要风险是( )。
&&&&& a.经营风险
&&&&& b.利率风险
&&&&& c.再投资风险
&&&&& d.赎回风险
&&&&& 答案：abcd
知识点二、测算债券价格波动性的方法
（一）基点价格值
& 基点价格值是指应计收益率每变化1个基点时引起的债券价格的绝对变动额。我们知道，对于收益率的微小变动，不论是上升还是下降，特定债券的价格将大致呈相同幅度的百分比变动。因此，应计收益率每下降或上升1个基点时的价格波动形式相同的。
（二）价格变动收益率值
投资者使用的另一个估算债券价格波动率的指标是价格变化的收益率值。要计算该指标，首先要计算当债券价格下降×元时的到期收益率值。新的收益率值与初始收益率（价格变动前的收益率）的差额即是债券价格变动×元时的收益率值。其他条件相同时，债券价格收益率值越小，说明债券的价格波动性越大。
例题：（单选题）
&其他条件相同时，债券价格收益率值越小，说明债券的价格波动性( )。
a、围绕原值波动
【正确答案】 b
（三）久期
久期是测量债券价格相对于收益率变动的敏感性指标。其中最重要的一种久期是1938年弗雷德里克·麦考莱首先提出的麦考莱久期，其次是修正的麦考莱久期。
假设市场中存在某种无内含选择权的债券，半年付息一次。那么其价格计算公式：
&&&& c&&&&&&
c&&&&&&&&&&&& c&&&&&&
p＝───＋───＋……＋───＋ ───
&& &(1＋y)& (1＋y）^2&
(1＋y)^n& (1＋y)^n
麦考莱久期和1＋y的比率通常被称为“修正的麦考莱久期”，即：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
麦考莱久期
修正的麦考莱久期＝───────
&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&1＋y
附息债券的麦考莱久期和修正的麦考莱久期小于其到期期限。对于零息债券而言，麦考莱久期和到期期限完全相同。
我们知道，在其他因素不变的情况下，久期越大，则到期期限越长，债券价格的波动性越大。对于普通债券而言，当其他因素不变时，票面利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期应越大（这一特点不适用于长期贴现债券）。同时假设其他因素不变，久期越大，债券价格波动性越大
从前面的公式可知，麦考莱久期表示的是每笔现金流量的期限按其现值占总现金流量的比重计算出的加权平均数，它能体现利率弹性的大小。因此，具有相同麦考莱久期的债券，其利率风险是相同的。这样，麦考莱久期就可进一步用于对债券价格利率风险的管理。债券投资者可以选择到期期限与目标投资期不同的债券进行投资，只要麦考莱久期与目标投资期相同，就可以消除利率变动的风险，这被称为“利息免疫”。
（四）凸性
大多数债券价格与收益率的关系都可以用一条向下弯曲的曲线来表示，这条曲线的曲率就被称作债券的凸性。由于存在凸性，债券价格随着利率的变化而变化的关系就接近于一条凸函数而不是直线函数。
当收益率变动时，用修正期限来计算的债券价格变动与实际的价格变动总是存在误差。当收益率降低时，估算的价格上升幅度小于实际的价格上升幅度；当收益率上升时，估算的价格的下降幅度又大于实际价格的下降幅度。凸性的作用在于可以弥补债券价格计算的误差，更准确地衡量债券价格对收益率变化的敏感程度。凸性对于投资者是有利的，在其他情况相同时，投资者应当选择凸性更高的债券进行投资。尤其当预期利率波动较大时，较高的凸性有利于投资者提高债券投资收益。
凸性的计算公式是：
零息债券在期限范围内的凸性计算公式可以简化为：
&&&&& n(n＋1）
cv＝─────
&&&& &(1＋y) ^2
以上的凸性计算公式适用于没有内含选择权的债券。对于普通意义上的债券（也包括内含选择权的债券），可以用下面的公式来计算凸性值：
&&&&&&&&&&&&&
&p1＋p2－2p0
近似凸性值＝───────
&&&&&&&&&&&&&&&
例题：（判断题）
凸性对投资者来说并不总是有利的。 ( )
【正确答案】 错
知识点三、流动性价值的衡量
在债券流通市场中，债券的变现能力是投资者关注的问题，尤其是对于风险较高的长期债券，流动性或变现能力是投资者规避投资风险的必要条件。因此，流动性较强的债券在收益率上往往有一定折让，折让的幅度反映了债券流动性的价值。要衡量债券的流动性价值，需要结合债券市场的具体情况，将期限结构、信用等级等相似债券的收益率水平进行比较，得出近似值，然后通过观察债券市场的波动情况不断加以修正。快捷估算债券到期收益率、久期的方法
来源：和讯，点金才子
在债券投资和相关的风险控制中，计算债券产品的到期收益率、远期收益率和久期是离不开的事情。平时工作中，这些计算可以借助相关的债券分析软件自动计算。但有时，也会有手头仅一部计算器的情况，这时，我们就需要有一种快捷简单估计相关收益率和久期的方法。本文试图在这方面进行一些探讨，抛砖引玉，期望大家指出错误，并提出改进意见。
这里的方法均为针对固定利率年付息一次的附息不含权债券，当然一年多次付息的情况也是类似的。
一、到期收益率
债券常用的有即期收益率，到期收益率和远期收益率。但平时最常用的还是到期收益率，因为它简化为一个期限的收益率只与该期限相关。
其定义表述如下：
y就是到期收益率，
B为该债券的净价，
r是债券的票息，
P为债券面值，一般是100，
N为付息周期。
从这个公式也可以理解到期收益率是债券投资的内部收益率。估计到期收益率就是利用已知的债券基本信息，N，P，r,来估算y。
首先需要对债券依据剩余期限进行简单分类，分为短期债券和长期债券分别处理。
当债券为短期债券时（如剩余期限在3年以下），可以忽略现金流折现的效果，而直接用现金流简单迭加计算。例如：国债010303，净价102.43，票面利率3.27%，剩余期限为2.6年。由此，可以计算出未来现金流入总计为100+3.27*2.6=108.5，这样，其收益率约为（108.5-102.43）/102.43=5.93%，按单利年化后得收益率为2.28%，相比之下，专业债券软件显示的该债券的收益率为2.29%。这说明作为粗略估计已经可以了。
当债券为中长期债券时（如剩余期限在3年以上）。首先我们注意一个原理，
即对于一只新发的债券，当它的市场收益率与票面收益率相等时，其净价就是它的面值，即100元。
因此，利用这一原理，我们进行如下收益率估计：
1、计算当前净价与票面的差价O=B-P，其中B是市价，P是票面值（默认100）
2、将该差价σ平均分配到每次付息中，即λ＝σ/N，其中N是剩余的付息次数，这里N可能是小数，如剩余6.5年，则N=6.5次。
3、将票面利率进行λ调整，即可得到近似的收益率y。
综合上述，即(2)
以国债010311为例，其净价104.05，票面利率为3.5%，剩余期限5.181，以上述方法计算，y=3.5-(104.05-100)/5.181=2.72，相比债券软件计算的是2.69，同样，误差在可容忍范围之内。
不妨再以02三峡债（120201）为例，其净价是106.37，票面利率为4.76%，剩余期限为17.02年，以上述方法计算，y=4.76-(106.37-100)/17.02=4.38，相比债券软件计算的结果是4.23，误差为4.25%，应该说作为粗略估计也可以接受。
Macauley久期衡量债券现金流的平均支付时间。例如贴现债券，其Macauley久期就是它的到期时间。修正久期衡量组合价格对于收益率的敏感性。收益率在小范围变化时，可以认为组合市值与收益率成线性负相关，线性系数即为修正久期。因此，Macauley久期与修正久期在债券投资的风险控制中有重要作用。
久期定义如下：假设某债券在未来共有n次现金支付（利息或本金支付）C1..C2..C3..Cn，距离现在的日期分别为t1..t2..t3..tn（单位为年），则根据公式
修正久期为：&
这里探讨一下如何用计算器进行Macauley久期（同样也是修正久期）的简捷估计。
先给出久期的估算公式如下：
其中：D 是Macauley久期
B是债券现在的净价
R是每次付息的现金值
N是剩余期限，可以是非整数
P是债券到期本金，即100
y是债券的到期收益率
用例看一下这个公式的结果如何，国债010308，B=97.89，R=3.02，N=8，y=0.0332，这样，公式（3）中可直接计算出其Macauley久期为7.2，修正久期为6.98，而用债券分析软件计算得到的久期是7和6.78。误差约为2.8%.
再如，国债010411，B=101.97，R=2.98，N=1.252，y=0.0138，这样，公式（3）中可直接计算出其Macauley久期为1.25，修正久期为1.23，而用债券分析软件计算得到的久期是1.22和1.207。误差约为1.6%。总体而言，公式（3）估算久期粗略还是可以接受的。
下面将公式（3）的推导进行简单描述：
首先将附息债券分解为两只债券，一只是到期只还本金，一只是每次只付息，即
由于久期可以线性相加，所以，原来的久期等于：
这里对时间进行了简化，因为时间并不一定是整数开始，存小于一年的小数部分，即&
（对于一年多次付息的情况同样）
现在对进行处理后可得：
到此，得出了久期的便捷估算公式，虽然看上去它也不那么便捷，但至少可以用手头的计算器计算出久期而不用依赖专业软件和计算机进行反复求和计算。
当然，在公式（3）基础之上可能还可以进一步简化，期待大家探讨。
另外，除了这种公式估算之外，也可以用工程思想进行更加粗略的估计，即用“经验参数法”，如经验得出各期限对应的久期折算系数如下：
这是一种更为粗略但极为简单的方法，在日常工作中也不失使用价值。
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