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[胡寿松自动控制原理第五版课件]第四章根轨迹法.ppt
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O ∩_∩ O谢谢 经拉氏反变换，可求出系统的单位阶跃响应为
上式表明，系统的单位阶跃响应由Ai、si决定，即与系统闭环零、极点的分布有关。分析上述各式，闭环零、极点的分布对系统性能影响的一般规律如下：
（1）稳定性：根据si分布左右平面（存在3条及以上的渐近线，是什么情形？）
（2）运动形态：根据si是实数还是复数（单调、衰减振荡）
（3）平稳性：阻尼比大（阻尼角小）0.707
（4）快速性：远离虚轴，或存在闭环偶极子
利用闭环主导极点估算系统的性能指标
P174 试绘制如下几种情况下Kg从零连续变化到无穷大时系统的根轨迹： （1）b→∞,a为有限量；（2）b a；
（5）b 0，a为有限量。 三.开环零极点的分布对系统性能的影响
决定形状，若不如意，改造之
1.开环零点对根轨迹的影响
设单位负反馈系统的开环传递函数为 解：（1）b→∞,a为有限量时， 系统的等效开环传递函数为
起始于坐标原点的两条根轨迹始终位于右半s平面，系统结构不稳定。 ?
j? ?a ?a/3
（2）b a时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于右半s平面，系统结构不稳定。
（3）b a时，起始于坐标原点的两条根轨迹为与虚轴上，系统临界稳定。P -a和z -b构成开环偶极子。
（4）b a时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于左半s平面，系统结构稳定。
（5）b 0，a为有限量时，系统为没有开环零点的二阶系统，结构稳定。
j? -a -a/2
从上例可以看出，增加一个开环零点对系统的根轨迹有如下影响：
（1）改变了
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自动控制原理-第六章-根轨迹法1(ppt 72)
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自动控制原理根轨迹分析法中关于分离角的研究
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发布于： 02:07
摘要：控制系统根轨迹的绘制过程中，分离角决定着根轨迹离开分离点进入复平面的方向，对于准确的绘制根轨迹起着重要的作用。分离角的实质是根轨迹在分离点处的初始角，本文利用初始角公式，通过对可变参数进行线性变换的方法，得到了分离角的公式，并通过MATLAB软件绘图进行了验证。
关键词：自动控制原理；根轨迹分析法；分离角；MATLAB
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：（8-02
《自动控制原理》作为电气自动化类及相关专业的一门重要的专业基础课程，在整个专业知识体系中占据非常重要的地位。自动控制原理是研究自动控制共同规律的一门学科，其研究内容主要分为系统分析和系统设计两个方面，涉及的知识面广，公式推导和数学计算量大，用于进行系统分析的特征曲线绘制比较烦琐，一方面加大了学生掌握知识点的难度，另一方面也限制了教师课堂的教学效果。MATLAB软件的出现很好地解决了这一矛盾，它集完善的数值分析、强大的矩阵运算、复杂的信号处理和完美的图形处理功能于一体，特别是它所提供的可视化动态仿真工具箱—SIMULINK可方便地实现动态系统的建模、仿真与分析。将MATLAB仿真软件引入到自动控制原理的课堂教学过程中已成为本课程教学改革必不可少的环节。根轨迹分析法是Evans于1948年提出的一种在复平面上由系统开环零、极点确定闭环系统零、极点的图解方法。其用途有：（1）对系统的性能进行分析；（2）确定系统应有的结构和参数；（3）对系统进行设计和综合。此分析方法简单、直观，已发展成为经典控制理论中系统分析的基本方法之一，成为研究自动控制系统的有效工具。根轨迹分析法应用的前提条件是必须准确的绘制出系统的根轨迹图，教课书中给出了绘制根轨迹的8条法则，根据这8条法则能够很容易地绘制出系统的根轨迹图。通过根轨迹对控制系统进行分析时，往往最为关注根轨迹上的某些特殊位置点，分离点及相应分离角就是其中之一。特别是根轨迹在实轴上的分离点可以视为系统的阶跃响应形式有无振荡或有无超调量的分界点。两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇又分开的点，称为根轨迹的分离点（或汇合点）。在绘制根轨迹时，不但要准确计算出分离点（或汇合点）的坐标，而且还要计算根轨迹趋于分离点和离开分离点处的切线方向与实轴正方向的夹角，即汇合角和分离角。法则中关于分离点的计算比较详尽，而关于分离角的计算却并不提及或者不加证明地只给出一个公式。例如，文献[1]和文献[2]中：设有l条根轨迹分支进入分离点又离开，则分离角为θd=■，（k=0，1，？撰，l-1）。而在文献[3]中，当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角可由■决定，其中，k=0，1，？撰，l-1。需要说明的是，分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。上述两种结论定义的分离角不同，但是给出的分离角的公式却是一样的，显而易见矛盾产生。笔者通过多年的理论授课经验，以及采用MATLAB软件进行验证的方式，证明并验证了分离角的计算公式。
一、分离角和汇合角公式的证明
设n阶闭环系统的l条根轨迹分支在实轴上相遇又分离，分离点d处的开环根轨迹增益为kg1。此时，系统有l个闭环重极点和n-l个闭环单极点。为了计算出l条根轨迹离开d点处的分离角，可以作以下处理：将原系统kg=kg1时的闭环极点看作一个新系统的开环极点，而原系统的开环零点为新系统的开环零点。于是，当kg变化时，kg&kg1时的原系统根轨迹与新系统根轨迹完全重合。这样原系统的分离角就相当于新系统的起始角，又因为新系统有l个重极点，所以套用起始角的公式就可以得到原系统的分离角公式为：
θd=■（2k+1）π+■∠（d-z■）-■∠（d-s■） （1）
式中，k=0，1，？撰，l-1；z■为原系统的开环零点；s■为kg=kg1时除l个重极点外，其他n-l个闭环极点，即新系统的开环极点。
同理可得，汇合角的公式为：
θd=■（2k+1）π-■∠（d-s■）+■∠（d-p■） （2）
式中，k=0，1，？撰，l-1；pi为原系统的开环极点；s■为新系统kg=kg1时除l个重极点外，其他n-l个开环极点，即原系统的闭环极点。
上述两个公式在计算分离角的过程中比较烦琐，可以将以上的计算公式归纳记忆为下述的法则：若有l条根轨迹进入分离点，必有l条离开分离点，l条进入分离点的根轨迹与l条离开分离点的根轨迹相间隔，2l条根轨迹分支平分 360°复平面，由上述规律就可以方便地确定分离点处所有的根轨迹分支的方向。
二、MATLAB实例验证
下面通过一个实例来进行验证。
例1：一单位负反馈系统的开环传递函数为GK（s）=■
使用MATLAB的根轨迹绘图函数rlocus，绘制该系统的根轨迹如图1所示。
方法一：由图1中可以看出，3条根轨迹分支在分离点处相遇又分离，这6条根轨迹分支相互间隔，平分360°复平面，相邻两分支间的夹角为360°/6=60°。由此我们可以得到三个分离角分别为θd1=0°，θd2=120°，θd3=240°。
方法二：应用公式（1）计算分离角。通过法则或者从图中可以得到系统的分离点为d=-3，zi=-1，在分离点处除3个重极点外没有其他的闭环极点存在。所以套用公式（1）得
θd=■（2k+1）π+■∠（d-z■）
=■（2k+1）π+π=2π/3 k=04π/3 k=10 k=2
由此可见，两种方法得到的根轨迹的分离角是一致的，从而验证了公式以及法则的正确性。
三、结论
控制系统根轨迹分离角的实质是根轨迹在分离点处的初始角。因此，本文利用法则中给出的初始角公式，通过对可变参数进行线性变换的方法，证明了分离角的公式，并将烦琐的公式归纳为便于记忆的法则。最后通过MATLAB软件绘制系统的根轨迹图，验证了公式以及法则的正确性，为准确地绘制控制系统根轨迹图提供了理论上的依据。
参考文献：
[1]张莲，胡晓倩，余成波.自动控制原理[M].北京：中国铁道出版社，2008.
[2]李素玲，胡建，王敏.自动控制原理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2005.
[3]胡寿松.自动控制原理（第四版）[M].北京：科学出版社，2001.
[4]孙亮.MATLAB语言与控制系统仿真[M].北京：北京工业大学出版社，2006.
作者简介：季画（1977-），山东青岛人，讲师，从事自动化方面的研究与教学工作。
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