微观经济学弹性问题计算 耐心详细的进我现在只有中点公式、点、弧弹性公式用的顺,逻辑分析不行,下面的题我要原理、公式和计算,刚注册所以15分已经是全部了,积累后有加分,数学白痴请多多见谅~1）设需求价格_百度作业帮
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微观经济学弹性问题计算 耐心详细的进我现在只有中点公式、点、弧弹性公式用的顺,逻辑分析不行,下面的题我要原理、公式和计算,刚注册所以15分已经是全部了,积累后有加分,数学白痴请多多见谅~1）设需求价格
我现在只有中点公式、点、弧弹性公式用的顺,逻辑分析不行,下面的题我要原理、公式和计算,刚注册所以15分已经是全部了,积累后有加分,数学白痴请多多见谅~1）设需求价格函数为Q=M/P的n次方 其中M为收入,P为价格,n为常数,求：需求的点收入弹性和价格弹性2）假设某商品的50%被75个消费者购买,他们每个人的需求价格弹性为-2,另外50%的商品被25个消费者购买,他们每个人的需求价格弹性为-3,求这100个消费者合计的弹性为多少?3）某纺织公司估计市场对其产品的需求与居民价格收入之间的关系可用函数Q=100+0.2Y表示,Q为需求量,Y为每一人口收入,求收入范围在元之间和元之间的弹性收入弹性
原题参见：尹伯成 现代西方经济学习题指南（微观部分）第五版 47（4）,49（7）,54（10）
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三星助理工程师, 积分 166, 距离下一级还需 34 积分
土木币1369
请问大家，平时设计的时候楼板是按弹性算法还是塑性算法？如果用塑性算法是怎么算的？依据是什么？TSSD里面矩形板的计算有塑性算法，看不明白是怎么算的，请大侠们指点迷津，谢谢！
三星助理工程师, 积分 166, 距离下一级还需 34 积分
土木币1369
以下是TSSD计算过程
LB-1矩形板计算
一、构件编号: LB-1
二、示意图
三、依据规范
& &《建筑结构荷载规范》& &GB
& &《混凝土结构设计规范》 GB
四、计算信息
& &1.几何参数
& &&&计算跨度: Lx = 3000 Ly = 5500 mm
& &&&板厚: h = 100 mm
& &2.材料信息
& &&&混凝土等级:&&C30&&fc=14.3N/mm2&&ft=1.43N/mm2&&ftk=2.01N/mm2&&Ec=3.00×104N/mm2
& &&&钢筋种类:&&HRB400&&fy = 360 N/mm2&&Es = 2.0×105 N/mm2
& &&&最小配筋率: ρ= 0.200%
& &&&纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as =&&20mm
& &&&保护层厚度: c =&&10mm
& &3.荷载信息(均布荷载)
& &&&永久荷载分项系数: γG = 1.200
& &&&可变荷载分项系数: γQ = 1.400
& &&&准永久值系数: ψq = 1.000
& &&&永久荷载标准值: ｑgk = 4.500kN/m2
& &&&可变荷载标准值: ｑqk = 3.000kN/m2
& &4.计算方法:塑性板
& &5.边界条件(上端/下端/左端/右端):固定/简支/简支/固定
& &6.设计参数
& &&&结构重要性系数: γo = 1.00
& &&&塑性板β:β = 1.800
五、计算参数:
& &1.计算板的跨度: Lo = 3000 mm
& &2.计算板的有效高度: ho = h-as=100-20=80 mm
六、配筋计算(lx/ly=.545&2.000 所以按双向板计算):
& &1.X向底板钢筋
& &&&1) 确定X向板底弯矩
& && & Mx = ζ(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2
& && && & = 0.*4.500+1.400*3.000)*32
& && && & = 4.294 kN*m
& &&&2) 确定计算系数
& && & αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)
& && && & = 1.00*4.294×106/(1.00*14.3*)
& && && & = 0.047
& &&&3) 计算相对受压区高度
& && & ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.047) = 0.048
& &&&4) 计算受拉钢筋面积
& && & As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*.048/360
& && && & = 153mm2
& &&&5) 验算最小配筋率
& && & ρ = As/(b*h) = 153/() = 0.153%
& && & ρ&ρmin = 0.200%&&不满足最小配筋要求
& && & 所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%* = 200 mm2
& &&&采取方案d8@200, 实配面积251 mm2
& &2.Y向底板钢筋
& &&&1) 确定Y向板底弯矩
& && & My = αMx
& && && & = 0.
& && && & = 1.278 kN*m
& &&&2) 确定计算系数
& && & αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)
& && && & = 1.00*1.278×106/(1.00*14.3*)
& && && & = 0.014
& &&&3) 计算相对受压区高度
& && & ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.014) = 0.014
& &&&4) 计算受拉钢筋面积
& && & As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*.014/360
& && && & = 45mm2
& &&&5) 验算最小配筋率
& && & ρ = As/(b*h) = 45/() = 0.045%
& && & ρ&ρmin = 0.200%&&不满足最小配筋要求
& && & 所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%* = 200 mm2
& &&&采取方案d8@200, 实配面积251 mm2
& &3.X向支座左边钢筋
& &&&1) 确定左边支座弯矩
& && & Mox = βMx
& && && & = 0.0*4.294 = 0.000kN*m
& &4.X向支座右边钢筋
& &&&1) 确定右边支座弯矩
& && & Mox = βMx
& && && & = 1.8*4.294
& && && & = 7.729 kN*m
& &&&2) 确定计算系数
& && & αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)
& && && & = 1.00*7.729×106/(1.00*14.3*)
& && && & = 0.084
& &&&3) 计算相对受压区高度
& && & ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.084) = 0.088
& &&&4) 计算受拉钢筋面积
& && & As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*.088/360
& && && & = 281mm2
& &&&5) 验算最小配筋率
& && & ρ = As/(b*h) = 281/() = 0.281%
& && & ρ≥ρmin = 0.200%& &满足最小配筋要求
& &&&采取方案d8@160, 实配面积314 mm2
& &5.Y向上边支座钢筋
& &&&1) 确定上边支座弯矩
& && & Moy = βMy
& && && & = 1.8*1.278
& && && & = 2.300 kN*m
& &&&2) 确定计算系数
& && & αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)
& && && & = 1.00*2.300×106/(1.00*14.3*)
& && && & = 0.025
& &&&3) 计算相对受压区高度
& && & ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.025) = 0.025
& &&&4) 计算受拉钢筋面积
& && & As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*.025/360
& && && & = 81mm2
& &&&5) 验算最小配筋率
& && & ρ = As/(b*h) = 81/() = 0.081%
& && & ρ&ρmin = 0.200%&&不满足最小配筋要求
& && & 所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%* = 200 mm2
& &&&采取方案d8@200, 实配面积251 mm2
& &6.Y向下边支座钢筋
& &&&1) 确定下边支座弯矩
& && & Moy = βMy
& && && & = 0.0*1.278 = 0.000kN*m
七、跨中挠度计算：
& &&&Mk --------&&按荷载效应的标准组合计算的弯矩值
& &&&Mq --------&&按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值
& &1.计算荷载效应
& &&&Mk = Mgk + Mqk
& && &&&= 0.+3.000)*32 = 3.355 kN*m
& &&&Mq = Mgk+ψq*Mqk
& && &&&= 0.+1.000*3.000)*32 = 3.355 kN*m
& &2.计算受弯构件的短期刚度 Bs
& &&&1) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力
& && && &σsk = Mk/(0.87*ho*As)&&(混凝土规范式 8.1.3－3)
& && && && &&&= 3.355×106/(0.87*80*251) = 192.025 N/mm
& &&&2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率
& && && &矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*000mm2
& && && &ρte = As/Ate& &(混凝土规范式 8.1.2－4)
& & & & & & & && && & = 251/50000 = 0.502%
& &&&3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψ
& && && &ψ = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk)& & (混凝土规范式 8.1.2－2)
& && && && &= 1.1-0.65*2.01/(0.502%*192.025) = -0.255
& && && &因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψ = 0.2
& &&&4) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值 αE
& && && &αE = Es/Ec = 2.0×105/3.00×104 = 6.667
& &&&5) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值 γf
& && && &矩形截面，γf=0
& &&&6) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρ
& && && &ρ = As/(b*ho)= 251/(1000*80) = 0.314%
& &&&7) 计算受弯构件的短期刚度 Bs
& && && &Bs = Es*As*ho2/[1.15ψ+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混凝土规范式8.2.3--1)
& && && && &= 2.0×105*251*802/[1.15*0.200+0.2+6*6.667*0.314%/(1+3.5*0.0)]
& && && && &= 5.784×102 kN*m2
& &3.计算受弯构件的长期刚度B
& &&&1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ
& && && &当ρ'=0时，θ=2.0&&(混凝土规范第 8.2.5 条)
& &&&2) 计算受弯构件的长期刚度 B
& && && &B = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混凝土规范式 8.2.2)
& && && &&&= 3.355/(3.355*(2.0-1)+3.355)*5.784×102
& && && &&&= 2.892×102 kN*m2
& &4.计算受弯构件挠度
& &&&fmax = 0.00542*(qgk+qqk)*Lo4/B
& && && && &= 0.0+3.000)*34/2.892×102
& && && && &= 11.386mm
& &5.验算挠度
& &&&挠度限值fo=Lo/200=.000mm
& &&&fmax=11.386mm≤fo=15.000mm，满足规范要求!
八、裂缝宽度验算:
& &1.跨中X方向裂缝
& &&&1) 计算荷载效应
& && & Mx = ζ(ｑgk+ｑqk)*Lo2
& && && & = 0.+3.000)*32
& && && & = 3.355 kN*m
& &&&2) 光面钢筋,所以取值vi=0.7
& &&&3) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力
& && && &σsk=Mk/(0.87*ho*As)&&(混凝土规范式 8.1.3－3)
& && && && & =3.355×106/(0.87*80*251)
& && && && & =192.025N/mm
& &&&4) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率
& && && &矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*00 mm2
& && && &ρte=As/Ate&&(混凝土规范式 8.1.2－4)
& && && && &=251/50000 = 0.0050
& && && &因为ρte=0.0050 & 0.01,所以让ρte=0.01
& &&&5) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψ
& && && &ψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk)&&(混凝土规范式 8.1.2－2)
& && && &&&=1.1-0.65*2.010/(0.)
& && && &&&=0.420
& &&&6) 计算单位面积钢筋根数n
& && && &n=1000/dist =
& && && & =5
& &&&7) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径deq
& && && &deq= (∑ni*di2)/(∑ni*vi*di)
& && && && &=5*8*8/(5*0.7*8)=11
& &&&8) 计算最大裂缝宽度
& && && &ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9c+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1)
& && && && &&&=2.1*0.420*192.025/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)
& && && && &&&=0.1095mm ≤ 0.30, 满足规范要求
& &2.跨中Y方向裂缝
& &&&1) 计算荷载效应
& && & My = αMx
& && && & = 0.
& && && & = 0.998 kN*m
& &&&2) 光面钢筋,所以取值vi=0.7
& &&&3) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力
& && && &σsk=Mk/(0.87*ho*As)&&(混凝土规范式 8.1.3－3)
& && && && & =0.998×106/(0.87*80*251)
& && && && & =57.132N/mm
& &&&4) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率
& && && &矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*00 mm2
& && && &ρte=As/Ate&&(混凝土规范式 8.1.2－4)
& && && && &=251/50000 = 0.0050
& && && &因为ρte=0.0050 & 0.01,所以让ρte=0.01
& &&&5) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψ
& && && &ψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk)&&(混凝土规范式 8.1.2－2)
& && && &&&=1.1-0.65*2.010/(0.)
& && && &&&=-1.187
& && && &因为ψ=-1.187 & 0.2,所以让ψ=0.2
& &&&6) 计算单位面积钢筋根数n
& && && &n=1000/dist =
& && && & =5
& &&&7) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径deq
& && && &deq= (∑ni*di2)/(∑ni*vi*di)
& && && && &=5*8*8/(5*0.7*8)=11
& &&&8) 计算最大裂缝宽度
& && && &ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9c+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1)
& && && && &&&=2.1*0.200*57.132/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)
& && && && &&&=0.0155mm ≤ 0.30, 满足规范要求
& &3.支座上方向裂缝
& &&&1) 计算荷载效应
& && & Moy = βMy
& && && & = 1.8*0.998
& && && & = 1.797 kN*m
& &&&2) 光面钢筋,所以取值vi=0.7
& &&&3) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力
& && && &σsk=Mk/(0.87*ho*As)&&(混凝土规范式 8.1.3－3)
& && && && & =1.797×106/(0.87*80*251)
& && && && & =102.837N/mm
& &&&4) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率
& && && &矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*00 mm2
& && && &ρte=As/Ate&&(混凝土规范式 8.1.2－4)
& && && && &=251/50000 = 0.0050
& && && &因为ρte=0.0050 & 0.01,所以让ρte=0.01
& &&&5) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψ
& && && &ψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk)&&(混凝土规范式 8.1.2－2)
& && && &&&=1.1-0.65*2.010/(0.)
& && && &&&=-0.170
& && && &因为ψ=-0.170 & 0.2,所以让ψ=0.2
& &&&6) 计算单位面积钢筋根数n
& && && &n=1000/dist =
& && && & =5
& &&&7) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径deq
& && && &deq= (∑ni*di2)/(∑ni*vi*di)
& && && && &=5*8*8/(5*0.7*8)=11
& &&&8) 计算最大裂缝宽度
& && && &ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9c+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1)
& && && && &&&=2.1*0.200*102.837/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)
& && && && &&&=0.0280mm ≤ 0.30, 满足规范要求
& &4.支座右方向裂缝
& &&&1) 计算荷载效应
& && & Mox = βMx
& && && & = 1.8*3.355
& && && & = 6.038 kN*m
& &&&2) 光面钢筋,所以取值vi=0.7
& &&&3) 计算按荷载荷载效应的标准组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力
& && && &σsk=Mk/(0.87*ho*As)&&(混凝土规范式 8.1.3－3)
& && && && & =6.038×106/(0.87*80*314)
& && && && & =276.296N/mm
& &&&4) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率
& && && &矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*00 mm2
& && && &ρte=As/Ate&&(混凝土规范式 8.1.2－4)
& && && && &=314/50000 = 0.0063
& && && &因为ρte=0.0063 & 0.01,所以让ρte=0.01
& &&&5) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψ
& && && &ψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk)&&(混凝土规范式 8.1.2－2)
& && && &&&=1.1-0.65*2.010/(0.)
& && && &&&=0.627
& &&&6) 计算单位面积钢筋根数n
& && && &n=1000/dist =
& && && & =6
& &&&7) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径deq
& && && &deq= (∑ni*di2)/(∑ni*vi*di)
& && && && &=6*8*8/(6*0.7*8)=11
& &&&8) 计算最大裂缝宽度
& && && &ωmax=αcr*ψ*σsk/Es*(1.9c+0.08*Deq/ρte) (混凝土规范式 8.1.2－1)
& && && && &&&=2.1*0.627*276.296/2.0×105*(1.9*20+0.08*11/0.0100)
& && && && &&&=0.2355mm ≤ 0.30, 满足规范要求
三星助理工程师, 积分 166, 距离下一级还需 34 积分
土木币1369
想知道这个算法的出处和依据，谁能告诉我？
五星助理工程师, 积分 399, 距离下一级还需 101 积分
土木币2823
看混凝土规范有没？？？
三星助理工程师, 积分 166, 距离下一级还需 34 积分
土木币1369
没有的啊，手册也都找了买找到
二星助理工程师, 积分 135, 距离下一级还需 15 积分
五星工程师, 积分 1582, 距离下一级还需 918 积分
大学混凝土教材
五星助理工程师, 积分 358, 距离下一级还需 142 积分
回复双向板计算的弹性算法和塑性算法 主贴 的帖子
静力计算手册
二星助理工程师, 积分 144, 距离下一级还需 6 积分
我们都是塑性的，就用PKPM算就行。
技术员, 积分 45, 距离下一级还需 5 积分
回复双向板计算的弹性算法和塑性算法 沙发 的帖子
很好很强大
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第3章需求弹性和供给弹性一.doc13页
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第3章 需求弹性和供给弹性一.
一 单项选择题
1若某商品价格上升2%,其需求下降10%,则该商品的需求价格弹性是
A. 缺乏弹性的
B. 富有弹性的
C. 有单位弹性的
D. 无法确定
E. 具有无限弹性
2. 收入的增加会导致
A. 劣等品的需求曲线右移
B. 正常品的需求曲线右移
C. 需求没有变化,因为价格将会上升,这会抵消收入增加的效应
D. 沿需求曲线的变动
3. 在一个仅有两种商品的模型中,若X对于Y的价格的需求交叉弹性大于零,则我们可以肯定
A. 对Y的需求价格弹性是富于弹性的
B. 对Y的需求价格弹性是缺乏弹性的
C. 对X的需求价格弹性是富于弹性的
D. 两商品是互补的
E. 上述说法均不准确
4. 若一商品的市场需求曲线是向下倾斜的曲线,则我们可以断定
A. 它具有不变弹性
B. 当需求量增加时,其弹性下降
C. 当价格上涨时, 其弹性下降
D. 对于所有的正价格,边际收益是正的
E. 市场不是完全竞争的
5. 下列诸情形中,何种情况将意味着是吉芬品
A. 需求收入弹性和需求价格弹性都是正的
B. 需求收入弹性和需求价格弹性都是负的
C. 需求收入弹性为正,但需求价格弹性是负的
D. 需求收入弹性为负,但需求价格弹性为正
E. 上述没有一个说出了吉芬品的特点6、若某商品需求的收入弹性为负,则该商品为(
7、若商品价格上升2%,其需求量下降10%,则该商品的需求价格弹性是(
A.缺乏弹性的
B.富有弹性的
C.有单位弹性的
D.无法确定
E.具有无限弹性
8、当只有消费者的收入变化时,连接消费者各均衡点的轨迹称为(
A.需求曲线
B.价格-消费曲线
C.恩格尔曲线
D.收入-消费曲线
E.以上都不对
9、蛛网定理说明的是(
A.周期性商品的供应数量和价格的变化
B. 周期性商品的需求量和价格的变化
C.周期性商品的
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三维空间中,弹性波在分界面处的反射问题和透射问题是全波震相分析的重要内容,也是金属探伤等相关研究领域的重要理论基础。本文通过建立数学模型,分别对平面波入射于平自由界面、平面波入射于物性界面两种情形进行了探讨。并运用数学方法和原理给出了平面波入射于平自由界面时位的反射系数和位移的反射系数。这两个系数是判断震相初动方向的重要依据。同时,还给出了平面波入射于物性界面时,反射系数和透射系数代数方程组的一般形式。这些结果对研究金属多波探伤和全波震相的进一步分析有着非常重要的作用。【关键词】:平面波,平自由界面,物性界面,位的反射系数,
位的透射系数末鲜作扮、;帅;}勿全文公布Abstractin the three-dimensional space,
the refl ectthe interfacereflect
ion(来源：淘豆网[/p-9665495.html])transmission of the stretch wave on isand()n eimportant content of the whole wave analysis. Also it is theimportant theory foundation of the Metal Testing and otherrelated fields. This paper discusses the incidence of theplane wave at a free surface and at a non-free surfacerespectively through building the mathematic model. At thesame time it uses the mathematic methods and techniquescalculating the potential's reflection coefficients andtransm(来源：淘豆网[/p-9665495.html])ission coefficients, the displacement's reflectioncoefficients and transmission coefficients. These coeffi-cients are key grounds when we judge the first-movingdirection of the wave. What's more, the paper presents setsof equations of reflection coefficients and transmissioncoefficients when the plane wave passes through thenon-free surface. These results and conclusions have veryimportant effects on the further research of the wholewave&#39(来源：淘豆网[/p-9665495.html]);s analysis.Keywords: plane wave, free surface, non-freereflection coefficient, transmission coefficient第一章文献综述第一节问题概述
宏观上,人们把地球视为一弹性体。除水圈和大气圈外,在其中传播的波有体波(如纵波、横波、转换波等)和面波(瑞利波、勒夫波等)。在一定条件下,波的传播可用弹性波波动方程来近似和描述。在某些场合,弹性波波动方程可以简化为声波波动方程来进行研究。比如,在地震勘探中,常用流体中的声波波动方程来讨论波传播问题。
借助于天然或人工震源发射的弹性波,在地面观测波场特征及其变化,以研究地壳结构构造、探测油气、煤和其他矿产赋存情况,开展地震预测、震害研究,水文地质和工程地质调查以及核爆破的检测等,是现今地球物理学中广为应用的方法,它涉及到地震学、勘探地震学、工程地震学等分支学科。它之所以得到广泛应用,首先是社会经济发展的需要。而这些学科本身在理论、方法技术上的日臻完善和发(来源：淘豆网[/p-9665495.html])展,则是这些应用的重要环节。
地震波场观侧之初,为了便于研究,人们首先考虑的是比较简单的情形。在把实际问题转化为实验模型的过程中,往往忽略一些复杂因素的影响,把研究问题的数学模型建立在二维空间中,即假设入射弹性波、反射弹性波和透射弹性波都在二维空间内。通过对二维空间中弹性波在分界面处反射问题和透射问题的分析和研究,目前已逐渐形成了二维空间中弹性波在分界面处的反射和透射理论,并在实际应用中日益趋于完善。在二维空间中,弹性波在分界面处反射和透射理论的部分重要结论及其具体推导和证明过程请参考文献〔1-71.
在实际观测中,运用这些结论对弹性波经过分界面后的反射波和透射波进行分析,从而对地震波场的规律以及地下介质的特征进行推断。但是随着科学技术的不断进步,社会经济的发展对相关理论的应用(如预测地震、预测震害等)提出了更高的要求。特别是在超声金属多波探伤等领域的应用,如果仍然以现有的二维空间中的理论对这类问题进行研究,显然是不能够满足要求的,因为这类问题都涉及到三维空间波的反射和透射。而且在国(来源：淘豆网[/p-9665495.html])家自然科学基金项目“超声金属多波检测的新方法研究”的实施过程中,也涉及弹性波由“二维空间”理论向“三维空间”理论转化的问题,这就引发了本文对三维空间中弹性波在分界面处反射问题和透射问题的研究。
由于金属探伤、超声金属多波检测的主要理论来源是多波地震勘探,下面简单介绍一下多波地震勘探的理论和方法〔8-12]0
多波地震勘探理论中最基本、最重要的内容是全波震相分析,它是以弹性波传播理论为基础,对地震波传播特征进行研究的理论和方法。全波震相分析根据震波的运动学和动力学特征,识别、确认分析一定持续时间内的震波记录中所含的全部或感兴趣的震相。充分提取震波中所蕴含的信息,是全波震相分析的基本思想。全波震相分析的主要内容包括震源分析、射线路径分析、初动分析、走时分析、振幅和周期分析、波形分析、波谱分析、质点振动分析等,而这几个方面的内容大部分都涉及到对弹性波在分界面处反射问题和透射问题的探讨。
把多波地震勘探的理论应用到金属探伤上,主要是指用金属模型中传播的超声波来模拟地震波,把模型上观测所得(来源：淘豆网[/p-9665495.html])的超声波记录下来。具有不同振动性质(如纵波和横波)和不同传播路径 〔如直达波、反射波)的波在记录图上特定的形态标志称为震相。因为伤的位置、伤的定量测量和伤的形状由震相运动学和动力学特征所确定,在同一记录波形中,有不同类型、不同震相的波来自同一检测缺陷,所以能用这些震相各自的运动学、动力学特征来确定缺陷的分布,即用这许多的特征参数来多重描述所探测的金属模型介质,对其是否有伤进行推断。如果有伤,通过分析以上参数还可以确定伤的位置、几何尺度大小和形状。
在国家自然科学基金项目“超声金属多波检测的新方法研究”的实验中,我们以有较小裂痕的列车车轴作为研究对象,以电击的脉冲波模拟弹性波,当波传播到车轴上时,如果车轴没有裂痕 (也就是无伤),那么波就不会发生反射和透射现象:如果车轴有裂痕(也就是有伤),当波传播到车轴上的裂痕时,就会发生反射和透射。由于反射和透射的作用,波的传播方向、能量等都要发生改变。至于如何改变,改变后的情形怎样,这就需要运用三维空间中弹性波在分界面处的反射和透射理论进行研究。多波地(来源：淘豆网[/p-9665495.html])震勘探理论一般把模型建立在二维空间中,它不能直接用到超声金属多波检测中。
本文所做的三维空间弹性波在分界面处反射问题和透射问题的研究是为国家自然科学基金项目“超声金属多波检测的新方法研究”寻找理论依据,同时也为地震勘探的理论做一些推广。显然,这项研究是很有应用和理论意义的。文中得到的结果在该项目的实验中得到了很好的应用。第二节定义、定理准备2. 1 定义准备1弹性介质的一些基本概念
(1)弹性:物体在外力的作用下发生形变,当外力消除后能够完全恢复原状,物体的这种性质称为弹性,具有这种性质的物体称为弹性体。
(2)形变:物体在外力作用下发生的变形,对于固体介质,在静力作用下会发生弹性变形、塑性永久变形和蠕变等。
(3)体积形变:在外力的作用下,物体只发生体积变化而其形状不变。 (4)剪切形变:在外力的作用下,物体只发生形状变化而其体积不变。2弹性介质中传播的波的基本概念
(1)弹性波:在均匀各向同性无限弹性体上施加一冲击力,则在弹性体一定范围之内形成随时间而变化的弹性形变,并(来源：淘豆网[/p-9665495.html])在弹性体内传递,这种弹性形变的连续传递即为弹性波。
(2)纵波:与体积形变传递相对应的弹性波称为纵波,记为PD纵波又称为压缩波。 (3)横波:与剪切形变传递相对应的弹性波称为横波,记为So液体和气体介质中无横波传播,横波又称为剪切波。 (4)体波:在介质整个体积内传播的弹性波如纵波和横波,称之为体波。3 其他相关概念
(1)震相:在模型中传播的超声波称为震波,在模型上观测所获得的超声波记录图简称为震波记录图,称一个完整波列的记录图为全波记录图。具有不同振动性质(如纵波和横波)和不同传播路径(如直达波、反射波)的震波在记录图上特定的形态标志称为(模型)震相。
(z)反射系数和透射(折射)系数:波入射到界面上,在界面两侧发生反射和透射,其能量分配要遵从一定的规律,常用反射波、透射(折射争波的振幅与入射波的振幅比来表示它们的关系。这就是本文中提到的反射系数和透射系数。 (3)位(势)函数:对于一已知的向量孜M),如果它是某一标量场O(M)的梯度,即9)(M)可表成grado(M),则称向(来源：淘豆网[/p-9665495.html])量场秋M)为有势场,O(M)称为场}p(M)的势函数。2. 2 定理准备
本文中除了引用上述定义外,还要用到波动学中一个非常重要的定理,即斯奈尔定理.
斯奈尔定理:平面波(纵)P波入射到界面时,会发生反射、透射(折射)以及波形转换,它们之间的关系由斯奈尔定理确定。按照这个定律,波沿界面的速度C与波射线和界面之间的夹角的余弦成正比。即
VC’丫二一V VDcose, cos e,
Vs,cos e2式中,e,为入射纵波P与界面的夹角,也是反射纵波P,与界面的夹角:e:是透射纵波P‘与界面的夹角;e】是反射转换横波 sV与界面的夹角:e:是透射转换横波sV,与界面的夹角;气.和V为介质1中的纵波波速和横波波速;VP和V:为介质2中的纵波波速和横波波速。第三节弹性体变形的几何分析
在外力作用下,弹性体会产生变形。我们首先来研究其几何变形的情况,印要研究弹性体变形后,其内部各点的位移以及内部各点的应变状态。3. 1位移梯度任取弹性体内一点尸,设对于坐标系OXYZ(来源：淘豆网[/p-9665495.html]) ,尸点的初始位置为向径:= (x, Y, Z)。变形后P点位移到P.点,并记P‘的向径为(x},犷,Z.),这里r*是依赖于;的,即r* = r* (r)。如果记u(r)一甭一r'万,则称u(孙=u(x,Y,z)为尸点的位移向量(或位移场)。对应物体内不同点,u(r)的三个分量值是随着点的坐标而变化的所以可以把位移向量“写成“= (u(x,Y, z), v(x,Y, z), w(x,Y, z)),并假定分量u, v, w为任意阶可微函数。
现在考虑P点的一个邻近点Q, Q点在变形后位移至Q’点。这里Q点的向径为;十dr, Q‘点的向径为;‘十dr',而Q点的位移向量 QQ’为 u(r+dr)=u(x+Ax,y+Ay,z+Az)。如果记Au =u(r+dr)-u(r),则称△u为Q点对P点的相对位移(如图1)a
如果Q点离P点很近时,Au二d u = (du, dv, dw)。所以Q点对尸点的相对位移△“的三个分量可以通过以下公式来计算。
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