直纹面的等距曲面问题研+究
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
直纹面的等距曲面问题研+究
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口面都是直 纹面.直母线(C )柱面锥面导线双曲抛物面 单叶双曲面 注 （ 1 ）直纹面上除了直母线 之外，还可能有其它的 直线.如正螺面的轴. . （ 2 ）直纹面可能不只一族 直母线. 如以上两个曲面 本书只限于讨论一族直 母线中的直线 .2.参数表示? ? 设导线(C ) : a ? a(u) ? ? b (u)是过导线(C )上点a (u)直母线的直母线上的单位向量 ， ? ? ? . r ? a ( u) ? vb ( u) ? ?直纹面的参数表示 或参数方程 . 3.性质与分类 (1)坐标曲线 v ? 曲线(u ? 常数)： 直母线； 导线的平行线. u ? 曲线(v ? 常数)： ? (2)单位法向量n和切平面 . ? ? ? ? ? ru ? a?(u) ? vb?(u), rv ? b(u), ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ru ? rv ? (a? ? vb?) ? b ? a? ? b ? v(b? ? b ), ? ? ? ? ? ? ? a? ? b // b? ? b , 即(a?, b , b?) ? 0， 情形 1：? b ( u) ? a ( u)? r(C )导线? ? ? ru ? rv n ? ? ? 保持不变. 当点P沿同一条直母线移动时 ， ru ? rv ?沿同一条直母线有同一 个切平面 . ? ? ? ? ? ? ? a? ? b // b? ? b , 即(a?, b , b?) ? 0， 情形2： ? ? ? ru ? rv n ? ? ? 发生转动， 当点P沿同一条直母线移动时 ， ru ? rv ?沿同一条直母线切平面 不唯一. ? ? ? ?) ? 0的直纹面叫做可展曲面； 满足(a?, b ,b ? ? ? 满足(a?, b , b?) ? 0的直纹面叫做斜直纹面.(3)高斯曲率. ? ? ? ?直纹面的参数方程为r ? a ( u) ? vb ( u) ? ? ? ? ? ? ru ? a?(u) ? vb?(u), rv ? b(u), ? ? ? ? ? ? ? ruu ? a?? ? vb??, ruv ? b?, rvv ? 0,? ? ? ? ? ? ? ru ? rv a ? ? b ? v(b ? ? b ) n? ? ? ? ru ? rv EG ? F 2 ? ? ? ? ? a ? ? b ? v (b ? ? b ) ? ? ? L ? ruu ? n ? (a ?? ? vb ??) ? ? ?, 2 EG ? F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? b ? v (b ? ? b ) ( b ?, a ?, b ) ? M ? ruv ? n ? b ? ? 2 EG ? F EG ? F 2 ? ? N ? rvv ? n ? 0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 2 LN ? M ? ( b ?, a ?, b ) ( a ?, b , b ? ) K? ? 0. , 即K ? ? 2 ? 2 2 2 2 EG ? F ( EG ? F ) ( EG ? F )对于情形 1，K ? 0; 对于情形 2，K ? 0. (4)渐近曲线. 直纹面上的直母线就是 它的渐近线.(5)腰曲线. ? ? 定义 当?u ? 0时， a (u ? ?u) ? (v ? ?v )b (u ? ?u) M ? 垂足M的极限位置M 0 ? a ( u ? ?u ) 称为直母线l上的腰点. ? M0 ? M 腰点的轨迹称为腰曲线 . ? ? a ( u) ? vb ( u) a ( u ) (C 注 腰曲线沿直纹面的狭窄 )l?l部位“围绕着”这直纹 面.? ? 方程 设导线(C )的方程为a ? a(u)， ? ? ? 直纹面的参数方程为r ? a ( u) ? vb ( u) ? ? ? ? 则MM ? ? [a(u ? ?u) ? (v ? ?v )b (u ? ?u)] ? [a(u) ? vb (u)] ? ? ? ? ? [a ( u ? ?u) ? a ( u)] ? (v ? ?v )b ( u ? ?u) ? vb ( u) ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? v?b ? ?vb ( u ? ?u) ? ?a ? v?b ? ?v(b ? ?b )? ? ? ? ? MM ? ? b , MM ? ? (b ? ?b ), ? MM ? ? ?b . ? ? ? ? ? 于是 [?a ? v?b ? ?v(b ? ?b )] ? ?b ? 0, ? ? ? ? ? ? ? 即?a ? ?b ? v?b ? ?b ? ?v(b ? ?b ) ? ?b ? 0, 上式除以 ( ?u)2 得： ? ? ? ? ? ? ?b ?a ?b ?b ?b ?v ? ? ?v? ? ? ( b ? ?b ) ? ? 0, ?u ?u ?u ?u ?u ?u ? ? ? ? 假设b ?( u) ? 0 ( 对于b ?( u) ? 0的情况是柱面 ,以后再讨论)? ? ?2 a? ? b? ? ? 当?u ? 0时, 上式取极限得： a ? ? b ? ? vb ? ? 0, ? v ? ? ? 2 , b? 故腰点的向径表达式为 ： ? ? ? ? a ?( u ) ? b ?( u ) ? r ? a ( u) ? ? b ( u) 即腰曲线的方程. 2 b ?( u)? ? ? ? a? ? b? 则r ? a(u)， 若取腰曲线为导线， ? ? 2 ? 0, b? ? ? ? ? 于是有： 腰曲线是导线? a ? ? b ? ? 0. 即a ? ? b ?.4.曲线的基本三棱形的三条棱产生的直纹面一条曲线的切线所产生 的直纹面称为曲线的切 线面.(如图) ? ? a ? a ( u) 的切线面方程为： 曲线(C )： ? ? ? r ? a ( u) ? va ?( u) 一条曲线的主法线所产 生的直纹面 (C ) 称为曲线的主法线曲面 .一条曲线的副法线所产 生的直纹面 称为曲线的副法线曲面 . ? 圆柱螺线r ? {a cos? , a sin? , b? }的主法线曲面为 ? 正螺面r ? {u cosv, u sinv, bv} (同学自证).4.2 可展曲面一.可展曲面及其分类 ? ? ? ? ? ? 定义 (可展曲面 )直纹面r ? a(u) ? vb(u) 若满足(a?, b , b?) ? 0，则称为可展曲面或称曲面可展. 或是一条曲线 或是锥面， 命题1 每一个可展曲面或是柱面，可展曲面. 的切线面. 反之，这三类曲面均为 ? ? ? ? ? ? 证： 设可展曲面为 r ? a(u) ? vb(u)， 则有(a?, b , b?) ? 0， ? ? 于是有a? ? b ? ? 0， 取腰曲线为导线， ? ? ? 这表示腰曲线退化为一 点， a(u) ? 常向量， ( i ) 当a? ? 0时，即可展曲面为锥面 . ? ? ? ( ii )当b ? ? 0时， b(u) ? 常向量， 所有的直母线都互相平 行， 即可展曲面为柱面 .? ? ? ? ? ? ? ? ? a? ? b ? ? 0， ?(a?, b , b?) ? 0， (iii ) 当a? ? 0, b? ? 0时， ? ? ? ? ? 这时, 直母线是导线的切线 , 并且 b ? 1, b ? b ?, ? a ? // b ， 从而可展曲面可视为导 线的切线构成的 , 即可展曲面为切线面 . 反之, 可以证明这三类曲面均 为可展曲面 . （留做习题）1 ）上面所说的柱面 , 锥面, 切线面都可能是平面 注（ 或其一部分. （ 2 ）在上面的证明中，取 了腰曲线为导线， 一般的证明可参见吴大 任《微分几何讲义》 第四版P107 ? P108.二.可展曲面作为单参数平 面族的包络1.单参数曲面族的包络 F ( x , y, z ) ? 0 表示一张曲面S . { S? }??? . F ( x, y, z , ? ) ? 0 (?是参数)表示一族曲面 称为单参数曲面族. 假定F ( x, y, z,? ) ? 0具有一阶与二阶连续偏 导数. S是一张曲面， 定义 设{ S? }??? 是一个单参数曲面族，若 (i ) ?P ? S , ?? ? ?, ? P ? S? , 且S与S? 在点P相切(ii ) ?? ? ?, ?P? ? S , ? S?与S在点P? 相切. 则称曲面S为单参数曲面族 { S? }??? 的包络（面） .注 （ 1 ）一个单参数曲面族不 一定有包络.如平行平面族无包络 . （ 2 ）一个空间曲面不一定 是某个曲面族的包络， 即使是， 也不一定是单参数曲面 族的包络，可能是双参数曲面族的 包络. 如一个曲面由两个参数 来决定， 曲面在每一个点有一个 切平面， 这个切平面依赖于两个 参数，因此曲面可以看作双参 数切平面族的包络.它可以看作单参数平面 族的包络. 但是可展曲面则不同， 这正是可展曲面与一般 曲面的区别 .命题 设单参数曲面族 { S? }的方程为F ( x, y, z,? ) ? 0, 且Fx , Fy , Fz 是不全为 0的连续函数, 则其包络S的方程 若曲面族{ S? }存在包络S， 可由方程组 ? F ( x, y, z,? ) ? 0 ? ? F? ( x , y , z , ? ) ? 0消去参数?而得? ( x, y, z ) ? 0. 证： 若曲面族{ S? }存在包络S， 由包络的定义， ?? ? ?, ? P ? S? , 对?P( x, y, z ) ? S， 即对包络S上每一个点对应于 ?的一个确定值， 因而?为S上点的坐标( x, y, z )的函数? ? ? ( x, y, z ), 代入S?的方程F ( x, y, z,? ) ? 0得：(1) F [ x, y, z , ? ( x, y, z )] ? 0 对于S上的点, 上式为恒等式. ? ? 其次在包络S上任取一条曲线 (C )：r ? r (t ), ? ? ? ? r ? x(t )e1 ? y(t )e2 ? z(t )e3 , 即?曲线(C )上点的坐标也应满足 (1)式, ?必有恒等式： F [ x(t ), y(t ), z(t ),? (t )] ? 0对t求导得： dx dy dz d? Fx ? Fy ? Fz ? F? ? 0, ( 2) dt dt dt dt, 在曲线(C )上取一点P , 由于S与S? 在P点有相同的切平面?曲线(C )在P点的切线和S? 在P点的法线垂直，而{Fx , Fy , Fz }是曲面S? 在P点的法向量， ? dx dy dz { , , }是曲线(C )在P点的切向量r ?( t ), dt dt dt dx dy dz ? Fx ? Fy ? Fz ? 0, dt dt dt d? 与(2)式比较得： F? ? 0, dt 上式对包络S上每一条曲线都成立 . d? ? 0, 因此 因而可在包络S上适当选择曲线 (C ), 使得 dt F? ? 0, F? ( x, y, z,? ) ? 0, 即 ? F ( x, y, z,? ) ? 0 , ( 3) ?包络S上的点满足方程组 ? ? F? ( x , y , z , ? ) ? 0换言之, 对包络S上每一点 ( x, y, z ), 可以找到这样的值?，使得四个数x, y, z, ?满足方程组(3). 从方程组(3) 消去? , 得方程 ? ( x , y, z ) ? 0.{ S? }的判别曲面 . 这个方程表示一个曲面 S ? , 叫做曲面族以上证明了S ? S ? . 下证S ? ? S . ?判别曲面S ?上的每一点P( x, y, z )都满足 ? F ( x, y, z,? ) ? 0 , ? ? F? ( x , y , z , ? ) ? 0因而都在曲面族 { S? }中的某个曲面上， 从而满足第一式，? ?? , 使得P( x, y, z )满足 F ( x, y, z , ? ) ? 0,在判别曲面S ?上过点P任取一条曲线 (C ) : ? ? ? ? r ? x(t )e1 ? y(t )e2 ? z(t )e3 , 代入F ( x, y, z, ? ) ? 0得,F [ x(t ), y(t ), z(t ),? (t )] ? 0 对t求导得： dx dy dz d? Fx ? Fy ? Fz ? F? ? 0, dt dt dt dt 又?判别曲面S ?上点P( x, y, z )还满足(3)的第二式 F? ( x, y, z,? ) ? 0, dx dy dz ? Fx ? Fy ? Fz ? 0, dt dt dt即S? 在P点的法线和S ?上的曲线(C )在P点的切向量垂直，但曲线(C )是在S ?上过点P任意取的一条曲线， 此示S ?上的点也是S上的点， ? S?与S ?在P点相切，即S ? S . ? S ? S . 定义 曲面S：F ( x, y, z ) ? 0上满足Fx ? Fy ? Fz ? 0的点 叫做曲面的奇点 . ? F ( x, y, z , ? ) ? 0 的轨迹. 注 包络S就是曲线族(C? )： ? ? F? ( x , y , z , ? ) ? 0??S?特征线特征线方程(C? )S2.单参数平面族的包络 对于单参数曲面族 { S? }???， 如果其中每一个曲面均 为平面，就称为单参数平面族 . 记作{?? }???，命题 设{?? : A(? ) x ? B(? ) y ? C (? ) z ? D(? ) ? 0}为一单参数平面族， 则其包络S的方程 若平面族{?? }存在包络S， 可由方程组 ? A(? ) x ? B(? ) y ? C (? )z ? D(? ) ? 0 ? ? A?(? ) x ? B?(? ) y ? C ?(? )z ? D?(? ) ? 0消去参数?而得.络. 命题2 一个曲面是可展曲面? 它是单参数平面族的包 ? ? ? 证：& ? & 若曲面S是可展曲面：r ? a(u) ? vb(u), 则沿每一条直母线有唯 一的切平面， 从而S在任一点 (u, v )处的切平面 而且只依赖于参数u， 只与u有关， 即S的切平面族为单参数平 面族， 显然S即为此单参数切平面族 的包络. & ?& 若曲面S为单参数平面族{?? : A(? ) x ? B(? ) y ? C (? )z ? D(? ) ? 0}的包络，则S的方程 可由方程组 ? A(? ) x ? B(? ) y ? C (? )z ? D(? ) ? 0 ? ? A?(? ) x ? B?(? ) y ? C ?(? )z ? D?(? ) ? 0 消去参数?而得.即由S的特征直线方程消去参 数?而得. ? S是特征直线的轨迹. 因此S是直纹面. 且沿每一条特征直线 (即直母线), S的切平面为?? , 即沿每一条直母线 , S的切平面唯一, ? S是可展曲面 .三.可展曲面的几个重要特 征命题3 曲面S是可展曲面? K ? 0. 证：& ? & 若曲面S是可展曲面，? ? ? 则沿同一条直母线单位 法向量n固定, 即dn ? 0. ? ? ? 则dn ? ?dr . (? ? 0) 设dr 为直母线的方向， 沿直母线的方向是主方 向， 由罗德里格定理，并且主曲率k2 ? ?? ? 0(或k1 ? 0), ? K ? k1k2 ? 0.不妨设k2 ? 0, & ?& 若K ? k1k2 ? 0， 则k2所对应的方向既是主方 向又是渐近方向， ?沿k2 对应方向的曲线既是渐 近曲线又是曲率线， 设这族渐近曲线的方向 为(d ),?由罗德里格定理， ? ? dn ? ?k2dr ? 0, ? ? ? ?沿渐近曲线是n常向量, 又 ? n ? dr ? 0, ? ? n ? r ? 常数, 沿渐近曲线对上式积分 得： ? ? P (r )是其上任一点， 设P0 (r0 )是此渐近曲线上一个固 定点， ? ? ? ? ? ? ? n ? r ? n ? r0 , 即n ? (r ? r0 ) ? 0, 则由以上结果有：从而此渐近曲线上任一 点P必在曲面于点P0的切平面上， 它有唯一的密切平面 . ? 渐近曲线为平面曲线， 平面. 由渐近曲线的几何特征 , 曲面S沿渐近曲线有唯一的切 从而是可展曲面 . ? S是单参数平面族的包络 ，. 命题4 曲面S是可展曲面? S与平面成等距对应 证：& ?& 若曲面S与平面成等距对应， 由于高斯曲率在等距变 换下不变(见§5.2定理2）， ?曲面S的高斯曲率等于平面的 高斯曲率， ?平面的高斯曲率K ? 0, ?曲面S的高斯曲率K ? 0, 由命题3，曲面S为可展曲面 . & ? & 若曲面S为可展曲面， 我们将证明 , 适当选择参数后 , 曲面S与平面有相同的第一基 本形式. 为此，我们先求平面的 第一基本形式. 在直角坐标系下，平面 的第一基本形式为 I ? dx2 ? dy2在极坐标系下， 作参数变换x ? ? cos? , y ? ? sin?， 则dx ? cos?d? ? ? sin?d? , dy ? sin?d? ? ? cos?d?， 代入上式整理得， 在极坐标系下， 平面的第一基本形式为I ? d? 2 ? ? 2d? 2 (1)柱面： 其方程可以表为 ? ? ? r ? a( s) ? vb ? 其中b为柱面母线的单位常向 量， ? ? a ? a( s)是与柱面母线正交的一 条曲线. ? ? ? ? ? ? ? ?, r ? b, 于是 rs ? a v ?2 ? 2 ? ? ?2 ?2 E ? rs ? ? ? 1, F ? rs ? rv ? 0, G ? rv ? b ? 1,? 柱面的第一基本形式为 I ? ds2 ? dv2 令x ? s, y ? v， 则与平面有相同的第一 基本形式.其方程可以表为 (2)锥面： ? ? ? r ??a0 ? vb( s) ? b? ( s)是锥面母线上的单位向 量. 其中a0为常向量， ? ? ? ? 于是 rs ? vb , rv ? b , ? ? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ? 2 ?2 2 E ? rs ? v b ? v , F ? rs ? rv ? v (b ? b ) ? 0, G ? rv ? b ? 1, ? 锥面的第一基本形式为I ? v 2ds2 ? dv2 令v ? ? , s ? ?， 则与平面有相同的第一 基本形式.(3)切线面: 其方程可以表为 ? ? ? r ? a( s) ? v? ( s) ? ? ? ? ? ? ( s), 其中? ( s)为曲线a ? a( s)的切向量? ? a ? s为曲线a ? a( s)的弧长. ? ? ? ? ? ? ? ? ( s) ? v? ? ( s) ? ? ? vk? , rv ? ? , 于是 rs ? a ? 2 ? ? ?2 ? 2 2 E ? rs ? (? ? vk? ) ? 1 ? v k , F ? rs ? rv ? 1, ?2 G ? rv ? 1, ? 切线面的第一基本形式 为 I ? (1 ? v 2k 2 )ds2 ? 2dsdv ? dv2命题5 曲面S上的曲线是曲率线 ? S沿此曲线的法线构成的 曲面S0为可展曲面. ? ? 证： 设曲面S上的曲线(C ) : r ? a( s), s为(C )的弧长， 则曲面S沿曲线(C )的法线构成的曲面 ( S )的方程为： ? ? ? r ? a ( s ) ? vn( s ) 由罗德里格定理， & ? & 若(C )为曲率线， ? ? ? dn ? ?dr ? ?da , ? ? ? ? ? ?, ? ? ? n ? ?? , 由此得：n//?? ? ? ? ? ) ? 0, ?(a , n, n?法线构成的曲面S0为可展曲面 . ? ? ? ? ? ) ? 0, & ?& 若S0为可展曲面 . 则(a, n, n ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ?n ? n ? n ? ?a ? ?n, 又? n为单位向量， ? a与n正交， ? ? ? ? ?2 ? ? ? n ? n ? ? (a ? n) ? ?(n ) ? ? ? 0,? ? ? ? , 由罗德里格定理， ? n ? ??曲线（C）是曲面S的曲率线.作业P130 1、3、5、8
微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面―汇集和整理大量word文档,专业文献,应用文书,考试资料,教学教材,办公文档,教程攻略,文档搜索下载下载,拥有海量中文文档库,关注高价值的实用信息,我们一直在努力,争取提供更多下载资源。第12章 曲面建模_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
文档贡献者
评价文档：
第12章 曲面建模
把文档贴到Blog、BBS或个人站等：
普通尺寸(450*500pix)
较大尺寸(630*500pix)
大小：2.19MB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢近似弧长参数化的一种数值算法
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
近似弧长参数化的一种数值算法
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer--144.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口不锈钢拉直纹棒，不锈钢棒拉直纹，不锈钢直纹面棒材
不锈钢拉直纹棒，不锈钢棒拉直纹，不锈钢直纹面棒材[详细参数]
产品数量: 大量现货
产品规格: 规格齐全
产品包装: 包装完好
产&&&&地: 深圳市
产品价格: 批发价格 KG
交货地点: 深圳市
付款方式: 货到付款
不锈钢拉直纹棒，不锈钢棒拉直纹，不锈钢直纹面棒材[详细内容]
不锈钢拉直纹棒，不锈钢棒拉直纹，不锈钢直纹面棒材，不锈钢拉花棒，拉花即不锈钢棒表面拉直纹，拉旋转纹等处理，材料成就梦想，正确的选择材料不光美观耐用而且能够节约巨额的成本！深圳市山特金属材料有限公司供应不锈钢光亮棒，不锈钢研磨棒，不锈钢黑皮棒，质量稳定，价格合理，深受广大客户的认可。目前公司不锈钢棒，不锈钢光轴，不锈钢支，不锈钢细棒，规格型号有：【不锈钢棒标准】：JIS G4303、ASTM A484、GB；【易车不锈钢棒】：316F/303/303Cu/304F/304HC/202Cu/430F/420F/416F/416等；【五金不锈钢棒】：316/316F/304/304F/304HC/303/303Cu/301/202/201/430/430F/420F/420J2/420/416/416F等；【不锈钢棒表面】：冷抽面、抛光面、研磨面、黑皮面，拉丝面、拉花面等；【不锈钢棒形状】：圆形、方形、矩形、六角形、椭圆型；【不锈钢棒尺寸】：圆钢Ф0.2mm～Ф300mm/方钢4×4mm―150×150mm/六角S=2―S=38mm/扁钢3×30mm-30×180mm；【不锈钢研磨棒】：直径公差+0 -0.02mm，长度为2500mm，不锈钢研磨棒亦是不锈钢磨光棒，表面做研磨处理，同心度高，直度好；【不锈钢黑皮棒】：采用先进的火成材生产线，为您提供优质的不锈钢黑皮棒材，直径最大可达300mm；【不锈钢丝调直】：我司有专业的生产团队对不锈钢丝，定尺、调直、切断、抛光等处理，【目前最细调直钢丝直径为：0.2mm】；【不锈钢棒用途】：电脑配件，OA设施轴件，精密仪表零件、马达轴件、传送带、厨浴用品、汽车配件、切削紧固件等自动车床易车削不锈钢车件加工领域。【公司简要说明】：深圳市山特金属材料为SANTK工厂直接经营批发销售，并代理进口不锈钢JIS标准(新日本制铁株式会社、日本住友商事株式会社、日本JFE公司)，ASTM标准(Outokumpu、德国蒂森克虏伯)等，公司销售网络遍及全国各地：广东、广西、福建、浙江、江苏、河南、河北、天津、山东、上海、北京等地，立足诚信，携手并进、我们期待与您的合作！【联系人及手机】：/周经理 【联系电话传真】：TEL：5/5/FAX:5【企业网址邮箱】：&&&&&& 不锈钢拉直纹棒，不锈钢棒拉直纹，不锈钢直纹面棒材，不锈钢拉花棒，拉花即不锈钢棒表面拉直纹，拉旋转纹等处理，不锈钢拉直纹棒，不锈钢棒拉直纹，不锈钢直纹面棒材，不锈钢拉花棒，拉花即不锈钢棒表面拉直纹，拉旋转纹等处理，不锈钢拉直纹棒，不锈钢棒拉直纹，不锈钢直纹面棒材，不锈钢拉花棒，拉花即不锈钢棒表面拉直纹，拉旋转纹等处理
供应详情价格
16800元/台
免责声明：以上所展示的信息由会员自行提供，内容的真实性、准确性和合法性由发布会员负责。勤加缘网对此不承担任何责任。
友情提醒：为规避购买风险，建议您在购买相关产品前务必确认供应商资质及产品质量。
本页面提供有关的供应详情信息，您是想采购深圳不锈钢拉直纹？可以直接联系供应商哦。
【客服QQ】