求xex 1 ex 2不定积分分arccotex/exdx

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-12-07 09:23 标签： 求∫cosx61exdx
第五章& 不定积分
一、不定积分的概念和性质
5.1 原函数与不定积分
通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)
那么，我们能不能从一个函数的导数f'(x)出发，反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?
已知f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在区间I上的任何一点x处都有F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在区间I上的一个原函数。
例5.1& 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x&&&&& ⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数的原函数不是唯一的。例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，(x2－1)'＝2x
所以x2、x2＋1、x2－1、x2＋C(C为任意常数)都是函数f(x)＝2x的原函数。
设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，C是一个任意常数，那么，
⑴ F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵ f(x)在区间I上的全体原函数可以表示为F(x)＋C
⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)
& ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑴函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它就有无穷多个原函数;
⑵函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，
&&& 其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量。
⑶求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数，
&&& 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
&&& 其中C是任意常数，叫做积分常数。
例5.2& 求下列不定积分
⑴ ∫x5dx&&& ⑵ ∫sinxdx
⑴∵是x5的一个原函数
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
5.2& 不定积分的性质
不定积分具有下列性质：
⑴[∫f(x)dx]'＝f(x)
该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，所得结果仍为f(x)
⑵∫F'(x)dx＝F(x)＋C
该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，所得结果与F(x)相差一个常数C
⑶∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数)
该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的前面
⑷∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于这两个函数的不定积分的和或差
例5.4& 求∫(9x2＋8x)dx
解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C
例5.6& 求∫(sinx＋cosx)dx
解：∫(sinx＋cosx)dx＝∫sinxdx＋∫cosxdx＝－cosx＋sinx＋C
5.3& 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本求导公式反推，可得基本积分公式
∫exdx＝ex＋C
∫sinxdx＝－cosx＋C，
&& ∫cosxdx＝sinx＋C
∫sec2xdx＝tgx＋C
∫csc2xdx＝－ctgx＋C
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
例5.9& 求∫10xdx
二、不定积分的计算
5.4& 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的不定积分。
例5.15& 求函数f(x)＝2x的不定积分中满足F(0)＝1的原函数。
解：∵∫f(x)dx＝∫2xdx＝x2＋C
∴F(x)＝x2＋C
由F(0)＝1解得C＝1，于是F(x)＝x2＋1
题中的条件F(0)＝1是用来确定积分常数C的值的条件，这种条件叫做初始条件。
u7＋C＝(x2＋1)7＋C
解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx
设u＝cosx，则du＝-sinxdx
解：设u＝x2，则du＝2xdx
当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。
例5.22 求∫sin3xcosxdx
解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝sin4x＋C
5.6& 换元积分法
例如，求，把其中最难处理的部分换元，令
则原式＝，再反解x＝u2＋1，得dx＝2udu，代入得
这就是换元积分法。
如果被积函数含有根式，可以用x＝asint换元。
5.7& 分部积分法
考察函数乘积的求导法则：
[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)
两边积分得
u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx
于是有∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx
或表示成∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)
这一公式称为分部积分公式。
[讲解例题]
例5.28& 求∫xexdx
& 解:令u(x)＝x，v'(x)＝ex
&&& 则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式
∵(ex)'＝ex& ∴v(x)＝ex，
由分部积分公式有
∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C
例5.31求∫xcosxdx
解：令u(x)＝x2，v'(x)＝cosx，则v(x)＝sinx
于是∫xcosxdx＝xsinx－∫sinxdx
＝xsinx＋cosx＋C
例5.32求∫x2sinxdx
解：令u(x)＝x2，v'(x)＝sinx，则v(x)＝－cosx
于是∫x2sinxdx＝－x2cosx＋2∫xcosxdx
＝－x2cosx＋2[xsinx－∫sinxdx]
＝－x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C
&[分部积分法的列表解法]
∫x2sinxdx
[一般原则]
幂函数、对数函数应放在左边，
指数函数、三角函数应放在右边。
例5.33& 求∫exsinxdx
解：∫exsinxdx＝exsinx－∫excosxdx＝exsinx－excosx－∫exsinxdx
移项得∫exsinxdx＝ex(sinx－cosx)＋C
解：因为分母含有(x－1)的三重因式，所以设
比较等式两边分子各项的系数得
5.9& 简单的微分方程
含有函数的导数的方程称为微分方程。如果导数是一元函数的导数，则称为常微分方程。
微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。
微分方程的次数：微分方程中所含有的各项中未知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。
一次微分方程称为线性微分方程。
由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原函数称为微分方程的解。
含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有任意常数的微分方程的解称为特解。
[一阶微分方程的解法]
两边积分法
形如y＝f(x)的微分方程可用两边积分的方法直接求出微分方程的解。
例5.44& 求经过点(3,10)，并且在每一点P(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方的曲线。
解：曲线方程为y＝f(x)
初始条件为y|x=3＝10
代入初始条件得10＝9＋C，C＝1
可分离变量的微分方程
把y'写成的形式，如微分方程可化为g(y)dy＝f(x)dx，则两边积分就可求得通解为G(y)＝F(x)＋C
例如：解微分方程y'＝y2+xy2
P.219&&& 4 ⑴⑶⑸，5 ⑶⑸⑹⑻
P.245&&& 1 ⑴⑺，2 ⑴⑶⑸⑼(11)，3 ⑴⑷⑺，4 ⑴⑸⑼
7 ,8 ,9 ⑵⑷⑹,11 ⑴⑶求不定积分 ∫dx/ex(1+e2x)_百度作业帮
求不定积分 ∫dx/ex(1+e2x)
求不定积分 ∫dx/ex(1+e2x)
答案在图片上,点击可放大.∫ln(1+ex)/exdx不定积分X为次方_百度作业帮
∫ln(1+ex)/exdx不定积分X为次方
∫ln(1+ex)/exdx不定积分X为次方
设 t = e^x,则 x = lnt,dx = dt/t∫ln(1+e^x)/e^x * dx=∫ln(1+t)/t^2 *dt=ln(1+t) *(-1/t) + ∫(1/t) * 1/(t+1) *dt=-ln(1+t)/t + ∫[1/t - 1/(t+1)] *dt=-ln(1+t)/t +∫dt/t - ∫d(t+1)/(t+1)=-ln(1+t)/t +lnt -ln(1+t) + C=-ln(1+e^x) /e^x + x - ln(1+e^x) + C扫扫二维码，随身浏览文档
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不定积分中的凑微分
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