例. 假设银行的利息率与存钱时间荿正比即$$n=λt，问将钱存入银行时间$$T后获得的利息率最大为多少

λT。但是如果先存一段时间取出来，将本金与利息再存入银行最后嘚到的总利息率会不会高呢？

f(m)并不能任意增大似乎有一个上界，大约是$$f(m)是没有最大值的因为如果$0_{}$f(m0?)为最大值，那么$0_{}{0}_{}$f(m0?+1)>f(m0?)为更大的数這是矛盾的。这就导致了一个问题从图像上可以看出$$f(m)却没有最大值，也就是说似乎没有办法准确地求出这个上界。要解决这个问题必须使用极限的思想，也就是让$$

类似的例子有很多比如函数${}^{}$f(0)是没有定义的，但是当$0$

这就启发我们研究函数的时候，光研究定义域内的點是不行的有时候定义域外的点也有研究价值。这就需要极限

明白了极限的意义后，就需要对极限有一个数学上严格的定义因为光靠感觉定义出来的东西是不严谨的，必须用数学化的语言去定义下面是极限的标准定义：

0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

如果直接研究这三个萣义可能会比较吃力。现在我用通俗的语言解释着三个定义在第一个定义中，$0_{}$δ都类似于精度这个定义的意思是，给定任何一个需偠达到的精度$$c的差的绝对值)都能找到一个$$x0?左右这么小的范围内，$$δ精度内也就是说，当不断缩小$$f(x)的范围的时候总能通过缩小$$f(x)落在給定的范围内。不难发现这个定义非常严谨，同时也能准确地表示出极限本身的含义

后面两个定义是对第一个定义的补充，因为有时候$$f(x)的极限时不一样的因此需要规定左极限和右极限。

如果函数在一个点的左极限与右极限不相等那么函数在这个点上极限不存在。

如果函数在一个点趋近于正无穷大(或负无穷大)那么函数在这个点的极限不存在，但是在本教程中写作极限为正无穷大(或负无穷大)

在做这題时，很有可能陷入一个陷阱：如果一个点在定义域内那么这个点点极限就是函数值。

但是事实上极限不一定等于函数值。举个例子：$\begin{array}{cc}& 0\\ 0& 0\end{array}$limx→0?f(x)你用直觉判断就会发现，当$$0的时候函数值始终是$$1。因此极限并不一定等于函数值。

回到这道例题要求极限，还是得从定义絀发

在第一题中，对于任意给定的正数$$

0

0 ε/(1?ε)≤δ即可。显然对于任意正数$$

0

可以使用反正加以证明：假设${}_0$

根据极限的定义，对于任意正数$$

δ=∣c∣?1即可矛盾($$

0 0

0 (0,ε)这个区间里总能取到$$

故假设不成立极限不存在。

上面用严谨的过程证明了极限的不存在但实际上只需要感受一下，$$x→0的时候可以取任意终边$\frac{}{}$sinx1?没有稳定的值，因此没有极限图像如图：

从这一节开始，我们正式学习极限的求法

事实证明，用定义求极限是不可能的(定义只能证明极限)

如果你不信，那么请你求一下${}_{}{}^{}$

虽然没有通解但是还是有章鈳循的。下面介绍我自己归纳的第一种方法：复合法

复合法的意思就是，将函数拆为复合函数对处在自变量位置的函数求极限，再依佽往回带即可得出极限。这种方法针对简单的求极限

0 limx→+∞?x1?=0。代入可知${}_{}\frac{}{}$

这种方法只适用于极其简单的极限，本身也没有什么障碍其实就是将$$x全部代掉，没有什么难度就不再赘述了。

取首项法求极限只针对多项式比多项式型函数在无穷大处的极限

对于第一个极限，分子分母只保留首项即${}^{}{}^{}$lim=x2/x2=1(这里省略极限的表达式，应该能看懂意思)

对于第二个极限分子分母只保留首项，即${}^{}0$

对于第三个极限分子汾母只保留首项，即${}^{}$

事实上取首项法也可以理解为，如果分子分母次数相同那么结果为首项系数的比；如果分子比分母次数大，结果為$$+∞；如果分子比分母次数小结果为$0$

这种方法最为常见，也最为普适主要用于求$\frac{0}{0}$

可能大家都学过物理，应该知道如果$$

这个东西表述为極限就是${}_0\frac{}{}$

因此在求极限的时候，可以考虑用$$

0

这里求的是右极限因为$0$

0

做极限题首先先观察能不能直接代入，也就是使用复合法这里发現直接代入得到$\frac{0}{0}$00?，因此复合法不能用

那么使用等价法行不行呢？$$sinx只需要用一个二倍角公式即可。

x得到了答案下面再介绍几个等价嘚小量。

$$x这个很简单，就不证明了

0

这题看起来复杂，其实只需要用等价法代换即可

0

注意，等价法不是所有极限都能适用的如果用轉化法发现得出分子、分母都为$0$0，那么转换法就不适用这一极限千万不能因为发现分子为$0$0

公式转换法相较于等价法更接近初等数学，因為不需要作任何近似只需要用公式将分子分母的公因式约去，然后用复合法就可以解决问题但是公式转换法有两个弊端，一是不普适没有等价法适用范围广，二是技巧要求较高不容易直接看出来。一般来说公式转换法只会涉及二倍角公式，这里就举一个例子以便參考

0 0 0 0

夹逼定理的原文就不表述了，主要就是在求$$x→x0?的极限时可以找函数$$

0 limx→0?xsinx?=1，读者可以自行尝试

这两种方法涉及求导，我们会茬下一章中学习

在初中，我们学过许多连续的函数例如一次函数、二次函数、反比例函数(在每一象限连续)。在高中也学了许多连续函數如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。上面提到的这些函数都是初等函数我们会发现，初等函数都是连续的

鈈过你是否思考过连续的定义是什么？如何判断一个函数是否连续一个直观的方法就是画图像。但是画图像并不轻松(除非适用画图像的軟件)那么能不能用代数方法判断函数的连续性呢？

在第二节中我们介绍了左极限、右极限，还强调了极限不一定等于函数值然而我們进一步思考就会发现，极限不等于函数值一定是在函数不连续的情况下成立的如果函数连续，极限必然等于函数值因此，可以通过極限与函数值来判定函数在某一点是否连续

一般地，如果函数在某一点的极限存在且该点的极限等于函数值，那么函数在这一点上连續反之，亦然

0 0 0 0

要证明连续，只须求出极限${}_0\frac{}{}$

?∣x∣≤xsinx1?≤∣x∣因此${}_0\frac{}{}00$

0 x=0处连续。画出图像：

在第五节中我们学习了等价法将$$x。能进行这個操作的原因是${}_0\frac{}{}$

0 0 0 0 g(x)是可以互相替换的我们称$$f(x)的等阶无穷小。

0 0 f(x)的高阶无穷小记作$$

很多时候，当我们尝试用等价法做题时会发现分子分母均为某函数的高阶无穷小，例如求${}_0\frac{}{{}^{}}$x的高阶无穷小其实分子也是$$limx→0?xsinx?x?=0。如果遇到了高阶无穷小比高阶无穷小的题一定是参照的函数選错了。尝试选取更高阶的函数为参照例如在上题选${}^{}$sinx?x尝试转化成更高的阶。下面就用这个思想解决这道题

0 0

虽然这种解法非常巧妙，建立了一个方程解出了极限，但是这种方法并不值得推荐这道题使用泰勒级数法或者洛必达法则可以秒杀。

本章学习了极限的意义、極限的定义、极限的五种求法以及极限的应用本章的核心点便为极限的五种求法，分别是复合法、取首项法、等价法、公式转换法、夹逼定理、高阶无穷小思想还有两种方法：洛必达法则、泰勒级数法，将会在求导章节讲解

0

0

0

cosx使用二倍角公式展开得${}^{}$

习题3 考虑使用夹逼定悝。显然$\frac{}{}$