各位前辈小弟在做电流生热方媔的仿真，自定义了一个热传导的系数型PDE现在遇到的问题是，怎样将电流产生的热与自定义的PDE方程耦合起来是通过系数型PDE的源项耦合嗎？还是和PDE的边界条件有关我采用的是狄氏边界条件。

这是我在文献中看到的自定义PDE的形式也是我采用的系数型PDE:

上边的圆柱形是电极，下边的长方体是材料电极插入材料内。电势加载在电极上长方体底面设置为接地。

COMSOL Multiphysics 弱形式入门弱形式入门物理问题嘚描述方式有三种物理问题的描述方式有三种 1、、偏微分方程偏微分方程 2、、能量最小化形式能量最小化形式 3、、弱形式弱形式本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式使用户更有信心通过 COMSOL Multiphysics 的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。COMSOL Multiphysics 是唯一的 直接使用弱形式来求解问題的软件通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法 （FEM）以及了解 COMSOL Multiphysics 的实现方法。本文假定读者没有太多的时间去研 究数学细节但昰却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。另外本文也会帮助理解 COMSOL Multiphysics 文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考 Zienkiewicz[1]Hughes[2]，以及 Johnson [3]等 为什么必须要理解 PDE 方程的弱形式一般情况下，PDE 方程都已经内置在 COMSOL Multiphysics 的各个模块当中这种情况下，没有必要去了解 PDE 方程和及其相 关的弱形式有时候可能问题是没有办法用 COMSOL Multiphysics 内置模块来求解的，这 个时候可以使用经典 PDE 模版但是，有时候可能经典 PDE 模版也不包括要求解的问题 这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的） 。掌握弱形式可以使你的水平超 过一般的 COMSOL Multiphysics 用户让你更容易去理解模型库中利用弱形式做的算例。 另一个原因就是弱形式有时候描述问题比 PDE 方程紧凑的多还有，如果你是一个教授去 教有限元分析方法可以帮助學生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。最后你对 有限元方法了解的越多，对于 COMSOL Multiphysics 中的一些求解器的高级设置就懂得更 多 一个重偠的事实是在所有的应用模式和一个重要的事实是在所有的应用模式和 PDE 模式求解的时候，模式求解的时候COMSOL Multiphysics 都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解 PDE 问题常常具有最小能量问题的等效形式，这让人有一种直觉那就是 PDE 方程都 可以有相应的弱形式。实际上这些 PDE 方程和能量最小值问题只是同一个物理方程的两种 不同表达形式罢了同样，弱形式（几乎）是同一个物理方程的第三个等效形式 这三种形式的区别虽然不大，但绝对是很关键的我们必须记住，这三种形式只是求我们必须記住这三种形式只是求 解同一个问题的三种不同形式解同一个问题的三种不同形式用数学方法求解真实世界的物理现象。根据不同的需求用数学方法求解真实世界的物理现象。根据不同的需求 这三种方式又有各自不同的优点。这三种方式又有各自不同的优点 PDE 形式在各种书籍中比较常见，而且一般都提供了 PDE 方程的解法能量法一般见 于结构分析的文献中，采用弹性势能最小化形式求解问题是相当自然嘚一件事当我们的 研究范围超出了标准有限元应用领域，比如传热和结构这个时候弱形式是不可避免的。 化工中的传质问题和流体中嘚 N-S 方程都是没有办法用最小能量原理表述出来的本文后 面还有很多这样的例子。 PDE 方程是带有偏微分算子的方程而能量方程是以积分形式表达的。积分形式的好 处就是特别适合于有限元方法而且不用担心积分变量的不连续，这在偏微分方程中比较 普遍弱形式也是积分形式，拥有和积分形式同样的优点但是他对积分变量的连续性要 求更低，可以看作是能量最小化形式的更一般形式最重要的是，弱形式非常适合求解非 线性的多物理场问题这就是 COMSOL Multiphysics 的重点了。小结为了理解小结为了理解 PDE 方程的弱形式我们必须跳开常规的偏微分形式，對于积分形式方程的弱形式我们必须跳开常规的偏微分形式，对于积分形式 要好好研究由于最小于能原理对比弱形式来说好理解的多，所以我们将从线弹性开始学要好好研究由于最小于能原理对比弱形式来说好理解的多，所以我们将从线弹性开始学 习依次到热传导，电流传导等问题这几种物理问题都有相关的能量和功率可以进行最习，依次到热传导电流传导等问题。这几种物理问题都有相关的能量和功率可以进行最 小化我们将只涉及到静态问题，重点是在结构分析和更特殊的线弹性分析小化。我们将只涉及到静态问题重點是在结构分析和更特殊的线弹性分析。弹性静力学弹性静力学 PDE 及其弹性能量方程及其弹性能量方程在静力结构分析问题中我们需要求解的是 Navier 方程 ????? F 其中 σ 是应力张量，F 是体力比如重力等。如果不习惯用张量的形式你也可以将张量 展开写成矩阵形式。这个方程表示了力（或者等效力）的平衡实际上是三个方程的合并 形式3D 中每个坐标方向有一个方程。计算区域记为其边界记为。??? 应力張量和应变张量之间的关系称为本构关系线弹性本构一般遵循胡克 HOOK?? 定律???c?其中是弹性张量，这个关系式说明材料的行为实际仩和弹簧差不多（前提是线弹性） ?c最后，我们可以将应变矢量和位移的关系表述出来 ?? ?u 这里 u 指的是位移矢量 uu,v,w其定义就是变形体仩的材料点和未变形时候的位移差。 总结以上所有的方程我们得到了一个二阶 PDE 方程（Navier 方程） ，c?????uF需要一个边界条件来求解nc???uP其中 n 是表面的法矢，P 是边界上的面力或牵引力后面会介绍更多边界条件。?? 这个 PDE 方程的弱形式为其中 v称为试函数。注意尽管 Navier 方程是一个矢量表达式，但是上面的,,zyxvvv表达式是一个标量形式下面介绍如何去推导以及理解弱形式。弹性势能在结构分析中PDE 方程及其弱形式的表达式都不太常见，相反能量最小化形式因 为其直观的表达形式用的较多。这类问题的能量积分形式对应于总势能的最小化即對象 中存储的弹性能。总弹性能是一个标量可以写成弹性能表达式同样适用于非线性问题。在这些表达式中我们假设体力 F 为零，并忽 畧了边界效应这些影响可以在以后引入。积分的意义是每个体积微元的内能总和其中应力张量单位是 Pa，微元体上的应变没有单位dV 单位是体积，因此积分出来的单位?d 应该是 N·m 如果问题是线弹性的，则可以显式的写为利用下面的通用公式用应变张量替换上式中的标量變量弹性张量替换上标量常量。?x?ca联立上面的式子得到我们用代替来配合 COMSOL Multiphysics 手册中的标记方式再提醒一次，如果你不c?c习惯用张量鈳以将张量看成是一个 33 的矩阵，点乘是一种张量的运算符号弹性张量是一个 4 u（或实际上是 u 的梯度）的EW泛函。这种函数的函数而不是坐標的函数，通常被称为泛函比单元微积分和多元微积 分更加抽象。与积分类似我们可以说就是函数的泛函EWu这好比是一个 2D 的变量 x，y 的二え函数其中 x＝＝，,yx[]abAcd?[ ]dbe?采用这样的类比是因为在后面我们会看到矩阵 A 与有限元的刚度矩阵比较类似。 我们要说明一下函数和泛函的一些区别古典分析中的函数概念是指两个古典分析中的函数概念是指两个数集数集之间所之间所 建立的一种对应关系，现代数学的发展却昰要求建立两个任意集合之间的某种对应关系建立的一种对应关系，现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系 函数概念被赋予了更为一般的意义，通俗解释泛函指的就是函数概念被赋予了更为一般的意义通俗解释泛函指的就是““函数的函数函數的函数”” 。在这里定义域在这里定义域 为为，泛函可以在整个定义域内进行微分积分等操作，泛函可以在整个定义域内进行微分積分等操作? 泛函的变量是函数，这个函数也是有容许空间的如果函数 u 可以变化，可能会产生 一些不符合物理规则的一些现象例如結构的刚性位移等。比如一个对 u 的基本约束就是 材料不能穿越本身 在有限元分析中，泛函一般是某种能量积分比如弹性能。对于其他嘚物理场可能 是其他的能量积分，或者是一种等效于能量的标量也可以至于积分区域，一般由分析对 象的 CAD 几何区域所确定静态电流傳导和能量的生成静态电流传导和能量的生成在静态导电问题中，PDE 方程由最基本的保守形式开始 0???J 其中 J 是电流密度 材料（或本构）模型采用欧姆 Ohm 定律r??BE其中 E 是电场，是电导率r?另外，已知 V? ??E其中是静电势综合以上式子得到V0rV??????在 COMSOL Multiphysics 中，这就是所谓的 Conductive Media DC 方程电阻产生的热能稳态电流的能量问题是在电导体中的电阻热其中其中 J 表示电流强度，E 代表电场强度是一个二阶电导张量33。如果导體是金属??电导张量一般是一个对角矩阵，如果是晶体情况就复杂多了。 尽量减少电阻产生的热量也就是减少热损耗，是我们要研究的一个最小值问题 如果问题是线性，则积分可以显式地写成因为其中 V 是电势，可以得到V? ??E将这个式子与结构力学中的式子进荇对比发现他们非常相似。的梯度对应于位移梯度V电导率张量对应于弹性张量。在稳态电流和结构力学的计算过程中张量形式都可鉯??c改写为矩阵形式。传热传热 PDE 方程和能量形式方程和能量形式对于稳态传热问题PDE 形式为其中 T 是温度，k 是热传导系数Q 是空间分布的熱源。热能基于传热方程的典型泛函为其中 T 是温度k 是热传导系数张量（33） 。泛函极小值泛函极小值泛函极值的概念借用了微积分中的不尐方法本节首先会介绍函数微积分的求极值方 法，接下来我们会借用有限元中常用的术语和标注方法来推导我们熟悉的结果。这个过程可以被看作是微积分方法的一种推广 考虑一个多元微积分函数 f，我们要求最小值寻找寻找 x 使得使得 fx 最小化最小化这里 x 是一个矢量或鍺点的坐标。通过微积分我们知道这个时候首先必须求函数 f 的 梯度。将梯度的设置为 0我们可得到一个非线性方程组。求解方程我们鈳以得到一系 列的坐标点 x，如果在其中某点处的二阶倒数一般称为 Hessian 矩阵为正或者说有正的特 征值就说这点就是我们要求的极小点，就好潒该点是整个函数的一个谷底一样 利用 Taylor 展开展开的观点，假设已知一个最小值 x我们可以在上面施加一个小的扰动， 由 Taylor 展开可得这里 H 就昰前面所说的 Hessian 矩阵现在我们用其他的方法来说明函数 f 在 x 最小。首先假设 x 是一个极值点，当添加了一个后f 对于其一阶值不改变。换句話说如果x? 我们在 x 上添加一个来扰动 f，其一阶 Taylor 级数应该为 0这个条件应该对每个方向x? 都是成立的，否则该点就不是极值点了如果上式第二项为 0对于任意小的都成立，也就是x?我们这里只是用一个稍微有点不同的方法得到了一个同样的结果 但是，这只是给了我们一个極值点的信息如果要确定其是最小极值点，必须保证第三项（二阶项）对于任意都为正x?只有当 H 的的特征值都为正时上式成立（参考線性代数） 。有可能会遇到二阶项也总为 0 这个时候我们必须借助更高阶项来判断极值点。 下面是函数 f 的一个特例 二次多项式其中 A 是对称矩阵如果我们应用 Taylor 展开，可得到或者这里零阶一阶和二级项都在独立的中括号内。为了得到一阶变分矩阵A必须是对称的。极值的条件成了对于任意小都必须成立则上式成为x?这里我们对矩阵进行了转置，而且利用了矩阵 A 的对称性即。AAT? 极小值的条件也就是矩阵 A 必須是一个正定矩阵如果矩阵 A 是负定矩阵（只有负特 征值） ，则得到极大值如果 A 是不确定的（特征值有正有负） ，则极值可能是一个鞍點 既不是极大值，也不是极小值如果矩阵 A 是对称的，而且正定则函数 f 是超椭圆的。 在 2D 中超椭圆就是椭圆。二次多项式的几何特征影响经典的 PDE 方程和有限问题的分 类当利用有限元方法去离散一个椭圆的 PDE 问题时候，得到一个对称矩阵（刚度矩阵） 的线性代数系统这樣的问题一般等效于最小能量问题。弹性静力学问题变分弹性静力学问题变分我们将通过两个步骤来介绍最小能量法理论首先粗略说明，让大家熟悉基本概念； 接下来考虑细节还是以线性静态问题为例，因为这是所有有限元理论都会提到的从而 更容易进行比较。理论概述让我们回到线弹性问题的弹性能泛函表达式这里的位移矢量 u 和前面讲的微积分中的点矢量 x 的角色类似要寻找能量泛函的最小值，我們首先必须得在 u 上施加一个扰动EWu?上式中两个中间项实质上是一样的（因为 c 的对称性） 所以我们可以写成将上式和多元函数表达式对比，我们发现寻找极值点就是找一个使二次项为零的 u其中是任意的u? 如果我们要寻找的是极小点，则还必须有第二项就是泛函的一阶微分苐三项成为泛函的二级微分和前面一样为了寻找极小点，我们必须保证对于任意第一阶微分为零二阶微?u 分为正。这种寻找最小势能函数的方法也可以称作虚功原理另外还有一种方法就是初始的时候将扰动写成，这时对于任意可取的其能??u?u量函数写成。回到微積分的基本概念去寻找 W 对于的极值点W???uu?如果我们将它看成是对于的 Taylor 展开，就可以找出其一阶导数（对于极值点必须?为零） 由於是任意可取的，我们可以得到和前面相同的结果u?小结上面的过程省略很多推导步骤，如果大家对推导有兴趣可以试着自己推导。峩们要说明一下的是1、 变量（而不是它的梯度）必须是很小而且是任意的u? 2、 这里没有考虑边界条件和体力，比如重力等等我们前面所讨论的问题局限于一个没 有任何约束和载荷的边界条件的区域上。3、 一般来说的限制比多元微积分中宽松在泛函中，只要是在容许的范围内即u?x?u? 可也就是必须和物理位移场相对应。理解这个意思对理解有限元弱形式非常uu?? 重要考虑边界条件和体力如前面所讲，弹性能的泛函形式是不完整的因为它没有加上相应的边界条件和载荷。弹性能的单位是也就是力乘上位移。在边界上我们一般施加面力，或者指定位mN ? 移单位为。一般来说我们希望附加形式是“面力乘上长度” 。同样的方式可以对体m 力进行处理 F 在数学上，结構场的边界条件分为两类第一类直接定义边界上的力其中第一项由定义域内的方程所确定，第二项称为弹簧常数 q等式右边是面力 g。这種边 界条件就是我们通常说得流量流量或者 Nuemann 边界条件 第二那边界条件就是定义一个固定的或者 Dirichlet 边界条件。如果 h 是矩阵的形式r 就是定义叻边界上的指 定位移。固定边界条件不能直接加入泛函中去但是可以通过反力间接加上去。当指定位移边界时可以描述一个反力（） ，也就是弹性体可以在固定处保持不变反力μ2/mmN就是我们这里用到的 Lagrange 乘子，通过添加反力到力作用处的边界可以忽略到固定边 界类型。這时候我们可以形成统一的边界条件这里 R 是原始的固定边界是需要计算的反力。在前面的简化形式中和都是常数，μhr 所以上式可以变囮为记住方程中的每一项都是矢量，表示各个方向的面力为了得到所做的功（能量） ， 必须点乘上位移 u 通过合并一些系数项，将外仂写成可简化表达式，这时边界条件可以写成PPucn???对于其他物理场可能 P 代表边界上的源项。 注意到上式和 Navier 方程非常接近将能量泛函展开关键推导这个时候我们又要在 u 上添加上，可得u?零阶项就是泛函本身第一阶项是这个方程是非常重要的一项。接下来我们详细介紹从前面的讨论可知，我们应该重新组合多项式保证带有的被积函数成为一项。如u? 果可以做到因为是任意的（事实上必须是在容許范围内） ，我们知道这一项必须为零u? 这是我们能找到极值点的唯一方法。右边第一项需要进一步处理得到我们需要的形式 第一项峩们可以根据 Green 公式（有时候可能采用的是 Stokes 原理）进行分部积分利用 c 的对称性，我们可以得到利用 Green 公式得到将体积项和边界项合并起来确定極值点必须有上式应该对于任何都成立。因此体积项必须有u?边界项上有现在我们又回到 PDE 问题上了通过能量最小化原理又重新推回到叻通过能量最小化原理又重新推回到了 PDE 形式上形式上这也 是说明最小能量化和 PDE 形式本质上是统一的一个数学证明。弱形式弱形式那么到底什么是弱形式呢Navier 方程的弱形式实际上已经在前面的推导过程中出 现过了，即一阶变分的原形式如果我们回到 COMSOL Multiphysics 的文档（或者是关于有限元囷弱形式的书籍中） 会发现所谓的试函数相当于扰动，u? uv?位弹性静力学 PDE 方程的弱形式为了更好的理解弱形式我们必须丢弃前面讨论嘚能量最小化原理，转向一种更加抽 象的方法弱形式之所以比能量最小化原理更强大，是因为它还可以应用到一些没有得到 较好的能量萣义的问题中 首先我们考虑弹性静力学的 PDE 方程边界条件是抽象的过程如下乘上容许范围内的试函数 v，在感兴趣的域内积分可得对左侧利鼡 Green 公式进行分部积分应用 PDE 方程的边界条件可以得到整理可得这就是 PDE 方程的弱形式。如果在积分区域内对于试函数都是有效的则上式和v PDE 方程是等效的。PDE 方程的解称为强解而弱形式的解称为弱解。二者唯一的区别是 弱形式对于积分参数的连续性要求比 PDE 形式低由于变形梯喥和弹性张量在弱形式里面 都不需要微分，所以对函数连续性要求没有那么严格而在 PDE 形式中，所有的变量都处 在散度的算子下这要求這些变量必须是可微的。在弱形式中对于可微的要求放松了（一 阶） 同时，注意到弱形式和前面的一阶变分形式保持了一致弱形式也鈳以作为虚功原理的一种推广。只是虚功原理中的位移换成了更加抽象的试函数如果弱形式解和能量u?v 最小化原理不一致的时候，极值點变成了鞍点也就是，在弱形式中仍可以将试函数理 解为一种推广了的虚位移。一般性问题的弱形式一般性问题的弱形式正如前面所提到的弱形式只是 PDE 方程的一种推广形式，它对变量的连续性要求比 较低那么能量方法呢如果有一个定义好了的能量来最小化，那么能量法和弱形式是一 致的但是，在下列情形下弱形式更具有适用性假如 PDE 方程没有相对应的能量可以 进行最小化。在这种情况下弱形式仍然是适用的。由于弱形式对解的要求较低所以说 弱形式比 PDE 和能量最小化适用范围更广泛。 我们将给出一个没有对应能量最小化的 PDE 的例孓对流－扩散 PDE 问题对流－扩散 PDE 问题没有与之相对应的可最小化的能量这里 c 是扩散系数，是对流系数α 是反应/吸收系数，是源项变量昰标量函数，?fu代表浓度（在 COMSOL Multiphysics 手册中的 Convection-Diffusion 模块中浓度是用变量 c 表示，扩散系数用 D 表示） 在这里我们考虑 Neumann 边界所有困难将集中在刚度 K 的提取上，主要是对 u 和 Lagrange 乘子的线性表达式的集成为了得到弱形式，将 PDE 方程乘以一个试函数 v积分这里的试函数 v 是一个标量函数。 将第一项分蔀积分并将所有的项都移到左边，可得到加上边界条件得到这就是对流－扩散 PDE 方程的弱形式。 这个弱形式不能像前面一阶变分那样进荇重排因为他的对流项，使得整个系数无法重排具体说来，解函数 u 和试函数 v 必须在弱形式中的形式保持一致 才能和能量泛函的形式保歭一致但是，在对流项中u 前面带有梯度乘子，而试函数前 面却没有任何微分算子的没有什么分部积分可以改变这种形式了。当然峩们也可以看 到，实际上弱形式的解和 PDE 形式的解是保持一致的 对流项非对称的行为通过数值离散扩展到有限元刚度矩阵上和能量最小化保持一致 的弱形式可以推导出一个对称的刚度矩阵，但是对流－扩散方程推导出来的却是一个非对 称的矩阵 在 COMSOL Multiphysics 中应用弱形式用户界面的時候，可以输入任意的表达式包 括未知函数 u 和试函数 v 的零阶和一阶导数。你所键入的是弱形式积分中的微分项COMSOL Multiphysics 对话框下设置。另外假设我们已经将系数定义为常数或者表达式?系数 c，Pa 和 f 分别由 c，Pa 和 f 表示。?矢量的分量由 bxby 和 bz 表示。?在 COMSOL Multiphysics 中未知函数（什么叫因变量量）u 和试函数 v 标记如下 ?未知函数的标记为 uu ?的分量标记为 uxuy 和 uz。u? ?试函数的标记为 u_testv ?的分量标记为 中对应的对话框中输入相同的表達式。弱形式方程会自动添加在控制方程中 （通过设置所有的 PDE 或材料参数为 0，选择齐 次 Neumann 边界（流量0） 可以去掉应用模式自动创建的弱形式。 ） Dirichlet 或者固定边界在 Boundary setting 对话框中的 constr 编辑框输入弱形式， COMSOL Multiphysics 会添加相应的 Lagrange 乘子（参见用户手册中的边界条件章节） 结构力学 PDE 问题静态结構力学的基本方程是 Navier 方程边界条件对流－扩散方程中的标量项现在全部成了矢量和张量，Navier 方程的弱形式为约定标记如下 ?矢量 u 的分量uv 和 w。?位移矢量梯度的分量uxuy，uzvx，vyvz，wxwy，wz?u ?试位移矢量 v 44，c45c46，c55c56，c66 ?体力矢量 F 的分量FxFy，Fz ?边界面力矢量 P 的分量Px，PyPz。 在子域内弱形式输入为其中这些表达式定义了应变分量（ex，ey...）和应力分量（sx，sy...） 。 后面带有_test 后缀的COMSOL Multiphysics 都会和上式一样建立相应的试函数和试 函数梯度的表达式。比如exy_test 编辑框中写成标量的形式 Px*u_testPy*v_testPz*w_test 如果采用固定边界，我们必须在其中一个 constr 编辑框中输入相应的表达式 对于多物理场汸真，约束和载荷在 weak 和 constr 中的形式非常重要尤其是采用弱 约束的时候。更多详情可以参考 COMSOL Multiphysics 文档以及和 Lagrange 乘子相关的技 术文档 尽管弱形式是┅个标量表达式，但是 COMSOL Multiphysics 中弱形式有和 PDE 系统 一样多的未知量需要文本输入。原因在于不同的多物理场问题可能需要不同的有限元分析 类型囷保证其数值稳定型的积分算法对于 3D 结构分析，弱形式中有三个文本输入框 但是，在离散之前采用了同样的有限元单元和积分类型進行合并，这样就可以选择不同 的弱形式进行操作例如你可以在第一个域内选择弱形式，而其他的域内设置为空白 对于流动问题的 Navier-stokes 方程，情况又稍微有些不同和未知的速度场相比，未 知的压力采用一个低阶有限元来离散这种情况下，不能将所有的弱项全部在同一个弱域 内输入为了保证数值稳定型，必须依靠混阶有限元mixed finite element混阶有限元并 不是 COMSOL Multiphysics 特别制定，而是数值算法所需要的有限元方法有限元方法夲章说明弱形式如何利用有限元方法来进行离散。假设我们需要离散以下扩散问题这是一个对流－扩散问题的特殊情况其中，0??0??有限元的基本实现是将整个计算域 Ω 离散为多个特别简单的形状的小单元，比如 2D 中的三角形3D 中的四面体等等。相应的网格例如三角形，由边和节点组成下一步就 是要选择一个比较容易实现的一些近似方法，其中一种比较简单的方法就是将解表示为采 用线性多项式插徝的所谓基函数的和基函数的构造方法是指定某个节点为 1，而相邻的 节点为 0二者之间的值就是从 0 到 1 线性变化。这里说的相邻指的是中間有一条边将其 连接起来遍历三角形网格的所有节点（从 1 到 N） 。定义节点 i 的基函数为也就是在节点 ii?处其值为 1，其他点处值为 0注意呮是在节点 i 及其相邻的三角形内不为零。现在假设i?真实值 u 可以用基函数的求和来近似描述hu参数是在节点 i 的值同样，我们可以对试函数進行类似处理iUhu下标 h 表示离散函数属于由所有三角形边中最长边表示的具有确定的网格尺寸 h 的网格由于我们可以任意选择试函数，因此可鉯将除了 j 点以外的所有的设置为零jV接下来我们将所有的试函数（j＝1,...,N）输入到弱形式中去，每个试函数都可以得到 一个方程这样可以生荿一个线性代数系统，系统矩阵就是我们所说的刚度矩阵为什么 我们可以自由选择试函数，不妨回想一下前面提到的弱形式需要对所有鈳取的试函数成立 选择试函数是有限元方法的重要环节，因为他在很大程度上影响着刚度矩阵由于刚度矩 阵中很多项为零，所以一般昰稀疏矩阵 当我们使用试函数的时候，生成的有限元刚度矩阵应该是一个方阵如果弱形式本身 定义良好的话，刚度矩阵应该是非奇异嘚也就是说系统有一个唯一解。 现在考虑扩散方程的弱形式将表达式写成离散形式方程重新排列采用矩阵标注可得或者在这里刚度矩阵 K 昰解矢量 U 的单元为载荷矢量 L 的单元为，iU现在我们明白为什么选择基函数和试函数很关键了如果我们关注刚度矩阵，会ijK发现其中很多元素为零因为前面已经提到每个都是大部分为零，同样的梯度也是j?j?大部分为零的有很多有效的算法去求解这类稀疏矩阵，COMSOL Multiphysics 提供一套稀疏线性系统求解器 有限元方法同样适用于非线性问题。非线性方法一般来说采用迭代的算法每一次迭 代就是求解一个与上面类似的線性弱形式方法。抽象和几何解释抽象和几何解释为什么有限元可以解决问题它是如何解决问题的前面的讨论中可以找到一些答 案。为叻有一个更清晰的答案我们需要了解一些更多的泛函的概念。我们将发现有限元 方法通过一种优化方法将解投影到一个有限维函数空间來求解标量积为了得到有限元方法的几何解释，或脑海中的意象我们需要熟悉标量积的概念。 在线性代数中我们知道两个矢量 f 和 g 的標量积为这里的矢量 f 和 g 属于 3 维矢量空间。标量积可以推广到任意维 N标量积有时也称做内积。 如果两个矢量正交一个矢量 f 可以通过标量積投影到另一个矢量 g其中 fp是与 g 平等的投影矢量矢量差与 g 正交投影矢量的唯一性特征是原始和投影矢量之间的差与它所投影的矢量正交。如果需 要找到在方向 g 上与 f 最近的矢量fp就是我们的答案。矢量 e 可以看作是关于 f 到 fp之间 的近似误差换句话说，误差矢量 e 与矢量 g 正交后面在對有限元进行几何解释时将用 到这个结论。但首先我们得介绍一些泛函分析的概念 与矢量不同，泛函分析讲的是函数它们必须属于无限维的矢量空间。我们可以积 分形式定义一个无限维矢量空间（函数空间）中的标量积如果两个函数正交则有进一步将标量积的概念推廣，并且考虑包含函数梯度的被积函数下标 1 和 2 用来说明上面是两种不同的标量积。Hilbert 空间如果对于一个标量积我们只考虑那些与自身进荇的标量积（积分）有一个有限值 的函数 u，我们说这些函数属于一个确定的函数类或函数空间。由标量积和定义域 Ω 组成的函数空 间就被称为 Hilbert 空间 对应于上面的标量积 1 的 Hilbert 空间通常标记为 L2，与标量积 2 对应的 Hilbert 空间 常称为 H1通常空间 L2中的函数比 H1中的多，因为 H1中的函数自动地存茬于 L2中反 之则不一定。我们也可以将这种现象称为 H1是 L2的一个子空间或有限元方法的抽象形式现在让我们考虑 PDE 问题[3]在域 Ω 中，边界条件為这是对流－扩散方程的一种特例，其中0?u1?? ac。通过分部积分表明当试函数选择成在边界上具有相同的边界条件时，弱0??0?v形式中的边界项为 0得到弱形式为其中包含前面提到的两种标量积，可改写为 找到使得对于所有属于相配的 Hilbert 空间中的，有uv这里的相配的空間是 H1且在边界上。解函数 u 也必须属于这个空间注意，对于0?v 前面提到的弱形式我们可以很自由地添加不同的标量积，因为每个积的結果是实数或虚 数现在我们选择前面讨论的基函数的和（线性组合）来近似 u 和，近似解被称作和vhuhv这些函数属于 Hilbert 空间，可称为由线性基函数扩展而来。的空间维数为hVi?hVN（基函数的数目） 此外，是 H1的子空间hV换句话说，如果函数属于则它自动地属于 H1。空间 H1是一个大得哆的空间hV因为它是无限维的。有限的基函数不可能扩散成属于 H1的所有函数 弱形式的有限元现在变成了对于中的所有，在中找到使得hVhvhVhu現在我们对有限元方法在函数空间的作为一个确定的投影的几何解释有了更深入的 了解。最后在原始的弱形式中用代替。这是合理的洇为在 H1中，而在中由于是 H1的子空间，因此hvvvhvhVhV也是在 H1中hv现在从弱形式中减去有限元解，得到或即离散误差与所有的中的正交也就是说，囿限元解是真实解在属于