时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。 若考虑离散时间时域中的函数或信号，在各个离散时间点嘚数值均为已知若考虑连续时间，则函数或信号在任意时间的数值均为已知 在研究时域的信号时，常会用示波器将信号转换为其时域嘚波形

是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。对任何一个事物的描述都需要从多个方面进行每一方面的描述仅为我们认识這个事物提供部分的信息。例如眼前有一辆汽车，我可以这样描述它方面1：颜色长度，高度方面2：排量，品牌价格。而对于一个信号来说它也有很多方面的特性。如信号强度随时间的变化规律（时域特性）信号是由哪些单一信号功率和频率的关系信号合成的（頻域特性）。

　　在分析研究问题时以时间作基本变量的范围。

　　时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。

　　若考虑离散时间时域中的函数或信号，在各个离散时间点的数值均为已知若考虑连续时间，则函数或信号在任意时间的数值均为已知

　　在研究时域的信号时，常会用示波器将信号转换为其时域的波形

　　时域是真实世界，是惟一实际存在的域因为我们的经历都是在时域中发展和验证的，已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生而评估数字产品的性能時，通常在时域中进行分析因为产品的性能最终就是在时域中测量的。如下图2.1所示的时钟波形

　　图2.1 典型的时钟波形

　　由上图可知，时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间图中标明了1GHz时钟信号的时钟周期和10-90上升时间。下降时间一般要比上升时间短一些有時会出现更多的噪声。

　　时钟周期就是时钟循环重复一次的时间间隔通常用ns度量。时钟频率Fclock即1秒钟内时钟循环的次数，是时钟周期Tclock嘚倒数

　　上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关，通常有两种定义一种是10-90上升时间，指信号从终值的10%跳变到90%所经曆的时间这通常是一种默认的表达方式，可以从波形的时域图上直接读出第二种定义方式是20-80上升时间，这是指从终值的20%跳变到80%所经历嘚时间

　　时域波形的下降时间也有一个相应的值。根据逻辑系列可知下降时间通常要比上升时间短一些，这是由典型CMOS输出驱动器的設计造成的在典型的输出驱动器中，p管和n管在电源轨道Vcc和Vss间是串联的输出连在这个两个管子的中间。在任一时间只有一个晶体管导通，至于是哪一个管子导通取决于输出的高或低状态

　　频域frequency domain在分析问题时，以频率作为基本变量

是描述信号在频率方面特性时用到嘚一种坐标系。对任何一个事物的描述都需要从多个方面进行每一方面的描述仅为我们认识这个事物提供部分的信息。例如眼前有一輛汽车，我可以这样描述它方面1：颜色长度，高度方面2：排量，品牌价格。而对于一个信号来说它也有很多方面的特性。如信号強度随时间的变化规律（时域特性）信号是由哪些单一信号功率和频率的关系信号合成的（频域特性）

　　频域（频率域）——自变量昰频率，即横轴是频率纵轴是该频率信号的幅度，也就是通常说的频谱图频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。

　　对信号进行时域分析时有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同因为信号不仅随时间变化，还与频率、楿位等信息有关这就需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶級数和傅立叶变换实现。周期信号靠傅立叶级数非周期信号靠傅立叶变换。

　　一个频域分析的简例可以通过图1：一个简单线性过程中尛孩的玩具来加以说明该线性系统包含一个用手柄安装的弹簧来悬挂的重物。小孩通过上下移动手柄来控制重物的位置

　　任何玩过這种游戏的人都知道，如果或多或少以一种正弦波的方式来移动手柄那么，重物也会以相同的频率开始振荡尽管此时重物的振荡与手柄的移动并不同步。只有在弹簧无法充分伸长的情况下重物与弹簧会同步运动且以相对较低的频率动作。

　　随着频率愈来愈高重物振荡的相位可能更加超前于手柄的相位，也可能更加滞后在过程对象的固有频率点上，重物振荡的高度将达到最高过程对象的固有频率是由重物的质量及弹簧的强度系数来决定的。

　　当输入频率越来越大于过程对象的固有频率时重物振荡的幅度将趋于减少，相位将哽加滞后（换言之重物振荡的幅度将越来越少，而其相位滞后将越来越大）在极高频的情况下，重物仅仅轻微移动而与手柄的运动方向恰恰相反。

　　所有的线性过程对象都表现出类似的特性这些过程对象均将正弦波的输入转换为同信号功率和频率的关系正弦波的輸出，不同的是输出与输入的振幅和相位有所改变。振幅和相位的变化量的大小取决于过程对象的相位滞后与增益大小增益可以定义為“经由过程对象放大后，输出正弦波振幅与输入正弦波振幅之间的比例系数”而相位滞后可以定义为“输出正弦波与输入正弦波相比較，输出信号滞后的度数”

　　与稳态增益K值不同的是，“过程对象的增益和相位滞后”将依据于输入正弦波信号的频率而改变在上唎中，弹簧－重物对象不会大幅度的改变低频正弦波输入信号的振幅这就是说，该对象仅有一个低频增益系数当信号频率靠近过程对潒的固有频率时，由于其输出信号的振幅要大于输入信号的振幅因此，其增益系数要大于上述低频下的系数而当上例中的玩具被快速搖动时，由于重物几乎无法起振因此该过程对象的高频增益可以认为是零。

　　过程对象的相位滞后是一个例外的因素由于当手柄移動得非常慢时，重物与手柄同步振荡所以，在以上的例子中相位滞后从接近于零的低频段输入信号就开始了。在高频输入信号时相位滞后为“-180度”，也就是重物与手柄以相反的方向运动（因此我们常常用‘滞后180度’来描述这类两者反向运动的状况）。

　　Bode图谱表现絀弹簧－重物对象在0.01-100弧度/秒的频率范围内系统增益与相位滞后的完整频谱图。这是Bode图谱的一个例子该图谱是由贝尔实验室的Hendrick Bode于1940s年代发奣的一种图形化的分析工具。利用该工具可以判断出当以某一特定信号功率和频率的关系正弦波输入信号来驱动过程对象时，其对应的輸出信号的振动幅度和相位欲获取输出信号的振幅，仅仅需要将输入信号的振幅乘以“Bode图中该频率对应的增益系数”欲获取输出信号嘚相位，仅仅需要将输入信号的相位加上“Bode图中该频率对应的相位滞后值”

　　在过程对象的Bode图中表现出来的增益系数和相位滞后值，反映了系统的非常确定的特征对于一个有丰富经验的控制工程师而言，该图谱将其需要知道的、有关过程对象的一切特性都准确无误的告诉了他由此，控制工程师运用此工具不仅可以预测“系统未来对于正弦波的控制作用所产生的系统响应”，而且能够知道“系统对任何控制作用所产生的系统响应”

　　傅立叶定理使得以上的分析成为可能，该定理表明任何连续测量的时序或信号都可以表示为不哃信号功率和频率的关系正弦波信号的无限叠加。数学家傅立叶在1822年证明了这个著名的定理并创造了为大家熟知的、被称之为傅立叶变換的算法，该算法利用直接测量到的原始信号以累加方式来计算不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

　　从理论上说傅立叶变换和Bode圖可以结合在一起使用，用以预测当线性过程对象受到控制作用的时序影响时产生的反应详见以下：

　　1）利用傅立叶变换这一数学方法，把提供给过程对象的控制作用从理论上分解为不同的正弦波的信号组成或者频谱。

　　2）利用Bode图可以判断出每种正弦波信号在经甴过程对象时发生了那些变化。换言之在该图上可以找到正弦波在每种频率下的振幅和相位的改变。

　　3）反之利用反傅立叶变换这┅方法，又可以将每个单独改变的正弦波信号转换成一个信号

　　既然反傅立叶变换从本质上说，也是一种累加处理那么过程对象的線性特征将会确保－“在第一步中计算得到的各种理论正弦波”所产生单独作用的集合，应该等效于“各不同正弦波的累加集合”共同产苼的作用因此，在第三步计算得到的总信号将可以代表“当所提供的控制作用输入到过程对象时，过程对象的实际值”

　　请注意，在以上这些步骤中没有哪个点不是由画在图上的控制器产生的单独正弦波构成。所有这些频域方面的分析技术都是概念性的这是一種方便的数学方法，运用傅立叶变换（或者紧密相关的拉普拉斯变换）将时域信号转换为频域信号，然后再用Bode图或其他一些频域分析工具来解决手头的一些问题最后再用反傅立叶变换将频域信号转换为时域信号。

　　绝大多数可用此方法解决的控制设计问题也可以在時域内通过直接的操控来解决，但是对于计算而言利用频域的方法通常更简单一些。在上例中就是用乘法和减法来计算过程实际值的頻谱，而该过程实际值是通过对给定的控制作用进行傅立叶变换尔后又对照Bode图分析而得到的。

　　将所有的正弦波进行正确的累加就會产生如傅立叶变换所预示的那类形状的信号。当有时这一现象并不直观举个例子可能有助于理解。

　　请再次想想上面那个例子中小駭的重物－弹簧玩具操场上的跷跷板，以及位于外部海洋上的船设想这艘船以频率为w和幅度为A的正弦波形式在海面上起起落落，我们哃时再假设跷跷板也以频率为3w和幅度为A/3的正弦波形式在振荡并且小孩以频率为5w和幅度为A/5的正弦波形式在摇动玩具。‘三张单独的正弦波波形图’已经显示出如果我们将三个不同的正弦波运动进行分别观察的话，每个正弦波运动将会体现出的形式

　　现在假设小孩坐在蹺跷板上，而跷跷板又依次固定在轮船的甲板上如果这三者单独的正弦波运动又恰巧排列正确的话，那么玩具所表现出的总体运动就夶约是一个方波－如图4：三者合成的正弦波显示的那样。

　　以上并非一个非常确切的实际例子但是却明白无误的说明：基本频率正弦波、振幅为三分之一的三倍频率谐波、以及振幅为五分之一的五倍频率谐波，它们波形的相加总和大约等于频率为w、振幅为A的方波甚至洳果再加上振幅为七分之一的七倍频率谐波、以及振幅为九分之一的九倍频率谐波时，总波形会更像方波其实，傅立叶定理早已说明當不同信号功率和频率的关系正弦波以无穷级数的方式无限累加时，那么由此产生的总叠加信号就是一个严格意义上的、幅度为A的方波傅立叶定理也可以用来将非周期信号分解成正弦波信号的无限叠加。

　　通过求解微分方程分析时域性能是十分有用的但对于比较复杂嘚系统这种办法就比较麻烦。因为微分方程的求解计算工作量将随着微分方程阶数的增加而增大另外，当方程已经求解而系统的响应不能满足技术要求时也不容易确定应该如何调整系统来获得预期结果。从工程角度来看希望找出一种方法，使之不必求解微分方程就可鉯预示出系统的性能同时，又能指出如何调整系统性能技术指标频域分析法具有上述特点，是研究控制系统的一种经典方法是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。该方法是以输入信号的频率为变量对系统的性能在频率域内进行研究的一种方法。頻率特性可以由微分方程或传递函数求得还可以用实验方法测定。频域分析法不必直接求解系统的微分方程而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响并可以进一步指明如何设计校正。这种分析法有利于系统设计能够估计到影响系统性能的频率范围。特别地当系统中存在难以用数学模型描述的某些元部件时，可用实验方法求出系统的频率特性从而对系统和元件进行准确而有效的分析。

　　是采用傅立叶变换将时域信号x（t）变换为频域信号X（f）从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。信号频谱X（f）代表了信号在不同频率分量成分的大小能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息

　　1822年，法国数学家傅里叶（J.Fourier）茬研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理奠定了傅里叶级数的理论基础。

　　泊松（Poisson）、高斯（Guass）等人把这一成果应用到电学中去得到广泛应用。

　　19世纪末人们制造出用于工程实际的电容器。

　　进入20世纪以后谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。

　　在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中傅里叶变换法具有很多的优点。

　　“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力

　　频域分析是以输入信号的频率为变量，在频率域研究系统的结构参数与性能的关系， 揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。

　　频域分析具有明显的优点：无需求解微分方程图解（频率特性图）法，间接揭示系统性能并指明改进性能的方向和易于实验分析可推广应用于某些非线性系统（如含有延遲环节的系统）以及可方便设计出能有效抑制噪声的系统。

　　频域分析法包括分析系统的

　　1、频率响应它指系统对正弦输入信号的穩态响应。

　　2、频率特性它指系统在不同信号功率和频率的关系正弦信号输入时，其稳态输出随频率而变化（ω由0变到∞）的特性

　　3、幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。

　　4、幅频特性它指的是当ω由0到∞变化时，|G（jω）|的变化特性记为A（ω）。

　　5、相频特性， 它指的是当ω由0到∞变化时∠G（jω）的变化特性称为相频特性，记为?（ω）。

FFT (Fast Fourier Transform, 快速傅里叶变换) 是离散傅里叶变換的快速算法也是数字信号处理技术中经常会提到的一个概念。用快速傅里叶变换能将时域的数字信号转换为频域信号转换为频域信號后我们可以很方便地分析出信号的频率成分。

在对单频信号进行快速傅里叶变换的过程中我们定义了两个常数： sampling_rate, fft_size,分别表示数字信号的采样频率和FFT的长度。由快速傅里叶变化的性质可知：

即当被采样频率 f 满足如下公式时FFT 的计算结果是精确的。

在对多频信号进行快速傅里叶变换的过程中

相比于单频数字信号的快速傅里叶变换而言哆频数字信号的快速傅里叶变换有着更加苛刻的条件。除此之外很多时候，我们并不知道被采样数字信号的所有频率成分亦或我们只能在有限的时间段中对信号进行测量，无法知道在测量范围之外的信号是怎样的因此只能对测量范围之外的信号进行假设。而快速傅里葉的假设很简单：测量范围之外的信号是所测量信号的重复这就会引起在 fft_size 个点的采样范围内无法放下整数个所有被采样信号功率和频率嘚关系波形而造成

当我们把双频信号FFT示例中的 fft_size 的值改为 2**12 时，这时基频为 16Hz，不能被 1kHz整除所以 1kHz 处发生了频谱泄露，而它能被 4kHz 整除所以 4kHz 可鉯很好地被采样。

由于波形的前后不是连续的出现波形跳变，而跳变处有着非常广泛的频谱因此FFT的结果中出现了频谱泄漏。

为了减小FFT所截取的数据段前后的跳变可以对数据先乘以一个窗函数，使得其前后数据能平滑过渡常用的hanning窗函数的定义如下：

50Hz 正弦波与hann窗函数乘積之后的重复波形如下：

我们对频谱泄漏示例中的1kHz 和 4kHz 信号进行了 hann 窗函数处理，可以看出能量更加集中在 1kHz 和 4kHz在一定程度上抑制了频谱泄漏。

以 1kHz 三角波为例我们知道三角波信号中含有丰富的频率信息，它的傅里叶级数展开为：

当数字信号的频率随时间变化时我们称之为扫頻信号。以频率随时间线性变化的扫频信号为例其数学形式如下：

其频率随时间线性变化，当我们在 [0,1] 的时间窗口对其进行采样时其频率范围为 0~5kHz。当时间是连续时扫频信号的频率也是连续的。但是在实际的处理中是离散的点采样，因此时间是不连续的这就使扫频信號的快速傅里叶变换问题退化为多点频信号快速傅里叶变换问题。其快速傅里叶变换得到的频谱图如下所示：

因上述扫频信号的频率随时間是线性变化的因此功率谱是一条直线，即数字信号被采样频段范围内各个信号功率和频率的关系功率是一样的

以 50Hz 正弦信号相位调制箌 1kHz 的信号为例，其信号形式如下：

它的时域波形频率响应和相位响应如下图所示：

以扫频信号为例，当我们要探究FFT中的能量守恒时我們要回归到信号最初的形式：

从频谱图上我们可以看出，上述数学形式的单频信号的功率为

在扫频信号FFT示例中 5kHz 范围内信号的功率为

当功率为 -3dB 的信号扩展到5kHz频谱范围的扫频信号时，其功率衰减到 -40dB这也遵循了能量守恒定律。