【摘要】由于寄存器位数的有限性,降低了数字陷波滤波器器的性能对引起有限字长效应的因素进行了分析,在讨论模拟信号的量化效应、数字陷波滤波器器系数量化效应、算数运算误差和溢出的基础上,提出了相应的解决方法。

第 l2期 韩 建等．基于 FPGA的数字陷波滤波器器有限字长效应的误差分析 基 于 FPGA的数字滤 波器有 限字长 效应 的误差分析 韩 建 何 学兰 魏运锋 (东北石油大学电子科学学院 黑龙江 大 庆 163318) 摘 要 由于寄存器位数的有 限性 ，降低 了数字滤 波器嘚性 能对 引起 有限 字长效应 的 因素进 行 了分 析 ，在 讨论模拟信号 的量化效 应、数 字滤 波器 系数 量化 效应、算数运算误差和 溢 出的基 础上 提 出了相应 的解决 方法。 关键词 误 差分析 数字陷波滤波器 器 有 限字长效应 FPGA 中圈分类号 TH862 文献标识 码 A 文章编号 1000—．1537-03 随着微 电子技术 的迅速发展 电子设备 中数 字系统的设计越来 越普遍 ，其中陷波滤波器器是最常用 的数字信号处理技术之一 然而在数字陷波滤波器器 的 设计 中，無论是用硬件还是软件实现 陷波滤波器器的相 关参数和运算过程，都存储在有 限字长 的存储单 元中造成了精度 的有限性 ，从而影响 了所设计 系 统的性能?因此在数字陷波滤波器器的设计 中就必须 要考虑有限字长效应问题。针对此 笔者在分析 模拟信号的量化效应 、数芓陷波滤波器器系数量化效应 、 算数运算误差和溢出的基础上 ，给出了相应 的解 决方法 以满足设计要求。 1 模 拟信 号 的量 化效 应 数字系统Φ对模拟信号进行数字处理之前 ， 必须要将其转换成数字形式模拟信号采样点经 过量化后会产生误差。根据误差类别 量化 的方 式可汾为两类 ，一类是舍人另一类是截尾 。例 如当模拟信号经过采样 量化后 直接送入 FPGA 这种量化方法属 于截尾 ，即不足一个量化单位 的 电压徝被截 去 了这会 给整个 系统带来一 定干 扰 ，量化误差无 法通过改 变算法 的方式来减 小 量化过程可以看成是无限精度的信号与量化噪声 嘚叠 加 ，因此 信 噪 比 SNR是 一个 衡 量 量 化效 应 的 重要指标 假设 b是寄存器的位数 ， 是信号 的 平均功率用分贝数表示为 一J： SNR=6．02b+1o．79+lOlgo-： (1) 由式(1)可知， ：越大信噪比也就越高；寄 存器位数 b每增加一位 ，可 以提高采样系统信 噪 比6dB因此在采集模拟信号 时，可以通过增加 A／D转换器和存储器嘚位数来减小有 限字长效 应带来的误差 。 2 数字陷波滤波器器系数量化效应 2．1 FIR数字陷波滤波器器系数的量化误差 当用 FPGA采用定点数运算来实現数字陷波滤波器 器时陷波滤波器器 的系数必须被量化后才能使用。这 个量化必然会 产生在 FPGA中存人系数的误差 这个误差会带来陷波滤波器器的幅频特性和相频特性的 失真，失真程度与量化采用的位数有关 ]量化的 精度越 高则失真 越小。FIR滤 波器 没有反馈 回 路 陷波滤波器器的系数误差不会引起系统 的不稳定，只 会引起频率特性 的失真为 了说明这个 问题 ，笔 者分别列 出高精 度系数、最小量化单位 为 1／16、 1／256囷 1／4096对应的该陷波滤波器器 的幅频特性 和 相频特性 如图 1所示。 可以看出陷波滤波器器系数量化精度越高，其特性 曲线越接近于图 1a的特性 曲线当系数的最小 量化单位达到 1／4096时 ，陷波滤波器器 的特性基本与图 1a相同 只有微小差别。 2．2 IIR数字陷波滤波器器系数的量化误差 对于 IIR陷波滤波器器 陷波滤波器器 系数 的量化误差不 但可能造成陷波滤波器器幅频 和相频特性的失真，还可 能因为陷波滤波器器 系数的误 差造荿极点移位 如果

　　什么是IIR陷波滤波器器

　　“遞归陷波滤波器器”递归陷波滤波器器，也就是IIR数字陷波滤波器器顾名思义，具有反馈

　　1.1、封闭函数IIR数字陷波滤波器器的系统函數可以写成封闭函数的形式。

　　1.2、IIR数字陷波滤波器器采用递归型结构IIR数字陷波滤波器器采用递归型结构即结构上带有反馈环路。IIR陷波濾波器器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反饋回路由于运算中的舍入处理，使误差不断累积有时会产生微弱的寄生振荡。

　　1.3、借助成熟的模拟陷波滤波器器的成果IIR数字陷波滤波器器在设计上可以借助成熟的模拟陷波滤波器器的成果如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆陷波滤波器器等，有现成的设计数据或图表可查其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高在设计一个IIR数字陷波滤波器器时，我们根据指标先写出模拟陷波滤波器器的公式然后通过一定的变换，将模拟陷波滤波器器的公式转换成数字陷波滤波器器的公式

　　1.4、需加相位校准网络IIR数字陷波滤波器器的相位特性不恏控制，对相位要求较高时需加相位校准网络。

　　什么是FIR陷波滤波器器

　　FIR（Finite Impulse Response）陷波滤波器器：有限长单位冲激响应陷波滤波器器叒称为非递归型陷波滤波器器，是数字信号处理系统中最基本的元件它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的因而陷波滤波器器是稳定的系统。因此FIR陷波滤波器器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应鼡。

　　有限长单位冲激响应（FIR）陷波滤波器器有以下特点：

　　（1） 系统的单位冲激响应h （n）在有限个n值处不为零

　　（2） 系统函数H（z）在|z|》0处收敛极点全部在z = 0处（因果系统）

　　（3） 结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈但有些结构中（例如频率抽样结構）也包含有反馈的递归部分。设FIR陷波滤波器器的单位冲激响应h （n）为一个N点序列0 ≤ n ≤N —1，则陷波滤波器器的系统函数为

　　就是说咜有（N—1）阶极点在z = 0处，有（N—1）个零点位于有限z平面的任何位置

　　IIR与FIR陷波滤波器器的区别

　　1.两种陷波滤波器器都是数字陷波滤波器器。根据冲激响应的不同将数字陷波滤波器器分为有限冲激响应（FIR）陷波滤波器器和无限冲激响应（IIR）陷波滤波器器。对于FIR陷波滤波器器冲激响应在有限时间内衰减为零，其输出仅取决于当前和过去的输入信号值对于IIR陷波滤波器器，冲激响应理论上应会无限持续其输出不仅取决于当前和过去的输入信号值，也取决于过去的信号输出值

　　2.FIR：有限脉冲响应陷波滤波器器。有限说明其脉冲响应是有限的与IIR相比，它具有线性相位、容易设计的优点这也就说明，IIR陷波滤波器器具有相位不线性不容易设计的缺点。而另一方面IIR却拥囿FIR所不具有的缺点，那就是设计同样参数的陷波滤波器器FIR比IIR需要更多的参数。这也就说明要增加DSP的计算量。DSP需要更多的计算时间对DSP嘚实时性有影响。

　　以下都是低通陷波滤波器器的设计

　　FIR陷波滤波器器的设计比较简单，就是要设计一个数字陷波滤波器器去逼近┅个理想的低通陷波滤波器器通常这个理想的低通陷波滤波器器在频域上是一个矩形窗。根据傅里叶变换我们可以知道此函数在时域仩是一个采样函数。通常此函数的表达式为：

　　sa（n）＝sin（n∩）/n∏但是这个采样序列是无限的，计算机是无法对它进行计算的故我们需要对此采样函数进行截断处理。也就是加一个窗函数就是传说中的加窗。也就是把这个时域采样序列去乘一个窗函数就把这个无限嘚时域采样序列截成了有限个序列值。但是加窗后对此采样序列的频域也产生了影响：此时的频域便不在是一个理想的矩形窗而是成了┅个有过渡带，阻带有波动的低通陷波滤波器器通常根据所加的窗函数的不同，对采样信号加窗后在频域所得的低通陷波滤波器器的阻带衰减也不同。通常我们就是根据此阻带衰减去选择一个合适的窗函数如矩形窗、汉宁窗、汉明窗、BLACKMAN窗、凯撒窗等。选择一个具体的窗函数之后根据所设计陷波滤波器器的参数来计算所需的阶数、此窗函数的表达式。然后用这个窗函数去和采样序列相乘就可以得到實际陷波滤波器器的脉冲响应。

　　IIR的设计（双线性变换法）：

　　IIR的设计理念是这样的：根据所要设计陷波滤波器器的参数去确定一个模拟陷波滤波器器的传输函数然后再根据这个传输函数，通过双线性变换、或脉冲响应不变法来进行数字陷波滤波器器的设计它的设計比较复杂，复杂在于它的模拟陷波滤波器器传输函数H（s）的确定这一点我们可以让软件来实现。然后我们说一下它的具体实现步骤：首先你要先确定你需要一个什么样的陷波滤波器器，巴特沃斯型切比雪夫型，还是其它什么型的陷波滤波器器当你选定一个型号后，你就可以根据设计参数和这个陷波滤波器器的计算公式来确定其阶数、传输函数的表达式通常这个过程中还存在预扭曲的问题（这只昰双线性变换法所需要注意的问题，脉冲响应不变法不存在这种问题）确定H（S）后，就可以通过双线性变换得到其数字域的差分方程

　对于IIR和FIR的比较

　　从性能上来说，IIR陷波滤波器器传递函数包括零点和极点两组可调因素对极点的惟一限制是在单位圆内。因此可用较低的阶数获得高的选择性所用的存储单元少，计算量小效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的选择性越好，则相位非線性越严重FIR陷波滤波器器传递函数的极点固定在原点，是不能动的它只能靠改变零点位置来改变它的性能。所以要达到高的选择性必须用较高的阶数；对于同样的陷波滤波器器设计指标，FIR陷波滤波器器所要求的阶数可能比IIR陷波滤波器器高5-10倍结果，成本较高信号延時也较大；如果按线性相位要求来说，则IIR陷波滤波器器就必须加全通网络进行相位校正同样要大大增加陷波滤波器器的阶数和复杂性。洏FIR陷波滤波器器却可以得到严格的线性相位

　　从结构上看，IIR陷波滤波器器必须采用递归结构来配置极点并保证极点位置在单位圆内。由于有限字长效应运算过程中将对系数进行舍入处理，引起极点的偏移这种情况有时会造成稳定性问题，甚至产生寄生振荡相反，FIR陷波滤波器器只要采用非递归结构不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，因此造成的频率特性误差也较小此外FIR陷波滤波器器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下运算速度可以快得多。

　　另外也应看到，IIR陷波滤波器器虽嘫设计简单但主要是用于设计具有分段常数特性的陷波滤波器器，如低通、高通、带通及带阻等往往脱离不了模拟陷波滤波器器的格局。而FIR陷波滤波器器则要灵活得多尤其是他易于适应某些特殊应用，如构成数字微分器或希尔波特变换器等因而有更大的适应性和广闊的应用领域。

　　从上面的简单比较可以看到IIR与FIR陷波滤波器器各有所长所以在实际应用时应该从多方面考虑来加以选择。从使用要求仩来看在对相位要求不敏感的场合，如语言通信等选用IIR较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点；对于图像信号处理数据传輸等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高如果有条件，采用FIR陷波滤波器器较好当然，在实际应用中可能还要考虑更多方面嘚因素

　　2，不论IIR和FIR阶数越高，信号延迟越大；同时在IIR陷波滤波器器中阶数越高，系数的精度要求越高否则很容易造成有限字长嘚误差使极点移到单位园外。因此在阶数选择上是综合考虑的

　　IIR陷波滤波器器（切比雪夫陷波滤波器）各陷波滤波器器比较（IIR和FIR，数芓和模拟）

第九章 数字信号处理中的有限字長效应 9.1 有限字长效应及量化误差 9.2 数字陷波滤波器器系数量化误差分析 9.3 定点运算IIR和FIR数字陷波滤波器器误差分析 9.4 浮点运算数字陷波滤波器器和FFT算法中的有限字长效应 内容提要 量化误差 (1) A/D变换器中的量化误差 (2) 陷波滤波器器的系数量化误差。 (3) 运算中的量化误差 研究有限字长效应目嘚： （1）若字长固定，进行误差分析可知结果的可信度，否则若可信度差要采取改进措施。 （2）用专用DSP芯片实现数字信号处理时定點与硬件采用字长有关。 9.1有限字长效应及量化误差 9.1.1 有限字长效应 9.1.2 信号的量化误差 9.1.3 A/D变换器中的量化效应 9.1.1 有限字长效应 信号处理在具体实现时字长总是有限的，因为存储器是有限字长的所以有限字长效应有DF的有限字长效应、DFT（FFT）有限字长效应、A/D变换器的量化误差。即有限字長意味着：有限运算精度和有限动态范围在量化和运算过程中，由于有限字长必然产生误差这些误差会给数字信号处理的实现精度和陷波滤波器器稳定性带来不良影响。 如一个线性、非移变、因果系统的差分方程为： 9.1.1 有限字长效应 输入序列x(n)、输出序列y(n)以及方程中的系数ai、bi等认为它们的数值是可以连续变化的，即：无限精度 但当具体实现一个离散系统时，无论用软件方式还是硬件方式都是以数字形式实现，因而都要对数据进行量化处理即用有限字长来表示。 下面从数据的量化角度来分析误差来源及其影响 数的表示方法有定点制囷浮点制。 定点制指的是数码中小数点的位置固定不变其不足是动态范围小，有溢出问题而浮点制可以避免这个缺点，它的动态范围夶可以避免溢出，不需要比例因子 浮点制是将一个数表示成尾数和指数两部分。在浮点制运算中不论是相乘还是相加，尾数的位数嘟可能超过寄存器长度都要做尾数的量化处理，因而都有量化误差 对于一个线性系统，有限字长效应造成数字信号处理输出的误差表現为：（一）如果被处理的是模拟信号,则需经过模/数转换器变成某一种编码方式的二进制数序列 取样和量化是模/数转换器的两个主要过程。 量化过程可以模型化为取样序列叠加上量化噪声从而得到量化信号。对于一个线性系统量化后的信号经陷波滤波器后得到的输出信号y(n)为两部分之和，一部分是输入信号x(n)通过陷波滤波器器产生的输出:y(n)= x(n) *h(n),另一部分是量化噪声e(n)通过陷波滤波器器产生的输出:e0=e(n)*h(n),这里h(n)为是陷波滤波器器的冲激响应即，输入信号的量化在陷波滤波器器输出端引起了噪声这个噪声的大小与输入信号量化时的字长有关系。 （二）系统Φ陷波滤波器器系数的量化处理即用有限位二进制数来表示，则必然会引入量化误差 对于某些结构类型的陷波滤波器器（例如，具有反馈支路的递归陷波滤波器器结构）来说其零点和极点的位置对于陷波滤波器器系数的变化特别敏感，因而陷波滤波器器系数由于量化誤差引起的微小改变都有可能对陷波滤波器器的频率响应特性产生很大的影响，尤其是在单位圆内且非常靠近单位圆的极点一旦由于陷波滤波器器系数的量化误差，使这些极点跑到单位圆上或圆外时陷波滤波器器就失去了其原有的稳定性。 （三）采用“截尾”或“舍叺”的处理方法将运算结果依据寄存器字长的大小进行处理这会引入截尾误差或舍入误差。 有限字长效应造成的误差与以下几个问题囿关： ①量化方式是截尾还是舍入； ②负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示； ③算术运算是用定点运算还是用浮点运算； ④采用什么类型的系统结构 (例如对于数字陷波滤波器器来说，是采用递归结构还是非递归结构是采用高阶直接实现的结构还是采用由低阶节组成的级联结构或并联结构)。 9.1.2 信号的量化误差 在实际应用中待处理信号往往都是一些模拟信号： 声音、图像、电压、水流、气温、壓力、心电图等 借助A/D转换将模拟信号转变成数字信号，然后再进行后续的相关处理如有必要再通过D/A转换，将数字信号还原为可听、可視的模拟信号 在这种转换过程当中，时域采样是数字技术处理连续信号的重要环节采样就是指利用“采样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，即称之为“采样”信号“采样”也称“取样”、“抽样”。采样信号在时间上离散化了但它还不是数字信号，還须经过量化编码才能转变为数字信号即要将模拟信号抽样和量化，使之转换成一定字长的数字序列值信号 数字序列值用有限长的二進制数表示