弹簧振子周期实验报告振动的周期和弹簧压缩量有什么关系

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-04-14 12:25 标签： 弹簧振子周期公式推导
弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨
Discussion of the relation between the spring mass and spring oscillator
从能量的观点出发,分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程,并通过解微分方程,得出结论.这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值.
ZHOU Jun-min
WANG Yu-mei
周口师范学院,物理系,河南,周口,466001
年，卷(期)
机标分类号
周口师范学院青年科研基金
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&&8:00-11:30,13:00-17:00(工作日)导读：弹簧元段,设其质量为，振子振动时,弹簧中各元段随着振子作上下振动，各元段的运动速度不同,且与振子运动速度也不同，设弹簧是均匀的,则其元段的质量为:，为弹簧在该时刻的长度，因为远远小于,实际可认为弹簧沿它的长度成正比地伸长,故应有，为处弹簧元段的运动速度,为弹簧下端悬挂的振子在相同时刻的运动速度，弹簧振动时具有的动能应为该时刻各元段的动能之和,即，该时刻振子具有的动能为，因此,振动系统在该时刻具
弹簧元段,设其质量为。振子振动时,弹簧中各元段随着振子作上下振动，但同一时刻，各元段的运动速度不同,且与振子运动速度也不同。设弹簧是均匀的,则其元段的质量为:
为弹簧在该时刻的长度，因为远远小于,实际可认为弹簧沿它的长度成正比地伸长,故应有
为处弹簧元段的运动速度,为弹簧下端悬挂的振子在相同时刻的运动速度，弹簧振动时具有的动能应为该时刻各元段的动能之和,即
将(1)、(2)式及代入(3)式得
该时刻振子具有的动能为
因此,振动系统在该时刻具有的总动能为:
为该系统的折合质量，其固有振动周期为:
可见,考虑弹簧的质量存在时其振动周期是变长的。
6.复杂弹簧振子系统的振动周期
多弹簧振子系统的振动周期
如图（6.1）所示，弹簧振子系统可以是多样化的。三条长度、劲度系数均相同的轻弹簧,共同系在质量为的振子而处于平衡时,上面的两条弹簧伸长了同样的长度,下面的弹簧被压缩了。选取平衡位置为原点O,坚直向下为X轴正方向。振子的位置处于坐标为处时,根据牛顿第二定律可得
图6.1 多弹簧振子系统
其方程的解为
可知,其固有振动周期为
可见这样的运动仍是简谐振动,但是振子固有周期比单个弹簧的振动系统的周期变小了。
（2）弹簧多振子系统的振动周期
图6.2 弹簧多振子系统
对于自然界中的双原子分子(H,CO,Hcl等),它们可沿着对称轴振动,这些分子和原子之间的耦合是电磁的。为研究方便,我们可想象这些原子是用很小的无质量的弹簧连接起来,即把双原子分子沿对称轴的振动,抽象为如图（6.2）所示,用一
根质量可忽略、劲度系数为的弹簧连接,质量分别为和的两振子在光滑的水平面上作自由振动的二体振动理想模型。这里讨论这个二体理想模型的振动周
设弹簧的自由长度为,用和表示弹簧的两个端点的位置,则在任一时刻弹簧的长度为。弹簧的长度变化为:
以,即弹簧被拉长作具体讨论,在这种情况下,受力向左,受力向右，坐标轴取向如图（6.2）所示,根据牛顿第二定律,对和分别有如下方程:
以乘上面方程然后相减得:
令为系统的折合质量,考虑到且为常数,即得:
其中 为常数,可见这关系式与一端固定的弹簧振子所得的关系式类似,此处是振子离开它们的平衡位量的相对位移,质量是二体振动系统折合质量。
与上述同样方法可求得此二体振动系统的固有振动周期为:
可是,其振动周期比用相同倔强系数的弹簧,使其一端固定、一端用二振子中的任一振子作为弹簧振子的振动周期要小。可以这么看,弹簧一端固定,就相当于二体中的任一振子的质量为无限大。如上式中,则
即相当于质量为的弹簧振子的振动 。
7.几种特殊情况下弹簧振子系统的周期计算
弹簧振子系统固有周期公式 中的“”是弹簧的劲度系数, 故在稍复杂一些的问题中, 求解周期的问题往往归结为如何分析回复力, 从而确定“”。下面通过三个例题说明在匀变速系统、连接体及振子纯滚动情况下弹簧振动系统周期的确定。（弹簧质量不计）
例1 将一弹簧振子竖直悬挂在以加速度匀加速上升的电梯中, 如图所示, 设弹簧回复系数为, 振子质童为, 求振动系统的周期。
解:取升降机为非惯性系, 振子受竖直向上的弹力、
竖直向下的重力和惯性力。
设弹簧伸长时, 振子处于平衡状态, 则可得
以振子的平衡位置为坐标原点, 竖直向下为X轴正方向, 振子在任一位置时, 则引起振动的回复力为
可见振动系统的周期仍为
在光滑水平面上, 有两个质量分别为和的物体, 中间联着一回复系数为的轻弹簧, 弹簧被压缩后用细绳固定。烧断细绳后, 求系统的振动周期。
解：由动量守恒定律分析, 系统的动量为零, 两个物体在内力作用下, 必然运动方向总是相反, 即同时向外, 又同时向内, 弹簧回复原长时, 二者分别到达自己的平衡位置, 也就是说两物体的振动是同频率反位相的。
为应用周期公式, 以系统的质心为界把弹簧分成两段。由于质心位置不变, 这两段分别引起和的振动, 如同质心处固定一样, 只是“”不同了。
设弹簧恢复原长时, 质心距、的距离分别为、, 由质心位置不变可知
又因弹簧的回复系数与其长度成反比, 故有
所以物体的振动周期为
同理可求得、, 且可得。
从极限情况考虑, 当 时, 有，
这正是我们预期的结果。
如图所示, 回复系数为k的轻弹簧一端固定, 另一端连接在质量为m的均质圆柱体的轴上, 圆柱体绕其轴在水平面上作纯滚动。令图柱体偏离平衡位置, 使系统作简谐振动, 求系统的振动周期。
解：以平衡位置为坐标原点, 水平向右为X轴正方向, 则圆柱体在坐标处时的能量为
圆柱体的平动动能
圆柱体的转动动能
振动系统的弹性势能
根据机械能守恒定律有
（无滑滚动的条件）
将（2）式和（3）式代入（1）式后，对时间求导并整理可得
令，所以系统的振动周期为
综上所述，在现实生活中，弹簧振子的放置方式对弹簧振子振动周期没有影响；当考虑弹簧振子运动中受到摩擦力作用时, 其振动周期与无摩擦(或忽略摩擦力) 时弹簧振子的振动周期相同；考虑弹簧的质量存在时其振动周期发生了改变，振动周期是变长的；多弹簧振子系统振子固有周期比单个弹簧的振动系统的周期变小，弹簧多振子系统振子振动周期比用相同倔强系数的弹簧,使其一端固定、一端用二振子中的任一振子作为弹簧振子的振动周期要小。可见，在考虑不同的外在条件时，弹簧振子振动周期有的不变，有的会变长，也有的会变短。
参考文献：
3. 【1】 漆安慎，杜婵美.力学基础【M】.北京：人民教育出版社，1982.
【2】 萧化，秦继民.普通物理学专题研究【M】.广西师范大学出版社.
【3】 R.瑞斯尼克，D.哈里德.物理学【M】.北京：科学出版社，1980.
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弹簧振动与电磁振荡弹簧振子周期公式与电磁振荡周期公式有什么内在联系吗?
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弹簧振子：ma=F（牛顿第二定律）,a=x"（两撇代表对时间的二阶导数）,F=-kx,所以,x"+(k/m)x=0.
LC电磁振荡：E+U=0（沿回路一周压降为0,或说电容上的电压始终等于电感上的电压）,E=Ldi/dt=Ld(dq/dt)/dt=Lq",U=q/C,所以,q"+(1/LC)q=0.
可见描述这两个不同的物理模型的二阶常系数微分方程的形式是完全相同的,当你学会该微分方程的求解后你就会知道上述方程中的两个常系数（k/m和1/LC）就是相应振动的角频率（或说圆频率）.
数学之于物理,就如文字之于写作.
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