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节点分析法对于正弦稳态电路的分析是否适用?理由
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适用啊,只不过全部要用相量来表示!
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正弦稳态电路的分析 第三章正弦稳态分析
LOGO LOGO电工基础A信息与通信工程学院 刘彤第3章 正弦稳态分析本章内容3.1 3.2 正弦量的基本概念 正弦量的相量表示法 基尔霍夫定律和电路元件的相量表示 正弦电路的分析方法 正弦电路的功率 谐振电路3.3 3.43.5 3.6重点1. 正弦量的基本概念 2. 正弦量的相量表示 3. 正弦电路中的R、L、C元件 4. KCL、KVL的相量形式 5.掌握正弦稳态电路的相量分析方 法3.1 正弦量i 1. 正弦量?瞬时值表达式T波形i(t)=Imcos(w t+y) 正弦量为周期函数?周期T 和频率f0 f(t)=f ( t+kT )t1 f ? T周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz?正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。?研究正弦电路的意义1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；②正弦信号容易产生、传送和使用。2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 号可以分解为按正弦规律变化的分量。f (t ) ? ? Ak cos(kwt ? ? k )k ?1n结论对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。2. 正弦量的三要素i(t)=Imcos(w t+y)(1) 幅值 (振幅、最大值)Im反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。π w ? 2 πf ? 2(3) 初相位yT单位： rad/s ，弧度/秒反映正弦量的计时起点，常用角度表示。例 解已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， 1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1i (t ) ? 100 cos(103 t ?y )t ? 0 ? 50 ? 100 cosyy ? ?π 3π y ?? 3100i50o t1t由于最大值发生在计时起点右侧 π 3 i (t ) ? 100 cos(10 t ? ) 3当 10 t1 ? π 3 有最大值3π3 t1＝ 3 ＝1.047 ms 10周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。?周期电流、电压有效值定义工程中常将周期电流或电压在一个周期内产 生的平均效应换算为在效应上与之相等的直流量， 以衡量和比较周期电流或电压的效应，这一直流 量就称为周期量的有效值 有效值的符号用相对应的大写字母表示物 理 意 义直流IR交流 iRW ? RI T2W ? ? Ri (t )dt2 0T均方根值I?def1 T?T0i (t )dt2定义电压有效值：1 T 2 U? u ( t ) d t ? 0 Tdef? 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+? )I??1 T2?T02 Im cos 2 ( w t ? Ψ ) dtT?T0cos ( w t ? Ψ ) dt ? ?T01 ? cos 2(w t ? Ψ ) dt 21 1 ? t ? T 2 0 2I m ? 2I1 2 T Im ? I? Im ? ? ? 0.707 I m T 2 2i (t ) ? I m cos(w t ? Ψ ) ? 2 I cos(w t ? Ψ )同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：1 U? Um 2 或 U m ? 2U若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 其最大值为 Um?311V Um?537V 注意 ① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。 ③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。i , Im , I ,u , Um , U3. 同频率正弦量的相位差 设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i 规定： |j | ?? (180°) 等于初相位之差?j >0， u超前i j 角，或i 滞后 u j 角, (u 比 i 先到达最大值)；?j <0， i 超前 u j 角，或u 滞后 i j 角, i 比 u 先到达最大值）。3.2 正弦量的相量表示1. 问题的提出 电路方程是微分方程：+uRiL LuC - C+d uC duC LC ? RC ? uC ? u (t ) dt dt两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：2i1 ? 2 I1 cos(w t ? y 1 )i2 ? 2 I 2 cos(w t ? y 2 )iu 1, i 角频率 有效值 初相位i2wI1 oi1w i 2I2i1+i2 ?i3 i3wwI t3?1?2?3结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想3. 正弦量的相量表示无物理意义造一个复函数F (t ) ?2 Iej(w t ?Ψ )? 2 Icos(wt ? Ψ ) ? j 2 Isin(wt ? Ψ )对 F(t) 取实部Re[ F (t )] ? 2 Icos(w t ? Ψ ) ? i (t )结论 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复指数函数，使正弦量与其实部一一对应。是一个正弦 量 有物理意 义i ? 2 Icos(w t ? Ψ ) ? F (t ) ? 2 Iej( w t ?Ψ )? 2 Ie ejw tjΨF(t) 还可以写成F (t ) ?2 Ie e jwt ?jy?e jwt 2I正弦量对应 的相量jΨF(t) 包含了三要素：I、 ? 、w， 复常数包含了两个要素： I , ??i (t ) ? 2 I cos(w t ? Ψ ) ? I ? I?Ψ ? Ie相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位字母I上的原点表示相量，以示与有效值及一 注意 般复数的区别按正弦量有效值定义的相量称为“有效值”相量 实际应用中，可直接根据正弦量写出与之对应的 相量。 反之，从相量直接写出相对应的正弦量时，必须 给出正弦量的角频率，因为相量没有反应正弦量 的频率。同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：u (t ) ? 2U cos(w t ? θ ) ? U ? U?θ?例1已知i ? 141.4 cos(314t ? 30o )A u ? 311.1cos(314t ? 60o )V点的所有正弦电流用相量表示 时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用 相量表示时仍满足KVL。电路元件的相量形式1. 电阻元件VCR的相量形式 i( t)时域形式：i (t ) ? 2 I cos(wt ? Ψ i )+ uR(t) I?uR (t ) ? Ri (t ) ? 2 RI cos(wt ? Ψ i ) R UR ?u ? ? RI?Ψ 相量形式： I? ? I?Ψ i U R iR 相量关系：+UR?? ? RI ? U RUR=RI 有效值关系-相量模型?u=?i 相位关系波形图及相量图pR URI uR? U R? Ii?u=?i同 相 位2 p ? u i ? 2 U 2 I cos (ω t ? Ψ i ) R R R 瞬时功率? U R I [1 ? cos 2(ω t ? Ψ i )]瞬时功率以2w交变，始终大于零，表 明电阻始终吸收功率2. 电感元件VCR的相量形式 i( t) + u L( t) 时域形式：i (t ) ? 2 I cos(w t ? ψi )di (t ) u L (t ) ? L ? ? 2wL I sin(w t ? Ψ i ) dt L π ? 2w L I cos(w t ? Ψ i ? ) 2 相量形式： ? ? I?Ψ U ? ? w LI ? Ψ ? π 2 I i L i? IUL+ ? -jw L 相量关系：? L ? jwL I ? ? jX L I ? U相量模型有效值关系： U=w L I 相位关系： ?u=?i +90°波形图及相量图uL pLi o 2?? U Lwt电压超前 电流900I??i功率pL ? uLi ? U Lm I m cos(wt ? Ψ i ) sin(w t ? Ψ i ) ? U L I sin 2(w t ? Ψ i )瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期内刚 好互相抵消，表明电感只储能不耗能。3. 电容元件VCR的相量形式 iC(t) + u ( t) ?C I? U时域形式： u (t ) ? 2U cos(wt ? Ψ u ) du (t ) iC (t ) ? C ? ? 2wCU sin(w t ? Ψ u ) dt C π ? 2wCU cos(w t ? Ψ u ? ) 2 相量形式：1 jωC? ? U?Ψ I ?C ? wCU? Ψ ? π 2 U u u+-相量关系：1 ? ? ? U ? ?j I ? jX C I wC相量模型有效值关系： IC=w CU 相位关系： ? =? +90°波形图及相量图 iC pCuo 功率 2?? I C电流超前 电压900 ? Uwt?upC ? uiC ? 2UI C cos(ω t ? Ψ u ) sin(ω t ? Ψ u ) ? UI C sin 2(ω t ? Ψ u )瞬时功率以2w交变，有正有负，一周期 内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。例已知电流表读数： A1 ＝8A若 1. Z1 ? R, Z 2 ? jX C2. Z1 ? R, Z 2为何参数A2 ＝6A A0 A0 ＝ ?? UZ1 A1 A2Z2A0 ＝I0max=?3. Z1 ? jX L , Z 2为何参数A0 ＝I0min=?? I 2? I 0?,I ? U 1解1. I 0 ? 82 ? 6 2 ? 10A2. Z 2 ? R，I 0 max ? 8 ? 6 ? 14A 3. Z 2 ? jX C , I 0 min ? 8 ? 6 ? 2A例已知 U AB ? 50V, U AC ? 78V, 问：U BC ? ?A30W? Ij40W jXLB? j40 I? U BC? U ACC解U AB ? (30 I ) 2 ? (40 I ) 2 ? 50 I? U AB? 30 II ? 1A, U R ? 30V, U L ? 40VU AC ? 78 ? (30) 2 ? (40 ? U BC ) 2U BC ? (78) 2 ? (30) 2 ? 40 ? 32V3.4 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：电阻电路 : ? ? ? ? ? ? ? KCL : KVL :正弦电路相量分析 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? KCL : KVL :?i ? 0? I? ? 0? ?0 ?U ? ?YU ? I?u ? 0元件约束关系: u ? Ri 或 i ? Gu元件约束关系: ? ?ZI ? 或 U结论1. 引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据 的电路定律是相似的。 2. 引入电路的相量模型，把列写时域微分方 程转为直接列写相量形式的代数方程。 3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有 网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态 的相量分析中。直流（f =0)是一个特例。例1 已知： R1 ? 1000W , R2 ? 10W , L ? 500mH , C ? 10μF , U ? 100V , w ? 314rad/s , 求:各支路电流。 i2 R1 I?2 R1 i1 I?1 1 i3 ? ?j C I 3 wC + R2 + R2 u Z2 ? U Z1 L _ j wL _解 画出电路的相量模型3 ? 1000 ? ( ? j 318 . 47 ) 318 . 47 ? 10 ? ? 90 wC ? Z1 ? ? ? 1 1000 ? j 318 . 47 1049 . 5 ? ? 17 . 7 R1 ? j wCR1 (? j 1)Z1 ? 303.45? ? 72.3? ? 92.11 ? j 289.13 WZ 2 ? R2 ? jwL ? 10 ? j157 WZ ? Z1 ? Z 2 ? 92.11 ? j289.13 ? 10 ? j157 ? 102.11 ? j132.13 ? 166.99? ? 52.3? WI?1I?2R11 ?j wC+? UI?3R2j wL_Z1Z2? ? U 100 ? 0 ? ? ? ? I ? 0 . 6 ? 52 . 3 A 1 ? Z 166.99? ? 52.3? ? I 2? j318.47 ? ? 0 . 6 ? 52 . 3 ? 1 1049 . 5 ? ? 17 . 7 R1 ? j ? R1 I wC 2 ? I ? 0.181? ? 20? A 1 1? j1wC I ? ? 1+? ? I 3 R1 R1 ? j ? I 1? U? ?j I 3 wCR2j wL1 _ wC 1000 ? ? ? ? 0 . 6 ? 52 . 3 ? 0 . 57 ? 70 A ? 1049.5? ? 17.7Z1Z2例2? I S已知：I?S ? 4?90o A , Z1 ? Z 2 ? ? j30 Ω, Z ? 30 Ω , Z ? 45 Ω, 求电流 I?.3Z2? IZ1Z3ZZ1??Z3 +Z2? I-? ( Z1 // Z 3 ) I SZ解 方法1：电源变换30(? j30) Z1 // Z 3 ? ? 15 ? j15W 30 ? j30? ( Z // Z ) I j4(15? j15) S 1 3 ? I ? ? Z1 // Z3 ? Z 2 ? Z 15? j15? j30? 45o 5.657 ? 45 ? 5? - 36.9o? 1.13?81.9o A方法2：戴维南等效变换? I SZ2 Z1 Z3+? U 0Z0 +?0 U? IZ--? ?I ? ( Z // Z ) ? 84.86?45o V 求开路电压： U 0 S 1 3求等效电阻：Z 0 ? Z1 // Z 3 ? Z 2 ? 15 ? j45Ω? ? U 84 . 86 ? 45 0 ?? I ? ? 1.13?81.9o A Z 0 ? Z 15 ? j45 ? 45例3?2 用叠加定理计算电流 I? S ? 100?45o V 已知 : U?S ? 4?0o A, Z ? Z ? 50?30o Ω, Z ? 50? ? 30o Ω . I 1 3 2? Z1 I SZ2 + Z3 -? I 2?S U? Z1 I SZ2 Z3?? I 2解? 单独作用(U ? 短路 ) : (1) I S SZ3 ? ? ? I 2 ? IS Z 2 ? Z350?30o ? 4?0 ? 50? ? 30o ? 50?30oo200?30o ? ? 2.31?30o A 50 3? Z1 I SZ2 + Z3 ?? I 2?S UZ1 Z3Z2 + -??? I 2?S U(2) U S 单独作用( I S 开路 ) :?? U S ??? ? ? I 2 Z 2 ? Z3? 100?45o ? 50 3? 1.155? ? 135o A? ?I ?? ? I ??? ? 2.31?30o ? 1.155? ? 135o A I 2 2 2例4已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jwL3。 求：Zx=Rx+jwLx。 |Z1|?j1 o|Z3|?j3 = |Z2|?j2 o|Zx|?jx |Z1| |Z3| = |Z2| |Zx| Z1 Z2解 平衡条件：Z1 Z3= Z2 Zx 得：j1 +j3 = j2 +jxR1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx) ∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2Zx ?Z3相量图法电路中相关的电压和电流相量在复平面上组 成的图形称为电路的相量图 在相量图中，除了按比例反映各相量的模 （有效值）以外，最重要的是根据各相量的 相位相对地确定各相量在图上的位置（方位） 向量图可以直观地显示各相量之间的关系， 并可用来辅助电路的分析计算例5已知：U=115V, U1=55.4V , U2=80V, R1=32W , f=50Hz。 求：线圈的电阻R2和电感L2 。 ? ? U I 解 方法一、 画相量图分析。 + 1 _? ?U ? ?U ? ?U ? ?U ? ?U ? U 1 2 1 R2 L? U+? UR1R2 L2+? U 2?j? U 1?2? U 2? U L__? I? U R22 U 2 ? U12 ? U 2 ? 2U1U 2 cos jcos j ? ?0.4237 ?j ? 115.1?? 2 ? 180? ? j ? 64.9?I ? U1 / R1 ? 55.4 / 32 ? 1.73A? U| Z 2 |? U 2 / I ? 80 / 1.73 ? 46.2Ω R2 ?| Z 2 | cos? 2 ? 19.6Ω X 2 ?| Z 2 | sinθ2 ? 41.8Ω L ? X 2 /(2 πf ) ? 0.133H? j ?2? U 1? U 2? U L? I? U R2方法二、? ?U ? ?U ? ? 55.4?00 ? 80?j ? 115?? U 1 255.4 ? 80 cos j ? 115 cos ?80 sin j ? 115 sin ?cos j ? 0.424? I? U + 1 _j ? 64.930+? UR1R2 L2+? U 2其余步骤同解法一。__3.5 正弦电路的功率1. 瞬时功率 i 无源 网络u (t ) ? 2U (cos wt ? Ψ u ) i (t ) ? 2 I cos(wt ? Ψ i ) φ为u和i的相位差 φ ? Ψ u ? Ψ i+ u _p (t ) ? ui ? 2U (cos wt ? Ψ u ) ? 2 I cos(wt ? Ψ i ) ? UI [cos φ ? cos(2wt ? Ψ u ? Ψ i )]瞬时分量有两个值 第一个UI cos φ为恒定量 第二个 cos(2wt ? Ψ u ? Ψ i )为正弦量 其频率是电压或电流的两倍p(t ) ? UI[cosφ ? cos(2wt ? φ)]pUIcosj 恒定分量。u iowtUIcos (2w t +ju+ ji)为正 弦分量。? p 有时为正, 有时为负； ? p>0, 电路吸收功率； ? p<0，电路发出功率；若两端网络为电阻元件，则其瞬时功率为PR ? UI ? UI cos(2wt ? 2Ψ i ) ? 2UI cos 2 (wt ? Ψ i )P大于等于0说明电阻只从外界吸收能量，是 纯粹的耗能元件，见图4-27 若两端网络为电感元件，则其瞬时功率为PL ? UI sin 2(wt ? Ψ u )电感半个周期从外界吸收能量存储于磁场中， 半个周期将存储的磁场能向外界释放，吸收 和释放的能量相等，说明电感本身不消耗能 量，只与外界交换能量，见图4-28若两端网络为电容元件，则其瞬时功率为PL ? UI sin 2(wt ? Ψ i )电容半个周期从外界吸收能量存储于电场中， 半个周期将存储的电场能向外界释放，吸收 和释放的能量相等，说明电容本身不消耗能 量，只与外界交换能量，见图4-292.平均（有功）功率 P 瞬时功率实际意义不大，而且不便于测量， 所以引入平均（有功）功率的概念平均（有功）功率是指瞬时功率在一个周期 内的平均值 1 T 1 T P ? ? pdt ? ?0 [UI cos j ? UI cos(2wt ? j )]dt T T 0? UI cos φP ? UI cosφcos j ：功率因数。 P 的单位：W（瓦）j =yu-yi：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。 有功功率代表一端口实际消耗的功率，是 瞬时功率的恒定分量cosj1, 纯电阻 0， 纯电抗一般地 , 有： 0??cosj??1 X>0, j >0 , 感性， X<0, j <0 , 容性， 结论 平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有 功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电 压电流有效值有关，而且与 cosj 有关，这是交 流和直流的很大区别 , 主要由于电压、电流存在 相位差。3. 无功功率 QQ ? UI sin φdef单位：var (乏)。? Q>0，表示网络吸收无功功率； ? Q<0，表示网络发出无功功率。 ?Q的大小反映网络与外电路交换功率的速率。 是由储能元件L、C的性质决定的4. 视在功率S 许多电力设备的容量是由它们的额定电流和额定 电压的乘积决定的，因此引入视在功率的概念电气设备的容量S ? UIdef单位 : VA (伏安)有功，无功，视在功率的关系：有功功率: P=UIcosj 无功功率: 视在功率: Q=UIsinj S=UI2 2单位：W 单位：var 单位：VAS ? P ?QSjPQ功率三角形5. R、L、C元件的有功功率和无功功率 i + u i + u L PL=UIcosj =UIcos90? =0 QL =UIsinj =UIsin90? =UI=I2XL R PR =UIcosj =UIcos0? =UI=I2R=U2/R QR =UIsinj =UIsin0? =0它的有功功率为0，所以不消耗能量，但是p正负 交替变换，说明有能量来回交换i+ u -PC=UIcosj =UIcos(-90?)=0 C Q =UIsinj =UIsin (-90?)= -UI= I2X C C 它的有功功率为0，所以不消耗能量，但是p正负 交替变换，说明有能量来回交换例1 三表法测线圈参数。 已 知 ： f=50Hz ， 且 测 得 U=50V，I=1A，P=30W。 ? I * A W 解法 1 * + R S ? UI ? 50 ?1 ? 50VA ? V Z U 2 2 2 2 Q ? S ? P ? 50 ? 30 L _? 40 varP 30 R? 2 ? ? 30W I 1Q 40 XL ? 2 ? ? 40W I 140 L? ? ? 0.127H w 100πXL7. 功率因数的提高功率因数低带来的问题：①设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容 量还有； P=UIcosj=Scosj S 75kVA 负载 cosj =1, P=S=75kW cosj =0.7, P=0.7S=52.5kW设备容量 S (额定)向负载送多少有功要由负 载的阻抗角决定。 一般用户： 异步电机 空载 cosj =0.2~0.3 满载 cosj =0.7~0.85 日光灯 cosj =0.45~0.6② 当输出相同的有功功率时，线路上电流大， I=P/(Ucosj)，线路压降损耗大。+ u i ZI?j 1 j2 ? I? UP ? UI cosjU ? cos j ?I?解决办法： （1）高压传输（2）改进自身设备 （3）并联电容，提高功率因数 。分析 +? I? I CRL? I L? U特点：Cj1 j 2 ? I? UI?C_I?L并联电容后，原负载的电压和电流不变， 吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的 工作状态不变。但电路的功率因数提高了。并联电容的确定：I C ? I L sin j1 ? I sin j 2P P 将 I? , IL ? 代入得 U cos j 2 U cos j1j1 j2 ? I? UI?CI C ? wCU ? P ( tgj1 ? tgj 2 ) UC ? P 2 ( tgj1 ? tgj2 ) wUI?L还有一个满足要求的解答，如图中虚线所示。这 时整个电路由于过补偿而呈容性，需要的电容更大， 显然是不可取的。例 已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cosj1=0.6，要 使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C，并联前后 ? I ? C I 电路的总电流各为多大？解cos φ1 ? 0.6 ? φ1 ? 53.13ocos φ2 ? 0.9 ? φ2 ? 25.84o+R CL I? P _ L C? ( tg φ ? tg φ ) 1 2 wU 2 10 ?103 ? ? ? ( tg 53 . 13 ? tg 25 . 84 ) ? 557 ? F 2 314 ? 220 P 10 ?103 I ? IL ? ? ? 75.8A 未并电容时： U cos j1 220 ? 0.6并联电容后：I? P ? 10 ?103 ? 50.5A? U若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增 加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？ 解cos φ1 ? 0.9 ? φ1 ? 25.84o cos φ2 ? 0.95 ? φ2 ? 18.19oP C? ( tgφ1 ? tgφ2 ) 2 wU 10 ?103 ? ? ? ( tg 2 5.84 ? tg 1 8.19 ) ? 103? F 2 314 ? 22010 ? 103 I? ? 47.8A 220 ? 0.95cosj 提高后，线路上总电流减少，但继 续提高cosj 所需电容很大，增加成本，总电流减 小却不明显。因此一般将cosj 提高到0.9即可。注意3.6 RLC谐振电路谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊 物理现象。谐振现象在无线电和电工技术中得到广 泛应用，研究电路中的谐振现象有重要实际意义。 1. 谐振的定义 含 R、 L、 C的一端口电路，在特定条件下出现端 口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。 1. 谐振的定义? I? UR,L,C 电路? U ?Z ?R ? I发生 谐振2.串联谐振的条件Z ? R ? j(ωL ? 1 ) ? R ? j( X L ? X C ) ωC ? R ? jXI?+U _?R jw L1 j wC当 X ?0 ?ω 0L ? 1 w0 C时，电路发生谐振 。1 ω0 ? LCf0 ? 1 2π LC谐振条件 谐振角频率 仅与电路参数有关 谐振频率串联电路实现谐振的方式： (1) L C 不变，改变 ww0由电路参数决定，一个R L C串联电路只有 一个对应的w0 , 当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。(2)电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。3. RLC串联电路谐振时的特点 阻抗的频率特性Z ? R ? j(wL ? 1 ) ?| Z (ω) | ?j (ω) wC| Z (ω) |? R 2 ? (wL ? 1 ) 2 ? R 2 ? ( X L ? X C ) 2 ? R 2 ? X 2 wCωL ? 1 ?1 ?1 X L ? X C ωC j (ω ) ? tg ? tg ? tg ?1 X R R R幅频 特性 相频 特性Z (w ) |Z(w )| X (w ) LX(w )R oj (w )?/2w0XC(w )wo–?/2w0wZ(jω)频响曲线?与I ?同相 . (1). 谐振时 U入端阻抗为纯电阻，即Z=R，阻抗值|Z|最小。 电流I 和电阻电压UR达到最大值 I0=U/R (U一定)。I??R?+ + UR U __ +UL UC? ?UL?_ + _jw L1 j wCUL ? U C ? 0 X ?0???UR UC?I?(2) LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压 为零，也称电压谐振，即UL ? U C ? 0, LC相当于短路。? ?U ? 电源电压全部加在电阻 上， U R? ?? U ? ? jw L ? jQU ? UL ? jw0 LI 0 R ? ? ? I U ? UC ? ? j ? ? jw0 L ? ? jQU w0C R?? ?U ? ? QU U L C特性阻抗w 0L品质因数1 L ? Q? ? ? R R C R(3) 谐振时出现过电压 当 ?＝w0L=1/(w0C )>>R 时，Q>>1 UL= UC =QU >>U例 某收音机输入回路 L=0.3mH，R=10W，为收 到中央电台560kHz信号，求：(1)调谐电容C值； (2) 如输入电压为1.5?V,求谐振电流和此时的 电容电压。解(1)1 C? ? 269pF 2 (2? f ) L+ uRL CU 1.5 (2) I 0 ? ? ? 0.15μ A R 10U C ? I 0 X C ? 158.5μ V ?? 1.5μ V_(4) 谐振时的功率 P=UIcosj＝UI＝RI02=U2/R， 电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。Q ? UI sin j ? QL ? QC ? 0 1 2 2 QL ? ω0 LI 0 , QC ? ? I 0 ? ?w0 LI 02 ω0C注意 电源不向电路输送 无功。电感中的无功与电 + 容中的无功大小相等，互 _ 相补偿，彼此进行能量交 换。LC QPR并联电路的谐振1. G、C、L 并联电路Y ? G ? j(ωC ? 1 ) ? G ? jB ωL B ? ωC ? 1 ? 0 ωLIS?+U?_GCL谐振角频率 谐振频率 谐振特点：1 LC 1 fp ? 2? LC ωp ?|Y|G ow0w①入端导纳为纯电导，导纳值|Y|最小，端电压达最大。U(w ) IS/GIC?I G ? IS U???ow0wIL?? LC上的电流大小相等，相位相反，并联总电流 为零，也称电流谐振，即 + IS ? IS ? ? ? L C I C ? Ujw0 C ? jw0 C ? jQI G U S G _ ? IS ? ? ? I L ? U / jw0 L ? ? jw0 C ? ? jQI S??GIL(w0) =IC(w0) =QIS百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆
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根据式（5-24）画出的电阻元件模型如图5-9(a)所示。它以相量形式的伏安特性描述电阻元件特性，故称为相量模型(phasor model)。电阻元件电流、电压相量图如图5-9(b)所示。
二、电感元件
设电感L的端电压与电流采用关联参考方向，如图5-10(a)所示。当正弦电流
i(t)=2Isin(ωt+θi) 通过电感时，其端电压为
u(t)=L=2ωLIcos(ωt+θi)
（5-26） =2ωLIsin(ωt+θi+90 )
=2Usin(ωt+θu)
式中U和θu分别为电感电压的有效值和初相。由式（5-26）可知电感电压和电流是同频率的正弦量，其波形如图5-10(b)所示。
若设电感电流、电压与有效值相量的对应关系为
i(t)=2Isin(ωt+θi)?I=Iejθiu(t)=2Usin(ωt+θu)?U=Ue
则根据上一节的微分、线性和唯一性规则，可得式（5-26）的相量表达式为
该式称为电感元件的伏安特性的相量形式。它同时体现了电感电流、电压之间的有效值关系和相位关系。因为式（5-27）可以改写为
Uejθu=jωLIejθi=ωLIej(θi+90) 根据两复数相等的定义，可得
θu=θi+90o
由式（5-28）可知，电感的电流、电压有效值的关系除与L有关外，还与角频率ω有关。而电阻元件的U-I关系是与ω无关的。
对给定的电感L，当I一定时，ω越高要求U
越大；ω越低则U越小。也就是说电感对高频电流呈现较大的阻碍作用，这种阻碍作用是由
电感元件中感应电动势反抗电流变化而产生的。在电子线路中使用的滤波电感或高频扼流圈，就是利用电感的这种特性以达到抑制高频电流通过的目的。在直流情况下，ω=0，U=0，
此时电感相当于短路。式（5-29）表明电感电
电路分析基础
压的相位超前电流90o，这与电阻元件中电流电压同相也是完全不一样的。
根据式（5-27）画出的电感元件的相量模型如图5-11(a)所示，电感电流、电压相量图如图5-11(b)所示。
三、电容元件
设电容元件C，其电压、电流采用关联参考方向，如图5-12(a)所示。当电容端电压为
u(t)=2Usinω(t+θu) 通过C的电流为
=2ωCUcos(ωt+θu)dt
=2ωCUsin(ωt+θu+90 )
（5-30） =2Isin(ωt+θi)
电容元件i-u关系
式中I和θi分别是电容电流的有效值和初相。式（5-30）表明，电容电压、电流是同频率的正弦量，其波形如图5-12(b)所示。
如果电容电压、电流与相量之间的对应关系为
u(t)=2Usin(ωt+θu)?U=Uejθu?
?i(t)=2Isin(ωt+θi)?I=Ie?
由上一节中的微分、线性和唯一性规则，可得（5-30）的相量表达式
（5-32） 或
jωCωC式（5-31）和（5-32）称为电容元件伏安特性的相量形式。若将式（5-32）中的电
流、电压相量表示成指数型，即
11jθij(θi-90 )
则由复数相等定义，可得
（5-33） ωC
θu=θi-90
式（5-33）表明，对于给定的电容C，当U一定时，ω越高，电容进行冲放电的速率越快，单位时间内移动的电荷量越大，故I就越大，表示电流越容易通过。反之，ω越低，电流将越不容易通过，在直流情况下，ω=0，I=0，电容相当于开路，所以电容元件具有隔直流的作用。由式（5-34）可知，电容电压的相位滞后电流90o。
正弦稳态电路分析
根据式（5-32）画出电容元件的相量模型如图5-13(a)所示。电容中电流、电压的相量图如图5-13(b)所示。
四、正弦电源相量模型
如果一个独立电压源us(t)的输出电压为正弦电压，即
us(t)=2Ussinω(t+θu) 就称其为正弦电压源。式中Us、ω和θ
电容元件的相量伏安特性
分别为正弦电压us的有效值、角频率和初相。
将正弦量us表示成相量Us，得到正弦电压源的相量模型如图5-14(a)所示。图中的符号“+”和“-”表示电压Us的参考极性。
同样，如果一个独立电流源is(t)的输出电流为正弦电流，即
is(t)=2Issinω(t+θi)
就称它为正弦电流源。上式中Is、ω和θi分别表示正弦电流的有效值、角频率和初相。正弦电流源的相量模型如图5-14(b)所示，图中Is为正弦电流
is对应的有效值相量，箭头方向表示其参考方向。
通常，把正弦电压源和正弦电流源统称为正弦独立源，或简称为正弦电源。
对于受控电源，应用与正弦电源类似的定义方法，可以得到正弦稳态情况下的正弦受控源，这里不再一一赘述，仅给出它们的相量模型如图5-15所示。
正弦受控源的相量模型
基尔霍夫电流定律和电压定律的相量形式
KCL指出：对于集中参数电路中的任意节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的所有电流的代数和恒为零。在正弦稳态电路中，各支路电流都是同频率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示为
电路分析基础
sinω(t+θki)=0
式中n为汇于节点的支路数，ik为第k条支路的电流。设正弦电流ik对应的相量为
ik=Ikmsin(ωt+θkm)?Ikm=Ikmejθki
根据上节的线性规则和唯一性规则，可得式（5-35）对应的相量关系表示为
这就是KCL的相量形式。它表明，在正弦稳态电路中，对任一节点，各支路电量的代数和恒为零。
同理，对于正弦稳态电路中的任一回路，KVL的相量形式为
式中n为回路中的支路数，Ukm和Uk分别为回路中的第k条支路电压的振幅相量和有效值相量。式（5-37）表明，沿正弦稳态电路中任一回路绕行一周，所有支路电压相量的代数和恒为零。
电路如图5-16(a)所示。已知R=5Ω，L=5mH，C=100μF，
uab(t)=102sin103tV。求电压源电压us(t)，并画出各元件电流、电压的相量图。
(c) 图5-16
例5-3电路与电流、电压相量图
解：电压uab的有效值相量为
ωL=103?5?10-3=5Ω