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微分在经济中的应用
浅谈高等数学在经济中的应用
（牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江157012）
摘要：高等数学在经济方面有着重要的应用。从几个侧面简要谈谈微积分、微分方程、数理统计在经济中的应用。
关键词：高等数学；
数学作为一门理论学科，在理学、工学、管理学、经济学等各个领域都发挥了重要的作用，如何将抽象的数学理论应用到具体的科学实践中去，现主要从高等数学与经济的相关联系出发简要探讨高等数学在经济中的应用。
1微积分在经济中的应用
微积分在经济中的边际分析、弹性分析、最值分析中有一定的应用。
边际分析研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率，它所分在的是一个经济变量改变一个单位时另一个经济变量改变多少？
[例]某企业对利润及产品的产量情况进行大量统计分析后，得出总利润L=L（x）元
吨）的关系为：与每月产量x（
L（x）-250x-5x2，试确定每月生产20吨、25吨、35吨的边际利润，并作出经济解释。
解：首先求边际利润，由已知得L'（x）=250-10x，
则L'（20）=50，L'（25）=0，L'（35）=-100
上述结果表明：当每月产量为20吨时再增加一吨，利润将增加50元；当每月产量为25吨时再增加一吨，利润不变；当每月产量为35吨时，再增加一吨，利润减少100元。
这说明，对一个企业来说，并非生产的数量越多，利润就越高。因此，在经济工作中，边际分析尤为重要，对边际问题的正确分析，对企业的决策者做出正确的决策起着十分重要的作用。
弹性分析在产品价格决策，企业经营决策中具有重要的地位。运用弹性分析进行价格决策的基本原则是：
1）对弹性比较大的（高弹性）产品，可（
采取降低价格的措施，以扩大销售。
（2）对弹性比较小的（低弹性）产品，则宜采用适度的提高价格的政策，以取得增加销售额的效果。具体地讲，应根据下列几种情况，有选择地采取不同的价格措施进行决策。
[例]根据历史资料分析，乙产品的价格弹性为-0.2（即价格变动±1%时，需求量变动0.2%）。在价格为500元/架时，销售数量为400架。试计算，要使销售总额增长15600元，应采取什么样的价格政策（即降价或提价）。
解：据题意乙产品价格调整幅度为x
调价后的销售总额=500×400+（元）
）×400×（1-0.2x）=则：500×（1+x
得x=0.1=10%（x=3.9不切实际，舍去）即乙产品价格提高10%后，尽管销售数量会随之减少，但幅度只有2%，远比价格变
动的幅度小，因此，同样可使销售总额上升15600元。
弹性分析在经济中的运用比较重要，运用弹性原理进行价格决策，必须结合企业内外条件、环境等进行全面考虑。
在经济问题中，经常会遇到这样的问题;怎样才能使“成本最低”“效益最高”“利润最大”等问题，这样的问题在高等数学中可以归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题。这样的问题很多，不再一一举例说明。
2微分方程在经济中的应用
微分方程是数学专业一门重要的分支，其解法和理论已经很完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。下面举例说明：
[例]在某池塘内养鱼，该池塘内最多能养1000条，设在t时刻该池塘内鱼数y是时间t的函数y=y（）t，其变化率与鱼数y及1000-y的乘积成正比，比例常数为k＞0，已知在池塘内放养鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求放养7个月后池塘内鱼数y（）t的公式，放养6个月后有多少鱼？
解：时间t以月为单位，依题意有dy
），是yt=0=100yt=3==ky（1000-y
对方程分离变量并且积分，得到
=Ce1000kt将t=0y=100代入，得t=
0y=100代入，得C=
e1000kt，再将t=3，y=250代入，求出K=ln3于是，放养t个月后池塘内的鱼数为y（）t=
t是指某种行动结果所具有的变动性，是财务管理中的一个很重要的概念，在风险的衡量中用到的主要是随机变量的数学期望、方差、标准离差率、协方差等。
3.1单一资产投资风险衡量。
决策者主要通过求标准差率将决策方案风险加以量化，并据此做出决策：对于单个方案，决策者可根据其标准离差率的大小，并将其设定的可接受的此项指标最高限制对比，然后进行决策；对于多个方案，选择低风险高收益的方案。
3.2投资组合风险的衡量。
投资者通常不是把自己的全部资金都投放在单一资产上，而是同时向多项资产投资。这时投资组合的总风险由投资组合收益率的方差和标准离差来衡量。
综上，高等数学在经济领域有着很重要的应用，所以在高等数学教学中要深入渗透经济领域的知识，针对不同专业，讲授一些相关的经济数学模型以及实验模型。将高等数学的理论与应用联系在一起，这样能够收到很好的效果。
[1]高鸿业.西方经济学[M].北京:中国人民大学出版社,.
[2]马元兴,季学芳.财务管理[M].北京:高等教育出版社,.
[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社.
参与项目：1、黑龙江省教育厅08年科技研究指导项目：高等数学中典型问题与方法的研究。2、牡丹江师范学院教学改
08SY-09245）。革工程项目（
放养6个月后池塘内的鱼数为y（）t=500（条）
3概率与数理统计在风险衡量中的应用
概率论与数理统计是研究随机现象的一门学科，风险通常
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第四节 1 本节介绍经济学中几个常用的微分方程模型. 一、价格调整模型设某商品的价格主要取决于市场供求关系,或者 说供给量S与需求量D只与该商品的价格p有关....微分在经济中的应用4个 1页 1财富值 经济数学_微分教案 49页 1财富值 3.6 ...经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变 量的边际变化的方法,就是边际分析...(4)微分方程的应用_数学_自然科学_专业资料。微分方程的应用. 几何与物理应用 微分方程的应用分几何与物理应用,几何应用主要 是根据所满足的几何条件列出微分方程,...§4 微分中值定理及其应用微分学理论的核心由几个中值定理构成,它包括费 马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西 中值定理和泰勒中值定理。这些定理揭示...微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第三章中值定理与导数的应用_理学_...知识点:极限的保号性、介值定理、微分中值定理。 思路:要证明在某个区间 ( ...习题详解-第4章 微分中值定理与导数的应用_理学_高等教育_教育专区。习题 4-...300 时的总收入, 平均收入和边际收入,并解释其经济意义. 解 设需求量 Q 件...上满足罗尔定理; 4 4 x 在 [4,9] 上满足拉格朗日中值定理; (3) 验证函数 f ( x) = x + 1, g ( x) = x 2 在区间 [1,2] 上满足柯西中值定...第四章 微分中值定理和导数的应用 1.验证罗尔定理对函数 y ? ex sin x 在区间 ?0,3 ? 上的正确性。 π 3 ) 解答:因为函数 y ? ex sin x 在区间...高数1 微分中值定理与导... 4页 1下载券 高等数学(同济五版)第三... 13...求当需求量 Q = 300 时的总收入, 平均收入和边际收入,并解释其经济意义. 解...4-2-1一阶微分方程应用举例_数学_自然科学_专业资料。一阶微分方程应用举例 首页 上页 下页 尾页 建立微分方程的方法: 1、直接法: 直接由几何条件或物理定律...您所在位置： &
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最值问题在经济管理中的应用(经济数学建模课件).doc14页
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最值问题在经济管理中的应用
本段举例说明最大、最小值问题在经济管理中的应用.
1. 最小成本问题
实际问题中成本一般是产量q的函数: CCq,求最小成本问题即是求Cq的最小值问题,但在实用中,经常是用平均成本达到最小来控制产量,所以常常是求平均成本的最小值.
设某企业每季度生产某种产品q个单位时,总成本函数为
1 求使平均成本最小的产量;
2 求最小平均成本及相应的边际成本.
1平均成本函数为
, 得唯一驻点
, 故 就是的极小值因而是最小值.
所以,每季度产量为个单位时,平均成本最小.
2 当时,最小平均成本为
而边际成本函数为
所以当时,相应的边际成本为
由此可见,最小平均成本等于其相应的边际成本.
一般而言,如果平均成本可导,则令
当在处取得极小值时,有,即对于成本函数,最小平均成本等于相应的边际成本,这也证实了我们在第二章研究边际成本时的结论.
铁路线上AB段的距离为100km,工厂C距A处为20km,AC垂直于AB图3-16,为了运输需要在线AB上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路上每km货物的运费与公路上每km货物的运费之比为3∶5,为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D点应选在何处?
解设ADxkm,
则DB100-xkm,
由于铁路上每km货物的运费与公路上每km货物的运费之比为3∶5,因此不妨设铁路上每公里的运费为3k,公路上每公里的运费为5kk为某个常数,因它与本题的解无关,所以不必定出.设从B点到C点需要的总运费为y,那么y5k?CD+3k?DB,即
(0≤x≤100)
现在,问题就归结为x在[0,100]内取何值时y的值最小.
令,得唯一驻点x15
由于其中x15时,y最小,因此,当AD15km时,总运费最省.
2. 最大利润问题
在产量等于销量的情况下,利润等于总收入与总
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《2-6偏导数在经济分析中的应用.ppt 27页
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第六节偏导数在经济分析中的应用边际与偏弹性最值在经济中的应用Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.一、边际与偏弹性在一元函数微分学中，我们引入了边际与弹性的概念，这些概念可以推广到多元函数微分学中．表示z=f(x,y)在点对x的边际.其含义为:在点处,当y保持不变,而x改变一个单位时,z=f(x,y)近似改变个单位.表示z=f(x,y)在点对y的边际.1.边际Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.其含义为:在点处,当x保持不变,而y改变一个单位时,z=f(x,y)近似改变个单位.z=f(x,y)对x的边际函数z=f(x,y)对y的边际函数本节以生产函数为例来说明边际与偏弹性的概念. 生产函数指的是一定的投入品组合与之所能生产的最大产量Ｑ之间的关系． 设投入品：劳动Ｌ和资本Ｋ，则生产函数可以用二元函数表示为Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.一种投入的边际(物质)产量(marginalphysicalproduct)是在其它投入固定不变时，多使用一单位这种投入的额外产量.用数学公式表示，有资本的边际产量投入要素的边际产量劳动的边际产量Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.例如,消费者行为:效用与边际效用效用函数其中u为效用量,qx为对物品x的消费量,qy为对物品y的消费量.表示每增加一个单位商品qx的消费所得到的总效用的增加量.表示每增加一个单位商品qy的消费所得到的总效用的增加量.边际效用是递减的,随着一个人所消费的某种商品的数量增加,其总效用虽然递增,但该物品的标边际效用却是递减的趋势.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.2.弹性考虑函数的相对偏增量与自变量的相对增量之比:当时,称为z=f(x,y)在点处对x的弹性函数.记为.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.即同样,z=f(x,y)在点处对x的弹性函数:其含义为:在点处,当y保持不变,而x改变1%时,z=f(x,y)近似改变.其含义为:在点处,当x保持不变,而y改变1%时,z=f(x,y)近似改变.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.产出关于投入要素的偏弹性产出关于投入要素的偏弹性是产出关于某个投入要素的相对变化率.产出关于资本的偏弹性设生产函数可偏导且产出关于劳动的偏弹性Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.设生产函数求劳动投入的边际产量；求产出关于劳动投入的偏弹性；证明：若，劳动投入的边际产量单调减少.（注：这个函数称为柯布－道格拉斯(Cobb-Douglas)函数）解 (1)劳动投入的边际产量为(2)在生产函数两端取自然对数，得Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.于是，劳动投入的边际产量单调减少.则产出关于劳动投入的偏弹性为(3)由得Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.CopyrightAsposePtyLtd.设生产函数其中Q是产出量,Ｌ是劳动Q=1时,Ｋ关于L的弹性.投入量,Ｋ是投入量
正在加载中，请稍后...《经济增加值及经济增加值率在公司业绩评价中的应用》
经济增加值及经济增加值率在公司业绩评价中的应用
摘要：经济增加值已逐渐应用于公司业绩评价中，因为它真实反映了企业所创造的价值。但经济增加值受到企业规模的严重影响，?模不同的企业无可比性，通过引入经济增加值率这一评价指标，便可以得到很好的弥补。关键词：业绩评价；经济增加值率；资本投入随着我国经济的不断发展，企业对于管理模式的重要性也越来越有了深刻的认识，经济增加值（EVA）已成为我国许多企业推行的一种管理方式，其对于企业管理有着非常大的促进作用。我国目前集团化企业越来越多，它们在对下属公司进行业绩评价时，已逐渐把经济增加值指标作为业绩评价中的重要指标之一，并在业绩评价中占有的比重越来越大。一、经济增加值业绩评价导向经济增加值是一套以经济增加理念为基础的财务管理系统，且是一种薪酬激励制度和有效决策机制，在税后营业净利润和产生利润所需的资本投入成本的基础之上，能够对企业绩效财务进行评价的一种方法。经济增加值与传统利润财务算法不同，经济增加值主要包括资本成本在内的全部成本被扣除之后剩下的收入，比较而言，经济增加值是在真正意义上对“经济”利润进行评价。正是因为经济增加值具有着独特的功能和效果，因此在美、英等国发展良好，且备受关注，通过将经济增加值作为财务指标，能够对企业的管理绩效、获利水平进行综合的评价和计量。经济增加值自从被思腾思特咨询公司在1982年提出后，经过多年的发展，已为企业的经营绩效评价等提供了新思路和发展。经济增加值也是剩余收益的一种特殊的计算方法.它的定义为：经济增加值=税后净营业利润-资本占用×加权平均资本成本率经济增加值在实际业绩评价时的计算方法：经济增加值=税后净营业利润-资本成本±调整项从绩效评价的角度来看，EVA就是企业在绩效评价期内增加的价值，它在计算企业的资金成本时，不仅考虑负债的资本成本，而且也考虑权益资本的成本，这样也就将权益资本的机会成本纳入到考虑之中。如果EVA为正，表示企业获得收益高于资本成本，如果EVA为负，表示投资者的投入的权益资本和公司债务资本还不如贷款利息高，EVA强调了一个理念，只有经济利润超过权益成本和债务成本时，才会产生真正意义上的利润。经济增加值在实际业绩评价时，可以根据公司的发展、价值观、偏好等来把一些指标考虑进去进行调整，如研究开发、人力资源培训等，这样就能引导公司管理层考虑问题时符合企业的长期发展利益，增强企业的创新，为企业可持续发展提供动力。二、经济增加值率的衡量标准及优点经济增加值包括了资本投入和债务投入的一个资本，全面衡量了资本的全部成本，避免了集团公司在比较两个投资规模相同的企业，因资本金和贷款的比例不同，造成利润不真实的情况，使用经济增加值便可以得到很好的弥补，便于规模相同的比较。如果对于不同的规模企业，由于经济增加值是一个绝对数指标，同利润一样仅能够反映总量大小，可以很好的衡量规模相同的企业，但对于规模不同的企业之间则很难进行比较。如果我们要比较不同规模之间的经济增加值，我们可以延伸一下，用经济增加值率来进行比较，经济增加值率公式为：经济增加值率=经济增加值÷投入的资本×100%经济增加值代表收益高于有资本成本决定的基期水平的增量部分，这使经济增加值受到规模的严重影响，规模大的企业，只要收益略高于资本成本，可能会有比收益更高的小经营单位更高的经济增加值，经济增加值的可比性会失去意义。经济增加值率是一个比例指标，通过经济增加值率来进行比较，资本投入不同的企业我们就可以比较一目了然的看出谁的获益高低，指标越高，运营效益越好，会使公司效率一目了然。假设某集团公司有三个子公司，甲公司总投资1000万元，其中注册资本800万元，银行借款200万元；乙公司总投资1000万元，其中注册资本400万元，银行借款600万元；丙公司总投资500万元，其中注册资本为200万元，借款为400万元；甲、乙、丙公司净利润率全部为总投资的8%，银行借款利率为5%。通过计算甲、乙、丙公司会计净利润80万、80万、40万；经济增加值37.5万、52.5万、22.5万；经济增加值率3.75%、5.25%、4.5%。上例可以看出：1.会计净利润中甲、乙公司利润相同，丙公司最少，但未考虑注册资本成本；2.经济增加值中考虑了注册资本的成本，乙公司指标最优，因甲、乙公司规模相同，乙公司优于甲公司，丙公司因投入资本较少，经济增加值指标较少，丙公司和甲、乙公司无可比性；3.增加经济增值率因考虑资本投入的规模大小，甲、乙、丙公司具有了可比性，丙公司是优于甲公司，但劣于乙公司。在对公司进行业绩评价或管理决策时，经济增加值率可以衡量资本增值的效率，在资本投入不变的情况下，经济增加值率同经济增加值正相关，经济增加值越大，经济增加值率也越大，可以直观看出超越资本成本的效率，尤其适用于不同规模企业之间的比较，避免了经济增加值仅衡量总量大小的弊端，又避免了净资产收益率未考虑资本成本的不利因素。集团化企业在业绩评价下属公司时，通过增加经济增加值率这种价值评价型指标，会给予企业一种新的思维方式和新的管理理念。以经济增加值率考核为切入点，积极探索以经济增加值率创造水平或改善状况与绩效薪酬或中长期激励挂钩的有效做法，建立长效激励约束机制，最大限度调动企业负责人和员工的积极性、创造性。让企业管理者与集团公司的价值最大化发展目标相一致，对价值价值型驱动型公司会有重要的贡献，将会促进集团化企业更好、更快的发展。参考文献：[1]王刚.对EVA的理性思考[J].吉林财税，2003（04）.[2]杨震.EVA在企业价值提升中的应用研究[J].山西科技，2007（04）.（作者单位：曲阳金隅水泥有限公司）本文由()首发，转载请保留网址和出处！
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二元函数的导数在经济分析中的应用浅析
保山师专学报):39~41CN53-1128/G4ISSNJournalofBaoshanTeachers??College二元函数的导数在经济分析中的应用浅析段有礼(云南广播电视大学保山分校,云南保山678000)摘要:运用二元函数的导数及导数的意义,对经济活动分析,即边际、需求交叉价格偏弹性、经济最优等问题进行初探。关键词:二元函数导数;边际分析;需求交叉价格偏弹性;最值中图分类号:O174文献标识码:A文章编号:03)02-0039-03ApplicationofDualityFunctionDerivativeinEconomicAnalysisDuanYouli(BaoshanTVUniversity,Yunnan678000)Abstract:Analysishasbeenconductedineconomicactivitybyusingdualityfunctionderivativeanditssignificence.KeyWords:dualiinterchangepriceflexibilitymaximalvalue1二元函数导数定义:设函数Z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个领域内有定义,若固定y0后,极限??limx??00000存在,则称此极限为函数Z=f(x,y)在点(x0,y0)处关于自变量y的偏导数,记作fx??(x0,y0)。0000存在,则称此极限为函数Z-f(x,y)在点(x0,y0)处关于自变量y的偏导数,记作fy??(x0,y0)。函数Z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数意义就是函数在点(x0,y0)处沿轴x或y轴方向的瞬时变化率。若固定x0后,极限??limy??02二元函数的导数在经济应用方面的分析2.1边际分析在经济分析中常用到??边际??这个概念。??边际??表示在自变量x的??边缘??处的变化情况,??边际??y是的瞬时变化率是导数概念在经济分析中的代名词。经济学中的??边际??问题很多,比如边际成本、边际生产率、边际收入、边际利润等等,2.2.1边际成本设生产甲、已两种产品,产量分别为x,y时的总成本函数为C=C(x,y),那么,总成本C=C(x,y)对产量x的偏导数Cx??(x,y)就是总成本C=C(x,y)对产量x的边际成本,它表示在两种产量为(x,y)的基础上,再多生产一个单位的甲产品量,总成本C-C(x,y)的改变量;总成本C-C(x,y)对产量y的偏导数Cy??(x,y),就是总成本C=C(x,y)对产量y的边际成本,它表示在两种产品的产量的基础上,再多生产一个单位的乙产品时,总成本C=C(x,y)的改变量。收稿日期:40保山师专学报第22卷2.2.2边际生产率设生产某种产品的产量Q与投入的劳动力L和资金K的生产函数为Q=Q(L,K),那么产量Q(L,K)对L的偏导数QL??(L,K)称为对劳动力L的边际生产率,它表示在投入劳动力L和资金K的基础上,再多投入一个单位的劳动力时,产量Q(L,K)的变化率,产量Q(L,K)对资金K的偏导数QK??(L,K)称为对资金K的边际生产率,它表示在投入劳动力L和资金K的基础上,再多投入一个单位的资金时对产量Q(L,K)的变化率。2.2.3边际需求设需求函数q1=q1(p1,p2),q2=q2(p1,p2)其中q1、B两种相关商品的需求量,p1,q2分别为A、分别为A、B两种商品的价格,则需求量q1和q2关于价格p1和p2的偏导数,表示A、B两种商p2、1122。品的边际需求,此时有四个偏导数,即1pp2p1p21是商品A的需求量q1关于自身价格p1的边际需求,它表示商品A的价格发生变化时,商p1品A的需求量q1的变化率。1122p2是商品A的需求量q关于相关商品B的价格p的边际需求,它表示商品B的价格p发生变化时,商品A的需求量q1的变化率。2p1是商品B的需求量q2关于相关商品A的价格p1发生变化时,商品B需求量q2的变化率。2p2是商品B的需求量q2关于自身价格p2的边际需求,它表示商品B的价格发生变化时,商品B的需求量q2的变化率。对于一般的需求函数,(需求函数一般是减函数)所有在经济上有意义的价格p1、p2、它们自身的1212边际需求12都是负的。而对于2和1分两种情况,第一种都是负的,则两种商品是互补12的,这是因为两种商品中任意一个价格减少,都将使需求量q1和q2增加。21都是正的,则pp两种商品是替代商品,这是因为两种商品中任意一个价格减少,都将使其中一个需求增加,另一个需求量减少。2.2需求交叉价格偏弹性由二元函数的弹性可以得出需求弹性为:定义:设两种相关商品A、B的需求函数为q1=q1(pA,pB),q2=q2(pA,pB),那么当商品B的价格不变,而商品A的价格pA发生变化时,需求量q1和q2将随价格PA变化而变动,此时需求量q1和A1A2q2对价格pA的弹性分别为E1A=q1??pA、E2A=q2??pA,其中E1A为商品A的需求量q1对自身的价格pA的直接价格偏弹性;E2A为商品B的需求量q2对相关价格pB的交叉价格偏弹性。当商品A的价格pA不变,商品B的价格pB发生变化,需求量q1和q2对价格PB的偏弹性分B1B2别为E1B=1B,E2B=2B其中E1B为商品A的需求量q1对相关价格PB的交叉价格弹性;qpqpE2B为商品B的需求量q2对自身价格pB的直接价格偏弹性。利用偏弹性E1B和E2A的符号,可以判别两种商品是互补还是替代商品。第2期段有礼:二元函数的导数在经济分析中的应用浅析41当交叉弹性E2A和E1B的符号都为负时,两种商品是互补商品,即两种商品中任意一个价格减少都将使需求量q1和q2增加;当交叉弹性E2A和E1B都为正时,两种商品中任意一个价格减少都将使一个需求量增加,另一个需求量减少;若E2A和E1B异号,那么两种商品既不是互补商品,也不是替代商品。2例1已知两种商品A、B的需求函数分别为q1=A2q=2试确定两种商品之间的关系。ppBpApB12解:方法一:??B-A&0&0pApApppBpB12且B与A同号。??A、B两种商品是互补商品。ppBB1??(=1&0方法二:??E1B=1??B=p1pApBq2pApBA2A??(-)=-1&0E2A=2??A22qpApBpApB由于E2A和E1B均为负,可知两种商品是互补商品。3经济分析中的最值定理:如果函数f(x,y)在点(x0,y0)的某一领域内有连续的二阶偏导数,且(x0,y0)是它的驻点,设p(x,y)=[fxy??(x,y)]2-fxx??(x,y)fyy??(x,y)则(1)若p(x0,y0)&0且fxx??(x,y)&0,则f(x0,y0)是极大值。(2)若p(x0,y0)&0且fxx??(x,y)&0,则f(x0,y0)是极小值。(3)若p(x0,y0)&0,则f(x0,y0)不是极值。(4)若p(x0,y0)=0,则f(x0,y0)是否为极值需另做判别。(证明从略)例2某工厂生产两种产品甲与乙,出售价格分别为10万元/百件,9万元/百件,生产x佰件甲产品与生产y百件乙产品的总费用是:y+0.01(3x+xy-3y)万元求取得最大利润时两种产品的产量各为多少?解:设L(x,y)表示产品甲与产品乙的生产x与y(百件)时,所得的总利润。22??L(x,y)=(10x+9y)-[400+2x+3y+0.01(3x+xy-3y)]22=8x+6y-0.01(3x+xy+3y)-400x(x,y)=8-0.01(6L??x+y)=0解得唯一驻点(120,80)Ly??(x,y)=6-0.01(x+6y)=0x=-0.06&0;Lxy=-0.01&0;Lyy??=-0.06再由Lx????而p[80,120]=(-0.01)2-(-0.06)(-0.06)=-35??10-4&0,所以x=120,y=80时L(120,80)=320是极大值,也是最大值。即生产甲产品120百件,乙产品80百件时所获利润最大。参考文献:[1]黎远、李署林.经济数学基础[M].北京:高等教育出版社,1998.[2]中国人民大学数学教研室.微积分经济数学应用基础(一)[M].北京:中国人民大学出版社,1982.
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