神奇的莫比乌斯带教学设计 - 教育反思，走向成功 - 阳城教研博客
神奇的莫比乌斯带教学设计
《神奇的“莫比乌斯带”》教学设计
【教材分析】
公元1858年，德国数学家莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。 因为普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。这节课是北师大版数学教材六年级下册“数学好玩”中的一节课，旨在通过了解神奇的莫比乌斯带，让学生感受到数学的好玩，数学也是可以玩中去学习的。
【活动目标】
1、方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯圈，在动手操作中了解莫比乌斯带的特征。
2、经历动手操作，主动思考，合作交流的“做数学”的过程，探索莫比乌斯带的神奇特征。
3、敢于大胆猜想，能够提出自己的见解；通过猜测到验证这种数学活动，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学习数学的热情。
活动重点：目标2
活动难点：利用所学数学知识解决问题的能力。
教法：&启发式教学法、探究式教学法、问题教学法。
学法：&经历动手操作，主动思考的“做数学”的过程，并从中发现“莫比乌斯带”的神奇特征。
【活动准备】
(2)长纸条三条(长20-30厘米，宽约4厘米，事先画好二等分线和三等分线)；
(4)双面胶（胶水）&
【活动过程】
一、创设情境
（课件出示故事《聪明的执事官》），这位聪明的执事官是用什么方法让小偷得到惩罚呢？这张小小的纸条里到底隐藏着什么奥秘大家想知道吗？这节课我们就研究这张小小的纸条，学完这节课大家就会明白了。
设计意图：课前以儿童喜爱的故事情境导入，符合儿童的年龄特点和心理特征，唤起了学生的学习兴趣。学生对故事中的问题很感兴趣，能够积极主动地参与学习，课堂气氛活跃。
二、&认识莫比乌斯带
1、出示一张纸条
请同学们拿出准备好的1号长方形纸条，看看这张纸条它有几个面？几条边？（2个面，4条边）现在谁会变魔术，能把这张有4条边2个面的纸条变成只有两条边和两个面吗？（生操作）
设计意图：大多数学生将纸条的2倍宽按照习惯，同向地连接一起，成为一个纸圈，这个操作比较简单，老师设计这个简单的入门是为了让学生有信心自己可以成功操作，可以保持之前激发的兴趣。
2、师：（教师微笑着把纸条变成圈），这样做是不是只有上面一条边下面一条边，里面一个面外面一个面？（边说边比划）。老师还有更神奇的，我还能把它变魔术,把这有两条边两个面的纸条变成只有一条边和一个面，你们信不信？想不想看老师变？（手背在后面变）像这样的纸带就是只有一条边一个面，想想看它是怎么做的？你们能试着做成我这样的吗？（师巡视）
这个纸带到底怎么做的呢？想不想学？请看课件（课件出示）先把它做成一个普通的纸圈，然后将一段翻转180度，再把它粘好。演示完后师再带着学生一起做。这样就成了一个怪怪的圈。大家用胶水把两端粘起来。你们行吗？那就动手做一做吧。做完后问：还想做吗？请拿出2号纸条再做一个这样的纸带。
3、师：这个纸带有谁知道它叫什么名字呢? 这个纸带就叫莫比乌斯带（板书），还有人管他叫“怪圈”。想知道它更多的知识吗？请看小资料。
你知道它为什么叫莫比乌斯带吗？（是莫比乌斯发现的）所以同学们平时在学好书本知识的同时，要留心观察生活，更多伟大的发明发现还等着用你们的名字来命名呢！
设计意图：以一张纸条变魔术导入，让所有的学生都会做莫比乌斯带，只有每个学生都学会做，做对了，才能顺利进行下面的教学。
4、这个莫比乌斯带真的只有一条边和一个面吗？请看屏幕，当时数学家想了一个办法，在莫比乌斯带的一个边缘选取了一个起点，让这点沿着它的边转动一圈，又回到了起点，说明它就是只有一条边。
那它是不是一个面呢？这时候，如果一只小动物爬上了这个面上，延着这个纸面一直爬下去，会出现什么情况呢？请仔细看看运动一圈，（走一半时问它在哪里？反面）最后小动物又回到了原来的地方，而且走遍了整个纸带。说明它就是只有一个面。数学上把这样一个面的图形称为单侧曲面，（板书）像一般的纸带它有两条边两个面这样的纸带叫什么曲面？（板书双侧曲面）
同学们想不想知道当时数学家发现莫比乌斯带的时候是怎么研究这个莫比乌斯带的吗？在实际生活当中我们怎样来检验它是不是莫比乌斯带呢？请拿出1号莫比乌斯带，大家想想我们用手沿着它的边走一走会怎样？（又回来了）说明它是几条边？那想想如果要检验它是一个面怎么办？是不是放一只小蚂蚁放在上面走走，行不行？如果没有小蚂蚁怎么办？（用手）还可以用什么？我们学具里的什么？用水彩笔一划我们就在纸面上留下痕迹，知道哪些地方走过哪些地方没走过，想试试吗？请拿出水彩笔沿着莫比乌斯带中间的线走一走，画一画。
设计意图：让学生自己动手操作从中找出莫比乌斯带的一条边一个面的奇异特性。
三、再次体验神奇性。
1、两等分剪开
⑴莫比乌斯带诞生以后，它的神奇特性引起了许多人的关注，刚才你们不是在这个纸带中间画了一条线，线连起来了，不过还有更神奇的，还能变魔术，想不想知道？现在老师用剪刀从中间的线剪开，大胆猜想一下会有什么结果？（板书：大胆猜想）生：我觉得这个圈会变成两个圈。
生：我觉得会变成两个莫比乌斯圈。 生：会不会变成三个圈?
⑵同学们很积极地进行猜想，值得表扬。各种猜想都有， 要知道究竟怎么样?我们就要动手剪一剪求证一下，求证时要小心点。（板书：小心求证）请同学们动手剪一剪，剪时先对折，从中间剪出一个口子，再把剪刀伸进去沿着线剪，剪完后到底是怎样的？剪完后是几个圈？不是我们所猜想的，一般的纸圈沿中间剪开就会一分为二，而莫比乌斯带得到了一个更大的纸带，这个莫比乌斯带真奇怪了，太不可思议了！太神奇了吧！
３、剪完后，这个更大的纸带是“莫比乌斯带”吗？它真的是莫比乌斯带吗？要验证它是不是莫比乌斯带关键看它有几个面？怎样用我们的学具来检验它是一个面呢？用什么？画线，看它能不能从起点回到原来的起点，（动手）是不是把两个面都走到了？没有走到那它就是几个面？也就是什么曲面？现在纸带中间又画了一线条，如果再沿着这条线剪开，想一想，又会是什么结果呢?
生：还是一个圈。
生：我觉得是两个圈。 &
师：要想知道究竟，我们应该怎样？对了，实践出真知，大家剪剪看。 从中间剪开一个口子，再把剪刀伸进去剪。
(生动手操作)
生：是两个套着的圈，真奇怪!
师：这次同学们猜两个圈还真是两个圈，不过这两个圈是——
生：是套着的。
师：对，是套在一起的。大小怎样？
2、三等分剪开
师：接下来让我们继续来感受这个纸带的神奇，好吗?拿出2号莫比乌斯带，这个莫比乌斯带分成几等分？如果我们要沿着三等分线剪，猜一猜：要剪几次？生：(齐)两次。师：剪完以后又会得到几个纸带？生：我觉得剪完后可能会是三个圈套在一起。生：我觉得会变成一个大圈。
师：真佩服你的想象力。那究竟会怎么样，还是动手去剪一剪吧。关键要怎样？小心求证。&& 学生操作，小组合作帮助。剪了几次？生：剪一次就可以了。
剪完后是几个纸带？而且是两个套着的纸带。两个纸带一个大一个小？那么究竟这两个纸带大的纸带是什么样的曲面？同学们猜一下？到底是什么样的曲面我们回家去再用水彩笔来验证一下。
设计意图：在动手探寻莫比乌斯带的奇妙特点时，坚持让学生先想一想，猜一猜，剪完以后再想一想：为什么会是这样的？这样，就不只是让学生动手做，还要学生动脑想，有效地培养学生的空间想象能力，“大胆猜测，小心求证”的意识以及勤于反思的习惯。让学生了解神奇的莫比乌斯带，感受数学的奇妙。
四、揭示课前故事的谜底
同学们，一张普通长方形纸条，先怎么样？拧了一下，一端拧了多少度？再用胶水粘起来，最后再用剪刀再沿着它的二等分或三等分的线剪开，剪开后发现这个莫比乌斯带非常的神奇。它就是神奇的莫比乌斯带。（板书：神奇的）现在，老师要考考你们了，接受我的考验吗？现在你知道课前故事中的执事官是怎么拯救了农民的吗？
设计意图：将课前故事中执事官的纸条也做成莫比乌斯圈，揭开他如何智救农民的谜底，更显示莫比乌斯圈的神奇。同时，一个有关莫比乌斯不经意地发现的故事又一次深深地吸引了学生，很好地激活了学生的学习兴趣。
五、再次探索莫比乌斯带，自主设计纸圈
1、我想接下来的时间就完全交给同学们了，现在发挥你们的聪明才智，自己去想象、设计、制作。请拿出3号纸条。刚才我们是拧了多少度？我们还可以…我们还沿1/2、1/3线剪的，现在想一想怎么剪。剪出一个属于你自己的纸带，好吗？开始吧！2、小组设计。3、展示作品。
师：刚才我们已经创造和分享了莫比乌斯圈的神奇。我想肯定还有很多同学想继续去探究，咱们现在暂停。（进行爱科学教育：）神奇的莫比乌斯带给了我们无限的遐想，希望这节课能给同学们有所启发，平时多留心观察生活，多问为什么，相信更多伟大的科学家将从我们这一班当中产生！
设计意图：该活动在挑战学生数学思维和动手能力上有了进一步的要求。设计一个属于自己的纸圈，富有挑战性和创造性的活动深受学生欢迎
六、莫比乌斯带的应用
1、师：今天，咱们做了莫比乌斯带，你有什么感受？生：莫比乌斯圈太神奇了。
是啊，我们已经感受到了莫比乌斯圈的神奇，它可不光好玩有趣，还被应用到生活的方方面面，大家想想，它有些什么用处呢？想想看！
2、老师也收集了一些，让我们一起来看看吧！（课件演示）
①过山车，游乐园里的过山车也是莫比乌斯带。下次去游乐场玩时，可以去观察一下，过山车的轮套是不是莫比乌斯带的样子。真得谢谢莫比乌斯带，让我们开心的转一周还能回到原地。
②利用莫比乌斯带原理制成的莫比乌斯爬梯。有同学玩过吗？这个爬梯只有一个面，可以一次不知不觉爬到底。
③录音机磁带。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状，就不存在正反两面的问题了，磁带就只有一个面了。听时，不用拿出磁带，A、B两面都能听。
它可以重复播放，可以省略换面，放一个晚上都不会停，它可以循环播放，多有价值的创意，应该申请专利。只可惜这个创意我们稍微迟了一点，已经被一个日本人申请了。
④打印机的色带和工厂机器上的传送带，打印机的色带和工厂机器上的传送带就可以做成“莫比乌斯带”的样子，这样就能充分利用，减少磨损，延长使用时间。
⑤中国科技馆大厅中央的“三叶扭结”。
中国科技馆大厅中的标志性的建筑，它实际上是由“莫比乌斯带”演变而成的，这蓝白相间的灯不停地闪烁，乍看是个漂亮的灯饰，但细瞧，它只有一面一边的莫比乌斯带，它表示着科学没有国界，各种科学之间没有边界，相互连通。
⑥克莱因瓶，是1882年著名数学家菲立克·克莱因发现并用他的名字命名的著名的“瓶子”。剪开后就得到两个莫比乌斯带。
⑦杭州科技馆，这个是一个设计师他给杭州科技馆设计时的图纸，它是什么情况？我们每天在这样的科技馆里面参观的时候这种感觉怎么样？（非常好非常神）
设计意图：根据小学生的年龄特征和认知规律，充分发挥多媒体课件的直观作用，选取了学生认知范围内，并且是学生感兴趣一些图片，创设了逼真的情境，化枯燥为生动，化抽象为具体，在图文声并茂，呈现了“莫比乌斯带”的美，深化了学生对数学魅力的领悟，拓宽了数学视野。
七、谈感受
&& 由于时间关系，我们今天这节课就上到这，上了这节课你有什么收获？（认识并会做莫比乌斯带、知道双侧曲面和单侧曲面、学习方法等）你的最大感受是什么？（神奇、数学是很美的）我和大家感觉一样，优美的曲线能带给我们美的享受，带给我们无限的猜想。数学充满了无穷的魅力，有待同学们以后进一步去探索。今天还学了数学家研究数学的思路，这是一种非常重要的研究方式。
设计意图：从另一个角度阐释“莫比乌斯带”，对学生进行实际的德育。
八、课外延伸（作业）
其实，莫比乌斯带还有许多玩法，有兴趣的同学可以在课下继续探索、研究，我告诉大家，数学中有一门专门研究莫比乌斯圈的学问叫拓扑学。 (师板书：拓扑学)课下，有兴趣的同学可以继续去研究，将研究的结果写成数学日记，在全班交流，好吗？
设计意图：在意犹未尽中课结束了，但学生的思考和探索在向课外延伸。
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RE:神奇的莫比乌斯带教学设计
曾经听过此课，但总感到设计的内容多了，学生没有“玩”够。建议教学两课时。
RE:神奇的莫比乌斯带教学设计
注重了学生的动手实践能力。
RE:神奇的莫比乌斯带教学设计
在玩中学，体会会更最深刻。
RE:神奇的莫比乌斯带教学设计
精彩的教学设计，就是不知道实际操作时会怎样
RE:神奇的莫比乌斯带教学设计
教学内容设计过多，有可能使学生学的不彻底。
RE:神奇的莫比乌斯带教学设计
内容太多，对于比较差的班来说，有点难。院领导集体
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（责任编辑：文一溪）克莱因瓶^ ^| |<----就像莫比乌斯带一样，克莱因瓶没有定向性。但是与之不同的是，克莱因瓶是1个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以在三维的欧几里德空间中嵌入，克莱因瓶只能适用于四维空间。克莱因瓶_克莱因瓶 -克莱因瓶与莫比乌斯带大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭180度，再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是1个只有一莫比乌斯带、1个面的曲面，但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是，它有边（注意，它只有一条边）。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就得到了1个克莱因瓶（当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点）。同样地，如果把1个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带。除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有1种不太为人所知的“8字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实就是同1个曲面——克莱因瓶。克莱因瓶 - 克莱因瓶的制造事实上，德国数学家克莱因就曾提出了“不可能”设想，即拓扑学的大怪物——克莱因瓶。这种瓶子根本没有内、外之之分，无论从什么地方穿透曲面，到达之处依然在瓶的外面，所以，它本质上就是1个“有外无内”的古怪东西。 尽管现代玻璃工业已经发展得非常先进，但是，所谓的“克莱因瓶，却始终是大数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”，根本制造不出来。许多国家的数学家老是想造它1个出来，作为献给国际数学家大会的礼物。然而，等等他们的是1个失败接着1个失败。 也有人认为，即使造不出玻璃制品，能造出1个纸模型也不错呀。如果真的解决了这个问题，那可是个大收获啊！克莱因瓶但实际上，据说克莱因瓶已经被人制造出来了。在郭凯声等编着的《数学游戏》（下）一书的“玻璃克莱因瓶”一文中有清楚的介绍。兹引录部分如下：Alan Bennett是英国贝德福德的一位玻璃吹制工。几年前，他开始对拓扑学中出现的各种神秘的形状――墨比乌斯带、克莱因瓶等等――发生兴趣，并遇到了1个新奇的难题，数学家本会通过计算来尝试解决这个难题，而Bennett则用玻璃解决了它。他做出的一系列引人注目的物品很快就将成为伦敦科学博物馆中的一项永久性陈列品。克莱因瓶 - 克莱因瓶的一些应用猜想如果莫比乌斯带能够完美的展现1个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现1个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。因为在制作莫比乌斯带的过程中，我们要对纸带进行180度翻转再首尾相连，这就1个三维空间下的操作。理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”应该是在二维面中，朝任意方向前进都可以回到原点的模型，而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进，但是只有在2个特定的方向上才会回到原点，并且只有在其中1个方向上，回到原点之前会经过1个“逆向原点”，真正理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”也应该是在二维面上朝任何方向前进，都会先经过一次“逆向原点”，再回到原点。而制作这个模型，则需要在四维空间上对三维模型进行扭曲。数学中有1个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，克莱因瓶和莫比乌斯带变成了拓扑学中最有趣的问题之一。莫比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。菲立克斯·克莱因克莱因在杜塞尔多夫读的中学，毕业后，他考入了波恩大学学习数学和物理。他本来是想成为一位物理学家，但是数学教授普律克改变了他的主意。1868年克莱因在普律克教授的指导下完成了博士论文。在这一年里，普律克教授去世了，留下了未完成的几何基础课题。克莱因是完成这一任务的最佳人选。后来克莱因又去服了兵役。1871年，克莱因接受哥廷根大学的邀请担任数学讲师。1872年他又被埃尔朗根大学聘任为数学教授，这时他只有23岁。1875年他在慕尼黑高等技术学院取得了1个教席。在这里，他的学生包括胡尔维茨、冯戴克、洛恩、普朗克、毕安奇和里奇。五年之后，克莱因应邀去莱比锡大学讲授几何学。在这里他和他过去的出色的学生冯戴克、洛恩、司徒迪和恩格尔等成为了同事。1886年，克莱因接受了哥廷根大学的邀请来到哥廷根，开始了他的数学家的生涯。他讲授的课程非常广泛，主要是在数学和物理之间的交叉课题，如力学和势论。他在这里直到1913年退休。他实现了要重建哥廷根大学作为世界数学研究的重要中心的愿望。 著名的数学杂志《数学年刊》就是在克莱因的主持管理下才能在重要性上达到和超过了《克莱尔杂志》的。这本杂志在复分析、代数几何和不变量理论方面很有特色。在实分析和群论新领域也很出色。要了解克莱因对在几何学上所作的贡献的特点是有点难的，因为即使用我们今天数学思想的大部分来理解他的结果的新奇之处也是很困难的。克莱因在数学上做出的第1个贡献是在1870年与李合作发现的。他们发现了库默尔面上曲线的渐近线的基本性质。他进1步地与李合作研究W-曲线。1871年克莱因出版了两篇有关非欧几何的论文，论文中证明了如果欧氏几何是相容的，那么非欧几何也是相容的。这就把非欧几何置于与欧氏几何同样坚实的基础之上。克莱因在他的著名的埃尔朗根纲领中，以变换群的观点综合了各种几何的不变量及其空间特性，以此为标准来分类，从而统一了几何学。今天这些观点已经成为大家的标准。变换在现代数学中扮演者主要角色。克莱因指明了如何用变换群克莱因瓶来表达几何的基本特性的方法。而克莱因自己认为他对数学的贡献主要在函数理论上。1882年他在一篇论文中用几何方法来处理函数理论并把势论与保形映射联系起来。他也经常把物理概念用在函数理论上，特别是流体力学。克莱因对大于四次的方程特别是用超越方法来解五次的一般方程感兴趣。在厄尔米特和克隆耐克尔建立了与布里奥斯奇类似的方法之后，克莱因立刻就用二十面体群去试图完全解决这个问题。这个工作导致他在一系列论文中对椭圆模函数的研究。1884年，克莱因在他的一本关于二十面体的重要着作中，得到了1种连接代数与几何的重要关系，他发展了自守函数论。他和一位来自莱比锡的数学家罗伯特·弗里克合作出版了一套四卷本的关于自守函数和椭圆模函数的着作，这本着作影响以后20年。另1个计划是出版一套数学百科全书。他积极地参与到这个工作中，与K·穆勒一起编辑力学部分的四卷。我们还要提到克莱因发现的克莱因瓶，1种只有1个面的曲面。1885年克莱因被英国皇家学会选为国外会员并被授予科普勒奖金。1908年克莱因被国际数学会选为在罗马召开的数学家大会主席。应用猜想：王晓明 王蕊珂 一， 众所周知的“哥尼斯堡城‘七桥问题’”被大数学家欧拉开创了数学新分支-----图论。也就是“一笔划”。一笔划图形的必要条件是：奇节点数目是0或者2。图（1）的“七桥问题”A,B,C,D都是奇节点，数目是4，所以不能够“一笔划”。 二，欧拉把区域转换成为节点， 我们把节点转换回来，成为“节面”（区域），来考虑“一笔划”。 （一），在平面中，四个或者四个以下的区域可以构成两两相连的区域，可以一笔划。图（2）。每个区域必须是单连通的，就是1个区域不能够是分成2块或者2块以上。图（3）就不是单连通的。这是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有两两相同的五个区域。 （二），紧致封闭平面，在1个轮胎状的表面，七个或者七个以下的区域可以构成两两相连的区域。可以“一笔划”。把图（4）上下对折以后，再左右对折，形成1个轮胎状，七个区域两两相连（国外数学家给出）.两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何1个区域。P。J希伍德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出1个推测：在有P>一个洞的封闭曲面上，足以为任何地图着色的最小数等于Mp= [（7+√(48p)）/2],其中[X]表示整数部分，P=1,M1=7,即图（4). 克莱因瓶也只能7色，而不是8色。 （三），德国数学家G.林格证明了：足以为任何一张有P>一个洞的封闭曲面着色的真正最小色数Np，Np-Mp《2，以后美国数学家VT杨斯进1步证明了Np-Mp《1，而希伍德的假设对于不同球面几乎一切封闭曲面都是成立的，1974年，林格作出了完整的证明。例如，2个洞的封闭曲面应该是M2=[7+√(48×2)/2]=8,而事实上只能作6色，连7色都不能作。3个洞的封闭曲面M3=[7+√(48×3)/2]=9，只能作8色，而不是9色。 三，如果我们不限定形态，在多维空间构造无限多个两两相连的区域。 （一），把图（5）上下左右对折形成1个轮胎状如图（6），有编号1,2,3,4，共四个区域两两相连。 （二），把一根管子，一边是区域编号5和区域编号6，两两交错插在区域编号1和2；3和4上。见图（7）和图（8）。于是有六个区域亏格为2的曲面上两两相连。 （三），把1个三叉管，图（9），一面是区域编号7，一面是区域编号8，三端交错插在区域编号1和2；3和4；5和6上。。于是有八个区域两两相连。 （四），我们假定这些材料可以任意收缩和拉长。下1步显然可以用四叉管的四端交错插在八个区域。然后又用五叉管，六叉管，，，，。无限制进行下去。 （五），这些管子里面同样是两两相连的平面，管子内部就是有界的无穷空间。就是空洞----宇宙的通道，量子理论认为，可能存在无穷多个宇宙，这些宇宙通过1种虫洞连接起来。任何1个宇宙可以不通过第三者直接到达。虫洞是连接白洞和黑洞的多维隧道，在时空A点和时空B点连接一条近路（多维宇宙），宇宙中温度大体相同，说明两两相连的可能性。量子理论把数论与几何，数学中最古老的两门学科联系起来。 注意庞加莱猜想：在1个三维空间，假如每条封闭的曲线都能够收缩成为一点，这个空间一定是个圆球。 四，无穷多个区域两两相连与无穷多个素数两两互素具有相同性质，如果我们把区域编号1的区域记为第1个素数2，区域编号2的区域记为第二个素数3，照此类推。如是我们用榫卯结构把2个系统连接起来图（10）。以后我们再把2个系统展开，可以发现无限广阔的天地克莱因瓶_克莱因瓶 -发现者克莱因参见：菲利克斯·克莱因（Felix Christian Klein，日～日），德国数学家，生于德国杜塞多夫。他在埃尔朗根、慕尼黑和莱比锡当过教授，最后到了哥廷根，教授数学。他的主要课题是非欧几何、群论和函数论。他的将各种几何用它们的基础对称群来分类的爱尔兰根纲领的发布影响深远：是当时很多数学的1个综合。 着作有《高观点下的初等数学》，他死于哥廷根。1885年克莱因被英国皇家学会选为国外会员并被授予科普勒奖金。1908年克莱因被国际数学会选为在罗马召开的数学家大会主席。克莱因瓶_克莱因瓶 -商业应用以前克莱因瓶只是拓扑学上的宠物，现在它终于走向了人们。克莱因杯的内壁和和外壁其实是1个连通的整体，所以它有两层，内层杯和外层杯。它的内胆是1个小杯，它的杯壁和手柄的内部构成另外1个外杯。你可以在两层杯子上都装上不同的液体。（就像鸳鸯火锅？）不知大家对武侠上经常提到的转心壶是否还有印象，两者有异曲同工之妙。克莱因别墅克莱因瓶别墅，是一栋位于澳大利亚摩林顿半岛的别墅。这栋海滨别墅由澳大利亚“McBride Charles Ryan”建筑师事务所所设计，曾获2009年度世界建筑节“最佳住宅”提名奖。灵感这是1个永远找不到边、表面永远不会终结的物体。这栋建筑物的设计灵感就来自于克莱因瓶，它看起来就好象是根本分不清楚哪里是内部，哪里是外部。它是1种钢架结构建筑，由水泥和金属材料等建成。当初，设计师的想法就是能够在房子中央建造1个小型院子，以保证整栋房屋的通风效果。这栋“克莱因瓶”结构房屋实现了设计师的初衷。 Ⅲ : 莫比乌斯带：莫比乌斯带-简介，莫比乌斯带-莫比乌斯公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，）发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。莫比乌斯_莫比乌斯带 -简单介绍莫比乌斯带莫比乌斯带（M?biusstrip或者M?biusband），又译梅比斯环或麦比乌斯带，是1种拓扑学结构，它只有1个面（表面），和1个边界。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在1858年独立发现的。这个结构可以用1个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有2种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称。如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成1个右手性的莫比乌斯带，反之亦类似。莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开1个莫比乌斯带，不会得到2个窄的带子，而是会形成1个把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是莫比乌斯带），再把刚刚做出那个把纸带的端头扭转了两次再结合的环从中间剪开，则变成2个环。如果你把带子的宽度分为三分，并沿着分割线剪开的话，会得到2个环，1个是窄一些的莫比乌斯带，另1个则是1个旋转了两次再结合的环。另外1个有趣的特性是将纸带旋转多次再粘贴末端而产生的。比如旋转3个半圈的带子再剪开后会形成1个三叶结。剪开带子之后再进行旋转，然后重新粘贴则会变成数个Paradromic。（)莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在1个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是1个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。莫比乌斯_莫比乌斯带 -莫比乌斯莫比乌斯莫比乌斯，全名：奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（August FerdiUs MobiUs，年）是德国数学家、天文学家。日生于德国瑙姆堡附近的舒尔普福塔。1808年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文。1814年获博士学位，1816年任副教授，1829年当选为柏林科学院通讯院士，1844年任莱比锡大学天文与高等力学教授。日卒于莱比锡。莫比乌斯的科学贡献涉及天文和数学2大领域。在数学方面,首先是他对19世纪射影几何学的影响。莫比乌斯发展了射影几何学的代数方法。他在《重心计算》（1827年）一书中，创立了代数射影几何的基本概念------齐次坐标。在同一著作中他还揭示了对偶原理与配极之间的关系，并对交比概念给出了完善的处理。莫比乌斯带（1858年）。他较早对拓扑学作深入的探讨并给出恰当的提法。此外，莫比乌斯对球面三角等其它数学分支也有重要贡献。莫比乌斯_莫比乌斯带 -证明方法剪开莫比乌斯带拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻1个身，如同上页图那样粘成1个莫比乌斯带。现在像图中那样用剪刀沿纸带的中央把它剪开。你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而像图中那样剪出1个两倍长的纸圈！有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是1个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起！为了让读者直观地看到这一不太容易想象出来的事实，我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却让人无法相信地在莫比乌斯带上获得了解决！比如在普通空间无法实现的“手套易位问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。”在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但1个是左手系的，另1个是右手系的，它们之间有着极大的不同。“莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如，用皮带传送的动力机械的皮带即可做成“莫比乌斯带”状，这样皮带就不会只磨损一面了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状，就不存在正反两面的问题了，磁带就只有1个面了。莫比乌斯带是1种拓扑图形,什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同1个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有1个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如1个橡皮圈能变形成1个圆圈或1个方圈。但是1个橡皮圈不能由拓扑变换成为1个阿拉伯数字8。因为不把圈上的2个点重合在一起，圈就不会变成8,“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。莫比乌斯_莫比乌斯带 -相关理论莫比乌斯带这是数学家发现的第1个单侧曲面。在积分理论发展的过程中，由于曲面通常有两侧，所以人们要给曲面定个方向才能进行积分。但是，当时还没有人知道是否存在这样的曲面，它只有一侧从而无法在它上面确定1个积分的方向。而莫比乌斯带正是这样的1个单侧曲面，它只有1个侧面从而无法定向。所以这类曲面又有1个名字叫“不可定向曲面”。由于莫比乌斯带只有1个面，这个面的长度自然就是普通纸环一面长度的两倍了。有人想到将这个特性用到传送皮带上，这样的话即可把磨损分摊到更多的地方，从而提高皮带的寿命。这个想法还获得了美国的专利。如果我们把纸带想像成金属带，让电流由其中1个夹子流入而从另1个夹子流出的话，在纸带表面的电流有2个可能的流动方向，而这2个方向的电流产生的磁场恰好互相抵消。也就是说，电流在这个装置流动之际不会产生磁场，所以也不会有电池感应的现象发生。这就是1个无电感电阻。这种电阻就叫默比乌斯电阻。莫比乌斯带在艺术和文化作品中也经常被引用，作为“无限循环”的1个象征。国际通用的循环再造标志就是1个绿色的、摆放成三角形的莫比乌斯带。在《哆啦A梦》（小叮当）漫画中，就有1个形状是莫比乌斯带的道具，只要把它放在门把手上，里边的人开门就会回到同1个房间里去。如果我们看科学馆门前的环状雕塑，多半也利用了类似莫比乌斯带的性质，有空的话经过这些雕塑可以数一下这些环有多少个面多少条边沿，我估计绝大部分结果都是1。而至于埃舍尔的例子就更是众人皆知，也不用我饶舌了。实验室中也有可能产生莫比乌斯带形状的粒子。前不久，一群科学家在Journal of Chemical Physics上发表了一篇论文，其中预言了1种莫比乌斯带形状的碳单质（准确来说应该是石墨烯）。它能抵抗摄氏200度左右的温度，算是相当稳定。由于它莫比乌斯带的结构，它应该是1个偶极子，从而可以形成稳定的晶体。现在就等科学家们把它实际做出来了。这一切，都是由数学家看到1个粘错的纸环开始的。莫比乌斯_莫比乌斯带 -和几何学关系可以用参数方程式创造出立体莫比乌斯带（如右图） 莫比乌斯带的参数方程这个方程组可以创造1个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0）。参数u在v从1个边移动到另一边之际环绕整个带子。从拓扑学上来讲，莫比乌斯带可以定义为矩阵[0,1]×[0,1]，边由在0≤x≤1之际（x,0）~（1-x,1）决定。莫比乌斯带是1个二维的紧致流形（即1个有边界的面），可以嵌入到三维或更高维的流形中。它是1个不可定向的的标准范例，可以看作RP#RP。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地，它是1个有一纤维单位区间，I=[0,1]的圆S上的非平凡丛。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S上1个非平凡的2个点（或Z2）的从。莫比乌斯_莫比乌斯带 -有关的物体和莫比乌斯带非常近似的1个几何学物体叫做克莱因瓶。1个克莱因瓶可以用粘贴2个莫比乌斯带的方法制作出来。但是如果物体不进行自我交叉，这个步骤在三维空间内是不可能完成的。另外1个相近的结构是真投影屏面。如果在真投影屏面上有1个洞的话，从左侧看就会形成1个莫比乌斯带。或者把莫比乌斯带的边界进行有限定义，就会形成1个真投影屏面。更形象地说法是重建莫比乌斯带的边缘形成1个普通的环。有1种普遍的误解认为如果不进行平面的自我交叉就无法在三维空间内形成1个有普通环边缘的莫比乌斯带。事实上是可能的，方法是这样的：定义C为xy面上的单位圆，现在连接C上面的对拓点，比如θ和θ+ π。当θ在0到π/2之间运动之际，在xy面上方做这条线的反余切，其他情况则在面下做反余切。莫比乌斯_莫比乌斯带 -应用麦比乌斯圈在数学中的应用数学中有1个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，麦比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯圈在实际生活中的运用麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。一、1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下1个1个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。三、在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车——它的轨道是1个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。四、麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。微处理器厂商PowerArchitecture的商标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。莫比乌斯_莫比乌斯带 -拓扑变换莫比乌斯带莫比乌斯带是1种拓展图形，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同1个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有1个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如1个橡皮圈能变形成1个圆圈或1个方圈。但是1个橡皮圈不能由拓扑变换成为1个阿拉伯数字8。因为不把圈上的2个点重合在一起，圈就不会变成8,“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。 Ⅳ : 神奇的莫比乌斯带神奇的莫比乌斯带【教学内容】义务教育课程标准实验教科书四年级（上册）【教学目标】1、学会做莫比乌斯带，探究发现莫比乌斯带的特征。2、经历大胆猜想、操作验证的过程，提高学生思维想象、动手操作的能力。 3、感受数学图形的神奇与美妙，拓宽数学视野，进一步激发学好数学的志趣。【教学重点、难点】学会做莫比乌斯带，探究发现莫比乌斯带的特征。【教学准备】多媒体课件、双色纸条、剪刀、彩笔等【教学过程】一、故事设疑，导入新课师：同学们，喜欢听故事吗？今天，我给大家带来一个故事，请看。（课件播放：从前，有一个小偷，他偷了很老实农民家的东西。谁知，被巡逻的捕快当场抓获，押往县衙门。县官抬头一看，这小偷竟是自己的侄子！他想放了小偷，但又怕别人知道，于是在一张纸条的正面写到：“小偷应该释放”，反面写到：“农民应该关押”，然后悄悄递给捕快。）师：同学们，你们猜猜，最后谁会被关押，谁会被释放？师：结局究竟会怎样呢？答案就藏在这张纸条里！二、小组活动，探究特征。活动一：纸条变纸圈1、普通纸圈师：你能把它做成一个纸圈吗？动手试一试！你做的纸圈可以救出农民吗？（不能）2、莫比乌斯圈师：我这个纸圈可不同，它可以救出农民！你信吗？干脆你也做一个，验证一下不就知道了吗？师：想一想，我是怎么做的？老师来做一个示范，大家跟着我一起做!先做一个普通的纸圈；然后左手不动，右手将里面的面翻转180°，和外面的面对齐捏在一起就做好了！3、验证师：现在试着从“应该”读起，你发现了什么？（应该关押小偷应该释放农民）师：同学们，到这里，大家应该已经猜到我们故事的结局了吧！一起看看！（课件出示）活动二：探究特征师：明明是同一张纸条做出来的纸圈，为什么一个能救出农民一个却不能呢？这就和它们的特征密切相关！1、双侧曲面师：这个纸圈是神奇纸圈吗？这个纸圈有几条边，几个面？谁来指一指。师：像这样有里面和外面之分的纸圈我们把它叫双侧曲面。（板书：双侧曲面）2、单侧曲面（1）做纸圈师：请小组长拿出一号信封，将纸条分发给同学。咱们来做一个神奇纸圈。还记得怎么做吗？（师演示）（2）验证师：请你仔细观察这个纸圈有几条边几个面？勇敢的孩子大胆说出你自己的想法。你是怎样想的？我们该怎么验证呢？（用彩色笔画）师：要是在神奇纸圈上画线，会出现什么现象呢？我们一起来试一试。师：我们先画一个起点，沿着虚线一直画，到了吗？谁来说一说你发现了什么？（只有一条边一个面）（3）定义师：像这样没有里面和外面之分的纸圈，我们叫做单侧曲面。（板书：单侧曲面）3、莫比乌斯带师：为什么会只有一条边一个面呢？谁来说一说。（生汇报）师小结：其实道理很简单，关键在于一个动作，请看，这个翻转使得本来就井水不犯河水的内外两个面连在一起，合二为一，成为一个面，也正是这神奇的翻转让老死都不相往来的上下两条边手牵手，成为一条边。聪明的捕快就是利用这个神奇纸圈的特征，把纸条两句分开的话连成了一句话，用智慧救出了农民。4、介绍莫比乌斯带师：你们知道这样的一个纸圈是谁发现的吗？一起来看看资料！师：这就是我们今天上课的主题：神奇的莫比乌斯带。（板书课题）活动三：剪一剪1、二等分线剪（1）猜想师：究竟莫比乌斯带有多神奇。想不想去见证神奇？（出示双侧曲面）师：这是它的二等分线，现在我沿着它的二等分线剪开，你们猜一猜会变成什么样？如果猜一猜沿着莫比乌斯带的二等分线剪，会变成什么样？要知道究竟，怎样办呢?（2）动手剪教师演示，提问：虚线在中间，我该怎么剪？（学生演示）（3）师操作：先对折，再沿着虚线剪一个小口，这时我可以将剪刀伸进去沿着虚线剪！眼睛看过来，只差一刀了，是不是？见证奇迹的时刻到了，一起3、2、1、哎呀，还是留给你们自己发现好不好？动手试一试！学生操作，教师巡视指导。小组汇报，教师小结：把莫比乌斯圈沿二等分线剪，居然是一个大的圈，也不再是莫比乌斯圈。太出人意料了！2、三等分剪（1）猜想师：那沿三等分线开，又会是什么样呢？想知道吗？请小组长拿出信封，分发纸条。我们再来做一个莫比乌斯带。师：如果我们沿着三等分线把这个莫比乌斯圈剪开的话，需要剪几次呢?剪完以后会是什么样子呢?学生猜想（2）剪师：究竟会怎么样，请同学们带着这几个问题去剪一剪。（课件出示：你剪了几次？剪成了几个圈？它们是莫比乌斯带吗？）学生操作，教师巡视指导。小组汇报，教师小结：把莫比乌斯圈沿三等分线剪开后，竟然是一个大的圈套一个小的，并且这个小圈还是一个莫比乌斯圈。四、知识应用师：一个看似简单的小圈，竟然这么神奇有趣，其实在生活当中你也能看到它的身影。（课件出示） 1、过山车：有些过山车的跑道采用的就是莫比乌斯原理。（投影）2、爬梯：在这这个爬梯上运动会怎么样？师：莫比乌斯带不仅好玩，在生活中还有很多用处呢！1、传送带：设计成莫比乌斯带，就不会只磨损一个面，从而延长了使用寿命。2、针式打印机的色带：它就是让墨水流到用莫比乌斯带原理做成的色带上，充分利用了色带的表面。师：除了这些，莫比乌斯带还有特殊的含义。1、可回收标志2、主火炬3、三叶扭结：中国科技馆的“三叶扭结”雕塑就是莫比乌斯带，象征科学没有国界。它每天不停地旋转着美妙的曲线，让我们享受着数学的神奇，带给我们无限的遐想。五、课堂拓展师：通过今天的学习，你最大的感受是什么？ 师：莫比乌斯带还有很多神奇之处，等待着大家去发现。数学中有一门专门研究莫比乌斯带的学问叫拓扑学。有兴趣的同学可以下课了解一下。今天这节课，只是给大家打开了一扇窗，希望同学们课后继续研究，相信会有更多的惊喜和神奇等待着你！板书设计：神奇的莫比乌斯带双侧曲面单侧曲面 Ⅴ : 神奇的莫比乌斯带　　2014年 &3月28日 &星期五 &晴 　　上学期，数学老师跟我们讲解过莫比乌斯带，这一次，语文吴老师也给我们做了这个游戏。（魔术） 　　老师神神秘秘地拿出两个用报纸卷好的筒，然后给大家看，&有没有机关。&同学们使劲摇头，接着老师拉开卷筒，笑眯眯抖着，示意也没有异常，然后用左手捏住一边，右手将另一边翻转了个180&，把两边合在一起粘起来，变成一个扭曲的环，第一段步骤做完了，同学们就开始七嘴八舌，议论纷纷，有的疑惑不解：&老师会变什么呢?&有的在猜测：&可能是数字老师讲的莫比乌斯带吧？&有的在担心：&会不会失败？老师怎么会变魔术？& 　　老师继续变着，拿出剪刀从环中间穿一个洞，顺时针剪下去，不知哪位同学大叫一声：&啊！莫比乌斯带！&老师笑着说：&呼，被揭穿了，想不想我继续变啊。&同学们使劲点头，于是老师接着变下去。 　　老师把剪好的环藏在背后，问：&你们猜猜会变成什么？&同学们又七嘴八舌的讨论起来，有的说：&会变成一个扭曲的大环。&有的说：&会变成两个环连在一起。&还有的说:&会变成两个扭曲的环。&&& 　　老师揭晓答案，变成了一个扭曲的大环，答对的同学欣喜若狂，答错的同学唉声叹气。同学们又请求老师继续剪，看会变成什么？同学们又七嘴八舌的猜测了起来&& 　　老师把大环又剪掉一层，居然变成两个扭曲的环连在一起，大家答对的&& 　　这个游戏真神奇，让我明白了，只有不断探索，才会有发现。&&&&五年级:圆愿
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