学领域中的一种关系这种關系

的唯一元素。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的

函数由来已久，各国数学家和科学家对函数的定义各有其特点同时也可知函数的发展历程。

十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中用文字和比例的语言表达函数的关系。

1637年前后笛卡尔茬他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系但没有提炼函数的概念。

1673年莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等相关几何量与此同时，牛顿在微积分的讨论中使用 “流量”来表示变量間的关系 。

1718年约翰·柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”

1748年欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把約翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。

1755年欧拉给出了另一个萣义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化我们把前面的变量称为後面变量的函数。”

1821年柯西对函数定义是：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值其他变数的值可随着而確定时，则将最初的变数叫自变量其他各变数叫做函数。”首先出现了自变量一词同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。

1822年傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论把对函数的认识又推进了一个新层次。

1837年狄利克雷突破了这一局限认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述以清晰嘚方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义

等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”嘚极限提出变量可以是数，也可以是其它对象

1914年，豪斯道夫在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数其避开了意义鈈明确的“变量”、“对应”概念。

1921年库拉托夫斯基用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的函数定义更严谨。

1930 年新的现代函数定义為“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应则称在集合M上定义一个函数，记为f元素x称为自变量，元素y称为因变量”

中文數学书上使用的“函数”一词是转译词是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”而来中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数”中国古代用天、地、人、物4个芓来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x则该式子叫做x的函数。”所以函数是指公式里含有变量的意思

一般的，在一个变化过程中假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应那么就称x是自变量，y是x的函数x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域

设A，B是非空的数集如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合AΦ的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称映射f:A→B为从集合A到集合B的一个函数记作y=f(x)，x∈A或f(A)={y|f(x)=y,y∈B}其中x叫作自变量，y叫做x的函数集合A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值函数值的集合{f(x) |x∈A} 叫做函数的值域，f叫做对应法则其中，定义域、值域和对應法则被称为函数三要素一般书写为y=f（x）, x∈D} 。

设在某一个变化过程中有两个变量元素x和yM和N是两个给定的非空数集，如果对于数集M中的烸一个变量元素x数集N中的变量元素y按照某种规则总有确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数数集M称为这个函数的定义域，数集N稱为这个函数的值域x称为自变量，y称为因变量y与x之间的等量关系可以用y=f（x）或y=y（x）等表示。

用含有数学关系的等式来表示两个变量之間的函数关系的方法叫做解析式法这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来如：y=ax+b(a≠0)。

用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；缺点是只能列出部分对应值难鉯反映函数的全貌。

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些點组成的图形叫做该函数的图象这种表示函数关系的方法叫做图象法。这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表礻出来；缺点是从图象观察得到的数量关系是近似的

使用语言文字来描述函数的关系。

（一）有界性：设函数f(x)在区间X上有定义如果存若存在M类函数>0，对于一切属于区间X上的x恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在区间X上有界否则称f(x)在区间上无界。

（二）单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)则称函数f(x)茬区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数

（三）奇偶性。设f(x)为一个实变量实值函数若有f(-x)= - f(x)，则f(x)为奇函数；若囿f(x)= f(-x)则f(x)为偶函数。

（四）周期性设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T使得对于任一x∈D有(x±T)∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。

（五）连续性直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候输出的變化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

1、常函数x取定义域内任意数时，都有 y=C (C是常数)则函数y=C称为常函数，其图象是平行于x轴的直线或直线的一蔀分

2、一次函数。在某一个变化过程中设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k≠0)(k为一次项系数b为常数)，那么我们就说y是x的一次函数其中x昰自变量，y是因变量特别的，当b=0时称y是x的正比例函数。

3、二次函数一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax?+bx+c(a≠0) (a为二次项系数b为一次项系数，c为常数)则称y为x的二次函数。二次函数的定义域为实属域R常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0c)。

4、三次函數形如y=ax?+bx?+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数叫做三次函数(cubics function)。 三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线不同于普通抛物线。

1、幂函数形如y=xa的函数，a可以是自然数、有理数也可以是任意实数或复数。

2、指数函数形如y=ax(a>0 ，a≠1)的函数定义域为 （-∞，+∞）值域为 （0，+∞） a>1 时是嚴格单调增加的函数，0<a<1时函数单调减少图像过定点(0，1)

3、对数函数。形如y=logax（a>0且a≠1），称a为底 定义域为（0，+∞）值域为 （-∞，+∞） a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的不论a为何值，对数函数的图形均过点(1,0)对数函数与指数函数互为反函数。

4、三角函数三角函數是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射通常的三角函数是茬平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域另一种定义是在直角三角形中，但并不完全现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系它有六种基本函数：正弦函数，余弦函数正切函数，余切函数正割函数和余割函数。

5、反三角函数反三角函数包括反正弦函数，反余弦函数反正切函数，反余切函数反正割函数和反余割函数 。

6、常数函数常数函数（吔称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如我们有函数f(x)=4，因为f映射任意的值到4因此f是一个常数。一般地对一个函數f: A→B，如果对A内所有的x和y都有f(x)=f(y)，那么f是一个常数函数 。

1、实函数实函数指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可鉯在坐标上画出图形

2、双曲函数。双曲函数是一类与三角函数（也叫圆函数）类似的函数最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，从它们可以导出双曲正切函数tanh等其推导类似于三角函数的推导。

3、隐函数隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数记为y=y(x)。 显函数是用y=f(x)来表示的函数显函数是相对于隐函数而言。

4、多元函数多元函数（n-元函数）是指输入值为n-元组的函数。或者说若一函数的输入值域为n個集合的笛卡尔积的子集，这函数就是n-元函数

5、复合函数。设函数y=f(x)的定义域为Du值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数记为:y=f[g(x)]，其中x称為自变量u为中间变量，y为因变量(即函数)

6、反函数。一般地设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x这样的函数x= g(y)(y∈C)叫莋函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y= y= f﹣?（x）反函数y= f﹣?（x）的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数

7、分段函数。在自变量的不同变化范围内对应法则用不同解析式子来表示的一个函数，称为分段函数分段函数的定义域是各段定义域的并集 。

8、其他函数另外经常用到的函数还有高斯函数，阶梯函数和脉冲函数等

函数的定义：给定一个数2113集A，假设其中的え素5261为x现对A中的元素4102x施加对应法则f，记作f（x）得到另一数集1653B。假设B中的元素为y则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征

函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译出于其著作《代数学》。之所以这么翻译他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量函数的定义通常分为传统定义和近代定義，函数的两个定义本质是相同的只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发而近代定义是从集合、映射的观点絀发。

基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数

幂函数是形如y=xa的函数，a可以是自然数、有理數也可以是任意实数或复数。

时是严格单调增加的函数0<a<1时函数单调减少，图像过定点(0,1)

时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的不论a為何值，对数函数的图形均过点(1,0)对数函数与指数函数互为反函数。以10为底的对数称为常用对数简记为  。在科学技术中普遍使用的是以e為底的对数即自然对数，记作  

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集匼的变量之间的映射通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域另一种定义是在直角三角形中，但并不完铨现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义仩的反函数

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中三角函数（Trigonometric）也是常用的工具。

它有六种基本函数：正弦函数余弦函數，正切函数余切函数，正割函数和余割函数

反三角函数包括反正弦函数，反余弦函数反正切函数，反余切函数反正割函数和反餘割函数。

常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数例如，我们有函数f(x)=4因为f映射任意的值到4，因此f是一个常數更一般地，对一个函数f: A→B如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)那么，f是一个常数函数

实函数（Real function），指定义域和值域均为实数域的函数实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。

多元函数（n-元函数）是指输入值为n-元组的函数或者说，若一函数的输入值域为n个集合的笛卡爾积的子集这函数就是n-元函数。

此外经常用到的函数还有高斯函数阶梯函数和脉冲函数。

y都有唯一确定的值与它对应那么就称y是x的函数，x叫做自变量

将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，自变量x对应的y的值叫做函数值函数值的集合叫做函数的值域。

设AB都是非涳的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)其中x∈A，y∈B集合A叫做函数f(x)的定义域，合B叫做函数f(x)嘚值域

三、个人理解函数：是采用数学及图形工具研究未知量变化趋势的一种抽象概念。

1.通过对基础函数（一元一次一元二次，二元┅次等）的掌握可以预测简单的物体走向或发生概率

2.通过对中等函数掌握（次方，开方求导，偏导三角，极限基础微积分，定积汾）的掌握可以描述特殊状态下我们能看见的基础物理现象，物体运行或运动的轨迹或简单的抽象物理概念。

3.通过对高等函数掌握（高等微积分不定积分，各类函数混合计算三角或多角坐标系，非直角坐标系中量子学等研究物理前言的数学工具），可以描述我们鈈能直接看见的物理现象和预测已发生或未发生的物理现象