当前位置： >>
好玩的数学
好玩的数学趣味数学（1）一半问题知识要点：小朋友,你知道吗?一些物体分成同样多的两份，其中一份就是总数的一半。 已知一半求总数，只要用一半数再加一半数就是总数。当出现连续几次一半，要仔细 分辨，正确计算总数。[ 例 1 ] 爸爸买了一些草莓，小明吃了一半后，还剩下 6 个，爸爸买了多少个草莓？ 分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下 6 个与吃了的同样多，说明吃 了的一半也是 6 个。因而原来一共有 6+6=12（个） 。所以，爸爸买了 12 个草莓。 [ 例 2] 妈妈有 14 颗奶糖，分给小星和小丹各一半，他们各得多少颗糖？ 分析：根据题意，妈妈把 14 颗奶糖，分给小星和小丹各一半,说明小星和小丹分到的 同样多,我们把 14 可以分成 7 和 7,因此小星和小丹每人分到的都是 7 颗糖。 [ 例 3 ] 妈妈分给小静 8 块巧克力，剩下的分给小英。小静分得的块数正好是小英的 一半，分给小英几块巧克力？分析：根据题意，我们知道小静分得的块数正好是小英的一半，也就是小英的一半和 小静一样多，小英的一半是 8 块巧克力，那么小英就有两个一半，即 8+8=16（块） 。好玩的数学[ 例 4 ] 一根铁丝长 20 米，对折以后，再对折，这时每折长几米？ 例分析：根据题意，把一根铁丝对折以后，也就是分成了两半，即把 20 分成 10 和 10。 这时绳长 10 米。再对折，即把 10 分成 5 和 5。这时绳长也就是 5 米。 [ 例 5 ] 一篮苹果，小明拿走一半后，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了 3 个。 篮里原来有几个苹果？分析：根据题意，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，说明妈妈和爸爸分的一样多，妈妈 得了 3 个，爸爸也就得 3 个，妈妈和爸爸一共 6 个。又因为小明拿走一半，妈妈和爸 爸拿走另一半，说明妈妈和爸爸拿走的与小明拿走的一样多。所以小明拿走的是 6 个 苹果，小明拿走的与妈妈和爸爸拿走的和起来就是篮里原来一共有的苹果，6+6=12 （个） ，篮里原来有 12 个苹果。趣味数学（2）简单年龄问题知识要点： 小朋友,你知道吗?今年你 6 岁,明年你几岁?妈妈今年 30 岁,比你大 24 岁, 明 年妈妈比你大几岁呢?这些年龄问题在解答时要记住:每过一年,每人年龄都要长大一岁. 今年妈妈比你大几岁,再过些年, 妈妈还是比你大几岁.好玩的数学[ 例 1 ] 夏华今年 7 岁,他比爸爸小 28 岁,去年他比爸爸小多少岁? 分析：根据题意，我们知道今年夏华比爸爸小 28 岁.那么去年, 夏华与爸爸同时减去 一岁, 夏华仍然比爸爸小 28 岁. [ 例 2 ] 弟弟今年 4 岁,哥哥今年 12 岁,10 年后,哥哥比弟弟大几岁? 分析：根据题意，今年哥哥 12 岁, 弟弟 4 岁,那么我们知道哥哥比弟弟大 12－4=8(岁). 10 年后,哥哥的岁数是 12＋10=22 岁. 10 年后,弟弟的岁数是 4＋10=14 岁.因此 10 年后, 哥哥比弟弟大 22－14=8 岁. [ 例 3 ] 小青说: “3 年后,妈妈比我大 25 岁.”妈妈问: “5 年前,你比妈妈小多少岁?” 分析：由上题我们知道，哥哥比弟弟大 8 岁, 10 年后,哥哥还是比弟弟大 8 岁.由此我们 可以这样想:既然 3 年后,妈妈比我大 25 岁,那么, 5 年前, 妈妈仍然比我大 25 岁,也就是 我比妈妈小 25 岁. [ 例 4 ] 小林今年 6 岁, 小红今年 10 岁, 当小林的年龄和小红今年的年龄一样大时, 小 红几岁? 分析：我们知道，小林今年 6 岁, 要想使小林的年龄和小红今年的年龄一样大, 那么 小林就要再过 4 年才能和小红一样大. 小林过 4 年,小红也要过 4 年,即长大 4 岁, 那么 小红就是 10＋4=14 岁. [ 例 5] 小芳今年 5 岁, 3 年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大 20 岁,李老师今年多少岁? 分析：我们知道，3 年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大 20 岁,那么 3 年前,小芳幼儿园 的李老师还是比小芳大 20 岁,又因为小芳今年 5 岁, 李老师今年就是 20＋5=25 岁.趣味数学（3）一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？好玩的数学如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。 那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。典型例题 例【1】 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1） （1） 分析 图（1） 一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。 经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。 图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何 一点出发都可以。 通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点 发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点 叫做奇点。 再看图（1）（4） 、 ，其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画 起。而图（2）有 4 个奇点，2 个偶点，不能一笔画成。 这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系， 到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。 （2） （3） （4）例【2】 下面各图能否一笔画成？好玩的数学（1） （2） （3）分析 图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线 相连的偶点。 关于图（2） ，经过反复试验，也可找到画法：由 A D B C AC。图中 B、D 为偶点，A、C 为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。 经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有 4 个奇点，5 个偶点。 解 图（1）（2）可以一笔画。 、这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。 如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也 可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。 如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。 例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由 A 开始或由 B 开始到 B 结束或到 A 结束。 图（2）有 10 个奇点，大于 2，不能一笔画成。 图（3）有 4 个奇点，1 个偶点，因此也不能一笔画成。 解 图（1）的画法见下图。好玩的数学例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？ A O B （1） ） C D分析 图（1）有 4 个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成几个部分，而每个部 分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。按照这样的要求，每个 部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法， 该奇点就变成偶点。经观察，图（1）可以切分成图（A）（B）两个图形。这两部分 、 都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。 解 将图（1）分成图（A）（B） 、 ，则图（A）可由 A-B-O-D-A-C-D 一笔画成，图（B）由 B-C 一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。 A O B （1） ） C B （A） ） D A O C B （B） ） C D小结 能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数。 一、 二、 三、 只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。 只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。 奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为 简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。好玩的数学趣味数学（4）火柴棒问题之一小朋友，火柴棒是我们家家都有的生活用品，用火柴棒做游戏简便易学。 用火柴棒可以摆成下列数字和运算符号：1 5 92 6 03 74 8×＋－=大家喜欢这样的游戏吗？在这一讲里，我们要用火柴棒去探索变化无穷的数字世 界，在有趣的游戏中，变得更聪明。典型例题 例 1 下面是用火柴棒摆成的算式，但这个算式是不成立的。只要移动 1 根火柴 棒，算式就成立了。你会移动吗？分析 在这个算式中，左边的计算结果是 20，右边的结果多了 20，我们可以让 左边的两个加数的和减少 10，让减数增加 10，这样一共减少了 10，等式就相等了。 解法一 可以这样移动：解法二 也可以这样想：从左边拿出多的一个 10 放到右边：例 2 用 4 根火柴棒可以分别表示一些加减运算符号，然后把这 4 根火柴棒放到 数字 1 至 9 中间去，使最终的计算结果等于 100。好玩的数学分析 我们可以这样想：用 4 根火柴棒可以组成 2 个“＋”号、4 个“－”号， 或者 1 个“＋”号、或者 1 个“＋”和 2 个“－”号；再看结果 100，它可能是和或 者是差。经推理，只能用 4 个火柴棒组成 1 个“＋”和 2 个“－”号，才能使结果等 于 100。 解例3 请在下面算式上再加上一根火柴棒，使它成立。分析 左边的结果是 90，右边是 96，相差 6，将 15 改为 16，结果就增加了 6， 正好相等。 解例 4 下面方格里的数字，都是用火柴棒组成的。请你移动其中的 1 根火柴， 使每一横行和竖行里的数字相加的和都相等。分析 3 个横行的数字和分别是 10，16，10，3 个竖行的数字和分别是 8，18， 10，相等的和上 10，那么肯定要将第 2 行的前两个数字进行调整。 、小结 用火柴棒拼成算式，要根据火柴棒组成的数的特点和算式的特 点来做。我们可以根据算式中给出的数的特点，从火柴棒排成的数字拿走或添上火柴好玩的数学棒，变成另一个数，或改变一个运算符号，就可以使算式成立。趣味数学（5）火柴棒问题之二在上一讲我们学习了用火柴棒来摆数学算式，从中也发现了很多规律和乐趣，这 讲我们又来学学用火柴棒来摆摆各种图形。如果拿掉或者移动火柴，就可以变成其他 图形，非常有趣。我们一起来试一试。典型例题 例[1] 用 6 根火柴，照右图摆成 1 个三角形。 要把这个三角形变成六角形，只准移动 4 根火柴， 应该怎样移动？分析 下图中三角形的每条边上有两根火柴棒，要将三角形变成六边形， 每边上只能有 1 根火柴棒，所以应该这样移动： ② ③ ③ ① ④ ① ④ ② 例[2] 请你只移动 3 根火柴把 3 个三角形变成 5 个三角形。分析 3 个三角形用了 9 根火柴， 要变成 5 个三角形， 需要用到 15 根火柴， 这样少了 6 根火柴。因此，变成的三角形中一定要使 6 根火柴重复使用。 解 可以这样移动： ① ② ③ ② ① ③例[3] 用 24 根火柴棒能组成右边的图形。拿掉几根火柴棒可以变成新的图形。好玩的数学（1）拿掉 8 根火柴，使它只留下 2 个正方形。1（2）拿掉 6 根火柴，使它只留下 3 个正方形。2例[4] 右图是由 4 个小正方形组成的正方形。现在要移动 3 根火柴，使它变成 3 个相等的正方形，应该怎样移动？分析 可以这样想：4 个小正方形一共有 12 根火柴棒组成，要使它变成 3 个相等的正方形，那么每个正方形就应该有 4 根火柴棒组成，并且没有重复。 解 见右图。小结从给出的火柴棒组成的图形中拿掉几根火柴，变成新的图形。如果图形变少了，我们可以直接拿掉多余的几根火柴；如果图形增加了，我们要好玩的数学考虑让火柴重复使用，这样可以增加图形的个数。练习：1．有 3 个正方形都是由 8 根火柴组成。现在只有把这 3 个正方形的位置变化一下， 就可以多出 4 个小正方形。应该如何移动？2．用 9 根火柴，怎样摆放，才能摆出 6 个正方形来？3．下图是用 18 根火柴组成的 6 个相等的正方形，拿掉其中的 2 根火柴，使它留下 4 个同样的正方形。4．下图是由 15 根火柴组成的图形。请你移动 2 根火柴，使它变成 5 个同样的正方形。解答： 1．2。3．4。好玩的数学趣味数学（6）拼拼摆摆知识要点：用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形，这些图形随着火柴棒的移动、增减， 会发出意想不到的变化，这类游戏非常有趣、益智，你也来试试看。 [ 例 1 ] 搭一个三角形要用 3 根火柴，你能用 5 根火柴搭出两个三角形吗？ 分析：搭一个三角形要用 3 根火柴，那么搭两个三角形要用 6 根火柴，现在只有 5 根 火柴，少了一根，那么应把两个三角形搭在一起，如图：[ 例 2 ] 用 12 根火柴摆成一个田字形：（1） 拿去两根火柴棒，变成两个正方形； （2） 移动三根火柴棒，变成三个正方形。 分析： （1）原来 12 根火柴棒，拿走两根后剩 10 根火柴棒，不可能拼成大小相同 的两个正方形，只能是一大一小。只要保留外边的大正方形，拿去里面 2 根，使 里面四个正方形变成 1 个就可以了。如图：（2）移动三根火柴棒，那么总根数仍然是 12 根，12 根组成 3 个正方形，每个 正方形 4 根火柴棒，只移动 3 根，原来就有一根不变，把另 3 根和它组成正方形 即可。如图：好玩的数学[ 例 3 ] 下图是用 8 根火柴棒摆成的一条鱼，请你移动 3 根火柴，使鱼头向右，应 该怎样移动？分析：要把鱼头朝右，需要把左边的“鱼头”拆掉，变成“鱼尾”。如果简单的去掉“鱼头” 的两根火柴，3 根火柴不够用，因此必须保持一根火柴不变，可这样移动：[ 例 4 ] 用火柴棒搭成小猪图，你能移动火柴棒使猪头、猪尾正好换一个方向吗？你 移动了几根火柴棒？分析：要把猪头朝右，需要把左边的“猪头”拆掉，变成“猪尾”。为了使火柴棒的根数 最少，可移动猪头下面的一根，变成猪尾。[ 例 5 ] 左边是用 6 根火柴排成的金字塔，右边是用 6 根火柴排成的倒立的金字塔， 能不能只移动 2 根火柴棍，就把左边的金字塔变成右边的倒立的金安塔？分析：我们发现第二排是一样的，不同的是第一排和第三排，要想只移动 2 根， 我们就把第一排两边的两根移到第三排去，如图：好玩的数学趣味数学（7）算得快的奥妙计算是数学的基础，在计算中，我们既要做到正确合理，还要做到快速、巧 妙。这样不仅能节省时间，还能提高分析问题的能力，促进智力发展。首先，我们来 学习加、减法中的一些简便运算的方法。用简便方法计算下面各题： （1） （2） （3） ； 1302－（308－149） ； （）－256。可以这样想： 加减法简便运算的基本思路是“凑整” ，即将能通过加减运算后得到整十、整百、 整千……的数，先运用性质计算它们的结果。 （1） ＝＋101 ＝＝10101好玩的数学（2） 1308－（308－149） ＝＋149 ＝＝1149 （3） （＋825）－256 ＝（）＋（125＋825） ＝
＝4950拍脑袋提醒: 遇到这类题目，我们首先应该想到的就是能否通过拆数、先算某个部分等加减运算 方法来得到整十、整百、整千……的数。用简便方法计算下面各题： （1）9＋99＋999＋； （2）1－2＋3－4＋5－6＋...-。可以这样想： (1) 在涉及所有数字都是 9 的计算中， 常使用 “添 1 凑整法” 如将 999 看成 。 （1000 －1）去计算。这是小学数学中常用的一种计算技巧。 9＋99＋999＋ ＝（10－1）＋（100－1）＋（1000－1）＋ （10000－1）＋（） ＝10＋100＋＋ ＝＝111105好玩的数学（2）通过观察可以发现：这个算式的加号和减号是间隔出现。所以，我们可以 将除 1 以外的所有数，每两个数分为一组，而每组的结果都是 1。 1－2＋3－4＋5－6＋......+93 =1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+......+()+() =1+1×996 =997趣味数学（8）复杂年龄问题年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如：已知两个人或若干人的年龄，求 他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确解答这类题，首先要明白：两个不同年龄 的人，年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差” 、 “差倍”等知识来分析解答有关年龄方面的问题。典型例题 例[1] 爸爸、妈妈今年的年龄和是 82 岁。5 年后爸爸比妈妈大 6 岁。今年爸爸、 妈妈两人各多少岁？分析 5 年后，爸爸比妈妈大 6 岁，即爸爸、妈妈的年龄差是 6 岁，它是 一个不变量。因此，爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是 6 岁。这样原问题就归结为“已 知爸爸、妈妈的年龄和是 82 岁，他们的年龄差是 6 岁，求两人各是几岁”的和差问 题。 解 爸爸年龄： （82＋6）÷2=44（岁） 妈妈年龄：44－6=38（岁） 答：爸爸的年龄是 44 岁，妈妈的年龄是 38 岁。 例[2] 小红今年 7 岁，妈妈今年 35 岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的 3 倍？分析无论小红多少岁时，妈妈的年龄都比小红大（35－7）岁。所以当妈妈的年龄是小红的 3 倍时，也就是妈妈年龄比小红大（3－1）倍时，妈妈仍比小红 大（35－7）岁，这个差是不变的。由这个（35－7）岁的差和对应的这个（3－1）倍， 就可以算出小红的年龄，即差倍问题中的差÷（倍数－1）=较小数。好玩的数学解 妈妈现在比小红大的岁数： 35－7=28（岁） 妈妈年龄是小红的 3 倍时，比小红大的倍数是： 3－1=2（倍） 妈妈年龄是小红的 3 倍时，小红的年龄是： 28÷2=14（岁） 答：小红 14 岁时，妈妈年龄正好是小红的 3 倍。例[3] 6 年前，母亲的年龄是儿子的 5 倍。6 年后母子年龄和是 78 岁。问：母亲 今年多少岁？分析6 年后母子年龄和是 78 岁，可以求出母子今年年龄和是 78－6×2=66（岁） 。6 年前母子年龄和是 66－6×2=54（岁） 。又根据 6 年前母子年龄和与 母亲年龄是儿子的 5 倍，可以求出 6 年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄。 解 母子今年年龄和：78－6×2=66（岁） 母子 6 年前年龄和：66－6×2=54（岁） 母亲 6 年前的年龄：54÷（5＋1）×5=45（岁） 母亲今年的年龄：45＋6=51（岁） 答：母亲今年是 51 岁。 例[4] 小强今年 13 岁，小军今年 9 岁。当两人的年龄和是 40 岁时，两个各是多 少岁？分析 小强和小军的年龄差为 13－9=4（岁） ，这是一个不变量。当两人的 年龄和 40 岁里减去一个两人的年龄差（4 岁） ，这是一个不变量。当两人的年龄和是 40 岁时，小强比小军还是大 4 岁。 如果从两人的年龄和 40 岁里减去一个两人的年龄差（4 岁）可，得到的就是两个小军 的年龄，由此可求出小军的年龄。再由小军的年龄求出小强的年龄。 解法一 小强比小军大的年龄：13－9=4（岁） 当两人的年龄和是 40 岁时，小军年龄的 2 倍是： 40－4=36（岁） 当两人的年龄和是 40 岁时，小军的年龄是： 36÷2=18（岁） 小强的年龄是： 40－18=22（岁）好玩的数学解法二 如果给两人的年龄和 40 岁再加上两人的年龄差 4 岁，将得到小强年龄 的 2 倍，由此可以求出小强的年龄以及小军的年龄。 小强和小军的年龄差：13－9=4（岁） 小强年龄的 2 倍：40＋4=44（岁） 当两人的年龄是 40 岁时，小强的年龄：44÷2=22（岁） 当两人的年龄和是 40 岁时，小军的年龄：40－22=18（岁） 答：小强、小军的年龄分别是 22 岁、18 岁。例[5] 甲、乙两人的年龄和正好是 100 岁。当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正 好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁？分析 下图所示：由“乙的年龄正好是甲年龄的一半”可知：甲、乙两人的年龄如乙 甲 再结合“当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半”可推出，甲的 年龄要和乙现在的年龄相等，甲要减少几岁，乙要增加相同的岁数，且这个年龄相当 于乙的 1 倍，这样甲、乙两人的年龄关系为： 1倍 乙 2倍 甲 1倍 100 岁 1倍从上图可以看出：现在乙的年龄如果有 2 份，甲的年龄就有这样的 3 份，甲、乙 两人的年龄共有 2＋2＋1=5（份） 份对应着两人的年龄和 100 岁。这样就很容易求 。5 出甲、乙两人各自的年龄。 解 甲、乙两人年龄的份数和是多少？ 2＋2＋1=5（份） 每份是多少？ 100÷5=20（岁） 乙的年龄是多少岁？ 20×2=40（岁） 甲的年龄是多少岁？ 20×（2＋1）=60（岁） 综合算式是：100÷（2＋2＋1）×2=40（岁）好玩的数学100÷（2＋2＋1）×（2＋1）=60（岁） 答：甲今年 60 岁，乙今年 40 岁。小结年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住“差不变”这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关 系与年龄之和等条件解答这类应用题。 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄 几年前年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差趣味数学（9）新定义运算小朋友们，你们见过除了＋、－、×、÷这些运算符号之外的其他运算符号吗？ 在这一讲里，我们会一起来看看很多有趣的运算符号。 定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的 运算。在定义新运算中的※，，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。解答定 义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的 ＋、－、×、÷运算问题。 典型例题 例【1】 若 A*B 表示（A＋3B）×（A＋B） ，求 5*7 的值。 分析 A*B 是这样结果这样计算出来： 先计算 A＋3B 的结果， 再计算 A＋B 的结 果，最后两个结果求乘积。 解 由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312例【2】 定义新运算为 a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4） 分析 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。解 由 a△b＝（a＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1好玩的数学＝（6＋1）÷1 ＝7例【3】 对于数 a、b、c、d，规定，& a、b、c、d &＝2ab－c＋d，已知& 1、3、 5、x &＝7，求 x 的值。 分析 解 根据新定义的算式，列出关于 x 的等式，解出 x 即可。 将 1、3、5、x 代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知&1、3、5、x &＝7，故 1＋x＝7，x＝6。 例【4】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算， “◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算 中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30例【5】 如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算： （3※2）×5。 分析 通过观察发现：a※b 中的 b 表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由 a 组成，都由一个数位，依次增加到 b 个数位。 解 （5※3）×5。 ＝（5＋55＋555）×5 ＝3075好玩的数学小结 解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过 程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出 相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是同学们对问题的理解及适应能力。趣味数学（10）合理分组知识要点：小朋友们已学习了加、减运算。有些题目，已经列好算式，要求你把所给 的几个数合理分组，填入式子中，使等式成立。解这类题目，小朋友要仔细观察，找 出题中的规律，并能大胆进行尝试。 [ 例 1 ] 把 2、3、4、5 分别填入□中， （每个数只能用一次） □＋□－□=□ ： 分析：根据 2+5=3+4，可以有以下几种填法： 2+5-3=4； 2+5-4=3； 3+4-5=2； 3+4-2=5； 5+2-3=4； 5+2-4=3； 4+3-5=2； 4+3-2=5.[ 例 2 ] 把 2、6、7、8、9 和 14 分别填入括号中， （每个数只能用一次） ，使两个算式 都成立： ①（ ②（ ）+ （ ）－（ ）=（ ）=（ ） ； ）.分析：通过观察，发现 2、6、7、8、9 和 14 这六个数可以分成下面两组:第一组:2、7、 9；第二组:6、8、14 .每一组中,最大的数等于其余两个数的和,因此, 根据加、减法之 间的关系，有以下 4 种填法：好玩的数学⑴①（ 2 ）+ （ 7 ）=（ 9 ） ； ②（14 ）－（ 6 ）=（ 8 ）. ⑵①（ 7 ）+ （ 2 ）=（ 9 ） ； ②（14 ）－（ 8 ）=（ 6 ）. ⑶①（ 6 ）+ （ 8 ）=（14 ） ； ②（ 9 ）－（ 2 ）=（ 7 ）. ⑷①（ 8 ）+ （ 6 ）=（14 ） ； ②（ 9 ）－（ 7 ）=（ 2 ） [ 例 3 ] 在 1、2、3、4、5 之间添上加号（相邻的两个数字可以组成一个数） ，使他们 的和等于 60。 分析：我们发现要想得到 60，这里最大的两个数是 4、5，合起来是 45，再添上 15 等 于 60，剩下 1、2、3 之间只有 12＋3=15，因此答案是：12＋3＋45=60。 [ 例 4 ] 请你把下面钟面用两条直线分成三份，使每份数相加的和都相等：11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5分析：我们发现钟面上 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 排列有规律： 1+12=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7。这 12 个数可以分成下面三组:第一组:1、2、11、12； 第二组:3、4、9、10 ；第三组:5、6、7、8 。11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5好玩的数学[ 例 5 ] 把 0、1、2、3、7、8、9 分别填入□中，使算式成立： □＋□=□□－□=□□ 分析：通过观察，发现要想得到一个两位数，有可能是 12、13、17、18、19。0、1、 2、3、7、8、9 这 7 个数中，要想两数相加得 13、18、 不可能，那么只剩下 9＋3=12， 19 8＋9=17。如果 9＋3=12，剩下 0、7、8 不可能组成一个两位数减一位数等于 12 的算 式。如果 8＋9=17，剩下 0、2、3 刚好组成 20－3=17。因此：8＋9=20－3=17。趣味数学（11）植树问题小军家住在 5 楼，每上 1 层楼梯要 1 分钟。他从 1 楼走到 5 楼要用几分钟呢？ 如果你的答案是 5 分钟就错了，正确的答案应该是 3 分钟，为什么？ 这就是我们这一讲所要解决的问题――间隔、分段问题，具体来说包括有楼梯问 题、植树问题等等。 典型例题 例[1] 把 1 根木头锯断，要 2 分钟。把这根木头锯成 4 段，要几分钟？ 分析 这样想：把 1 根木头锯断，也就是锯 1 次要用 2 分钟。而把这根木 头锯成 4 段，需要锯几次？只要锯 3 次，也就是需要 3 个 2 分钟。 解 2×（4－1）=6（分） 答：锯成 4 段，需要 6 分钟。 例[2] 某人到一座高层楼的 8 楼去办事，不巧停电，电梯停开。他从 1 楼走到 4 楼用了 48 秒。用同样的速度走到 8 楼，还要多长时间？48 秒分析12可以先求出上 1 层楼梯要多少秒，从图中知道，48 秒上了 3 层楼梯，上 1 层楼梯 用的时间是 48÷（4－1）=16（秒） 。 再求出从 4 楼到 8 楼用的时间，从图中也可以知道，要上 4 层楼梯，也就是 4 个 16 秒。345678好玩的数学解 48÷（4－1）=16（秒） 16×（8－4）=64（秒） 答：还要 64 秒。 例[3] 时钟 4 点钟敲 4 下，用 12 秒敲完。那么 6 电钟敲 6 下，几秒钟敲完？ １２秒 １２秒 分析 第1下 第２下 第３下 第４下 第５下 第６下时钟敲４下， 经过了３个时间间隔， 每个时间间隔是１２÷ （４－１） ＝４ （秒） 。 解 １２÷（４－１）＝４（秒） ４×（６－１）＝２０（秒） 答：２０秒敲完。 例［４］ 同学们上体育课，有１０个男生排成一排，相临两个男生相隔１米。 问这排男生排列的长度有多少米？ 分析 １０个男生排成一排， 有几个间隔？和前面一样， 应有９个间隔， 也就是９个１米。 解 １×（１０－１）＝９（米） 答：这排男生排列的长度排有９米。 例［５］ 有一条路长１００米。在路的一侧从头到尾每隔１０米栽一棵树。 １００米 １００米共栽多少棵树？１ ０ 分析 以１０米为一段，１００米可以分成１０段。由于头尾都栽，所以栽的棵树比分 成的段数多１。 解 １００÷１０＋１＝１１（棵） 答：共栽１１棵树。 例［６］ 一个圆形的花坛，周长是１８０米。每隔６米种芍药花，每相临两 棵芍药花之间种两棵月季花。可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？ 分析 1. 花坛的一周以 6 米为一段，可以分成 180÷6=30（段） 。由于是 圆形，首尾两棵重合，所以段数=棵树，也就是种 30 棵芍药花。 2．每两棵芍药花之间种两棵月季花，也就是每段里有 2 棵月季花，30 段就有 30 个两 棵。好玩的数学解 芍药花的棵树：180÷6=30（棵） 月季花的棵树：2×30=60（棵） 答：可以栽 30 棵芍药花、60 棵月季花。小结 解上楼梯问题就是考虑有几个间隔（或几次） ，解植树问题就 是考虑有几段。 一、 锯木头的时间、排队伍的长度、时钟敲的时间等，实际上都是上楼梯问题， 就是台阶总数=每层楼梯的台阶数（所达到的层数－起点的层数） 。 二、 解植树问题就要弄清有几段。如：100 米的长度，每 10 米载一棵树，就分成 10 段。如果排成一排，栽的棵树=段数＋1，即 100÷10＋1=11（棵） 。如果围城 圆形，栽的棵树=段数，即 100÷10=10（棵） 。趣味数学（12）数图形晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有多少个正 方形。小小一看，立即回答： “窗户上一共有 6 个正方形。 ”妈妈笑了，爸爸在一旁也 笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑” 。小朋友，你知道小小的爸爸妈妈为什 么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？下面我 们就一起来研究数图形的问题。典型例题 例【1】 下图中有多少条线段？ABCDE分析 我们把图中的线段 AB、BC、CD、DE 看作是基本线段，那么：由 1 条基 本线段构成的线段有 AB、BC、CD、DE 4 条； 由 2 条基本线段构成的线段有 AC、BD、CE 3 条； 由 3 条基本线段构成的线段有 AD、BE 2 条；好玩的数学由 4 条基本线段构成的线段有 AE 1 条。 另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数： 以 A 为左端点的线段有 AB、AC、AD、AE 4 条； 以 B 为左端点的线段有 BC、BD、BE 3 条； 以 C 为左端点的线段有 CD、CE 2 条； 以 D 为左端点的线段有 DE 1 条。 解 4＋3＋2＋1＝10（条） 所以图中有 10 条线段。例【2】 下面图形中有几个角？D C B O A分析 我们把图中的 ∠AOB、 ∠ BOC、 ∠COD 看作基本角，那么： 由 1 个基本角构成的角有 ∠AOB、 ∠BOC、 ∠ COD 3 个； 由 2 个基本角构成的角有 ∠AOC、 ∠BOD 2 个； 由 3 个基本角构成的角有 ∠ AOD 1 个。 我们也可以从角的两条边出发来数： 以 OA 为一边的角有 ∠AOB、 ∠ AOC、 ∠AOD 3 个； 以 OB 为一边的角有 ∠BOC、 ∠BOD 2 个； 以 OC 为一边的角有 ∠ COD 1 个。 解 3＋2＋1＝6（个） 所以图中有 6 个角。 例【3】 下图中共有多少个三角形？好玩的数学ABCDE分析 我们把图中 △ABC、 △ACD、 △ ADE 看作基本三角形，那么： 由 1 个基本三角形构成的三角形有 △ABC、 △ ACD、 △ ADE； 由 2 个基本三角形构成的三角形有 △ ABD、 △ ACE； 由 3 个基本三角形构成的三角形有 △ ABE。 解 3＋2＋1＝6（个） 所以图中有 6 个三角形。 例【4】 下图中有多少个正方形？A B分析 我们把最短的一条线段如 AB 看作基本线段，那么： 边长为 1 条基本线段的正方形有 9 个； 边长为 2 条基本线段的正方形有 4 个； 边长为 3 条基本线段的正方形有 1 个。 解 9＋4＋1＝14（个） 所以图中有 14 个正方形。 例【5】 数一数图中共有多少个三角形？好玩的数学A B D C A A D B1B2C B3 DC分析 我们可以将图形分成上面三个部分来数： 在图 1 中，一共有 5＋4＋3＋2＋1＝15（个）三角形； 在图 2 中，一共有 5＋4＋3＋2＋1＝15（个）三角形； 在图 3 中，一共有 5 个三角形。 解 15＋15＋5＝35（个） 所以图中一共有 35 个三角形。（1） （2） （3）小结 要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手： 弄清楚图形中包含的基本图形是什么，有多少个。 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出 它们的和是多少。 有些图形被分成乐几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图 形的个数，再求各部分的总和。趣味数学（13）图形分与合把一个几何图形按照某种要求分成几何图形，就叫做图形的分割。反过来，按照 一定的要也可以把几个图形拼成一个完整的图形，就叫做图形的拼合，在日常生活和 生产实际中，经常会碰到一些图形分割或拼合的问题。当你感到分割或拼合图形有困 难时，请记住：最好的方法是动画一画，剪一剪，拼一拼。典型例题 例[1] 把一个正方形分成形状，大小相等的 4 份，该怎样分呢？ 分析 把一个图平均分，首先要考虑找到这个图形的对称轴。另外，还要考虑把 图形分成形状， 大小相同的不规则图形， 而这些不规则的部分又要恰好能拼合为原图。 解好玩的数学例[2] 如下图，把一块地分给 4 个小组种植，形状大小要相同（每一块有相同 的点数） ，怎么分？分析 图中共有 20 个点子，把它分成形状大小相同的 4 块时，每块应有 5 个点 子。每一竖行最多有 4 个点子，而最右端的 4 个点子又是呈正方形排列的，因此，可 以想到选择含有 4 个呈正方形点子，另加 1 个点子的图形作为单位进行分割。 解好玩的数学例[3] 下面是一副拼板，用这副拼板能拼成一个正方形吗？怎样拼？分析 这副拼板共有 25 个小正方形， 如果能拼成一个大正方形， 那么这个大正方 形每边就有 5 个小正方形。根据图形的凹凸情况，可以考虑把①和③拼在一起；再根 据凹凸情况，依次拼上④、⑤、②。 解例[4]从上面 6 块图形中选用几块拼成下面的图形，你能说出它们分别选用了哪几块 吗？请你用虚线表示出拼的方法，并标上所选图形的编号。分析在给出的 6 块图形中，先找到哪两块图形可以拼成三角形、梯形，哪三块好玩的数学可以拼成三角形、梯形、平行四边形、正方形，再结合要拼成图形的形状、大小来选 取小图形拼合。 解例[5] 你能把一个等边三角形分成大小、形状都相等的 3 个、4 个、6 个、8 个、 9 个、12 个三角形吗？请用虚线将分法表示出来。分析 等边三角形是一个轴对称的图形，它的 3 条边都相等，因此只要连接每边 中点都可以把它分割成若干形状、大小相同的三角形。 解 分法见下图(分法不唯一)好玩的数学小结无论是图形的分割还是拼合， 都要结合所提供图形的特点来思考。 根据要求可以找出图形的对称点、对称轴等等，分割或拼合之后，检验整体与部分的 联系，看是否符合要求。同时，在进行图形分割和拼合过程中，要学会动手剪剪、拼 拼、画画、分分、动脑筋想想。好玩的数学趣味数学（14）格点与面积在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个 面积单位。例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。 借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。典型例题 例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、 长方形、 平行四边形和三角形。 它们的面积分别是多少？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F A E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B C D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1） （2） （3） （4）分析题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。而要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高。 解 图（1）是正方形，边长是 2，它的面积是 2×2=4。 图（2）是长方形，长是 4，宽是 2，它的面积是 4×2=8。 图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角三角形到右边， 使得平行四边形变成一个长方形，所求的面积是 3×2=6。 图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形。三角形 ABC 的面积是长方 形 AFBC 面积的一半，三角形 ACD 的面积是长方形 ACDE 面积的一半，所以三角形 ABD 的面积是 （3×2）÷2 =6÷2 =3 例[2] 求下图中各图的面积。好玩的数学? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）分析 我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的图形来计算。 由上图可以看出，图（1）可以分成两块：一块是长方形，另一块是一个三角形。可 以利用例[1]所介绍的方法来计算这个三角形的面积。或者将这个图形转化成一个大的 长方形，如图（2） 。所求的图形面积就等于大长方形面积的一半。 解法一 如图（1） ，左边长方形的面积是 4×3=12，右边三角形的面积是（4×3） ÷2=6，整个图形的面积是 12＋6=18。 解法二 如图（2） ，大长方形的面积是（8＋4）×3=36，所求图形的面积是：36 ÷2=18。例[3] 求下列左图的面积。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? E ? ? ? ? ? ? ?B ? ? ? ? ? ? A ? ? ? F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C好玩的数学分析 和例[2]的思考方法一样，先要将所给图形切分成我们已经学会 计算面积的图形，这样就可以计算出所给图形的面积。 解 将图形 ABCD 分成三角形 ABD 和三角形 BCD（上右图） ，又三角形 ABD 的 面积等于长方形 BDFE 的面积的一半，所以三角形 ABD 的面积为（4×3）÷2=6，则 图形 ABCD 的面积为 6×2=12。例[4] 求下图中图形的面积。 ? ? ? ? ? ? ? B? ? ? D? C? E? ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?K ? H ? ? ? ? ? ? ? ?G ?F ? ? ? ? ? ? ?分析 看到这样不规则的图形，我们首先想到的是将它分割成几个我 们学习过的基本图形。这样，上图可以分割成一个三角形、一个正方形和一个长方形， 可以别计算它们的面积。 解 图中三角形 ABK 的面积是（2×3）÷2=3，正方形 BCHK 的面积是 2×2=4，长 方形 DEFG 的面积是 4×1=4，则所求组合图形的面积是 3＋4＋4=11。小结 在行间距都相等的格点图中，可以连结若干个小正方形面积单 位，利用这些面积单位可以计算出很多图形的面积。如果是一个规则图形，可以运用 公式直接计算面积。当所给图形是一个组合图形或不规则的图形时，需要开动脑筋， 将它分割成我们熟悉的基本图形。在计算每一个部分面积时，要充分利用格点图的特好玩的数学点，准确地找出所需数据。趣味数学（15）等量代换小朋友们一定都知道曹冲（曹操的儿子）称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大 象先上船，看船被河水水面淹到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条 船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重， 大象就有多重。 为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的 深度一样。只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，船才会被淹没得一样深。 “曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等 的量，可以互相代换。 解决数学题，经常会用到这种思考方法。典型例题 ◎＋◎＋□=25 ……（1） □=◎＋◎＋◎ ……（2） ◎=？ □=？ 分析 把两个算式编号为（1）式、 （2）式。把（1）式中的□用（2）式中的三 个◎代换，可得 ◎＋◎＋◎＋◎＋◎=25 也就是 ◎×5=25 解 ◎=25÷（2＋3）=5 □=5＋5＋5=15 例[2] 根据下图，求最大的球的克数。48克 克例[1]（1） ）（2） ）（3） ）分析 先比较上图（1）中天平两端，容易看出：1 个小黑求的重量恰好等于砝码 的重量 48 克。由图（2）可知，3 =2 。这样可求出小白球的重量。算出小白 球的重量后，由图（3）又可以算出最大球的重量。 解 由于 =48 和 3 =2 ，可算出 =48×3÷2=32（克） 。好玩的数学答：最大球的重量为：32×4=128（克） 例[3] 百货店运来 300 双球鞋，分别装在 2 个木箱、6 个纸箱里。如果 2 个纸箱 同 1 个木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？ 分析 根据“2 个纸箱同 1 个木箱装的球鞋一样多” ，把木箱换成纸箱，也就是 说，把 300 双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2 个木箱里的球鞋刚 好装满 4 个纸箱，再加上原来已装好的 6 个纸箱，一共是 10 个纸箱。这样，题目就 变为“把 300 双球鞋平均装在 10 个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋？”可以求 出每个纸箱装多少双鞋，也就能求出一个木箱能装多少双鞋。 解 300÷（2×2＋6） =300÷10 =30（双） 30×2=60（双） 答：每个纸箱里装 30 双球鞋，每个木箱里装 60 双球鞋。例[4]如下图，淡黄色部分是正方形，求出最大的长方形的周长。5厘米ABEHCD7厘米FG分析 因为图的中间是正方形，正方形的 4 边相等，所以 DF=FE=BE=BD……（1） 长方形 ABCD 的周长为 7×2=14（厘米） ，长方形 EHGF 的周长为 5×2=10（厘米） ， 又因为最大的长方形 AHGC 的周长等于：好玩的数学AB＋AC＋CD＋DF＋FG＋GH＋EH＋BE……（2） 根据（1）对（2）式进行等量代换，就得到所求最大长方形的周长正好等于长方 形 ABCD 的周长加上长方形 EHGF 的周长。 解 7×2＋5×2=24（厘米） 答：图中最大长方形的周长是 24 厘米。例[5] 如果鱼尾重 4 千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重 量等于鱼头加鱼尾的重量。问这条鱼有多少千克？ 分析 依题意列出下列等式： 尾=4 ……（1） 头=尾＋身÷2 ……（2） 身=头＋尾 ……（3） 由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等，所以把（2）式两边同乘以 2 得： 2 头=2 尾＋身 ……（4） 把（3）式代入（4）式得： 2 头=2 尾+头+尾 头=3 尾=3×4=12（千克） 身=头＋尾=12＋4=16（千克） 、 全鱼=头＋身＋尾=12＋16＋4=32（千克） 答：这条鱼有 32 千克。 解小结在进行等量代换时，我们通常要把题目中的等量关系或图中的相等关系（天平平衡就是一种等量关系）转化为等式，并把这些等式按顺序编号，再 互相代换。好玩的数学趣味数学（16）分类枚举小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有多少钱。小 朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按 1 分、2 分、5 分、 1 角、2 角、5 角、1 元等分类去数。所以很快就数好了。 小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的数学思考方法，在很多 问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧！典型例题 例[1] 下图中有多少个三角形？分析 第 1 类：我们可以根据图形特征将它分成 3 类： 有 6 个；第 2 类：有 6 个；第 3 类：有 3 个；解 6+6+3=15（个） 图中有 15 个三角形。 例[2] 下图中有多少个正方形？分析 根据正方形边长的大小，我们将它们分成 4 类。好玩的数学第 1 类：由 1 个小正方形组成的正方形有 24 个； 第 2 类：由 4 个小正方形组成的正方形有 13 个； 第 3 类：由 9 个小正方形组成的正方形有 4 个； 第 4 类：由 16 个小正方形组成的正方形有 1 个。 解 24+13+4+1=42。 图中有 42 个正方形。 例[3] 在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？ 分析 根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成 3 类： 第 1 类：两粒珠子都在上档，可以组成 505，550； 第 2 类：两粒珠子都在下档，可以组成 101，110，200； 第 3 类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成 510，501，150，105，600。 解 可以表示 101，105，110，150，200，501，505，510，550，600 共 10 个三 位数。 例[4] 用数字 7，8，9 可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 分析 根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类： 第 1 类：百位上的数字为 7，有 789，798； 第 2 类：百位上的数字为 8，有 879，897； 第 3 类：百位上的数字为 9，有 978，987。 解 可以组成 789，798，879，897，978，987 共 6 个三位数。 例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三 站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？ 分析 我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类（注：为了方便，我们将 上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪） ： 在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成 4 类。 第 1 类：从宁出发：宁 常，宁 锡，宁 苏，宁 沪，4 种； 第 2 类：从常出发：常 锡，常 苏，常 沪，3 种； 第 3 类：从锡出发：锡 苏，锡 沪，2 种； 第 4 类：从苏出发：苏 沪，1 种。 我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类，聪明的小朋友可能已经想到了，它 的种数与第一大类完全相同。 解 （4+3+2=1）×2=20（种） 铁路部门要准备 20 种车票。小结分类枚举的关键是正确分类，为此，必须注意两点：好玩的数学一、 分类要全、枚举要清。分类不全，就会造成遗漏。如上面例 1 中，如果一不 小心，把第 3 类丢了，就会造成差错。当分类确定之后，要把每一类中每一个符 合条件的对象都列举出来。 二、 分类要清。因为如果分不清，使第 1 类中有第 2 类，第 2 类中有第 3 类，互 相包含，那么就会有重复。这样结果也就很难正确了。趣味数学（17）简单的倍数问题小朋友们，你见过关于倍数的问题吗？那么，你知道什么是倍数问题吗？倍数问 题是指已知一个数或者几个数的和（差）及相互之间的倍数关系，求其中一个数或者 几个数的问题。它包括求 1 倍数或几倍数问题、和倍问题、差倍问题等。现在我们就 来学习这三类比较简单的倍数问题。 典型例题 一、 求 1 倍数或几倍数例【1】 果园有苹果树 1200 棵，梨树的棵数比苹果树的 2 倍多 80 棵。梨树有多少 棵？ 分析 根据题意，可以画出线段图：1200 棵 苹果树： 苹果树： ？棵 梨树： 梨树： 2倍 80 棵由“梨树的棵数比苹果树的 2 倍多 80 棵”可知：苹果树的棵数是 1 倍数（1200 棵） ，梨树的棵数比苹果树的 2 倍多 80 棵，先求出苹果树棵数的 2 倍（1200 棵×2＝ 2400 棵） ，再求比它多 80 棵的数。 解
＝2400＋80 ＝2480（棵） 答：梨树有 2480 棵。 例【2】 果园有梨树 2480 棵，梨树的棵数比苹果树的 2 倍多 80 棵。苹果树有 多少棵？ 分析 根据题意，可以画出线段图：?棵 棵 苹果树： 苹果树： 1倍 2480 棵好玩的数学由“梨树的棵数比苹果树的 2 倍多 80 棵” 可知，苹果树的棵数是 1 倍数，梨树是 2480 棵，减去多的 80 棵，正好是苹果树棵数的 2 倍。求 1 倍数用除法，由此可以求出苹 果树的棵数。 解 （2480－80）÷2 ＝2400÷2 ＝1200（棵） 答：苹果树有 1200 棵。小结 解答求 1 倍数或几倍数的问题时，特别要注意分清是属于求几倍数的题， 还是求 1 倍数的题。求几倍多几或几倍少的量，都要先求出几倍数，然后再加或减， 即先乘再加或减。反之，已知几倍多几或几倍少几的量，而求 1 倍数，应先减或加， 求出几倍的对应量，再除以倍数。二、和倍问题例【3】 学校图书馆有科技书和文艺书共 2400 本，文艺书的本数是科技书的 4 倍。两种书各有多少本？ 分析 根据题意，可以画出下面线段图：1倍 科技书本数： 科技书本数： ？本 文艺书本数： 文艺书本数： ？本从图中可以看出，把科技书的本数作为 1 倍数，文艺书的本数就是它的 4 倍，那 么 2400 本就相当于科技书本数的（1＋4）倍，由此可以先求出科技书的本数，然后4倍共 2400 本好玩的数学再求出文艺书的本数。 解 科技书的本数： 2400÷（1＋4） ＝2400÷5 ＝480（本） 文艺书的本数： 480×4＝1920（本） 或 ＝1920（本） 以上解答对不对呢？可以检验吗？ 检验：＝2400（本）……和 ＝4……倍数 答：科技书有 480 本，文艺书有 1920 本。例【4】 体育室有足球和篮球共 76 只，足球的只数比篮球的 3 倍还多 4 只，足 球和篮球各有多少只？ 分析 把篮球的只数看作 1 份，那么足球的只数就相当于篮球的 3 份还多 4 只。 足球和篮球共 76 只，可以看作篮球的 4 份就是 76－4＝72（只） ，这样篮球的只数是; （76－4）÷（3＋1）＝18（只） 足球的只数有两种方法求得： 一种方法是知道足球和篮球共 76 只，篮球 18 只。可求出足球的只数：76－18＝ 58（只） 另一种方法是知道足球的只数比篮球的 3 倍多 4 只，篮球 18 只，可求出足球的 只数：18×3＋4＝58（只）例【5】 两箱鸡蛋共重 72 千克，如果从第一箱取出 13 千克放入第二箱，那么第 二箱鸡蛋的重量是第一箱的 2 倍。原来第一箱和第二箱各有鸡蛋多少千克？ 分析 不管是从第一箱取出鸡蛋放入第二箱，还是从第二箱取出鸡蛋放入第一箱，两箱鸡蛋的总重量为 72 千克，当从第一箱取出 13 千克放入第二箱后，第二箱鸡 蛋的重量是第一箱的 2 倍时，第一箱鸡蛋的重量是 72÷（2＋1）＝24 千克，原来第 一箱鸡蛋重量就是：72÷（2＋1）＋13＝37（千克） 原来第二箱鸡蛋的重量就是：72－37＝35（千克）好玩的数学和倍问题”的特点是：已知两个数的和与两个数间的倍数关系， 小结 “和倍问题”的特点是：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求两个 数各是多少。解答时，我们采用代换的思路， 倍数去代替几倍数， 数各是多少。解答时，我们采用代换的思路，用 1 倍数去代替几倍数，看和相当于 1 倍数的几倍，即除以几， 倍数，然后再求出几倍数。解题公式是： 倍数的几倍，即除以几，先求出 1 倍数，然后再求出几倍数。解题公式是： ）＝1 和÷（倍数＋1）＝ 倍数 倍数＋ ）＝ 1 倍数×几倍＝几倍数 或 和－1 倍数＝几倍数 倍数×几倍＝ 倍数＝趣味数学（18）填符号 组算式小朋友们，你听过“江南四大才子”之一祝枝山的故事吗？他写得一手好 字。有一次过年，一个人请祝枝山写了一张条幅： “今年正好晦气全无财帛进门。 ”主 人一看： “今年正好晦气，全无财帛进门。 ”差一点气昏过去，大骂祝枝山是个“大混 蛋” 。祝枝山不慌不忙，笑嘻嘻地说： “你听我念： ‘今年正好，晦气全无，财帛进门。 ’ 这是多么好的好彩。 ”主人一听，马上转怒为喜。 古人的断句，体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发挥类似的作用。典型例题例【1】 在下面 4 个 4 中间，添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ） ，组 成 3 个不同的算式，使得数都是 2。 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ＝ 2 4 ＝ 2 4 ＝ 2分析 由题意，可以在 4 之间添加运算符号和括号，而题中没有一个运算 符号，而只能采用逐一试验的方法，找到正确答案。 解 如果在第 1 个 4 后面添＋号，后 3 个 4 不能得到 2；如果第 1 个 4 后面是一号，4－2＝2，很容易想到： （4＋4）÷4＝2。所以 4－（4＋4）÷4＝2。 如果第 1 个 4 后面是×号，4×4＝16，由于 16÷8＝2。容易想到：4×4÷（4＋4） ＝2。好玩的数学如果第 1 个 4 后面是÷号，4÷4＝1，由于 1＋1＝2，容易得到：4÷4＋4÷4＝2。例【2】在批改作业时，张老师发现小明抄题时丢了括号，但结果是正确的。请你给小明的算式添上括号： 4＋28÷4－2×3－1＝4分析根据题意，错误的算式是丢了括号。只能按先乘除，再加减的运算顺序来计算。因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义的，所添的括号要能够改变运算 顺序。所以，括号应添在含有加减运算的两边。 解 从左往右看，在 4＋28 两侧试添括号，计算得 32，再除以 4 得 8。小明的算式就变为 8－2×3－1＝4。如果把括号加在 8－2 的两侧，计算结果大于 4，只能把 括号加在 3－1 的两侧。很容易得到：8－2×（3－1）＝4。正确的算式应为： （4＋28）÷4－2×（3－1）＝4例【3】 在下面的数字之间添上运算符号，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ＝6分析 由题意，有 8 个地方要添运算符号，用逐一试验的方法很难找到答 案。分析写成的结果，由于 60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10，因此可以把 算式中的数分成两个部分，使两个部分的乘积等于 60。在分的过程中，应先考虑较大 的数，再考虑较小的数。 解 把 7□8□9 分成一组，在它们之间添加号和减号，可得 7＋8－9＝6。剩下的1□2□3□4□5□6 为一组，添上运算符号，结果要得 10。再看较大的数 4□5□6，可得 4＋ 5－6＝3。于是得到 1＋2×3＋4＋5－6＝10。所以正确算式为（11＋2×3＋4×5－6） ×（7＋8－9）＝60。 想一想：如果把 6□7□8□9 分成一组呢？好玩的数学例【4】 8 8 在下面算式适当的地方添上加号，使等式成立。 8 8 8 8 8 8 ＝ 1000分析 在 8 个 8 之间的适当的地方添上加号，运算符号是确定的，关键要 选择添加号的位置。可以考虑在加数中凑出一个较接近 1000 的数是 888，再考虑余下 的 5 个 8 怎样安排就行了。 解 8 8 8 8 8 8＋888＝1000，余下的 5 个 8 可以拿出 2 个 8 组成88，得到 88＋88＋888＝1000。 8 8 只要再相加就行了，答案是：8因为 1000－（88＋888）＝24，剩下的 8 ＋8＋8＋88＋888＝1000。例【5】 1 2 3在下面式子的适当地方添上＋、－、×，使等式成立。 4 5 6 7 8＝1分析这题等号左边的数字较多，而等号右边的得数是最小的自然数 1。 2 3 4 5 6可以考虑在等号左边最后一个数字 8 前面添 “一” 这时等 1 号， 7－8＝1；再考虑式应为 1 等式应为 1 2 3 4 5 2 3 4 5 67＝9；可考虑在 7 前面添＋号， 3 4 5 6 56＋7＝9；用前面的方法，只要让 1 2＝2， 考虑 1 2 34 5－6＝2； 这时让 1 2 3 45＝8 就行了， 考虑 1 2 3＋5＝8。则只需 1 2 解3 4＝3 即可，1＋2×3－4＝3。1＋2×3－4＋5－6＋7－8＝1小结根据题目给定的条件和要求添运算符号和括号，没有固定的法则。解决这类问题，一般的方法有试验法、凑整法、逆推法。 如果题中的数字较简单，可以采用试验的方法，找到答案，如例 1、例 2；如果题中好玩的数学结果较大，可以把数字先分组，然后每组再试验，如例 3。 凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候。这时要先凑出一个与结果较接 近的数，然后再对算式中算式的数字做适当的安排，即增加或减少，使等式成立，如 例 4、例 5。趣味数学（19）单数和双数知识要点：1、3、5、7、9…叫做单数，2、4、6、8、10…叫做双数。一个 数 2 个、2 个地分，正好分完，这个数就是双数。2 个、2 个地分完之后，还多 1 个， 这个数就是单数。 单数与双数相加、减有如下特点： ⑴双数与双数相加、减，结果为双数； ⑵单数与单数相加、减，结果为双数； ⑶单数与双数相加、减，结果为单数。 [ 例 1] 前十个自然数：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 的和是单数还是双数？ 分析：由题可知道 5 个单数 1＋3＋5＋7＋9 相加，等于单数；5 个双数 2＋4＋6＋8＋ 10 相加，等于双数。单数＋双数=单数，所以前十个自然数的和是单数。 [ 例 2 ] 晚上小华在灯下写作业，突然停电。小华去拉了两下开关，这时爸爸回来后， 又到小华房间拉了三下开关。等来电后，小华房间的灯是亮的还是不亮的? 分析：我们画一个表来找规律。 原来灯 亮 拉1下 不亮 拉2下 亮 拉3下 不亮 拉4下 亮好玩的数学从上看出：拉单数次，灯不亮。拉双数次，灯亮。所以一共拉了 2+3=5（下） ， 灯不亮。 [ 例 3 ] 一只小青蛙在小河的两岸来回的游，从一岸游到另一岸叫游一次。请回答下 面问题： ⑴如果小青蛙在左岸，游若干次之后，又回到了左岸，那么这只小青蛙游的次数是单 数还是双数？ ⑵如果小青蛙在右岸，来回共游 101 次，小青蛙最后到了左岸还是到了右岸？左岸右岸分析： ⑴如果小青蛙又回到了左岸， 那么这只小青蛙游的次数是双数。 因为游一个 “来 回”即游两次，是双数，游若干个“来回”就是若干个双数相加，所以游的次数是双 数。 ⑵来回共游 101 次，说明小青蛙游的次数是单数次，那么小青蛙就应由右岸到 了左岸。 [ 例 4 ] 9 个小朋友做运球游戏。第一个小朋友把球从操场东边运到西边，第二个小朋 友接着把球从西边运到东边，第三个小朋友又接着运下去……最后球在东边还是在西 边？ 分析：由题可知道第一个小朋友的球运到西边，第二个小朋友的球运到东边，这说明 单数次在西边，双数次在东边。那么 9 个小朋友是单数，所以最后球在西边。 [ 例 5 ] 3 张连着的单号电影票， 座位数目相加是 27， 3 张电影票的座位分别是几号？ 这好玩的数学分析：由题可知道 3 张连着的单号电影票，座位数目相加是 27，我们可以把他们当成 3 张相同的电影票， 那么 9＋9＋9=27。 又由于 3 张是连着的单号电影票， 因此 9－2=7， 9＋2=11，这 3 张电影票的座位分别是 7 号、9 号、11 号。趣味数学（20）循环问题小朋友们，你留意过循环问题吗？在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重 复出现的现象。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都 是按顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到一些重复出现的问题。在研究这些 问题时，我们不仅要判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，而更重 要的是看它的余数。如 1999 年元旦是星期五，2000 年元旦是星期几？因为 1999 年是 平年，有 365 天，365÷7=52……1，所以 2000 年的元旦是星期六。这就是根据 365 除以 7 所得的余数来判定的。那么，就让我们一起来看看怎么来解决这一类的问题。典型例题 例[1] 流水线上给小木球涂色的次序是：先 5 个红，再 4 个黄，再 3 个绿，再 2个黑，再 1 个白，然后又依次是 5 红，4 黄，3 绿，2 黑，1 白……像这样继续下去， 到第 2003 个小球该涂什么颜色？分析小木球涂色的次序是： 红，4 黄，3 绿，2 黑，1 白” “5 ，也就是每涂过“5红，4 黄，3 绿，2 黑，1 白”循环一次，给小木球涂色的周期是 5+4+3+2+1=15。所 以只要用 2003 除以 15，根据余数就可以判断球的颜色。 解 ……8这就是说，第 1999 个小木球出现在上面所列一个周期中的第 8 个，所以第 2003 个小球涂的是黄色。例[2]有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，…（1） 第 81 个数是多少？ （2） 这 81 个数相加的和是多少？好玩的数学分析 （1） 从排列可以看出这组数是按 7，0，2，5，3 依次重复排列的，那么 一个循环周期就有 5 个数。 （2） 之和是 7+0+2+5+3=17。 用每个循环各数之和可以循环次数再加上余 下的各数，即可得到答案。 解（1）81÷5=16……1 按照循环次序可知：第 81 个数为 7。 （2）17×16+7=279 所以这 81 个数相加的和为 279例[3]假设所有自然数排列起来如下图所示，55 应排在哪个字母下面？248 应排在哪个字母下面？ A 1 5 9 . . . 分析 B 2 6 10 . . . C 3 7 11 . . . D 4 8 12 . . .从排列情况可知，这些自然数按从小到大 4 个数一个循环排列。要求这些数字排在哪个字母的下面，我们可以根据这些数除以 4 的余数来判断。 解 55÷4=13……3 所以 55 排在第 3 个字母 C 的下面。 248÷4=62 所以 248 排在第 4 个字母 D 的下面。例[4]如下图，8 个队员围成一圈做传球游戏，从 1 号开始，按照箭头方向向下一个人传球。在传球的同时按自然数数列报数。当报到 96 时，球在几号队员手上？好玩的数学分析 解把 8 个队员看成一组，解法与例[3]相同。 96÷8=12所以报 96 时，球应在 8 号队员手上。例[5]2003 个学生按下列方法编号排成 5 列： 一 1 9 二 2 8 10 17 16 … … … 三 3 7 11 15 … … 四 4 6 12 14 … … … 13 五 5问：最后一位学生应站在第几列？ 分析 观察这些学生排列的情况可以看出，除 1~5 外，从第 2 排起都是按 8 个数一个循环依次不断重复出现。因此，除以 8 余数为 1、2、3、4、5、6、7、0 对应 的列数应分别为四、三、二、一、二、三、四、五。 解 （2003－5）÷8=249……6因此，第 2003 个学生站在第 3 列。小结解决循环问题时，应把注重点放在以下几个方面：一、 数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。好玩的数学二、 每几个数循环一次，周期长度是多少。 三、 每个循环节是按什么次序排列的。 解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。比如余数为 3，就 找循环节里面的第 3 个状态。趣味数学（21）考考眼力知识要点：小朋友都有一双明亮的大眼睛，你能通过仔细观察发现两个图 形的相同点吗？发现图形之间的关系吗？这就要考考你的眼力了。[ 例 1] 从下图右边的图形里各选出两个，把它们拼成左边的图形： 1 2 3 4 5分析：长方形是由 1 号和 5 号图形拼成的。三角形是由 2 号和 4 号图形拼成的。 [ 例 2 ] 仔细观察，哪幅图是大长方形中缺少的那一块？123456分析：观察长方形中缺少的那一块，有上下并列的两条黑线条和左右并列的两条黑线 条，从中穿过。因而只有图 2 符合这个要求。好玩的数学[ 例 3 ] 下面 5 个图形中，哪个与其他 4 个不同？分析：观察每个图形都是由两个图形组成的，并且每个图形是相同的，只是大小不同， 只有第四个图形是由两个不同图形组成的，所以第四个图形是与其他 4 个不同的。 [ 例 4 ] 下面这些图形，哪个能一笔画成？哪个不能一笔画成？分析：能够一笔画成的图形，首先必须要相连，结果不相连就一定不能一笔画成，第 一排第三个图形不相连，所以不能一笔画成。[ 例 5 ] 下面有 6 幅图，请小朋友很快找一找，哪两个图相同？b p q d（1） ）b d q p（2） ）b p d q（3） ）p b q d（4） ）b p q d（5） ）q p b d（6） ）分析：此题有一个巧妙的方法。可以先观察每图中第一个字母是否相同， （1）（2） 、 、 （3） 、 这几幅图是第一个字母是相同的； （5） 再观察这 4 幅图中第二个字母， （1） 只有 、 （3）（5）这几幅图是第二个字母是相同的；接着观察这 3 幅图中第三个字母，只有 、好玩的数学（1）（5）这 2 幅图第三个字母是相同的；最后观察这 2 幅图中第四个字母也完全一 、 样，所以只有（1）（5）这 2 幅图是相同的。 、趣味数学（22）等差数列求和小朋友们，还记得我们讲过的内容吗――数中的规律。那么对于一列有规律的数 列我们怎么来求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的 问题，但是，当算式再复杂点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单 易懂的方法！ 我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋ 98＋100。这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项 的差都相等（相等差又叫公差） 。像这样的数列我们将它称之为等差数列。 我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母 S 代表没一列数的和，字母 a 代表首项（即第 1 项） ，字母 b 代表末项，字母 n 代表项数（加数的个数） ，那么 S ＝（a＋b）×n÷2。如果 n 不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a） ÷d＋1典型例题 例【1】 求 1＋2＋3＋……＋ 的和。 分析 首项 a＝1，末项 b＝1999，项数 n＝1999。 解 S＝（a＋b）×n÷2 ＝（1＋1999）×1999÷2 ＝÷2 ＝ ＝1999000例【2】 求 111＋112＋113＋……＋288＋289 的和。 分析 首项 a＝111，末项 b＝289，公差 d＝1，项数 n＝（289－111）÷1＋1＝178 ＋1＝179。好玩的数学解 S＝（a＋b）×n÷2 ＝（111＋289）×179÷2 ＝400×179÷2 ＝200×179 ＝35800例【3】 求 2＋4＋6＋……＋196＋198 的和。 分析 首项 a＝2，末项 b＝198，公差 d＝2，项数 n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1 ＝99。 解 S＝（a＋b）×n÷2 ＝（2＋198）×99÷2 ＝200×99÷2 ＝100×99 ＝9900例【4】 求 297＋294＋291＋……＋9＋6＋3 的和。 分析 297＋294＋291＋……＋9＋6＋3＝3＋6＋9＋……＋291＋294＋297，对 于重新排列的这列数，首项 a＝3，末项 b＝297，公差 d＝3，项数 n＝（297－3）÷3 ＋1＝98＋1＝99。 解 S＝（a＋b）×n÷2 ＝（3＋297）×99÷2 ＝300×99÷2 ＝150×99 ＝14850例【5】 求 －128－132－……－272－276 的和。 分析 －128－132－……－272－276＝5000－（124＋128＋132 ＋……＋272＋276） ，对于 124＋128＋132＋……＋272＋276，可以利用等差数列的求 和公式先计算出来，a＝124，b＝276，d＝4，n＝（276－124）÷4＋1＝38＋1＝39。 所以： 124＋128＋132＋……＋272＋276 ＝（124＋276）×39÷2 ＝400×39÷2 ＝200×39 ＝7800好玩的数学小结对于简单的整数等差数列求和，要熟练掌握其求和公式和求项数的公式。区分 a，b，d 代表的数字分别是多少，有时要将数列顺序调换，才能 使得后项减去前项等差。趣味数学（23）数字谜知识要点：猜谜语我们小朋友都喜欢吧。数字谜通常是给出一个算术运算的式子，但 式子中都含有一些图形、数字、字母、符号等，用它们来表示特定的数字。要小朋友 们动脑筋，想办法，找到这些图形所表示的数。[ 例 1 ] 根据所给算式,请推算每个图形各代表哪一个数:5+ 14 7分析：根据加法之间的关系，先看个位,两数相加的和是 7,其中一个加数是 5,就可以推 算出另一个加数△代表的数是 2; 再看十位数,□＋1=4, 可以推算出□代表的数是 3.这 个加法算式是:35＋12=47.[ 例 2 ] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几?分析：根据加法之间的关系，先看个位,要想等于 6,可能有两种情况:3＋3=6,8＋8=16. 如果爱是 3,十位不可能得到 9.因此爱是 8. 这个加法算式是:88＋8=96.爱 爱 爱 + 9 6好玩的数学[ 例 3 ] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几?数学 + 学学 1 0 0分析：根据加法之间的关系，先看个位,要想等于 0,可能有两种情况:0＋0=0,5＋5=10. 如果“学”是 0,十位 0＋( )=10 呢?我们发现不可能得到 10.那么如果“学”是 5,因为 有进位,所以十位 5＋( )=9 就可以了,可以推算出 5＋4=9,再加上进位正好是 10.因此 “学”是 5,“数”是 4. 这个加法算式是:45＋55=100. [ 例 4 ] 根据所给算式,请推算每个图形各代表哪一个数:5－1 8分析：根据减法之间的关系，先看个位,两数相减等于 8， 可能有三种情况：9－1=8， 8－0=8，13－5=8。如果第一种情况☆=9，十位 5－9 不可能；如果第二种情况☆=8， 十位 5－8 也不可能；那么☆只能是 3，□=5，3－5 不够，向十位借 1，13－5=8。十 位 5 退 1 是 4，4－3=1。这个减法算式是:53－35=18。 [ 例 5] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几?数 0 － 2 学 5 学 + 好 1 7 6好玩的数学分析： 先从加法算式想起， 个位上学＋1=6,所以推算出 “学” 表示 5； 十位上， “好” 5＋ =7，推算出“好”表示 2，再看减法算式，减数个位上的“学”表示 5，被减数的个 位是 0，不够减。也就是说这是一道退位减法题，这样，被减数的十位上只能是 8，8 退 1 是 7，7－2=5，推算出“数”表示 8。所以，数=8，学=5，好=2。趣味数学（24）趣味智力题之一知识要点：小朋友，这儿有一道题，你能回答出来吗？天平板上有 8 个同样重的乒乓 球，左边 4 个，右边 4 个。如果拿掉一个，板上还有几个乒乓球？ 你一定认为有 7 个吧，其实呀，这类题目非常有趣，思考时要联系我们的生活实 际来思考，一不小心你就可能落入“圈套” 。这道题应该这样想：当从板上拿掉一个球时，天平板就不平衡了。由于球是圆的， 当天平板不平衡时，他们会沿着平滑的板全部滚下来，这样板上一个球也没有了。[ 例 1 ] 小丽走进教室,看见教室里只有 7 名同学,那么现在教室里有几名同学? 分析：粗心的同学一看题目就回答教室里有 7 名同学，这个答案是错的，原因是没有 好好审题， 题目指出 “小丽走进教室” 求现在教室里有几名同学， 应把小丽算上。 7+1=8， 现在教室里有 8 名同学。 [ 例 2 ] 桌上有 10 支点燃的蜡烛。风从窗户吹进来，吹灭了 2 支蜡烛，过了一会儿， 又有一支蜡烛被吹灭。把窗关起来，再没有蜡烛被吹灭，第二天早上还剩几支蜡烛？分析：由题目可知道桌子上点燃的 10 支蜡烛，共有 3 支蜡烛被吹灭，其余 7 支会一 直燃烧下去，直到燃尽为止。所以最后剩下的蜡烛就是被风吹灭的 3 支蜡烛。好玩的数学[ 例 3 ] 一只猫吃一只老鼠，用 5 分钟吃完；5 只猫同时吃 5 只同样大小的老鼠，要几 分钟吃完？分析：由题目可知道由于 5 只猫同时吃，而不是吃完一只再吃一只，那么它们所用的 时间就是吃一只老鼠的时间。一只猫吃一只老鼠，用 5 分钟吃完，5 只猫同时吃 5 只 同样大小的老鼠，也是 5 分钟吃完。 [ 例 4 ] 小康用同样的钱，可以买 3 支铅笔和 2 本练习本，是铅笔贵还是练习本贵？ 分析：假如 3 支铅笔=6 元，2 本练习本=6 元，可以看出：1 支铅笔 2 元，1 本练习本 3 元，说明练习本贵。同时说明用同样的钱，买的东西多就便宜，买的少就贵的道理。 [ 例 5] “六一”儿童节，妈妈给小华、小明、小刚买了 3 种不同的礼品，分别是：魔 方、智力拼图、洋娃娃。现在知道小刚拿的不是智力拼图，小明拿的不是洋娃娃，也 不是智力拼图，想一想，他们每人拿的是什么礼物？小华 小明 小刚魔方 智力拼图 洋娃娃分析：由题目“小明拿的不是洋娃娃，也不是智力拼图” ，可知道小明拿的是魔方， 剩下智力拼图和洋娃娃两种礼品，又因为小刚拿的不是智力拼图，可知道小刚拿的是 洋娃娃，剩下智力拼图就是小华的了。小华 小明魔方 智力拼图好玩的数学趣味数学（25）趣味智力题之二知识要点：小朋友，做数学题，每一步都要有理由，要把道理讲清楚，说出来。 [ 例 1 ] 姐姐比妹妹多 6 本书， 于是姐姐给妹妹 6 本书， 这时姐姐和妹妹的书一样多， 对吗? 分析：粗心的同学一看题目就回答一样多了，这个答案是错的，原因是没有好好审题， 题目指出“姐姐比妹妹多 6 本书” ，姐姐拿出 6 本，这时姐姐和妹妹的书一样多；接 下来，再把这 6 本书给妹妹，这时妹妹就比姐姐多 6 本书了。所以姐姐和妹妹的书不 一样多。 [ 例 2 ] 甲工厂只有 5 个机器人，乙工厂与甲工厂的机器人相差 6 个。乙工厂与甲工 厂比较，哪个工厂的机器人多？ 分析：由题目可知道乙工厂与甲工厂的机器人相差 6 个，有两种可能，一种是甲工厂 比乙工厂人多，另一种是乙工厂比甲工厂人多。因为甲工厂只有 5 个机器人，乙工厂 比甲工厂少 6 个，不可能，只能是乙工厂比甲工厂人多。因此乙工厂有 5+6=11 个机 器人。 [ 例 3 ] 一件衣服要钉 2 个扣子，现有 4 件衣服和 12 个扣子，把衣服都钉上扣子后， 还剩多少个扣子？ 分析：想一想，把衣服都钉上扣子后，一共钉几个扣子。1 件衣服要钉 2 个扣子，4 件衣服就钉 2+2+2+2=8 个扣子，所以钉完后，还剩 12－8=4 个扣子。 [ 例 4 ] 爸爸、妈妈、弟弟和我一起照相。妈妈在爸爸的左边，我在妈妈的左边，弟 弟在爸爸的右边。请你说出拍照时从左到右的顺序是怎样的？好玩的数学分析：首先妈妈在爸爸的左边，可排出：妈妈 爸爸；再根据我在妈妈的左边，又 可排出： 我 妈妈 爸爸； 最后再根据弟弟在爸爸的右边， 可排出： 我 妈妈 爸 爸 弟弟。所以，拍照时从左到右的顺序是：我 、 妈妈 、 爸爸 、 弟弟。 [ 例 5] 一个布袋里装了一些玻璃球， 第一次拿一个、 第二次拿二个……这样每一次都 比前一次多拿一个，拿了 8 次以后，还剩下 2 个玻璃球，这个布袋里一共装了多少个 玻璃球？ 分析：由题我们知道：第一次拿一个、第二次拿二个、第三次拿三个……第八次拿八 个，1+2+3+4+5+6+7+8=36，再加上剩下 2 个玻璃球，36+2=38 个玻璃球，这个布袋里 一共装了 38 个玻璃球。趣味数学（26）还原问题还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果，要求原来的数的问 题。解答这一类的问题时，要根据题意，从所给的结果出发，抓住逆运算关系，由后 向前一步步逆推（倒推法、还原法） ，做相反的运算，逐步靠拢已知条件，直到问题 得到解决。在解答还原问题时，如果列综合算式，要注意括号的正确使用。典型例题例【1】 三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第 2 天又借出 43 本， 还剩 32 本。小图书箱原有图书多少本？ 分析 经过两天借出图书，小图书最后还剩 32 本书。由此可以往前推 算：第 2 天没借出 43 本前（也就是第 1 天借出图书后） ，应有（32＋43）本书，再根 据“第 1 天借出了存书的一半” ，可推算出这 75 本书也就是第 1 天借出后的另一半， 即相当于第 1 天借出的本数。这样，小图书箱原有的图书本数可求得。 解 第 1 天借书后还剩的本数：32＋43＝75（本） 原有图书的本数：75×2＝150（本） 综合算式： （32＋43）×2＝150（本） 答：小图书箱原有图书 150 本。例【2】 某数加上 5，乘以 5，减去 5，除以 5，其结果等于 5。求这个数。 分析 从后往前推，原来是加法，推回去是减法；原来是减法，推回去好玩的数学是加法；原来是乘法，推回去是除法；原来是除法，推回去是乘法。从最后一步推起， “除以 5，其结果等于 5”可以求出被除数：5×5＝30；再看倒数第 2 步， “减去 5” 得 25，可以求出被减数：25＋5＝30；然后看倒数第 3 步， “乘以 5”得 30，可以求出 被乘数：30÷5＝6；最后看第 1 步， “某数加上 5”得 6，某数为 6－5＝1。 解 5×5＝25 25＋5＝30 30÷5＝6 6－5＝1 答：所求的数为 1。例【3】 小明在做一道加法算式题，由于粗心，将个位上的 5 看作 9，把十位上 的 8 看作 3，结果所得的和是 123。正确的结果应是多少？ 分析 要求正确的和，就要知道两个正确的加数。看错的加数是 39， 因此得到错误的和是 123。根据逆运算可得到一个没看错的加数是 123－89＝84，题 中已知一个正确的加数是 85，所以正确的和是 85＋84＝169 把个位上的 5 看作 9，相当于把正确的和多算了 4，求正确的和应把 4 减去；把 视为上的 8 看作 3，相当于把正确的和少算了 50，求正确的和应把 50 加上去。这样， 正确的答案 123＋50－4＝169。 解一 123－39＋85 ＝84＋85 ＝169 解二 9－5＝4 80－30＝50 123＋50－4＝169 答：正确的答案是 169。例【4】仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少 12 吨。第二天售 出的重量比剩下的一半少 12 吨，结果还剩下 19 吨。这个仓库原有大米多少吨？ 分析 如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是（19＋12）吨。第一天 售出以后剩下的吨数是（19＋12）×2 吨。以下类推。 解 （19＋12）×2＝62（吨）好玩的数学（62－12）×2＝100（吨） 答：这个仓库原有大米 100 吨。小结 还原问题是逆解应用题。 一般根据加减法或乘除法的互逆 运算关系，由题目所叙述的顺序倒过来思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上， 求得结果。趣味数学（27）盈亏问题“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分 6 个梨，就多出 12 个梨；每只小猴子分 7 个梨，就少 11 个梨。有几只小猴子和多少个梨？” 这道应用题是已知两种分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的数 量及被分配的总量。这样的应用题，通常叫做盈亏问题（有余时称盈，不足时称亏） 。 解盈亏问题，常常采用比较的方法。典型例题 例【1】 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分 6 个梨，就多出 12 个梨；每只小 猴子分 7 个梨，就少 11 个梨。有几只小猴子和多少个梨？ 分析 每只小猴子分 6 个梨则多 12 个梨；每只小猴子分 7 个梨就少 11 个梨，这说明小猴子的总只数为：12＋11＝23（只） ，也就是说：不足的个数＋多余的 个数＝小猴子的只数 解 小猴子的只数为：12＋11＝23（只） 梨子的个数为： 23×6＋12＝150（个）或：23×7－11＝150（个） 答：有 23 只小猴子，150 个梨。 例【2】 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分 3 个，多 16 个；如果每 人分 5 个，那么就差 4 个。有多少个小朋友？有多少个苹果？ 分析 先比较两种分法中各个量之间的关系： 每人分 3 个， 16 个苹果。 余 每人分 5 个，还差 4 个苹果。这两次分苹果，每人相差的个数为：5－3＝2（个） 。第 1 次余 16 个，第 2 次少 4 个，那么第 2 次与第 1 次总共相差苹果的个数为：4＋16＝ 20（个） 。每人相差 2 个，结果总数就相差 20 个。好玩的数学解 有小朋友的人数为： 20÷2＝10（人） 有苹果的个数为： 3×10＋16＝46（个）或 5×10－4＝46（个） 综合算式： （4＋16）÷（5－3）＝10（人） 3×10＋16＝46（个） 答：这个幼儿园有 10 位小朋友，苹果的总数是 46 个。 例【3】 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果没车坐 65 人，则有 15 人不能乘车。 如果每车多坐 5 人， 恰好多余了一辆车。 一共有几辆汽车？有多少学生？ 分析 每车多坐 5 人，也就是每车坐 70 人，恰好多余了一辆车，也就是 还差一辆车的人，即 70 人。因此，问题转化为：如果每车坐 65 人，则有 15 人不能 乘车。如果每车坐 70 人，则还差 70 人。求有多少人和多少辆汽车。 解 （15＋70）÷（70－65）＝17（辆） 65×17＋15＝1120（人） 答：一共有 17 辆汽车，1120 位学生。 例【4】 小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小妹每人分 4 个梨， 其余每人分 2 个梨，还多出 4 个梨。如果小明 1 人分 6 个梨，其余每人分 4 个梨，又 差 12 个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？ 分析 第一种分法是小明、小妹各 4 个梨，其余每人 2 个梨，多余 4 个 梨。假设小明、小妹也分 2 个梨，那么会多多少个梨呢？很容易想，多出：2×2＋4 ＝8（各） 。第二种分法是小明一人得 6 个梨，其余每人 4 个梨，差 12 个梨。假设小 明也只分 4 个，那么就只差：12－2＝10（个） 。 解 小明家的人数为：2×2＋4＋（12－2）＝18（个） 18÷2＝9（人） 梨子的个数为： 4×2＋2×（9－2）＋4＝26（个） 或：6＋4×（9－1）－12－26（个） 答：小明家有 9 个人，这筐梨有 26 个。 例【5】 同学们暑假前到图书馆借书，如果每人借 4 本，则最后少 2 本；如果 前 2 人每人先借 8 本，余下的人每人借 3 本，这些图书恰好借完，书的总数是多少？ 解 第二种借法中如果每人借 3 本，则余下： （8－3）×2＝10（本） ；好玩的数学两种借法每人相差：4－3＝1（本） ； 两种借法相差本数：10＋2＝12（本） 借书的总人数：12÷1＝12（人） ； 书的总数：4×12－2＝46（本）小结 通过以上例题的分析解答，我们不难看出：一般地，在盈 亏问题中： （盈数＋亏数）÷两次差＝参加分配的数趣味数学（28）算式迷宫小朋友们？你猜过算式迷吗？算式迷是由一些数字与算式构成的。日本人形象地 称之为“虫食算” ，即算式中一些数字被虫子咬去了。要想猜出算式迷，也得先分析 这些数字和算式构成的“谜面” ，再运用一些推理方法找到“谜底” 。典型例题 例【1】 将数字 0、1、3、4、5、6 填入下面的 只填入一个数字，并且所填的数字不能重复。 内，使等式成立，每个空格×分析 先看×＝＝2 ＝÷2 ，乘积是个两位数，个位数是 2，所给的数字 0，1，3，4，6 中只有 3×4 的个位数是 2，前面几个 可以填出来，3×4＝12，余下的 0，5，6 要组成一个两位数除以一个一位数，商是 12 的除法算式，只能是 60÷5。 解3 ×4 ＝ 12 ＝ 6 0 ÷ 5例【2】 将数字 1～9 分别填在下面 9 个方格中，使算式成立。好玩的数学+ ×= = =（1） （2） （3）分析 算式（1）（2）是加减算式。可填的数字较多。而算式（3）是乘法算 、 式，要考虑数字 1～9 中，哪两个数字的积等于另一个数字，所以先从乘法算式填起。 1． 乘法算式（3）中可以先填成 2×3＝6，余下的数字再分别填入（1）（2） 、 中。 1＋4＝5，剩下的 7，8，9 不能组成（2）式。 1＋7＝8，剩下的 4，5，9 能组成 9－5＝4，或 9－4＝5。 1＋8＝9，剩下的 1，7，8 能组成 8－7＝1，或 8－1＝7。 2． 乘法算式（3）也可以填成 2×4＝8，那么： 1＋5＝6，剩下的 3，7，9 不能组成（2）式。 1＋6＝7，剩下的 3，5，9 不能组成（2）式。 3＋6＝9，剩下的 1，5，7 不能组成（2）式。 所以，此题答案是：1 1 9 27 4 38 5（或 9 6 5＝4 ）4 2 8 25 7 39 1（或 8 6 1 ＝7 ）好玩的数学例【3】 把数字 1～9 填在方格里，使等式成立，每个数字只能用一次。÷＝÷ ＝÷分析 一位数组成除法算式商相等的情况：4÷2＝6÷3，6÷2＝9÷3，8÷2＝4 ÷1，所以可先填写等式中的前 4 个数。如果先填 4÷2＝6÷3，剩下的 1，5，7，8， 9 要组成一个三位数除以一个两位数，商是 23 即×2 ＝，所得的积的个位一定是个双数，只能填 8。试验可知：79×2＝158。如果先填 8÷2 ＝4÷1，剩 下的 3，5，6，7，9 不能组成一个三位数除以一个两位数、商是 4 的除以算式，所以 等式中的前 4 个数不能填 8÷2＝4÷1。我们可以填 4÷2＝6÷3。 解4 ÷ 2 ＝6 ÷3 ＝ 1 5（第一种情况）8÷ 7 9 4÷ 5 89 ÷ 3 ＝6 ÷2 ＝ 1 7（第二种情况）例【4】 用数字 0～9 组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出 3 个数字，请把这个算式补充完整。4 ＋ 2 8分析 观察算式，三位数加三位数，其和为四位数，所以和的首位数字为 1。因 为算式中 8 已出现，故第一个加数的百位数字为 9 或 7。 如果第 1 个加数的百位数字为 9，则和的百位数为 1 或 2，而这时 1，2 都已用过，所 以第 1 个加数的百位数不是 9。 如果第 1 个加数的百位数字为 7，则和的百位数字必须为 0，且十位必向百位进一， 此时 1，0，4，2，8 都已用过，还剩下 9，6，5，3，这里只有一个双数，如果放在第 2 个加数或者和的个位，那么和或者第 2 个加数的个位也必须是双数，这样显然不可 能，所以 6 只能放在十位上，这样和的十位就是 5，余下的分别填 9 和 3。好玩的数学解7 6 4 ＋ 2 8 4 1 0 5 3例【5】 在下面算式的 内填入一个合适的数字，使算式成立。0 0 9 － 5 0 1 9 3分析 由于（12）－9＝3，所以被减数的个位数字为 2；再看十位，由于 9－（0） ＝9，所以减数的十位数字为 0；再看百位，由于 9－0＝（9） ，所以差的百位数字为 9； 最后看千位，由于（7）－5－1＝1，所以被减数的千位数字为 7。 解7 0 0 2 － 5 0 0 9 1 9 9 3小结在做算式迷这类题时，首先要观察题目中的算式，看看它含有哪几种运算，要填的数是几位数，要填的数字是否规定好了，还是可以任意填。好玩的数学其次是要熟练运用加减之间、乘除之间的逆运算关系进行推理。先确定能够确定的数 字，而且每一步要把确定的结果代入算式，以利于下面的推理。最后，所有的空格填 完之后要检验一下，看看答案是否正确。趣味数学（29）平均数问题在日常生活中，我们经常遇到这样的情况：有几个杯子，里面的水有多有少。要 想使杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。经过反复几 次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常遇到的“移多补少”――也就是求 平均数的问题。典型例题 例[1] 小明在一学期的 5 次数学测验中的得分分别是 95、87、92、100、96。求 小明平均每次数学测验的得分。 分析 求出 5 次测验的总分（，再除以测验的次数（5 次） ，就可以求出平 均每次的得分。 解 （95＋87＋92＋100＋96）÷5=94（分） 答：小明平均每次的得分是 94 分。 例[2] 甲地到乙地的全程是 60 千米。小红骑自行车从甲地到乙地每小时行 15 千 米，从乙地到甲地每小时行 10 千米。求小红往返的平均速度。 分析 平均速度=总路程÷总时间，总路程是两个全程（60×2） ，总时间 是去的时间与返回的时间的和。 解 60÷15=4（小时） 60÷10=6（小时） 60×2÷（4＋6）=12（千米） 答：小红往返的平均速度是每小时 12 千米。好玩的数学例[3] 商店用 30 千克酥糖和 20 千克水果糖混合成什锦糖。每千克酥糖 8 元，每 千克水果糖 3 元。每千克什锦糖应卖多少元？ 分析 用两种糖总价的和除以两种糖总千克数的和，就是什锦糖的售价。 解 （8×30＋3×20）÷（30＋20）=6（元） 答：每千克什锦糖应卖 6 元。 例[4] 小英 4 次语文测验的平均成绩是 89 分，第 5 次测验得了 94 分。问她 5 次测验的平均成绩是多少？ 分析 先求出前 4 次语文测验的总分， 加上第 5 次的 94 分， 用这 5 次测验 的总分，除以测验的次数（5 次） ，就得到平均每次测验的成绩。 也可以这样求解：第 5 次 94 分比前 4 次的平均分 89 多 5 分，这 5 分平均加给每 次的 89 分（第 5 次也看作 89 分） ，就得到 5 次测验的平均成绩。 解法一 （89×4＋94）÷5=90（分） 解法二 89＋（94－89）÷5 =89＋5÷5 =90（分） 答：5 次测验的平均成绩是 90 分。 例[5] 有 5 个数的平均数是 20。如果把其中的一个数改成 4，这时候 5 个数的平 均数是 18。求改动的数原来是多少？ 分析 改动之前的总数和改动后的总数相差 20×5－18×5=10，说明这个 数比原来减少了 10，原来的数是 4＋10=14。 解 20×5－18×5=10 4＋10=14 答：改动的数原来是 14。 例[6] 有甲、乙、丙 3 个数，甲、乙的和是 90。甲、丙的和是 82，乙丙的和是 86。甲、乙、丙 3 个数的平均数是多少？ 分析 由题目可以知道，90＋82＋86 是 2 个甲、2 个乙和 2 个丙的和，也 就是 2 个甲、