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利息习题解答第二章d
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北大版金融数学引论第二章答案
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利息理论课后答案
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利息理论课后答案
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优秀范文《金融数学第二版答案》日期：
范文一：北大版金融数学引论第二章答案
版权所有，翻版必究 第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解： S = 1000s?7%+Xs ?7%20p10p 20pX = 50000 - 1000s?7% = 651. 72s ?p7%10 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a?p1.5%48 解得 X = 1489.3613．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =n解：P V = na?n pi= 1nn+2 =(n + 1)n n2n4．已知：a?pn = X，a ?p2n = Y 。试用X 和Y 表示d 。 解： a ?p2n = a?pn + a?p (1 - d)则nn Y - Xd = 1 - ( X ) n5．已知：a?p7= 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760。计算i 。11p18p 解：a ?p = a?p + a?p v718711解得 = i = 6.0%10?p +a∞?p6. 证明： 11-v10s 。 s 10?p 北京大学数学科学学院金融数学系 第 1 页 版权所有，翻版必究 证明： 10 s ?p + a∞?p=s ?10p10+101 = 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解：P V = 100a?+ 100a20?8p3% p 3% =
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 =1000¨p8%X¨p7% 25?15? 解得 X = 8101.6589．已知贴现率为10%，计算¨?p 。 1 解： d = 10%，则 i= 1-d- 1 =9 8 1 - v¨?p = (1 + i) i = 5.69538 10. 求证： (1) ¨?p = a?p + 1 -nnv ； (2) ¨?p = s? -p 1 + (1 + i) 并给出两等式的实际解释。nnnn i证明： (1)¨?p ===1nn1n1n+ 1- vnn 1+i 所以 (2)¨?p =n(1+¨?p = a?p + 1 - vnn i) n n(1+i ) n -1=(1+i)-1nd=- 1i 1+ii+ (1 + i)n 所以¨?p = s? -p 1 + (1 + i)nn 北京大学数学科学学院金融数学系 第 2 页 版权所有，翻版必究 12. 从日开始，每季度年金100元，直至日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在日的现值；2）该年金在日的终 值。 解：P V = 100a49?p1.5% - 100a?2p1.5% = 3256.88AV = 100s?1.5% - 100s?p1.5% = 6959.3749p2 13. 现有价值相等的两种期末年金A 和B 。年金A 在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v =，计算Y 。10 2解： 因两种年金价值相等，则有 a ?i +a ?i v 10=Y a? -i Y a10?pi v 1030p10p30p 所以 Y =31030.814. 已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i 。1+v10-2v 30= 1 解： 由题意知，2a ?pi + 3a?pi = 362nn2a?pi v n = 6n解得7 3X i = 8.33%YZp a?p a?p + s?= 15. 已a ?p a ?p + s?p 。求X ，Y 和Z 。知 解： 由题意得=1 - v11 (1 + i)Z - vY解得X = 4, Y = 7, Z = 4117X3 16. 化简a ?p (1 + v+ v) 。153015 解： a ?p (1 + v+ v) = a?p15301545 北京大学数学科学学院金融数学系 第 3 页 版权所有，翻版必究 17. 计 算 下 面 年 金 在 年 初 的 现 值：首 次 在 下 一 年 的4月1日，然 后 每 半 年 一次2000元，半年结算名利率9%。 4.5%解： 年金在4月1日的价值为P =×2000 = 46444.44 ，则1+4 PP V =(1 + i) 2+= 318. 某递延永久年金的买价为P ，实利率 解： 设递延时间为t ，有 1 P = i vtln解得 t = - ln(1+i )19. 从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一 定的金额X ，直至永远。计算X 。 解： 设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有X ?=1000¨ 20pi vi29解得 X = 1000((1 + i)- (1 + i))301020. 某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1 + i)。n 解： i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值为 i ，而D 得到遗产的现值为v 。由题意得 3?pinn 1 - v= v 3nn 所以 (1 + i)= 4n21. 永 久 期 末 年 金 有A 、B 、C 、和D 四 人 分 摊，A 接 受 第 一 个n 年，B 接 受 第 二个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。已知：C 与A 的份额之比为0.49， 求B 与D 的份额之比。
北京大学数学科学学院金融数学系 第 4 页 版权所有，翻版必究 解： 由题意知 那么P VC = a?n = 0.49P VA v 2n P VB = a?pn = 0.61na? n3vnP VDi22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 v n p4.5%4<a?解： 100a n +1?p4.5%v 41000>解得 n = 172列价值方程 +100a ?p4.5%Xv 1 = 100016解得 X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n 年内将增加一倍，计算n 。 解： 两年金现值相等，则 4 × a?i = 5× 18，可知 v = 0.25由题意， (1 + i)= 2 解得 n = 91836pn 24. 某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k 个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k 。 解： 由题意可得方程100a ?p1% = 6000(1 + i)-k60解得 k = 29 25. 已知a?pi = 1.75，求i 。2 解： 由题意得 1 - v= 1.75i2解得 i = 9.38%26. 某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年 的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解： 北京大学数学科学学院金融数学系 第 5 页 版权所有，翻版必究 27. 某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。 解： 由题意可得价值方程 10000 = 105Ka?p4%v 3+Ka?p4% + 10000v1022 则 K =10v v105a?2p4%3+a?2p4%5= 979.9428. 贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。计算首次付款金额X 的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程 1P (1 + i)= X + 2Xa?pi + 2Xa?pj245(1 + i)-4所以1 + 2a?pi + 2a?pj (1 + i)-429. 已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。45X =P (1 + i)解： 30. 计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。（缺命令） 解：P V = 4 × 400 + 4 × 600v5= 11466.14 31. 已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。 解： 32. 给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解：P V =1a ?i v 3= p24p4(1 +) - 1 = p (1 + i)27[(1 + i)4 - 1] s?p + s?p2428p431i 北京大学数学科学学院金融数学系 第 6 页 版权所有，翻版必究 33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R 的表达式。 解： 设年实利率为i ，则 (1 + 2%)= 1 + i。有题意得2 750 + 750 ?=Ra 30pipi20 解得 R = 1114.7734. 已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。 解： 由题意知 1 = 125 is?pi 3解得 i = 20%35. 已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R 元的永久期初年 金，计算R 。 解： 由题意得 1 R 20 = =pi i2解得 R = 1.9536. 已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。1解： 设贴现率为d ，则 =(1 - d)2 i+设递延时间为t ，由题意得10000 = 2 × 500v¨∞?p1(2)t (2)1解得 37. 计算：3a?np(2) t =ln(1 - d)= 2a(2)2np?=45s?1p(2)，计算 i 。a n i1解：i ?pi = 2× 11 i (2)解得：v = , i = 。2 30nni i 2a?pi = 45 × s?pii 2 北京大学数学科学学院金融数学系 第 7 页 版权所有，翻版必究 38. 已 知i = 16%。计 算 以 下 期 初 年 金 的 现 值：现 在 开 始 每4个 月 付(4)款1元，共12年。（问题） 解： 39. 已知：δt =。求??p 的表达式。1+n 解： ∫nn ??p = e - Rt δds dt = ln(1 + n) s40. 已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t ，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。 解： 第一种年金的现值为∫1 tv dt = 1 - e-δδ第二种年金的现值为e -δt ，则 1 - e-δ= e-δtδ所以 t = 1 +1lnδi41. 已知：δ = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现 值。（结果和李凌飞的不同） 解： 设季度实利率为i 。因 a(t) = eδt ，则 e 所以1 1 - vi = 4030.53 P V = 100¨?pi = 100(1 + i)808042. 现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？ 解： 设年实利率为i ，则 i = eδ - 1设基金可维持t 年，由两现值相等得 40000 = 2400a?pit 解得 t = 28 北京大学数学科学学院金融数学系 第 8 页 版权所有，翻版必究 43. 已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值 相等，计算该永久年金的现值。 (1+7解： (1+i)6213=i) => i =P V = v + 3v+ · · · + (2n - 1)v+ · · ·= v[1 + P V + 2(v + v+ · · · )] = v(1 + P V + 1-v 211n2v解得:P V = 66 44. 给出现值表达式Aa?p |所代表的年金序列。用这种表达式给出如 下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。nn 解： 年金序列：A + nB, A + (n - 1)B, . . . , A + 2B, A + B所求为25a ?25p25| 45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16％。若记：A = a?8% ，试用A 表示这个年金的现值。10p 解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：2 × (10 - A)i (2) = 6250 - 325A 300a ?p8% +|8% = 300A +1046. 年利率8％的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。计算第十年底的余额。 解： 由题意： AV =1000s?p8%52(1 + 8%)+ (1000 × 1.05 × 1.08+6545+ · · · + 1000 × 1.05× 1.08) (1 + 8%)5 - 1=00 × 1.05 × 1.088%0 1(165 =16606.72 47. 已知永久年金的方式为：第5、100元；第7、8年底各200元，第9、10年 底各300元，依此类推。证明其现值为:100 v 4北京大学数学科学学院金融数学系i - vd 第 9 页 版权所有，翻版必究 解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金. . .。从而 P V =v4 100 1 1 1 1v 4 = 100vi a?pi i i 1 - v2 i - vd42 48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。 证明其现值为：(4)1600¨p (I(4)1| 元 10?证： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1, R = 100m= 1600从而每年初当年的年金现值：2 1600(I元(4)(4)1|再贴现到开始时： 1600¨ 10?p (I (4)(4)1| 元49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利率8％，计算现值。 解： 半年的实利率：j = (1 + 8%)1- 1 = 3.923% P V = 1 +1 + j++ · · ·(1 + j)22 = (1 - 1 + j ) -1 = 112.59 50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为：6000¨?(12)9/12| 4p 证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000 从而每年初当年的年金现值： 9/12|贴现到当前： 6000¨?(12)9/12| 4p 北京大学数学科学学院金融数学系第 10 页 版权所有，翻版必究 51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三 个k 年每年底还3R ；依此类推。给出现值表达式。 解： 把此年金看成从第nk 年开始的每年为R 的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ):每个年金的值为Ra ∞?p 在分散在每个k 年的区段里：k|再按标准永久年金求现值：∞|2 |52.X 表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X 表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, · · · 的现值。计算贴现率。 解： 由题意： 1 X =1i 1+i1 120X = (1解得：i = 0.05i +i 2)(1+i)2即：d =i1+i.0476253. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v 4= 0.75，计算现值。与原答案有出入 解： (期初年金) P V = 1 + 6v+ 11v+5 449∑∞· · · = i=1(5n - 4)v(4n -4) (1 - v-= 64=4) 2 1 - v4(期末年金) P V¨ = v + 6v5+ 11v10 + · · · = v · P V59.5587 54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率i ，如果：0 < k < i ，计算该年金现值。与原答案有出入 解： 由于0 < k < i = ∫ ∞ ∫ ∞ 1 + k P V 1 (1 + k)te -δt dt = ( 1 + i ) t dt = 0 0ln(1 + i) - ln(1 + k) 北京大学数学科学学院金融数学系 第 11 页=∑n ? -tv tt=1i1 ∑n1 ∑¨? -tp 版权所有，翻版必究 55. 递延一年的13年连续年金的年金函数为t 2- 1 ，利息力为(1 + t)-1 ，计算该年 金现值。与原答案有出入 解： ∫ 1∫t -1P V = exp(- 1 ∫14dt)(t2- 1) exp(- 1ds)dt = 47.43 1 56. 给出下列符号的表达式: ∑n∑nt=1t |和|t=1 解： 由(Ia)t|表达式有：∑n t |=t=1 = t i t=1i t=1 n1 =1 ∑i [(1 + i) - vt -1]- i |展开求和即得2= 1 t=1 [n(1 + i) - 2¨?p + nvn i 2n]由(Da)t|表达式有： ∑nt p t=1t| = i 1 ∑n1 t= it - n - vt=1 t=1i= 1 n(n + 1) 1i 2 - i (n - a?np )2=2n(n + 1) - n + a?npi 2 57. 现有两种永久年金：A －金额为p 的固定期末年金；B －金额为q, 2q, 3q, · · · 的递增期末年金。分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利 率。
北京大学数学科学学院金融数学系 第 12 页 版权所有，翻版必究 解： 年金现值分别为： P VA = P VB = p =pa ∞?pi q q = + 2 (1)当P V= P V时有：ABip = iq + q解得： qi =p -q p + i 不存在, p ≤ q(2)令f(i) =--qpqi2 f (i) = - i 2 i 2= 0i 3解得：i =2p -qp > q58. 某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单 价增加X 。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年 增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X 为多少？(缺少利率? 下面的计算年利 率i = 5%)(与原答案有出入) 解： 用9年一周期的产品，则有支付的现值为： P V1= 2 × [1 + (1. 04 104 104) 9+ ( . ) 18+ ( . ) 27] 1.01.01.05 5 5 用151. 04 1. 04P V= (2 + X) × [1 + ( 1.0) 15+ ( 1.0) 30]5 5 由P V= P V有：X = 0.6992212 59. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m 年年利率7%，后n 年年利 率11%，s ?7%mp= 34, s?p11% = 128。nnn 解： 由s?p 的表达式有：(1 + 0.11)= 0.11s?p11%+ 1n AV = s ?7%×(1 + 0.11)+ s?p11%nmpn×= s ?p7%(0.11s?p11% + 1) + s?p11%mnn= 640.72 北京大学数学科学学院金融数学系 第 13 页 版权所有，翻版必究 60. 甲持有A 股票100股，乙持有B 股票100股，两种股票都是每股10元。A 股票每年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所 有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B 股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n 年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。 解： 设X 为买价，有价值方程： 0.4s ?6% -10|6%+X(1 + 0.06)-(n-10)10pn 从而有：+ 2X = (0.4s?p6%- 0.8s10|6%)(1 + 0.06)n -10)(10n解得：X =5.22 n = 15 2.48 n = 2061. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？) 每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。 解： 由题意： AV =
+ 4%)+ 5000 s 4% - 12000(1 + 4%)20p4% = s?p4% s?p4%2020p 22 62. 已知贷款L 经过N （偶数）次、每次K 元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为K ，试比较K 与2K 的大小。11 解： 由题意：?K a ?pi = Kam pi1m2=> K= K [1 + (1 + i)m ] < 2K1 63. 已知贷款L 经过N 次、每次K 元还清，利率i 。如果将每次的还款额增加一倍， 比较新的还款次数与N/2的大小。 解： 由题意：2Ka ?i Ka ?iMpNp==> v=vM1 +> v 22N即：M < N/2 北京大学数学科学学院金融数学系 第 14 页 版权所有，翻版必究 64. 从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，问： 什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。 解： 半年实利率：i = (1 + 6%)/2 - 1 = 2.9563% 余额首次超过X 的时刻：1 ≥ X 2n|i 8X = 10000从而解得：n ≈35 X = 10000065. 帐户A 从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B 从1985年元旦 开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。问：何时帐户B 的余额首次超过帐 户A 。 解： 由题意，设所求时间为n: 1000¨10 ?p5%≤ 500¨?p5%n解得：n - 1 ≥ 30故在2015年的元旦B 超过A 。 66. 已知|i, +1|i。用A 和B 给出n 和i 的表达式。nn 解： 由=(1+i) n -1iB得：(1 + i)A = B - 1A从而i =n带入s |i=A 解得：n =ln(2+1)B2-A -1ln(B 67. 分别对以下三种情况给出i 的表达式: 1)A = a?pi , B= s?pi 2)A = a?pi , B= a?pi 3)A = a?pi , B= s?pinnn2nn2nA√解： 1)Bv = A => i =BnnA- 1√-A22)ia?p +n |= 2 => i =3)v n B = A + vA => i =a2|n A2nn√ 2B A+A 2+4AB- 1n68. 对于固定的n 和L ，且L > n，证明：L = a?p 在-1 < i < 1上有唯一解。北京大学数学科学学院金融数学系 第 15 页 版权所有，翻版必究 证： (斯图姆判别？) 考虑如下现金流：初始时刻投入L, 而后的n 年每年末得到回报1, 从而此投资的内部收益率i 满足 L = a?pin由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在-1 < i < 1,有 唯一的内部收益率。 69. 证明：pi + (= (n + 1) s +1pi=。并给出实际ninn背景解释。 n, n - 1, · · · , 1 , (n +证： 1) 实际意义：现金流拆分(n + 1), (n + 1), · · ·1)
1, 2, · · · , nnnpi + (=nni¨? -p nv +- a?pi i= a?p () +n(1 - v)i= (n + 1)a?pnninnnn2) 实际意义：终值是本金(n + 1)和利息利滚利pi 的结果：pin+ (- (n + 1)+ (n + 1) n + 1) = i i= +1| 70. 当i > 0, n > 0时，有： pi < [(n + 1)/2]a?pi pinn证： 由69题有：pi + (pi ]/2 = (n + 1)a?pi /2从而，只要证：n pi <pinn(*)注意到：pi -pi
(n - 1), (n - 3), · · · , -(n - 3), -(n - 1) 这年金 前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有(*) 成立。 71. 某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划, 当时年收入为18,000元，然后 每年以4％的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行) 。1) 分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年 平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。2〕如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。 北京大学数学科学学院金融数学系 第 16 页 版权所有，翻版必究 解： 1) 平均工资：$ = 18000(1 + 1.04 + · · · + 1.04)/37 = 39747.04退休前一年的工资：18000 × (1 + 0.04)= 73870.79 法一：年退休金：0.7$ = 27822.93,比例为：37.66%3636法二：年退休金：0.25$ × 37 = 36766.01,比例为：49.77% 2) 企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为： ∑36P = 18000 × 6% ×设年退休金为R, 则有：t=0(1 + 4%)(1 + 6%)t36-t= R¨?p6% ≤ Pn 解得：n = 12第一种方式8第二种方式 72. 已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1 + 2元；第三年初1 + 2 + 3元；依此 类推；第n 年初1 + 2 + · · · + n元。证明该年金的现值为:¨∞p (I¨) ∞p 。 解： 进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两份标准永久年金，· · · , 从第n 年出发的n 份标准永久年金· · · 。分别求各个子现金流的现值得到如下的现金流： p , , · · · , · · · 其现值即为原年金的现值：¨∞p (I¨) ∞p 。 73. 已知连续年金函数为f(t)，0时刻的年金为F ，利息力δ，如果用F 表示时刻t 的 t年金终值，证明:dt证： 由定义 t= δF + f (t)t ∫tt ∫t( F = f (s)et -s) δds = et δ∫t f (s)e-s) δdsdt = δe δtf (s)e-δs ds + f(t) = δF + f (t)t74. A从B 处借得10,000元，年利率4%，计划分40次按季度等额偿还。在第6年底，B 希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C ，转卖价格使C 今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。 北京大学数学科学学院金融数学系 第 17 页 版权所有，翻版必究 解： A 从B 借款：季度实利率为i = (1 + 0.04)/41- 1 10000 = Ra?pi40 B 把后16次的还款卖给C ：季度实利率为：i = (1 + 0.06)/4 - 1 1 aP |i= 10000 a ?pi4040 40解得：P = 4303.1。 75. 现有两种年收益率相同的投资选择：A －第5年底收益800元，第10年底收益100元；B －10年间每年底收益100元。如果投资A 的成本为425元，计算投资B 的 成本。 解： 投资A 的价值方程： C = 425 = 800v+ 100v=> v= 0.55105A 投资B 的价值方程：1 - v= 504.38 C = 100a?= 10010B10p 76. 已知: a?p = 3.982, a?p = 6.680, a?p = 8.507，计算利率i (有必要给出a ?p8.507吗？) 。5101515= 解： 由a?p 的表达式易见：n 2 - |v = - 1 => a?p =|5 5解得：-= 0.081 i =|22a5|77. 某人有3700元的借款，今后在每月初还款325元，问：在一年内还清借款的可接受年利率为多少？ 解： 由题意：325¨12?p i = 3700解得：i = (1 + 0.00972)- 1 = 12.31%12 北京大学数学科学学院金融数学系 第 18 页 版权所有，翻版必究 78. 永久年金A 有如下的年金方式：1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, · · · ；永久年金B 有如下的 年金方式：K, K, 2K, 2K, 3K, 3K, · · · 。如果两个年金的现值相等，计算K 。 解： 现金流拆分: · · 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ·1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3,3, · · ·
0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, · · ·· · 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, ·0, 0,i 0, 0, · · ·1,1,· · · 由此方式A 的现值为：P V =同理方式B 的现值为：P V =K 3+i v6+· · · i 1-v 3i i+v (=1(1) i 1-v 2) 解得：K = a?p2(a?p3) -1 79. 永久年金的年金方式为：1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 4, · · · 。每年底支付，假定年实利率5%，计算现值。 解： 现金流拆分：1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 4, · · · · · (A) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, · 110, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 3, · · · (B)现金流A 的现值：P V=现金流B 的现值：P V= v+ 2v+ · · · = v(1 - v) -2 求和得到：P V = 66.5936332 80. 在5年中每年初存入100元。已知第5年底的余额为620元，计算单利率。 ?81. 实利率i 满足以下条件：期初年金1, 2, · · · , n - 1, n的现值为A ；n 年底的单位 支付的现值为iP 。试给出a?pn的表达式。北京大学数学科学学院金融数学系
范文二：北大版金融数学引论第二章答案
版权所有，翻版必究 第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解： S = 1000s?7%+Xs ?7%20p10p 20pX = 50000 - 1000s?7% = 651. 72s ?p7%10 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a?p1.5%48 解得 X = 1489.3613．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =n解：P V = na?n pi= 1nn+2 =(n + 1)n n2n4．已知：a?pn = X，a ?p2n = Y 。试用X 和Y 表示d 。 解： a ?p2n = a?pn + a?p (1 - d)则nn Y - Xd = 1 - ( X ) n5．已知：a?p7= 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760。计算i 。11p18p 解：a ?p = a?p + a?p v718711解得 = i = 6.0%10?p +a∞?p6. 证明： 11-v10s 。 s 10?p 北京大学数学科学学院金融数学系 第 1 页 版权所有，翻版必究 证明： 10 s ?p + a∞?p=s ?10p10+101 = 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解：P V = 100a?+ 100a20?8p3% p 3% =
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 =1000¨p8%X¨p7% 25?15? 解得 X = 8101.6589．已知贴现率为10%，计算¨?p 。 1 解： d = 10%，则 i= 1-d- 1 =9 8 1 - v¨?p = (1 + i) i = 5.69538 10. 求证： (1) ¨?p = a?p + 1 -nnv ； (2) ¨?p = s? -p 1 + (1 + i) 并给出两等式的实际解释。nnnn 1nn证明： (1)¨?p ===1n1ni+ 1- vnn 1+i 所以 ¨?p = a?p + 1 - vnn (1+n n(2)¨?p = i) n(1+i ) n -1=(1+i)-1nd=- 1i1+ii+ (1 + i)n 所以¨?p = s? -p 1 + (1 + i)nn 版权所有，翻版必究 12. 从日开始，每季度年金100元，直至日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在日的现值；2）该年金在日的终 值。 解：P V = 100a49?p1.5% - 100a?2p1.5% = 3256.88AV = 100s?1.5% - 100s?p1.5% = 6959.3749p2 13. 现有价值相等的两种期末年金A 和B 。年金A 在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v =，计算Y 。10 2解： 因两种年金价值相等，则有 a ?i +a ?i v 10=Y a? -i Y a10?pi v 1030p10p30p 所以 Y =31030.814. 已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i 。1+v10-2v 30= 1 解： 由题意知，2a ?pi + 3a?pi = 362nn2a?pi v n = 6n解得7 3X i = 8.33%YZp a?p a?p + s?= 15. 已a ?p a ?p + s?p 。求X ，Y 和Z 。知 解： 由题意得=1 - v11 (1 + i)Z - vY解得X = 4, Y = 7, Z = 4117X3153016. 化简a 15?p (1 + v+ v) 。解：a ?p (1 + v+ v) = a?p15301545 北京大学数学科学学院金融数学系 第 3 页 版权所有，翻版必究 17. 计 算 下 面 年 金 在 年 初 的 现 值：首 次 在 下 一 年 的4月1日，然 后 每 半 年 一次2000元，半年结算名利率9%。 4.5%解： 年金在4月1日的价值为P =×2000 = 46444.44 ，则1+4 PP V =(1 + i) 2+= 318. 某递延永久年金的买价为P ，实利率 解： 设递延时间为t ，有 1 P = i vtln解得 t = - ln(1+i )19. 从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一 定的金额X ，直至永远。计算X 。 解： 设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有X ?=1000¨ 20pi vi29解得 X = 1000((1 + i)- (1 + i))301020. 某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1 + i)。n 解： i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值为 i ，而D 得到遗产的现值为v 。由题意得 3?pinn 1 - v= v 3nn 所以 (1 + i)= 4n21. 永 久 期 末 年 金 有A 、B 、C 、和D 四 人 分 摊，A 接 受 第 一 个n 年，B 接 受 第 二个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。已知：C 与A 的份额之比为0.49， 求B 与D 的份额之比。 版权所有，翻版必究 解： 由题意知 那么P VC = a?n = 0.49P VA v 2n P VB = a?pn = 0.61na? n3vnP VDi22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 vn p4.5%4<a?解： 100a n +1?p4.5%v 41000> 16解得 n = 172列价值方程 解得 +100a ?p4.5%Xv 1 = 1000 X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n 年内将增加一倍，计算n 。 解： 两年金现值相等，则 4 × a?i = 5× 18，可知 v = 0.25由题意， (1 + i)= 2 解得 n = 91836pn 24. 某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k 个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k 。 解： 由题意可得方程100a ?p1% = 6000(1 + i)-k60解得 k = 29 25. 已知a?pi = 1.75，求i 。2 解： 由题意得 1 - v= 1.75i2解得 i = 9.38%26. 某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年 的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解： 版权所有，翻版必究 27. 某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。 解： 由题意可得价值方程 10000 = 105Ka?p4%v 3+Ka?p4% + 10000v1022 则 K =10v v105a?2p4%3+a?2p4%5= 979.9428. 贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。计算首次付款金额X 的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程 1P (1 + i)= X + 2Xa?pi + 2Xa?pj245(1 + i)-4所以1 + 2a?pi + 2a?pj (1 + i)-429. 已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。45X =P (1 + i)解： 30. 计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。（缺命令） 解：P V = 4 × 400 + 4 × 600v5= 11466.14 31. 已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。 解： 32. 给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解：P V =1a ?i v 3= p24p4(1 +) - 1 = p (1 + i)27[(1 + i)4 - 1] s?p + s?p2428p431i 北京大学数学科学学院金融数学系 第 6 页 版权所有，翻版必究 33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R 的表达式。 解： 设年实利率为i ，则 (1 + 2%)= 1 + i。有题意得2 750 + 750 ?=Ra 30pipi20 解得 R = 1114.7734. 已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。 解： 由题意知 1 = 125 is?pi 3解得 i = 20%35. 已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R 元的永久期初年 金，计算R 。 解： 由题意得 1 R 20 = =pi i2解得 R = 1.9536. 已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。1解： 设贴现率为d ，则 =(1 - d)2 i+设递延时间为t ，由题意得10000 = 2 × 500v¨∞?p1(2)t (2)1解得 37. 计算：3a?np(2) t =ln(1 - d)= 2a(2)2np?=45s?1p(2)，计算 i 。a n i1解：i ?pi = 2× 11 i (2)解得：v = , i = 。2 30nni i 2a?pi = 45 × s?pii 2 北京大学数学科学学院金融数学系 第 7 页 版权所有，翻版必究 38. 已 知i = 16%。计 算 以 下 期 初 年 金 的 现 值：现 在 开 始 每4个 月 付(4)款1元，共12年。（问题） 解： 39. 已知：δt =。求??p 的表达式。1+n 解： ∫nn ??p = e - Rt δds dt = ln(1 + n) s40. 已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t ，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。 解： 第一种年金的现值为∫1 tv dt = 1 - e-δδ第二种年金的现值为e -δt，则 1 - e-δ= e-δtδ所以 t = 1 +1lnδi 41. 已知：δ = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现 值。（结果和李凌飞的不同） 解： 设季度实利率为i 。因 a(t) = eδt，则 e 所以1 1 - vi = 4030.53 P V = 100¨?pi = 100(1 + i)808042. 现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？ 解： 设年实利率为i ，则 i = eδ - 1设基金可维持t 年，由两现值相等得 40000 = 2400a?pit 解得 t = 28 北京大学数学科学学院金融数学系 第 8 页 版权所有，翻版必究 43. 已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值 相等，计算该永久年金的现值。 (1+7解： (1+i)6213=i) => i =P V = v + 3v+ · · · + (2n - 1)v+ · · ·= v[1 + P V + 2(v + v+ · · · )] = v(1 + P V + 1-v 211n2v解得:P V = 66 44. 给出现值表达式Aa?p |所代表的年金序列。用这种表达式给出如 下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。nn 解： 年金序列：A + nB, A + (n - 1)B, . . . , A + 2B, A + B所求为25a ?25p25| 45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16％。若记：A = a?8% ，试用A 表示这个年金的现值。10p 解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：2 × (10 - A)i (2) = 6250 - 325A 300a ?p8% +|8% = 300A +1046. 年利率8％的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。计算第十年底的余额。 解： 由题意： AV =1000s?p8%52(1 + 8%)+ (1000 × 1.05 × 1.08+6545+ · · · + 1000 × 1.05× 1.08) (1 + 8%)5 - 1=00 × 1.05 × 1.088%0 1(165 =16606.72 47. 已知永久年金的方式为：第5、100元；第7、8年底各200元，第9、10年 底各300元，依此类推。证明其现值为:100 v 4北京大学数学科学学院金融数学系i - vd 第 9 页 版权所有，翻版必究 解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金. . .。从而 P V =v4 100 1 1 1 1v 4 = 100vi a?pi i i 1 - v2 i - vd42 48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。 证明其现值为：(4)1600¨p (I(4)1| 元 10?证： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1, R = 100m= 1600从而每年初当年的年金现值：2 1600(I元(4)(4)1|再贴现到开始时： 1600¨ 10?p (I (4)(4)1| 元49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利率8％，计算现值。 解： 半年的实利率：j = (1 + 8%)1- 1 = 3.923% P V = 1 +1 + j++ · · ·(1 + j)22 = (1 - 1 + j ) -1 = 112.59 50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为：6000¨?(12)9/12| 4p 证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000 从而每年初当年的年金现值： 9/12|贴现到当前： 6000¨?(12)9/12| 4p 北京大学数学科学学院金融数学系第 10 页 版权所有，翻版必究 51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三 个k 年每年底还3R ；依此类推。给出现值表达式。 解： 把此年金看成从第nk 年开始的每年为R 的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ):每个年金的值为Ra ∞?p 在分散在每个k 年的区段里：k|再按标准永久年金求现值：∞|2 |52.X 表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X 表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, · · · 的现值。计算贴现率。 解： 由题意： 1 X =1i 1+i1 120X = (1解得：i = 0.05i +i 2)(1+i)2即：d =i1+i.0476253. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v 4= 0.75，计算现值。与原答案有出入 解： (期初年金) 5 4P V = 1 + 6v4+ 11v9+ ∑∞· · · =(4 i=1(5n - 4)vn-4)(1 - v-= 64=4) 2 1 - v4(期末年金) P V¨ = v + 6v5+ 11v10 + · · · = v · P V59.5587 54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率i ，如果：0 < k < i ，计算该年金现值。与原答案有出入 解： 由于0 < k < i P V = ∫ ∞ ∫ ∞ 1 + k 1 (1 + k)te -δtdt = ( 1 + i ) t dt = 0 0ln(1 + i) - ln(1 + k) 北京大学数学科学学院金融数学系 第 11 页=∑t=1i1 ∑n1 ∑¨? -tp 版权所有，翻版必究 55. 递延一年的13年连续年金的年金函数为t 2- 1 ，利息力为(1 + t)-1 ，计算该年 金现值。与原答案有出入 解： ∫ 1∫t -1P V = exp(- ∫14 1dt)(t2- 1) exp(- 1 1 ds)dt = 47.43 56. 给出下列符号的表达式: ∑n∑nt=1t |和|t=1 解： 由(Ia)t|表达式有：∑n |t =t=1 = t n ? -tvti t=1 i t=1 n=1 ∑1 t展开求和即得i [(1 + i) - v-1]- i |2t=1 = 1 [n(1 + i) - 2¨?p + nvni 2n] 由(Da)t|表达式有： ∑nt p t=1t| = i 1 ∑nt= it - n 1 - vt=1 t=1i= 1 n(n + 1) -1i 2 i (n - a?np )2=2n(n + 1) - n + a?npi 2 57. 现有两种永久年金：A －金额为p 的固定期末年金；B －金额为q, 2q, 3q, · · · 的 递增期末年金。分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利 率。 北京大学数学科学学院金融数学系 第 12 页 版权所有，翻版必究 解： 年金现值分别为： P VA = P VB = p =pa ∞?pi q q = + 2 (1)当P V= P V时有：ABip = iq + q 解得：qi = p-qi 不存在,(2)令f(i) =-pqp ≤ q -qi2 f (i) = - p + i 2 i 2= 0 i 3 解得：i =2p-qp > q58. 某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单 价增加X 。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年 增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X 为多少？(缺少利率? 下面的计算年利 率i = 5%)(与原答案有出入) 解： 用9年一周期的产品，则有支付的现值为： P V1= 2 × [1 + (1. 04 104 104) 9+ ( . ) 18+ ( . ) 27] 1.01.01.05 5 5 用151. 04 1. 04P V= (2 + X) × [1 + ( 1.0) 15+ ( 1.0) 30]5 5 由P V= P V有：X = 0.6992212 59. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m 年年利率7%，后n 年年利 率11%，s ?7%mp= 34, s?p11% = 128。nnn 解： 由s?p 的表达式有：(1 + 0.11)= 0.11s?p11%+ 1n AV = s ?7%×(1 + 0.11)+ s?p11%nmpn×= s ?p7%(0.11s?p11% + 1) + s?p11%mnn= 640.72 北京大学数学科学学院金融数学系 第 13 页 版权所有，翻版必究 60. 甲持有A 股票100股，乙持有B 股票100股，两种股票都是每股10元。A 股票每年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所 有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B 股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n 年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。 解： 设X 为买价，有价值方程： 0.4s ?6% -10|6%+X(1 + 0.06)-(n-10)10pn 从而有：+ 2X = (0.4s?p6%- 0.8s10|6%)(1 + 0.06)n-10) (10n 解得：X =5.22 2.48n = 15n = 2061. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？) 每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。 解： 由题意： AV =
+ 4%)+ 5000 s 4% - 12000(1 + 4%)20p4% = s?p4% s?p4%2020p 22 62. 已知贷款L 经过N （偶数）次、每次K 元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为K ，试比较K 与2K 的大小。11 解： 由题意：?K a ?pi = Kam pi1m2=> K= K [1 + (1 + i)m ] < 2K1 63. 已知贷款L 经过N 次、每次K 元还清，利率i 。如果将每次的还款额增加一倍， 比较新的还款次数与N/2的大小。 解： 由题意：2Ka ?i Ka ?iMpNp==> v=vM1 +> v 22N即：M < N/2 北京大学数学科学学院金融数学系 第 14 页 版权所有，翻版必究 64. 从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，问： 什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。 解： 半年实利率：i = (1 + 6%)/2 - 1 = 2.9563% 余额首次超过X 的时刻：1 ≥ X2n|i 8X = 10000从而解得：n ≈35 X = 10000065. 帐户A 从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B 从1985年元旦 开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。问：何时帐户B 的余额首次超过帐 户A 。 解： 由题意，设所求时间为n: 1000¨10 ?p5%≤ 500¨?p5%n解得：n - 1 ≥ 30故在2015年的元旦B 超过A 。 66. 已知|i, +1|i。用A 和B 给出n 和i 的表达式。nn 解： 由=(1+i) n -1iB得：(1 + i)A = B - 1A从而i =n带入s |i=A 解得：n =ln(2+1)B2-A-1ln(B 67. 分别对以下三种情况给出i 的表达式: 1)A = a?pi , B= s?pi 2)A = a?pi , B= a?pi 3)A = a?pi , B= s?pinnn2nn2nA√解： 1)Bv = A => i =BnnA- 1√-A22)ia?p +n |= 2 => i =3)v n B = A + vA => i =a2|n A2nn√ 2B A+A 2+4AB- 1n68. 对于固定的n 和L ，且L > n，证明：L = a?p 在-1 < i < 1上有唯一解。 版权所有，翻版必究 证： (斯图姆判别？) 考虑如下现金流：初始时刻投入L, 而后的n 年每年末得到回报1, 从而此投资的内部收益率i 满足 L = a?pin由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在-1 < i < 1,有 唯一的内部收益率。 69. 证明：pi + (= (n + 1) s +1pi=。并给出实际ninn背景解释。 n, n - 1, · · · , 1证： 1) 实际意义：现金流拆分(n + 1), (n + 1), · · ·1)
, (n +1, 2, · · · , nnnpi + (=nni¨? -p nv +- a?pi i= a?p () +n(1 - v)i= (n + 1)a?pnninnnn2) 实际意义：终值是本金(n + 1)和利息利滚利pi 的结果：pin+ (- (n + 1)+ (n + 1) n + 1) = i i= +1| 70. 当i > 0, n > 0时，有： pi < [(n + 1)/2]a?pi pinn证： 由69题有：pi + (pi ]/2 = (n + 1)a?pi /2从而，只要证：n pi <pinn(*)注意到：pi -pi
(n - 1), (n - 3), · · · , -(n - 3), -(n - 1) 这年金 前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有(*) 成立。 71. 某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划, 当时年收入为18,000元，然后 每年以4％的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行) 。1) 分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年 平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。2〕如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。 北京大学数学科学学院金融数学系 第 16 页 版权所有，翻版必究 解： 1) 平均工资：$ = 18000(1 + 1.04 + · · · + 1.04)/37 = 39747.04退休前一年的工资：18000 × (1 + 0.04)= 73870.79 法一：年退休金：0.7$ = 27822.93,比例为：37.66%3636法二：年退休金：0.25$ × 37 = 36766.01,比例为：49.77% 2) 企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为： ∑36P = 18000 × 6% ×设年退休金为R, 则有：t=0(1 + 4%)(1 + 6%)t36-t= R¨?p6% ≤ Pn 12第一种方式 8第二种方式解得：n = 72. 已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1 + 2元；第三年初1 + 2 + 3元；依此 类推；第n 年初1 + 2 + · · · + n元。证明该年金的现值为:¨∞p (I¨) ∞p 。 解： 进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两份标准永久年金，· · · , 从第n 年出发的n 份标准永久年金· · · 。分别求各个子现金流的现值得到如下的现金流： p , , · · · , · · · 其现值即为原年金的现值：¨∞p (I¨) ∞p 。 73. 已知连续年金函数为f(t)，0时刻的年金为F ，利息力δ，如果用F 表示时刻t 的 t年金终值，证明:dt证： 由定义 t= δF+ f (t)t ∫tt ∫t( F = f (s)et-s)δds = etδ∫t f (s)e-s)δdsdt = δeδtf (s)e-δsds + f(t) = δF+ f (t)t74. A从B 处借得10,000元，年利率4%，计划分40次按季度等额偿还。在第6年底，B 希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C ，转卖价格使C 今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。 北京大学数学科学学院金融数学系 第 17 页 版权所有，翻版必究 解： A 从B 借款：季度实利率为i = (1 + 0.04)/41- 1 10000 = Ra?pi40 B 把后16次的还款卖给C ：季度实利率为：i = (1 + 0.06)/4 - 1 1 aP |i= 10000 a ?pi4040 40解得：P = 4303.1。 75. 现有两种年收益率相同的投资选择：A －第5年底收益800元，第10年底收益100元；B －10年间每年底收益100元。如果投资A 的成本为425元，计算投资B 的 成本。 解： 投资A 的价值方程： C = 425 = 800v+ 100v=> v= 0.55105A 投资B 的价值方程：1 - v= 504.38 C = 100a?= 10010B10p 76. 已知: a?p = 3.982, a?p = 6.680, a?p = 8.507，计算利率i (有必要给出a ?p8.507吗？) 。5101515= 解： 由a?p 的表达式易见：n 2 - |v = - 1 => a?p =| 55解得：-= 0.081 i =|22a5|77. 某人有3700元的借款，今后在每月初还款325元，问：在一年内还清借款的可接受年利率为多少？ 解： 由题意：325¨12?p i = 3700解得：i = (1 + 0.00972)- 1 = 12.31%12 北京大学数学科学学院金融数学系 第 18 页 版权所有，翻版必究 78. 永久年金A 有如下的年金方式：1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, · · · ；永久年金B 有如下的 年金方式：K, K, 2K, 2K, 3K, 3K, · · · 。如果两个年金的现值相等，计算K 。 解： 现金流拆分: · · 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ·1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3,3, · · ·
0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, · · ·· · 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, ·0, 0,i 0, 0, · · ·1,1,· · · 由此方式A 的现值为：P V =同理方式B 的现值为：P V =K 3+i v6+· · · i 1-v 3i i+v (=1(1) i 1-v2) 解得：K = a?p2(a?p3) -1 79. 永久年金的年金方式为：1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 4, · · · 。每年底支付，假定年实利率5%，计算现值。 解： 现金流拆分：1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 4, · · · · ·(A) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, · 110, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 3, · · · (B) 现金流A 的现值：P V=现金流B 的现值：P V= v+ 2v+ · · · = v(1 - v) -2 求和得到：P V = 66.5936332 80. 在5年中每年初存入100元。已知第5年底的余额为620元，计算单利率。 ?81. 实利率i 满足以下条件：期初年金1, 2, · · · , n - 1, n的现值为A ；n 年底的单位 支付的现值为iP 。试给出a?pn的表达式。
范文三：金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]
第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解：S = %+X X =s 20|7%s 10|7%s 10|7%= 651.72 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有1000=X +250a 48|1.5% 解得X = 1489. 363．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1 。试计算该年金的现值。 解：P V =n a n |i =n1-v 1nY -X X1n=(n + 1)n -n(n + 1)nn 2n +2 4．解： a 2n ]5．已知：a 7]解：=a n ]+a n ](1-d )n则d= 1-() n 。计算i 。= 5.58238, a 11]= 7.88687, a 18]= 10.82760a 18]=a 7]+a 11]v7解得i = 6. 0%=s 10]+a ∞]s 10]6. 证明：证明：11-v 10 (1+i )s 10]+a ∞]s 10]=10-11i i = 1010(1+i ) -11-vi+17．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。 解：P V =100a 8p]3%+100a 20]3%= 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日1000 s 25]8%￢=X a 15]7% 解得X = 8101. 659．已知贴现率为10%，计算a 8]。 解： d = 10%，则i =11-d-1 =198 = 5.69538]= (1 +i ) a1-v i10. 求证：n ](1)a=a n ]+ 1-v ；(2)s n ]=s n ]-1 + (1 +i )nn 并给出两等式的实际解释。=证明： (1)a ¨n ]1-v dn=1-v in=1-v in+ 1-vn1+i=所以a ¨n ]a n ]+ 1-v (1+i ) -1dnn (1+i ) -1i1+in= (2)s ¨n ]==(1+i ) -1in+ (1 +i ) -1n=所以a ¨n ]s n ]-1 + (1 +i )n12. 从日开始，每季度年金100元，直至日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在日的现值；2）该年金在日的终 值。 解：PV = 100a 49】1. 5% - 100a 2]1. 5% = 3256. 88 AV = 100s 49]1. 5% - 100s 2]1. 5% ￢ = 6959. 3713. 现有价值相等的两种期末年金A 和B 。年金A 在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金 额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v 10，计算Y 。解： 因两种年金价值相等，则有a 30]i +a10]i v10=12 =Y a 30]i -Y a1010i v10 所以Y=3-v 1+v-2v -2v3030= 1.8 14. 已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i 。 解： 由题意知，2a 2n ]i + 3a n ]i = 362a n ]i v = 6n 解得i = 8. 33% 15. 已知a 7]a 11]=a 3]+s X ]a Y ]+s Z ]。求X ，Y 和Z 。解： 由题意得1-v 1-v711=(1 +i )X Z-v3Y(1 +i ) -v 解得X = 4, Y = 7,Z = 4 16. 化简a 15](1 +v 15解：a 15](1 +v15+v30) 。+v30) =a 45]17. 计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4. 5%)/4. 5% × 2000 = 46444. 44 ，则P V =P (1 +i )2+3= 18. 某递延永久年金的买价为P ，实利率i ，写出递延时间的表达式。 解： 设递延时间为t ，有P =1i vt解得t=-ln iP ln (1+i ) 19. 从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X ，直至永远。计算X 。解： 设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有20]i =1000aX i v29 30解得X= 1000((1 +i )-(1 +i ) )1020. 某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人 平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1 +i ) n 。解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值 为i 3a n ]in，而D 得到遗产的现值为v n 。由题意得n1-v 3=v所以(1 +i ) n= 4 21. 永久期末年金有A 、B 、C 、和D 四人分摊，A 接受第一个n 年，B 接受第二个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。已知：C 与A 的份额之比为0.49， 求B 与D 的份额之比。 解： 由题意知P V C P V A=a n ]v2na n ]= 0.49 那么P V B P V D=a n ]v1inv3n= 0.6122.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 解：100a n ]4.5%v 100044解得n = 17列价值方程100a 16]4.5%+X v 1 = 10002解得X = 146. 0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n 年内将增加一倍，计算n 。 解： 两年金现值相等，则4?a 36]i 由题意，(1 +i ) n= 2= 5?18，可知v18= 0.25解得n = 924. 某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k 个月后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k 。 解： 由题意可得方程100a 60p 1% ￢ = 6000(1 + i ) -k 解得k = 29 25. 已知a 2]i= 1.75，求i 。解： 由题意得1-v = 1.75i2解得i = 9. 38%26. 某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解：27. 某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。 解： 由题意可得价值方程10000 = 105K a 2]4%v +K a 2]4%+ 10000v 则K =v3105310105a 2]4%v +a 2]4%v= 979.94 28. 贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。计算首次付款金额X 的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P (1 +i ) 2=X + 2X 所以X =a 4]i+ 2X a 5]j (1 +i )1-4P (1 +i ) 21 +2a 4]i +2a 5]j (1 +i )-4 29. 已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。 解：30. 计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。（缺命令） 解：P V = 4?400 + 4?600v = 11466.145 31. 已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。 解：32. 给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解：P V =1s 4]ia 24]i v =3(1 +i )2724-14(1 +i ) [(1 +i ) -1]=a 28]-a4]s 3]+s 1] 33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R 的表达式。解： 设年实利率为i ，则(1 + 2%)2 = 1 + i 。有题意得750i +750s 20]p i i=R a 30]i 解得R = 1114. 7734. 已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解： 由题意知1is 3]i=12591解得i = 20%35. 已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R 元的永久期初年 金，计算R 。 解： 由题意得20 =1d =R a 2]i i解得R = 1. 9536. 已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。解： 设贴现率为d ，则1 +i(2)2=1(1-d )12 设递延时间为t ，由题意得∞]10000 = 2?500v at(2)解得t(2)=ln 20 + ln(1-(1-d ) )ln (1-d )(2)12 37. 计算：3a n (])2=2a 2n ]= 45s 1]，计算i 。解：3?i i(2)a n ]i = 2?i i2a n ]i = 45?i i2s 1]i 解得：v =n12, i =130 39. 已知：δt=t11+tδs d s。求ˉ的表达式。 n ]-=解：ˉn ]?0en? d t = ln(1 +n ) 40. 已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t ，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。 解： 第一种年金的现值为?0v1td t =1-e-δδ 第二种年金的现值为e -δt ，则1-e-δδ=e-δt所以t= 1 +1δlnδi 41. 已知：δ = 0. 08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）1解： 设季度实利率为i 。因a (t )80]i = 100(1 +i ) P V = 100a1-v i80=eδt，则e 4 δ= (1 +i )所以= 4030.5342. 现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？ 解： 设年实利率为i ，则i=e -1设基金可维持t 年，由两现值相等得δ40000 = 2400a t ]i 解得t = 2843. 已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。 解： 由题意：11(1+i )6=13(1+i )27=>i =211 nP V =v + 3v + + (2n -1) v + =v [1 +P V + 2(v +v + )]=v (1 +P V + 2v 1-v)2 解得:PV = 6644. 给出现值表达式A a |+B (D a ) |所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解： 年金序列：A + nB,A + (n - 1) B, . . . ,A + 2B,A + B 所求为25a 25|+3(D a ) 25|45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16％。若记：A=a 10|8%，试用A 表示这个年金的现值。解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：300a 10|8%+ 500(D a ) 10|8%=300A +2?(10-A )i(2)= A 47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:100v4i -vd 解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金. . .。从而P V =v4100i11a 2|i i= 100v4112i 1-v= 100v4i -vd 48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。(4)(4)(I a ) 证明其现值为：1600a 元 10|1|证： 首先把一年四次的付款折到年初：m= 4, n = 1,R = 100m2= 1600 (4)) 元 从而每年初当年的年金现值：1600(I (4)a 1|((I 再贴现到开始时：1600a 10|4)) a 1|(4)元49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利率8％，计算现值。 解： 半年的实利率：P V = 1 +1.031 +j 1.031 +j) +-1j = (1 + 8%)-1 = 3.923%2212 1.03(1 +j )+= (1- = 112.5950. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为：a 6000a 证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 4|9/12|(12)6000 从而每年初当年的年金现值：a 6000a 贴现到当前：/12|9/12|(12)(12)51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三个k 年每年底还3R ；依此类推。给出现值表达式。解： 把此年金看成从第nk 年开始的每年为R 的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ): 每个年金的值为R a ∞在分散在每个k 年的区段里：R (a ∞|) a k |R a ∞|a k |2 再按标准永久年金求现值：v52. X 表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X 表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, · · · 的现值。计算贴现率。 解： 由题意：X =11i 1+i111 20X = (+2) 2i i (1+i )解得：i = 0. 05 即：d=i 1+i= 0.0476253. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v 4 = 0. 75，计算现值。与原答案有出入 解： (期初年金)∞P V = 1 + 6v + 11v + =49∑i =1(5n -4) v(4n -4)=5(1-v )42-41-v4= 64 V (期末年金) P ¨=v + 6v + 11v + =v P V = 59.5587510 54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k ) t ，年利率i ，如果：0 < k < i ，计算该年金现值。与原答案有出入解： 由于0 < k < i，故下列广义积分收敛：P V =?0(1 +k ) e∞t-δtd t =?0(∞1 +k 1 +i) d t =t1ln (1 +i ) -ln (1 +k ) 59. 计算m + n 年的标准期末年金的终值。已知：前m 年年利率7%，后n 年年利 率11%，s m |7%= 34, s n |11%= 128。n解： 由s n |的表达式有：(1 + 0.11) = 0.11n |11%+ 1nA V =s m |7% ?(1 + 0.11) +s n |11%=s m |7%?(0.11s n |11%+ 1) +s n |11%= 640.72 60. 甲持有A 股票100股，乙持有B 股票100股，两种股票都是每股10元。A 股票每 年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B 股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也 是以年利率6%进行投资，并且在n 年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。 解： 设X 为买价，有价值方程：0.4s 10|6%+ 2 = 0.8s n -10|6%+X (1 + 0.06)-(n -10)从而有：X = (0.4s10|6%￢+ 2-0.8s n -10|6%)(1 + 0.06)(n -10) 解得：X =5. 22 n = 15 2. 48 n = 2061. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半 年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐 款5000元。(从1991年的7月开始？) 每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。 解： 由题意：A V = +4%)20+5000s 20|4%s 2|4%-%)s 20|4%s 2|4%= 62. 已知贷款L 经过N （偶数）次、每次K 元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为K 1，试比较K 1与2K 的大小。 解： 由题意：K 1a m |i =K a 2m |i =>K 1=K [1 +1(1 +i )m]<2K 63. 已知贷款L 经过N 次、每次K 元还清，利率i 。如果将每次的还款额增加一倍， 比较新的还款次数与N/2的大小。 解： 由题意：2K a M |i =K a N |i =>vM=1 +v2N> vN 2即：M < N/2
范文四：金融学精编版(第二版)课后答案
第一章 货币与货币制度 3．货币种种形态的演进有何内在规律?流通了几千年的金属货币被钞票和存款货币所取代，为什么是历史的必然?答：（1）当货币在生活中的重要性日益加强时，一般说来，作为货币的商品就要求具有如下四个特征：一是价值比较高，这样可用较少的媒介完成较大量的交易；二是易于分割，即分割之后不会减少它的价值，以便于同价值高低不等的商品交换；三是易于保存，即在保存过程中不会损失价值，无须支付费用等；四是便于携带，以利于在广大地区之间进行交易。事实上，最早出现的货币就在不同程度上具备这样的特征。随着交换的发展，对以上四个方面的要求越来越高，这就使得世界各地历史上比较发达的民族，先后都走上用金属充当货币之路。充当货币的金属主要是金、银、铜，而铁作为货币的情况较少。金属货币流通及其以前货币形态的演变基本上遵循了上述四个特征的要求，随着商品交换深度和广度的发展，其形态越来越先进。（2）金属货币与实物货币相比，有很多优点，但最终还是退出了历史舞台，取而代之的是信用货币，之所以说这是历史的必然是因为：①金属货币的产量跟不上经济的发展，币材的日益匮乏使人们开始寻找可以适应成倍增长的经济量的货币形式。②金银的国际分布极不平衡，动摇了自由铸造、自由输出入和自由兑换等贵金属流通的基础。③在金银复本位条件下，金贵银贱引起了“劣币驱逐良币”的现象，这极大地撼动了复合金本位的根基，随后的金本位制虽然克服了“劣币驱逐良币”的不良后果，但因银退出了主币行列，所以使得原来就不足的货币金属量更显匮乏。④货币信用理论的发展和奥匈帝国打破“黄金桎梏”的实践使各国商业银行开始大量发行银行券，公众则因金属货币流通、携带及保存的不方便而逐渐接受了银行券。同时各国都意识到金属货币在流通中不断磨损是一种社会财富的浪费，也鼓励和支持银行券的流通。 ⑤经济危机使各国在贸易、金融等方面纷纷树起了壁垒。尤其是在古典重商主义的影响下，人们认为金银即国家财富，因此，各国都把金银作为战略物资管制起来。另外，连绵不断的战争和财政赤字使各国进一步管制黄金并大量发行不兑换银行券和纸币。4．就你在生活中的体验，说明货币的各种职能以及它们之间的相互关系。如果高度地概括，你认为货币职能最少不能少于几个?答：（1）按照马克思的货币职能观，货币具有价值尺度、流通手段、贮藏手段、支付手段和世界货币五种职能。在生活中，当货币表现和衡量商品价值时，就执行着价值尺度职能；货币在商品交换过程中发挥媒介作用时，便执行流通手段职能；货币退出流通，贮藏起来，就执行贮藏手段的职能；货币作为交换价值而独立存在，非伴随着商品运动而作单方面的转移，其执行着支付手段职能；当货币超越国界，在世界市场上发挥一般等价物作用时便执行世界货币的职能。 货币的五种职能并不是各自孤立的，而是相互联系的，每一个职能都是货币作为一般等价物的本质的反映。其中，货币的价值尺度和流通手段职能是两个最基本的职能，其他职能是在这两个职能的基础上产生的。所有商品首先要借助于货币的价值尺度来表现其价格，然后才通过流通手段实现其价值。正因为货币具有流通手段职能，随时可购买商品，货币能作为交换价值独立存在，可用于各种支付，所以人们才贮藏货币，货币才能执行贮藏手段的职能。支付手段职能是以贮藏手段职能的存在为前提的。世界货币职能则是其他各个职能在国际市场上的延伸和发展。从历史和逻辑上讲，货币的各个职能都是按顺序随着商品流通及其内在矛盾的发展而逐渐形成的，从而反映了商品生产和商品流通的历史发展进程。（2）货币的职能最少不能少于三个，即赋予交易对象以价格形态、购买和支付手段、积累和保存价值的手段。①现代的经济生活中，作为交易的对象都具有以一定的货币金额表示的价格。马克思把货币赋予交易对象以价格形态的职能定名为价值尺度。交易对象如果不具备用一定金额表示的价格，则无从设想交易如何进行；或者说，没有价格的对象就不称其为交易对象。②在商品流通中，起媒介作用的货币，被称为流通手段或购买手段。在赊买赊卖过程中，要以货币的支付结束一个完整的交易过程；这时，货币已经不是流通过程的媒介，而是补充交换的一个独立的环节，即作为价值的独立存在而使早先发生的流通过程结束。结束流通过程的货币就是起着支付手段职能的货币。③当具备给出价格和交易媒介职能的货币一经产生，便立即具备了用来积累价值、保存价值、积累财富、保存财富的职能。5．如何定义货币，才能最为简明易懂地概括出这一经济范畴的本质?答：如何界定货币，由于时代背景、观察角度、观察深度、侧重于理论剖析与侧重于解决处理实际问题的需要的不同而不同。对于像货币这样的经济范畴，如不从不同视角、不同深度来认识其性质，不可能有稍许全面的理解。（1）马克思从职能角度给货币所做的界定较简明完整。那就是价值尺度与流通手段的统一是货币。马克思论证货币起源的思路及有关行文，可以归结出这样的界说：货币是商品世界中排他性地起一般等价物作用的特定商品；进行简化，则成为“起一般等价物作用的商品”。 现在的问题是，各国的货币运动都与最后一个在世界范围内起一般等价物作用的货币商品——黄金——割断了联系。在这种情况下，如果不是把一般等价物拘泥地解释为某种商品，而是解释为某种“等价形态”，那么一般等价物的界说依然可以沿用下来。至于其不断深化的内涵，无疑需要加以探讨。上面讲解了两条：其一，货币是普遍被接受的作为购买、支付的手段（隐含着赋予交易对象以价格形态的前提）；其二，货币是市场经济中的一般等价形态。以此来回答货币的界说或定义的问题。综合以上两点，或许可以说达到起码的要求。（2）自凯恩斯经济理论流行以来，“流动性”几乎成为货币的同义语。在凯恩斯那里，流动性的概念则仅仅赋予货币。如果就“流动”的性能来把握，与任何商品比，与任何有价证券相比，货币的流动性都是最高的。在现在的经济文献中，“流动性”有时指的就是货币，有时指的范围比较大，如包括国家债券等，需注意区分。（3）将货币看成社会计算工具或“选票”。这是从货币在“看不见的手”或通常所说的“价值规律”之中发挥作用的角度所给出的界说。从劳动价值观的视角来看，生产劳动是否是社会分工的有机构成部分，从而是否为社会所需要，必须通过商品与货币的交换来检验：假使商品生产者的产品不能卖掉它，即不能用它获得货币，证明这样的生产劳动不为社会所需要；反之，产品能够卖掉，即能够换成货币，则证明这样的生产劳动的确是社会所需要。正是这些货币信息，使得不依人们意志为转移的客观规律指挥着生产要素的重新配置。列宁特别重视这一点，并把货币表述为“社会计算”的表现形式。撇开是否遵循劳动价值论的区别，在西方经济学中，从货币信息指挥生产要素配置的视角，把货币界定为“选票”。一个社会生产什么东西，要取决于货币选票：形形色色的消费者对每一件商品是购买还是不购买，这是投不投选票；是愿意出较高的价格还是只愿意出较低的价格，这是投多少选票。（4）从控制货币的要求出发定义货币。通常是从能否充当流通手段和支付手段职能的角度出发来具体确定界限。但是在这个大框子里，有的可以立即作为购买手段和支付手段，如现钞、支票存款，有的却不那么方便。由于存在着区别，所以对能起购买手段和支付手段作用的货币也要划分为若干组。国际通用的是M1，M2，M3，,,,,系列。国际货币基金组织把各国大多采用的M1直接称之为货币，它主要包含通货、不兑现的银行券和辅币和可签发支票的活期存款；把M1之外可构成M2的称之为准货币，如定期存款等。（5）从人与人的关系这个角度来考察货币。货币是根植于商品经济关系，体现并服务于商品经济关系，但却不具有任何可能更改商品经济关系潜力的经济范畴。6．建立货币制度的主要目的是什么?当今世界上的货币制度是由哪些要素构成的? 答：（1）建立货币制度的目的是保证货币和货币流通的稳定，使之能够正常的发挥各种职能，为发展商品经济提供有利的客观条件。在现代社会，建立有效的货币制度日益成为建立宏观调控系统的重要内容，以便有效地利用货币来实现经济发展的目标。（2）当今世界货币制度主要包括以下六大要素：规定货币材料、规定货币单位、规定流通中的货币种类、规定货币法定支付偿还能力、规定货币铸造发行的流通程序、货币发行准备制度的规定。 第二章 信用 2．经济学意义上的“信用”，与日常生活和道德规范里的“信用”，有没有关系，是怎样的关系?答：道德范畴中的“信用”指的是诚信，是经济主体通过诚实履行自己承诺而取得他人的信任。从经济意义上看，信用的含义就转化和延伸为以借贷为特征的经济行为，是以还本付息为条件的，体现着特定的经济关系。它既区别于一般商品货币交换的价值运动形式，又区别于财政分配等其他特殊的价值运动形式，是不发生所有权变化的价值单方面的暂时让渡或转移。这两个范畴的信用密切相关。诚信是交易、支付和借贷活动得以顺利进行的基础。借贷活动是以收回为条件的付出，或以归还为义务的取得；而且贷者之所以贷出，是因为有权取得利息，借者之所以可能借入，是因为承担了支付利息的义务。如果没有当事人之间的最基本的信任，就不会发生借贷活动。诚信是借贷活动的基础。如果失信成为信用行为中的主导方面，借贷活动就会萎缩甚至中断。而借贷活动的发展，使得经济活动参与者日益意识到诚信的重要性，进而使诚信成为经济生活的重要准则之一。3．为什么说在现代经济生活中，信用联系几乎无所不在，以至可以称为“信用经济”?能否谈谈你本人的体验?答：（1）将现代经济说成信用经济是对现代经济的一种描述。信用经济是从金融的角度提出来的，体现在现代经济的特点上：①信用关系无处不在。现代经济关系的方方面面、时时处处都打着债权债务的信用关系的烙印，商品货币关系覆盖整个社会。信用货币代表着央行对货币持有者的负债，而持有货币就是拥有债权，货币从金属货币发展为信用货币也就意味着信用关系覆盖着整个社会。不仅在发达工业化国家，就是在发展中国家，债权债务关系的存在，都是极其普遍的现象。对于企业经营单位来说，借债与放债，也都是不可缺少的。在国内的经济联系中是这样，在国际经济联系中更是这样。政府几乎没有不发行债券的，而各国政府对外国政府，往往是既借债又放债；银行通过办理个人储蓄，吸收企业、政府存款，发放贷款来促进国民经济发展；个人依靠分期付款购买耐用消费品及房屋。在经济不发达的过去，负债是不光彩的事情，现在则相反，若能获取信贷，正说明有较高信誉。②信用规模日趋扩张，并加速扩张，这是信用经济发展的必然结果。经济主体拥有债权债务的规模在年复一年的加速扩张，这是经济发展的结果，是人类财富积累的结果。债台高筑是信用经济不断发展的必然结果，这已不是贬义词。③信用结构日趋复杂化。随着信用经济的发展，为了规避风险，大量信用工具和衍生工具应运而生，使得信用关系和信用结构复杂化。你中有我，我中有你，信用网络越来越复杂。信用活动同时就是交易活动，任何一个买卖都是信用关系的重新变动，这种变化每时每刻都在进行。④国家对经济的调控离不开信用。现代经济的一个重要特征就是国家对经济的全面调控，而在调控过程中信用是必不可少的。国家一般利用财政政策与货币政策进行调控。财政政策尤其是积极财政政策必须有国债筹资作为基础，而货币政策的各种工具无不利用银行系统和资本市场的信用作为传导。⑤作为信用媒介的金融机构的飞速发展。个人、企业、政府和有经济联系的国外各单位，它们相互之间的债权债务有些是直接发生的，但绝大部分都是通过各种金融机构媒介而形成的。作为媒介要聚集资金，从而形成它们的债务；作为媒介要把聚集的资金通过诸如贷款等方式分配出去，从而形成它们的债权。信用媒介的发展，是现代社会合理分工的表现，它的出现使信用成为联结整个经济的网络。因此，现代经济不是简单的商品经济，而是信用经济。信用经济使经济加速，使经济的影响面很宽，信用对经济的渗透力很强。（2）这方面的例子很多，读者可以根据自身情况论述，譬如，大学里的助学贷款、各商业银行为在校大学生们办理的可以透支的信用卡。5．比较商业信用与银行信用的特点，两者之间有怎样的联系?答：（1）商业信用是指企业之间提供的与商品交易相联系的一种信用形式，典型形式有赊销、赊购、分期付款等。它包含了销售与借贷两方面，作为信用制度的基础，调节资金余缺，对经济有润滑和促进作用。但其在方向上是严格单向的，规模上也受到局限。商业信用主要有以下特点：①是企业之间提供的信用，债权人与债务人都是企业。②商业信用的发生必包含两种经济行为：买卖行为和借贷行为，或者说是两种行为的统一。③商业信用在生产资本循环和周转过程中为产业资本循环和周转服务，与产业资本循环密切相联，其增减变化也受产业资本循环的影响和制约。银行信用是银行以货币形态提供给企业的信用。它是适应商品经济发展的需要，在商业信用广泛发展的基础上产生的一种信用形式。与商业信用比较，银行信用具有如下特点：①银行信用的债权人是银行或其他金融机构，债务人则是企业。银行成为专门经营信用的企业和信用中介。②银行信用在规模、方向和时间上都大大超过了商业信用。由于银行一开始就是以借贷行为这一单纯的债权债务关系出现，并不受商品流转方向制约，而且有金融机构作为中介，因此，银行信用彻底克服了商业信用的局限性。在银行信用中，货币资金可以自由地调剂，并不受商品流转方向的限制，也不受商品流通规模的限制。银行信用既可聚小额的、闲置的货币为巨额的资本力量，以满足社会再生产对大额资本的需求，也可使大额的货币资金分散满足较小数额的货币需求；既可把短期资金集中起来利用其稳定的余额满足社会对长期资本的需求，也可以将长期的货币资本分散满足效益可观的、短期的货币需求；如此等等。因此，银行信用较之商业信用有绝对优越的灵活调剂功能，这也是银行信用成为现代经济生活中主要的信用形式的原因所在。③银行信用可以满足生产发展所引起的对于流通中追加货币的需求，可使信用相对于社会再生产而发生“膨胀”。银行办理商业票据贴现靠的是它们所聚集的货币资金，当这些货币资金不能满足贴现业务的需求时，银行发现可以签发自己的票据来代替企业家的票据，银行的票据即银行券。随着银行业务的发展，银行券日益不限于用来代替商业票据流通，而是被更广泛地用于信用业务之中独立地发挥作用，并最终和货币融为一体。（2）商业信用与银行信用的关系现代信用制度中，在世界各国，不论其社会制度如何，银行信用均居于主导地位，但却并不否认商业信用的基础地位。两者之间有其固有联系。①从信用发展的历史来看，商业信用先于银行信用产生，银行信用是在商业信用广泛发展的基础上产生和发展起来，并且与银行的产生与发展相联系。没有商品经济就不会有商业信用，而没有商业信用的充分发展就不会有银行信用。②商业信用直接和商品的生产和流通相联系，在有着密切联系的经济单位之间，它的发生有其必然性，甚至不必求助于银行信用。因此，即使在银行信用发达的情况下，也不可能完全取代商业信用。③在市场经济条件下，商业信用的发展日益依赖于银行信用，并在银行信用的促进下得到进一步完善，二者在总体上互相依存、互相促进。商业信用不断呈现票据化趋势，而票据则成了部分银行信用的工具，如票据贴现、票据抵押贷款等等。同时随着银行信用的发展，大银行不断集中借贷资本，为垄断组织服务，进一步促进了产业资本与银行资本的结合，从而促使银行信用和商业信用也进一步融合渗透。总之，两种信用各具特点，相互补充，相辅相成，不可或缺。应充分利用两种信用，相互配合，以促进经济发展。8．1997年以来我国开始大力发展消费信用，其意义何在?了解一下我国商业银行目前推出的有关消费信用的贷款有哪些类型?大学生助学贷款算不算一种消费信用?答：（1）消费信用是指对消费者个人提供的，用以满足其消费方面所需货币的信用，是现代经济生活的一种信用形式。它是与商品，特别是住房和耐用消费品的销售紧密联系在一起的。在我国消费信用开始较晚，目前尚处于起步阶段，但在现阶段加快发展消费信贷也表现出其特别的积极意义：①扩大有效需求，促进经济增长。1997年到2000年间，我国有效需求不足，经济增长遇到了一定困难，表现在物价指数上是相当一段时期的持平甚至负增长，加之整个国际经济形势不佳，出口难以有太大作为，因此必须扩大内需。而当时在短期内收入无法有大的增长，消费信贷便成了重要手段之一。近几年，虽然我国的经济增长较快，但是国际收支极度不平衡，扩大国内有效需求也是当务之急。②启动新的消费热点，改善人民生活。目前我国大部分消费者对耐用消费品的需求已经基本满足，但又难以进入下一个阶段对汽车住房等奢侈品的消费。因此必须借助消费信贷，形成消费能力，加快启动消费热点，提前进入下一个消费阶段，提高生活水平。③配合各项改革顺利进行。当前我国陆续出台许多改革措施，对个人生活形成冲击。例如住房改革取消了实物分房；教育产业化要求每个享受高等教育的人都必须交纳学费等等。商业银行适时推出的住房贷款和教育贷款起到了很好效果。如果没有消费信贷作为各项改革的润滑剂，改革就很难平稳进行。④促进商业银行资产多元化。目前我国商业银行也面临着“脱媒”现象的威胁，对企业贷款业务逐渐萎缩，尤其是我国商业银行坏账增多，银行不得不惜贷。消费信贷成为了商业银行又一个利润增长点，有利于资产多元化，分散风险。（2）目前，我国商业银行推出的有关消费信用的贷款有以下几种：①个人住房贷款：个人住房贷款、个人再交易住房贷款（二手房）、个人住房公积金贷款、个人住房组合贷款、个人住房转让贷款、个人商业用房贷款。②个人消费类贷款：国家助学贷款、个人消费额度贷款、个人住房装修贷款、一般商业性助学贷款、下岗失业人员小额担保贷款、个人耐用消费品贷款、个人权利质押贷款。 ③个人助学贷款。（3）助学贷款是我国的新型教育辅助政策，主要是解决我国贫困学生教育问题的，适用的对象是在校的全日制本专科学生。这些学生可以向银行申请助学贷款，此贷款是一种信用贷款，无需担保，申请的条件是学生的学生证、身份证、贫困证明。我国的助学贷款也属于消费信贷的一种，是关于教育消费的信贷，是学生借助自身的信用资源和预期的未来收入，利用自己的信用资源完成学业的一种提前消费行为。在中国农业银行等网站，国家助学贷款业务归入个人消费信贷业务。第三章 金融3．金融范畴的形成经历了怎样的发展过程?现代金融涵盖了哪些领域?答：（1）金融范畴的形成源于货币和信用的发展。在现代资本主义市场经济之前，货币范畴的发展同信用范畴的发展保持着相互独立的状态。流通中的货币形态其大轮廓是：最初的实物形态；尔后的金属铸币形态；再后的信用货币形态。信用的产生是与财富非所有权转移的调剂需要相联系的。在前资本主义社会，信用一直是以实物借贷和货币借贷两种形式并存。随着商品货币关系的发展，作为财富凝结的货币在借贷中日益占据了重要地位。信用的发展，对于货币的流通确实起过强大的作用，但总的看来，货币与信用仍然保持着相互独立的状态。随着资本主义经济的发展，在西欧产生了现代银行。银行家签发允诺随时兑付金银铸币的银行券。银行券流通的规模迅速扩大，越来越多地代替铸币执行流通手段和支付手段职能。同时，在银行存款业务的基础上，形成了既不用铸币也不用银行券的转账结算体系和在这个体系中流通的存款货币。一战后，在发达的资本主义国家中，贵金属铸币全部退出流通。到20世纪30年代，则先后实施了彻底不兑现的银行券流通制度。这时，货币的流通与信用的活动，则变成了同一的过程。任何信用活动也同时都是货币的运动：信用扩张意味着货币供给的增加，信用紧缩意味着货币供给的减少，信用资金的调剂则时时影响着货币流通速度和货币供给在部门之间、地区之间和微观经济行为主体之间的分布。当货币的运动和信用的活动虽有多方面联系却终归保持着各自独立发展的过程时，这是两个范畴；而当两者密不可分地结合到一起，则产生了一个由这两个范畴长期相互渗透所形成的新范畴，这个新范畴就是金融。（2）伴随着货币与信用相互渗透并逐步形成一个新的金融范畴的过程，金融范畴也同时向投资和保险等领域覆盖。投资（investment），其古典形式，是个人出资或合伙集资经营农工商业，将本求利。而伴随着金融范畴的形成过程，投资也发生了质的飞跃——形成了以股票交易为特征的资本市场。保险（insurance），包括财产保险（property insurance）和人身保险（1ife and health insurance），其存在的根据是危险、是风险、是生命周期均独立于货币、信用之外。但早期