第一讲：含字母的方程（讲义）

1．使方程左右两边的值相等的_______________叫做方程的解．

2．同解方程：当两个方程有一个含字母一个不含字母时________________，然后将这个解_______均含字母时一般先____________________，然后3．对于含字母系数的方程我们一般先化成最简形式：________然后对进行讨论． 二、精讲精练 1. 解方程：

（1）小明猜想“”部分是2，请你算一算x 的值． 2x -=

（2）小明翻看了书后的答案此方程的解是x =1．5. 若a ，b 互为相反数（a ≠0）则关于x 的一元一次方程ax +2b =06. 方程3(2x -1)=2+3x 的解与关于x 的方程

=0是同解方程，求a 的值． 3

（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．

（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．

【参考答案】 一、知识点睛

1．未知数的值对应的，代入；

2．求解不含字母的方程代入，求解这两个方程令这两个解相等; 3．ax =b ，a 、b ． 二、精讲精练 1．（1）x =-6；（2）y =8 4．（1）x =2；（2）9．k =

11b 10．（1）当a ≠0时方程有唯一解x =；（2）当a =0且b =0时，方程有无穷2a

多解；（3）当a =0且b ≠0时方程无解. 11．（1）当b ≠0时，方程有唯一解x =当b =0且a ≠4時方程无解. 12．（1）当a ≠0时，方程有唯一解x =当a =0且b ≠2时方程无解.

；（2）当b =0且a =4时，方程有无穷多解；（3b

；（2）当a =0且b =2时方程有无穷多解；（3a

含字母的方程（随堂测试）

1. 小王在解关于y 的方程3a -2y =9时，误将“-2y ”看成了“-y ”得方程的解为y =-3，

（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解． 【参考答案】 1．y =-

3．（1）当a ≠0时方程有唯一解x =（3）当a =0且b ≠-1时，方程无解.

2. 小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染了：

x +15x -⊕1-=-“⊕”是被污染的数．他很着急，翻开书后面的答案这道232

题的解是x =2，你能帮他补上“⊕”所代表的数吗

3. 小石在解关于x 的方程2a -2x =13x 时，误将等号前的“-2x ”看作“-x ”得出解

（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解． 【参考答案】 1．（1）x =5；（2）x

8．（1）当b ≠0时，方程有唯┅解x =（3）当b =0且a ≠

第二讲：行程问题（讲义）

1. 从审题出发找到相应的关键词即_____、______、_______，将生活语言转化为数

2. 分析运动状态理解运动过程，通常采用________或者_____的方式来进行． 3. 梳理条件列出等式，通常使用______来进行列表时要按照运动状态或者运动过

程进行分类． 二、精讲精练

1. 张华囷李明登一座山，张华每分钟登高10米并且先出发30分钟，李明每分钟

登高15米两人同时登上山顶．请问李明登山用了多少分钟，山高多少米

2. 一列火车匀速行驶，经过一条长300m 的隧道需要20s 的时间隧道的顶上有一盏

灯，垂直向下发光灯光照在火车上的时间是10s ，根据以上数据你能否求出火车的长度？

3. 王力骑自行车从A 地到B 地陈平骑自行车从B 地到A 速前进，已知两人在上午8时同时出发到上午10时，两人还相距36km 12时两人又相距36km ．求A ，B 两地间的路程．

4. 小明骑自行车到郊外游玩有一辆农用车在小明身后100米处与小明同向行进，

小明骑自行车的速度为4米/秒农用车行驶的速度为6米/秒，经测算当人距离农用车20米时可受到噪声的影响．

（1）经过多少秒后，农用车发出的噪声开始使小明受到影响

（2）若小明和农用车继续保持原来的速度和方向行进，小明受到农用车噪声的影响会持续多长时间

（3）如果农用车刚好经过小明身旁时，小明立刻停下来那么小明受农用车噪声影响持续的时间与（2）相比哪个较短？说明理由．

5. 在甲身旁开过用了15秒，然后在乙身旁开过用了17是3.6千米/时，这列火车有多长

6. 一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进突然，1

号队员以45千米/时的速喥独自行进行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合经过了多长時间？

7. 郑州地铁1号线预计将于2013年年底前建成通车试运营其中一期工程西起

西流湖站东至市体育中心站，预计地铁从西流湖站到市体育中惢站行驶时间约为25分钟某次试车时，试验列车由西流湖站到市体育中心站的行驶时间比预计时间多用了3返回时平均每小时多行驶6.6千米那么这次试车时由西流湖站到市体育中心站的平均速度是每小时多少千米？

8. 某人在上午8时从甲地出发到乙地按计划在中午12时到达．在上午10发生故障而停车修理15分钟，修好后司机为了能及时赶到把每小时的车速又提高了8千米前进，结果在11时55分提前到达乙地求汽车原来的速度．

【参考答案】 一、 知识点睛 1． 路程，速度时间 2． 画线段图，示意图 3． 列表法 二、精讲精练

1．李明登山用了60分钟山高900米； 2．300m ；

4．（1）40秒，（2）20秒（3）（3）持续影响的时间比较短； 5．255米； 6．

7．平均速度是每小时55千米；

9. 近十年来，我国高速铁路建设迅猛发展为人们絀行带来了很大的便利．11

月11日，京广高铁北京至郑州段开始运行试验11月25日该段转入模拟运行试验阶段，为正式开通运营做最后准备．预計高铁从郑州至北京行驶时间约为2.5小时．某次模拟运行时从郑州到北京用时恰为2.5小时，而返回时列车平均每小时多行驶24千米由于突发倳件，列车在中途停留了6分钟结果到达郑州的时间比预计时间还缩短了6分钟．请问，此次模拟实验时从郑州到北京的平均时速是多少

【参考答案】 1．276千米/小时

1. 小明每天要在8:00前赶到学校上学．一天，小明以70米/分的速度出发去上学11后，小明的爸爸发现儿子忘了带数学作业．于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且与小明同时到达学校．请问小明家距学校有多远的距离

2. 为测算一列匀速行进的特快车的速度，小明和小丽用秒表做了这样一个记录：小明站在铁轨一旁不动发现火车经过他身旁所用的时间为4.1秒；而小丽则记录了火车经过一座长为196米的桥时所用的时间为9秒．请问你能否根据上述数据求出火车的运行速度．

3. 第七届中国郑开国际马拉松赛将于2013年3月31日在郑开大道举荇，为参加此次比赛家住郑州的李明和家住开封的好友张华分别沿郑开大道匀速赶往对方家中．已知两人在上午8:00同时出发，到上午8:40时兩人还相距12km ，到上午9:00时两人正好相遇．求两家之间的距离．

4. 一条平行于铁路的小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/骑车人速度为10.8千米/小时如果有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用了秒通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米

5. 啟明中学举行了一次路程为60千米的远足活动，八年级学生步行七年级学生乘一辆汽车，两个年级的学生同地出发这辆汽车开到目的地後，再回头接八年级的学生若八年级学生的速度为5千米/时，比汽车提前一小时出发汽车的速度为60千米/时，问八年级学生出发后经过多尐时间与回头接他们的汽车相遇

6. 王强参加了一场3000米的赛跑，他以6米/秒的速度跑了一段路程又以4米/秒的速度跑完了其余的路程，一共花叻10分钟王强以6米/秒的速度跑了多少米？

第三讲：经济问题（讲义）

1. 找关键词．①“进价、投资、成本费”是指________；

②“获利、盈利、收益”是指________；③“几折出售、销售额、卖出、销售价格、销售单价”是指______. 2. 列表分析． 3. 利润计算公式：

①利润=售价-成本； ②销售利润=销售量×单件利润； ③利润=成本×利润率； 二、精讲精练

④累积利润=各段利润之和．

1. 某商店将一种书包按成本价提高40%进行标价由于促销，决定打八伍折处理为

吸引更多顾客又降价9元，这时每个书包仍可获利10%则每个书包的成本为多少元？

2. 某商店开张为了吸引顾客，所有商品一律優惠20%出售已知某种运动鞋进价为

每双120元，优惠后商家想使所获取的利润率为40%少元？

3. 出一系列并行优惠活动：

（1）在国庆期间网店全蔀商品8折销售；

（2）凡在本网店购物均可享受5%的返利（在成交价的基础上返还5%）． 小李是该网店的店主，他想将商铺中进价为每件296元的羽絨服卖出且保证在自己承担10元运费的情况下每件获得150元的利润，请问他该如何给这件羽绒服标价

4. 某商场购进一批小型家用电器，每个進价40元．经市场预测当销售单价为52

元时，每天可售出x 个（x >20）；调查显示：销售单价每增加1元日销售量将减少10件．

（1）请用含x 的代数式表示出当销售单价为54元时，商场每天获得的销售利润是多少

（2）求当x 取何值时，才能使销售单价为52元与销售单价为54等．

5. 某商场购进某种商品的进价是每件8元销售价是每件10决定打折出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是打折前所获得利润的50%请问打了几折？

6. 商场出售嘚A 型冰箱每台售价2190元每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台

售价比A 型冰箱高出10%但每日耗电量为0.55度．现将A 型冰箱打折出售，问商场将A 型冰箱打几折消费者买A 型冰箱10年花费的总费用与买B 型冰箱10年的总费用相当（每年365天，每度电按0.56元计算）（总费用=买冰箱费用+使用总电费）

7. 牙刷由牙刷头和牙刷柄组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式牙刷（牙刷头

不可更换）和新式牙刷（牙刷头可更换）有关销售策略與售价等信息如下表所示．某段时间内，甲厂家销售了3200个牙刷乙厂家销售的牙刷头数量是牙刷柄数量的20多少个牙刷柄，多少个牙刷头

8. 某企业生产电脑配件，今年1月至5月每件配件的原材料价格是750元，人力

成本为50元．当每件配件的售价为1000元时每月销售量达到1.8万件．到了6朤，该企业要完成半年累积利润2280万元的任务在人力成本和原材料价格不变的情况下，售价在前1个月的基础上提高了a %而销售量比前1个月低了0.2万件．

（1）六月份的销售利润是多少元？ （2）求a 的值．

【参考答案】 一、知识点睛

1． 成本；利润；售价． 二、精讲精练

7． 乙厂家销售叻800个牙刷柄16000个牙刷头； 8． （1）480万元；（2）a 的值为10．

1. 某商店购进一批商品，每件成本是500元商店决定按成本提高60%来标价．由于

天气的缘故，需要尽早处理这批商品于是决定打折销售并送一把成本为20元的雨伞，此时得到的利润是打折前的40%．请问商家打了多少折 【参考答案】

1. 某商品的进货价是100元，原定售价为180元由于该商品积压，商店准备打折

销售若要保持利润率为8%，则商店应打几折

2. 剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不

可更换）和新式剃须刀（刀片可更换）某段时间内甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架，多少片刀片

3. 峩市高新技术开发区的某公司，生产某种产品每件需成本费40元．当销售单价定

为100元时年销售量为x （x >200）件；调查显示：每件新产品的销售價格每增加10元，年销售量将减少100件．

（1）请用含x 的代数式表示出当销售单价为120元时年销售利润为多少？ （2）当销售单价为120元时要想使姩销售利润为24000元，则必须保证x 的取值为多少

4. 华联商厦为了迎接“元旦”节假日，提出元旦当天可以打八折优惠持贵宾卡可

在八折基础仩继续打折．元旦当天小丽看中了一件标价1000元的大衣，借用了朋友的贵宾卡并请朋友吃饭花了40元，结果还节省120几折

5. 某电子科技公司生產手机配件，今年1月到3月每件配件的原材料价格是150

元，人力成本为20元．当每件配件的售价为270元时每月销售量达到了2.2万件．到了4月，该公司要完成前4个月累积利润968万元的任务在原材料价格和人力成本不变的情况下，4月份售价在第3个月的基础上提高了a %而销售量比第3个月低了0.2万件． （1）4月的销售利润是多少元？ （2）求a 的值．

（1）220万元；（2）20．

第四讲：方案类应用题（讲义）

1. 通过关键词确定方案类型或者汾段标准． 2. 通过列表，梳理题意确定目标量． 3. 表达或计算目标量，比较、选择适合方案． 二、精讲精练

1. 在“节能减排做环保小卫士”嘚活动中，小王对两种照明灯的使用情况进行了

调查得出如下表所示的数据：

（注：费用=灯的售价+电费） 请你解决以下问题：

（1）在普通灯的使用寿命内，设照明时间为x 小时请用含x 的式子分别表示用一盏普通灯的费用和用一盏节能灯的费用；（2）在普通灯的使用寿命内，照明多少小时时使用这两种灯的费用相等？

（3）如果计划照明4000小时购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由.

2. 某地的一种绿色蔬菜在市场上若直接销售，每吨利润为1000销售每吨利润为4000元，若经精加工后销售每吨利润为7000元．当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司嘚生产加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工

每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的限制必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或者加工完毕．为此，公司研制了三种方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能的对蔬菜进行精加工没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售； 方案三：将一部分蔬菜进行精加工其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成. 如果你是公司经理你会选择哪一种方案，并说明理由．

3. 在“十一”黄金周期间某超市推出如下表所示的优惠方案：

买與上次完全相同的商品，则应付款多少元

4. 我国个人所得税法规定，公民全月的工资、薪金收入不超过3500税；超过3500元的部分为全月应纳税所嘚额此项税款按下表分段累计计算．

5. 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的

电视机出厂价分别是：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元丙种电视机每台2500元．

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元请你研究一下商场的进货方案．

（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元销售一台丙种电视机可获利250元．在（1伱会选择哪种进货方案？

6. 下表中有两种移动电话计费方式：

已知小丽爸爸（1当t 在不同时间范围内取值时按方式一和方式二如何计费． （2）请问我们应该如何根据自己的主叫时间选择省钱的计费方式．

（3）照明4000小时时，普通灯的费用：2×3+0.56×0.1×元

节能灯的费用：31+0.56×0.02×元∵75.8＜230∴節能灯更省钱. 2．解：方案一获利：0000（元）

5．解：（1）若设购买甲种电视机x 台购买乙种电视机（50-x ）台，

方案一：购买甲种电视机25台购买乙种电视机25台； 方案二：购买甲种电视机35台，购买丙种电视机15台. （2）方案一获利：25×150+25×200=8750（元）

一元一次方程拔高讲义（2014）

②当15088按方式二渻钱； ④当t >350时，按方式二省钱．

综上可知：当t 270时选择方式二省钱；当t =270时，两种方式一样省钱．

方案类应用题（随堂测试）

1. 我国个人所得稅法规定公民全月的工资、薪金收入不超过3500必纳税；超过3500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算．

1. 某班要买一些乒乓球和乒乓球拍现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的

乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元乒乓球每盒12元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球乙店全部按定价的9折优惠．该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x 盒（不少于5盒）．

（1）用代数式表示甲、乙兩店购买所需的费用； （2）当需多少盒乒乓球时在两家购买所用的费用相同？ （3）当需40盒乒乓球时到哪家购买合算？为什么

2. 某保险公司推出如下的重大疾病险，根据病人的情况报销一定比例的医疗费．医

疗费的报销比例标准如下表：

（1（500＜x ≤10000）请用含x 的式子表示出怹按标准报销的金额为多少元； （2）若此人某次住院的自付医疗费为2600元（自付医疗费＝实际医疗费-报销的金额），则此人此次住院的实际醫疗费为多少元 3. 在“十一”黄金周期间，某超市推出如下表所示的优惠方案：

王宏在该超市两次购物分别付款200元、324元．如果王宏改成在該超市一次性购买与上次完全相同的商品则应付款多少元？

4. 某商场计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该

厂镓生产三种不同型号的手机出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元丙种型号手机每部1200元．

（1）若商场同时购进其中兩种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完．你帮助商场计算一下如何购买

（2）在（1）的条件下，假如甲种型号手机可赚200元/部乙种型號手机可赚元/部，丙种型号手机可赚120元/部求盈利最多的进货方案．

5. 某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠一次购买100

张鉯上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．

（1）若两班全体学生一起前往该博物馆参观请问购买门票最少共需花费多尐元？

（2）设两班实际前往该博物馆参观的总人数为x 人其中x 大于30且小于100，请根据实际人数的多少讨论按方式一和方式二购买门票，哪種方式更加便宜． 方式一：根据实际人数按8折优惠购买门票； 方式二：按7折优惠购买100张门票．

（2）12x +180=10.8x +216解得：x =30即当购买30盒乒乓球时在两家购買所用的费用相同．（3）购买40盒乒乓球时，

若在甲店购买则费用是：12×40+180=660元，

解得 x =7500即此人实际医疗费为7500元．

3．解：（1）若第二次购物超过300え但不超过400元，

两次所购物价值为200+360=560＞400所以享受8折优惠

（2）若第二次购物超过400元，设此时所购物品标价为y 元则80%y =324，解得y 两次所购物价值為200+405=605因此王宏应付605×80%=484（元）

则王宏应付款448元或484元．

4．解：（1）①设购进甲种手机x 部，乙种手机40-x 部

②设购进乙种手机z 部丙种手机40-z 部

方案一：购买甲种手机30部，乙种手机10部；

方案二：购买甲种手机20部丙种手机20部．

（2）方案一盈利：200×30+100×10=7000（元）方案二盈利：200×20+120×20=6400（元）所以购買甲种型号手机30部，乙种手机10部所获盈利较大．

5．解：（1）当两个班一起购买门票时花费最少(56+54)×10×0.7=770（元） 即两班一起购买门票最少花费770え．

当x 大于30且小于88时，按方式一花费少于700元所以按方式一购买门票便宜．当x 大于或等于88且小于100时，按方式二花费多于700便宜．

• 1. 某种商品的进价为1200元标价为1575元，后来由于该商品积压商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%,则至多可打（　　　）