$\begin{array}{cc}\underset{}{}\underset{}{}\underset{}{\overset{}{0}}\underset{}{}{\frac{}{}}^{}& \end{array}$

我们给出离散傅里叶逆变换怎么求

$\begin{array}{cc}\underset{}{{}^{}}\frac{}{}\underset{}{\overset{}{0}}\underset{}{}{\frac{}{}}^{}& \end{array}$

对于这个式子我们最想问的问题是为什么它比连续傅里叶变换多了一个系数 $\frac{}{}$

$\underset{}{}\underset{}{\overset{}{0}}\underset{}{}{\underset{}{}}^{}$

$\begin{array}{cc}\underset{}{}\underset{}{\overset{}{0}}\underset{}{}{\underset{}{}}^{}& \end{array}$

$\begin{array}{cc}\underset{}{{}^{}}\frac{}{}\underset{}{\overset{}{0}}\underset{}{}{\underset{}{}}^{}& \end{array}$

$$ω可以看作是向量，也可以看作是离散複指数

那么类比于连续傅里叶变换（傅里叶级数）中对的讨论离散复指数又有怎样的特点呢？

$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{}^{}{}^{}& \underset{}{\overset{}{0}}{}^{}\stackrel{}{{}^{}}\\ & \underset{}{\overset{}{0}}{\frac{}{}}^{}{\frac{}{}}^{}\\ & \underset{}{\overset{}{0}}{\frac{}{}}^{}\\ & \underset{}{\overset{}{0}}{{\frac{}{}}^{}}^{}\end{array}& \end{array}$

k??=l时即求离散复指数的内积。我们发現 $$(6)式是一个等比数列的求和因此利用等比数列求和公式，有

${}^{}{}^{}0$

1. 当$ k = l $时即求离散复指数的模长。我们发现 $$(6) 式的每一项都为 $$

${}^{}{}^{}\underset{}{\overset{}{0}}$

证明到这里我们僦可以看出离散复指数和连续（或级数）复指数的一个很大的不同，在中我们说过，傅里叶变换相当于从一个标准正交坐标系映射到另┅个标准正交坐标系的过程是$$orthonormal的；而DFT则不同，它的变换取决于取的采样点的数量它是正交的但不是归一化的，是$$