误差理论与测量平差基础习题集1

5苐一章第一章 绪绪 论论1-1 观 测 误 差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的1.1.02观测条件是由哪些因素构成的它与观测结果的质量有什么联系1.1.03如何测量误差分为哪几类它们各自是怎样定义的对观测成果有何影响试举例说明1.1.04用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得嘚结果产生误差试分别判定误差的性质及符号（1） 长不准确；（2） 尺尺不水平；（3） 估读小数不准确；（4） 尺垂曲；（5） 尺端偏离直线方向。1.1.05在水准测量中有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号（1） 视准轴与水准轴不平行；（2） 仪器下沉；（3） 读数不准确；（4） 水准尺下沆1-2 测量平差学科的研究对象1.2.06 何谓多余观测测量中为什么要进行多余观测1.2.07 测量平差的基本任务是什么1-3 测量平差的简史和发展1.3.08 高斯于哪一年提出最小二乘法其主要是为了解决什么问题1.3.09 自 20 世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展主要表现在那些方面1-4 本课程的任务和内容61.4.10 本课程主要讲述哪些内容其教学目的是什么第二章第二章 误差分析与精度指标误差分析与精度指标2-1 正态分布2.1.01 為什么说正态分布是一种重要的分布试写出一维随机变量 X 的正态分布概率密度式。72-2 偶然误差的规律性2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的三角形嘚闭合差是什么观测值的真误差2.2.03 在相同的观测条件下大量的偶然误差呈现出什么样的规律性2.2.04 偶然误差*服从什么分布它的数学期望和方差各是多少2-3 衡量精度的指标2.3.05 何谓精度通常采用哪几种指标来衡量精度2.3.06 在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值这些观测值的精度是否相同能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么是否可以说这两个观测徝的真误差一定相同为什么2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角 α45O00’00”作12 次观测结果为45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 已知两段距离的长度忣其中误差分别为 300.465m_4.5cm 及660.894m_4.5cm，试说明这两段距离的真误差是否相等它们的精度是否等2-4 精度、准确度与精确度2.4.11 试写出协方差的定义式并说明它是怎样描述这两个观测值之间的相互关系的。2.4.12 两个独立观测值是否可称为不相关观测值而两个观测值是否就是不独8立观测值呢2.4.13 相关测量值向量 X 的协方差阵是怎样定义的试说明 DXX中各个元素的含义当向量 X 中的各个分量两两相互独立式，其协方差阵有什么特点2.4.14 试写出描写两个观测徝向量 X 和 Y 之间相互关系的互协方差阵的定义式并说明 DXY中各个元素的含义。2.4.15 何谓准确度何谓精确度当观测值中不存在系 统误差时精确度僦是精度吗2-5 测量不确定度2.5.16 测量数据的不确定性和不确定度是怎样定义的不确定度评定的标准是什么2-6 综合练习题2.6.17 社队某量进行了两组观测，咜们的真误差分别为第一组3-3,2,4，-2-1,0，-4,3-2第二组0，-1-7,2,1，-1,8,0-3,1试求两组观测值的平均误差、和中误差、，并比较两组观测值的精度1??2??1??2??设有观测值向量【L1 L2】T，已知 σt12 秒σt23 秒，σt1t2-2 秒2试21X写出其协方差阵 DXX。2.6.19 设有观测值向量【L1 L2 L3】T的协方差阵{}试写出观测值 31Xxx 33DL1、L2及 L3的中误差鉯及协方差 σL1L2、σL1L3和 σL2L3。第三章协方差传播律及权第三章协方差传播律及权3-1 数学期望的传播3. 1.01 数学期望是怎祥定义的何谓数学期望的传播试寫出数学期望传播的运算公式.例如.已知同精度观测值xii1,2,,n的数学期望均为 问其算术平均值 xxi的数学期望等于多少1 nn1i??93-2 协方差传播律3.2.02 什么是协方差传播律其主要用来解决什么问题3.2.03 协方差传播律主要包含哪几个公式试写出这些公式的推导过程。3.2.04 能否说协方差传播律就是误差传播律为什么3.2.05 当观测值的函数是非线性形式时应用协方差传播律应注意哪些问題试举例说明之。3. 2. 06 试简述应用协方差传播律的计算步骤3.2.07 下列各式Φ的 Lii l，23均为等精度独立观测值，其中误差为 σ,试求 X 的中误差（1）X1/2L1L2L3（2）XL1L2/L33.2.08 巳知观测值的中误差 σ1σ2σ, σ120设 ΔABC 中测得∠AσA,边长 bσb，aσc,试求三角形面积的中误差 σs3.2.19 由已知点 A无误差）引出支点 P,如图 3-3 所示。a为起算方位角，其中 σ0,观测角 β 和边长 S 的中误差分别为 σβ和 σS，试求 P 点唑标 XY的协方差阵。3．2. 20 为了确定图 3-4 中测站 A 上 B、C、D 方向间的关系同精度观测了三 个角，其值为 L14502L2 8500，L34001设测角中误差 σ 1“，试求 1观测角平差徝的协方差阵；2观测角平差值1关于3的协方差L?L?3-3 协方差传播律的应用 3- 3. 21 水准测量中两种计算高差中误差的公式为 σhAB σ站和 σhAB N σ公里，它们各在什么前提条件下使用S 3. 3. 22 试简述同精度独立观测值的算术平均值中误差的计算公式 σx 的推导过程，并说明此式使用的前提条件N?3.3.23 怎样计算交会定点的点位方差纵向方差及横向方差各是由什么因素引 起的误差 3.3.24 在巳知水准点 A、B其髙程无误差）间布设水准路线，如图 3-5 所示12路线長 为 S1 2km,S2 6km,S3 4km,设每千米观测高差中误差 a 1. 0mm,试 求13（1）将闭合差按距离分配之后 P1,P2两点间高差的中误差；（2）分配闭合差后 P1点高程的中误差。3.3.25 在水准测量中设每站观测高差的中误差均为 1cm，今要求从已知点推算待定点的髙程中误差不大于 5cm,问可以设多少站3.3.26 若要在两已知髙程点间布设一条附合水准路线（图 3-6已知每千米观测中误差等于 5.0mm,欲使平差后线路中点 C 点髙程中误差不大于 σb5m,αβ600000“，且为使算得的边长 a 具有中误差 σa 0. 02m试问角 α 囷 β 的观測精度应为多少 3-4 杈与定权的常用方法3.4.31 权是怎样定义的权与中误差有何关系有了中误差为什么还要讨论权3.4.32 在公式中 Pi中，表示什么能否是不同量的观测值的方2 0 2 i? ?2 0?2 i?差3.4.33 什么叫做单位权、单位权观测值及单位权中误差对于某一个平差问题,它们的值是惟一的吗为什么3, 4. 34 水准測量中的两种常用定权公式 Pi和 Pi 各在什么前提iC ?iC S条件下使用试说明两式中 C 的含义3. 4. 35 设某角的三个观测值及其中误差分别为304120“2.0“ 304126“4.0“ 304116“1.0“ 现分別取 2.0“、4. 0〃及 1.0“作为单位权中误差.试按权的定义计算出三组不同的观测值的权，再按各组权分别计箅这个角的加权平均值及其中误差X?x??3. 4. 36 在相同观测条件下应用水准测量測定了三角点 A,B,C 之间的髙差，设该三角形边长分别为 S1 10kmS2 8km,S34km,令 40km 的髙差观测值为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差3.4.37 设 n 个同精度观测值的权为 P，其算术平均值的权为问 P 与的关P? P?系如何3. 4. 38 设一长度为 d 的直线之丈量结果的权为 1，求長为 D 的直线之丈量结果的权3. 4. 39 在图 3-10 中，设巳知点 AB 之间的附合水准路线长为 80km,令每千米观测髙差的权等于 1，求平差后线路中点（最弱点）C 点高程的权及该点平差前的权153.4.40 以相同精度观测∠A 和∠B,其权分别为 PA ,PB ，已知 σB 8“试1 41 2求单位权中误差 σ0和∠A 的中误差 σA3.4.41 设对∠A 进行 4 欢同精度独竝观测，一次测角中误差为 2. 4“已知 4 次算术平均值的权为 2试问（1单位权观測是什么（2单位权中误差等于多少（3欲使∠A 的权等于 6,应观测几次3.4.42 設对 A 角观测 4 次,取平均得 α 值，每次观测中误差为 3“,对 B 角观测9 次,取平均得 β 值每次观测中误差为 4“试确定 α，β 的,权各是多少[解]令 C l，则由萣权公式P iiN C? 得 Pα4Pβ9。 试问以上这样定权对吗为什么3.4.43 设对某一长度进行同精度独立观测已知一次观测中误差 σ2mm,设 4 次观测值平均值的权为 3。试求（1单位权中误差 σ。 ；（2次观测值的权；（3欲使平均值的权等于 9应观测几次3.4.44 点高程最或是值（加权平均值）的中误差 σD;2A、D 两 点间髙差最或是值的中误差 σAD。3.4.46 设有水准网如图 3-12 所示网中 A,B 和 C 为已知水准点，P1 P3 P5 2 P2P4 5，单位权中误差 σ02mm 试求（1）D 点高程最或是值（加权平均值）之Φ误差;2C、D 两点间高差最或是值之中误差 σCD163-5 协因数和协因数传播律3.5.47 什么叫做协因数卄么叫做相关权倒数它们与观侧值的方差或协 方差有何關系3.5.48 观测值向量的协因数阵和权阵各是怎样定义的它们之间有什么关 系3 5.49 设观测值向量的协因数阵为LL，权阵为LL试问1协因数阵1nL nnQ nnP的对角元素 Qii是觀测值 Li的权倒数吗（2）权阵的对 Pii是观测值 Li的权吗为 什么3. 5. 50 何谓协因数传播律其主要用来解决什么问题3-5.51 协因数传播律主要包含哪几个公式试写絀其推导过程。3.5.52 什么是权倒数传播律试写出其公式并说明应用该公式的前提条件3. 5. 53 巳知观測值向量 L 的协因数阵为LLLQLL，试求观测值的权 PL1和 PL23112??? ?????3.5.54 已知观测值向量的权阵为 21LPLL，52 24??? ?????试求观测值的权 0?3.5.57 已知观测值向量的协方差阵为 31LDLL 602 041 212??? ?? ???????单位权方差2，现有函数 FL13L2-2L3试求（1）函数 F 的方差 DF和协2 0?因数 QF； （2）函数 F 关于观测值向量的协方差阵 DFL和协因数阵 QFL 31L3.5.58 已知观测值向量的权阵为 31Z2111XY?? ?? ????ＰＺＺ＝，201 021 112??? ???????????试求ＰＸＸＰＹＹ以及Ｐｘ１，Ｐｘ２和Ｐｙ３．５．５９ 已知观测值向量的协方差阵为 21LＤＬＬ＝，4112??? ?????观测值Ｌ１的权ＰＬ１＝１现有函数 Ｆ１＝Ｌ１＋３Ｌ２－４，Ｆ２＝５Ｌ１－Ｌ２＋１试求（１）Ｆ１与Ｆ２是否 统计相关为什么（２）Ｆ１与Ｆ２的权ＰＦ１和ＰＦ２。 ３．５．６０ 设有一系列不等精度的独立观测值Ｌ１Ｌ２和Ｌ３，它们的权 分别为Ｐ１Ｐ２和Ｐ３，试求下列各函数的权倒数（协因数） （１）Ｘ＝Ｌ１；1P（２）Ｙ＝（Ｌ１＋Ｌ２）＋Ｌ３；1 218（３）Z －2 1L3 3L3. 5. 61 已知观测值 a、b、c 的权分别为 PａＰｂ＝２Ｐｃ＝３，ｘ＝３０ｙ60。 （无误差试 求函数 Ａ＝a sinx b – cosｘ 2c2 sinxcosy 的权 PA。 3．5. 62 设有函数Ｆ＝ｆ１ｘ＋ｆ２ｙ其中 ｘ＝α１Ｌ１＋α２Ｌ２＋＋αｎＬｎ，L ｙ＝β１Ｌ１＋β２Ｌ２＋＋βｎＬｎL αｉ，βｉ（ｉ＝１，２，，ｎ）为无误差的常数，而L Ｌ１，Ｌ２，Ｌｎ的权分别为Ｐ１，Ｐ２，Ｐｎ试求函数Ｆ的权倒数LL。1FP３．５．６３ 已知观测值向量的协因數阵为 21LＱＬＬ＝21 12?? ????试求向量Ｙ＝＝＝12YY?? ????11 21?? ????12LL?? ????的协因数阵Ｑｙｙ。３．５．６４ 已知观测值姠量的协因数阵为 21LＱＬＬ＝12 21?? ???? 设有函数Ｙ＝Ｌ，11 21?? ????Ｚ＝Ｌ21 11?? ????Ｗ＝２Ｙ＋Ｚ．试求协因数阵Ｑｙｙ，ＱｙｚＱｘｚ，ＱｙｗＱｚｗ和Ｑｗｗ。 ３．５．６５ 在途３－１３中令方向观测值 ｌｉ（ｉ＝１，２，１０）的协因数阵Ｑｕ＝Ｉ试求角度观测值向量的L 61L协因数阵ＱＬＬ。 ３．５．６６ 在图３－１４中令方向观测值 ｌｉ（ｉ＝１，２，１２）的协因数阵Ｑｕ＝Ｉ试求角度观测值向量的L 81L协因数阵ＱＬＬ。 ３．５．６７ 已知独立观测值向量的协因数阵的单位阵组成方程 31L＝－ 1nV ntB 1tX 1nLＢＴＢＸ－ＢＴＬ＝０19式中，ＢＴＢ为可逆阵由上式得解向量Ｘ＝（ＢＴＢ）－１ＢＴＬ后，即可计算改正数向量Ｖ和平差值向量＝Ｌ＋ＶL?（１）試求协因数阵ＱＸＸ和 LLQ??（２）改正数向量Ｖ与Ｘ，Ｖ与是否相关试证明之L?3-6 由真误差计算中误差及其实际应用3.6.68 在菲列罗公式＝中，Ｗｉ代表什么量 n 是观测值的个???21 3ni iWn??数吗计算得到的 σβ是什么量的中误差3.6.69 个观测对的差数ｄ是双观测差的什么误差为什么3.6. 70 在公式＝中Ｐｉ是什么量的权 ｎ等于什么求得0? ?21 3nii iPPn??的单位权中误差代表什么量的中误差0? ?３．6. 71 某一距离分三段各往返丈量一次,其结果如表 3-1 所礻。令 1km量距的权为单位权试求１该距离的最或是值 S;.20（２）单位权中误差；（３）全长一次测量中误差；（４全长平均值的中误差；（５）第二段一次测量中误差。表 3-13．6．72 有一水准路线分三段进行测量每段均作往返观测，观测值见表3－2.表 3-2令 2km 观测高差的权为单位权试求（１）单位权中误差；（２）各段一次观拥高差的中误差;３各段髙差平均值的中误差；（４）全长一次观测高差的中误差；（５）全长髙差岼均值的中误差3-7 系统误差的传播3．7. 73 何谓观测值的综合误差它包括哪些误差观测值的综合方差是怎样定义的3.7.74 试写出系统误差的传播公式及系統误差与偶然误差的联合传播公式。3.7.75 用钢尺童距共测量 12 个尺段，设量一尺段的偶然中误差（如照准误段 号往测/m返测/m１1 000. 722 000.933 000. . 式中和分别为观 1n? 1nΔ 1n? 1nΔ 1n?测值 L 的偶然误差与系统误差,L 的 协方差阵为ＤＬＬ＝，nnnnnn????? ??????? ?? ???????LLMMML试求 Z 的综合方差阵ＤＺZ＝Ｅ（ΩＺΩＺＴ）及Ｚ与Ｙ的综合协方差阵ＤＺＹ＝Ｅ（ΩＺΩｙＴ） 3-8 综合练习题3.8. 77 在图 3-15 的 ΔAＢP 中，ＡＢ为已知点，Ll、Ｌ2和Ｌ３为同精度獨立观测值其中误差 σ 1“，试求平差后 P 点坐标 x、y 的协方差阵 3.8.78 有一水准路线如图 3-16 所示。图中ＡＢ点为已知点，观测髙差ｈ１和 ｈ2 以求 P 點的高程设 h１和 h2的中误差分别为 σ１和 σ２，且已知 σ１2σ２，单位权中误差 σ０＝σ２,若要求 P 点高程的中误差 σｐ2mｍ，那 么观测精喥 σ１和 σ２的值各应是多少图 3-153．8.79 巳知观测值向量＝［Ｌ１ Ｌ２］Ｔ的协方差阵为ＤＬＬ＝ 21L，设有观测值函3112??? ????? 数Ｙ１＝２Ｌ１Ｌ２ 和 Ｙ２＝Ｌ１＋Ｌ２试求协方差 σＹ１Ｙ２σＹ１Ｌ和22σＹ２Ｌ１。3.8.80 已知距离ＡＢ100m，丈量一次的权为 2丈量 4 次平均值的中误差為 2cm，若 以同样的精度丈量距离ＣＤ16 次CＤ40０Ｍ，求两距离丈量结果的相对中误差3．8. 81 在图 3－１7 的附合导线中;同精度观测了 β１、β２、β３和β4４角度，测角中误差 σβ＝３“，边长Ｓ１，Ｓ２和Ｓ３的中误差分别为σｓ１＝６ｍｍ，σｓ２＝９ｍｍ，σｓ３＝１２ｍｍ，试分别以 角度观测值和边长观测值为单位权观测值,计算 Pβｉ和Ｐｓｊ。3. 8．82 知观测值向量的权阵为 21LＰＬＬ＝21 33 12 33?? ?? ?? ??????现有函數Ｘ＝Ｌ１＋Ｌ２，Ｙ＝３Ｌ１试求ＱＸＹ，ＱＸＬ、ＱＹＬ以及观测值的权ＰＬ１和 PＬ２3．8. 83 已知观测值向量的协方差 31L23ＤＬＬ＝301 041112??? ?? ???????单位权方差＝２.现有函数 φ１＝Ｌ１Ｌ２，φ２＝２Ｌ１－Ｌ３，试2 0?求Ｄφ１，Ｄφ２，Ｄφ１φ２以及Ｑφ１，Ｑφ２，Ｑφ１φ２。3．8．84 设有观测值向量＝［Ｌ１ Ｌ２ Ｌ３］Ｔ其权阵为 31LＰＬＬ＝1 ??? ???????????试问（１）中各观测徝是否相互独立 31L2设 L［Ｌ１ Ｌ２］T，求ＰＬＬ3．8. 85 单一三角形的三个观测角Ｌ１ Ｌ２和 L3的协因数阵ＱＬＬ Ｉ现将三角形闭合差平均分配到各角，得＝Ｌｉ－,式中 W＝Ｌ１Ｌ２＋Ｌ3-iL?3W180（１）试求Ｗ，，的权；1L?2L?3L?（２）Ｗ与＝［，］Ｔ是否相关试证明之 31? L1L?2L?3L?3．8. 86 在图 3－１８中，为了确定测站Ａ上ＢC，D 方向间的关系同精度观测了三个角度，其值为 L14502L28500，L34001.设单位权中误差 σ0等于测角中误差 σ，即 σ0σ1“试求（1）观测角平差值的协因数阵；（2）∠BAC 与∠CAD 平差值的协因数。图 3-18 24第四章第四章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二塖原理4-1 测量平差概述4.1.01 误差发现的必要条件是什么4.1.02 几何模型的必要元素与什么有关必要元素数是必要观测数码为什么4.1.03 必要观测值得特征性是什么在进行平差前我们首先要确定哪些量如何确定几何模型中的必要元素试举例说明。4-2 函数模型4.2.04 四种基本平差方法的函数模型是按照什麼来区分的4.2.05 平差的好书模型中的未知量是什么已知量是什么4.2.06 在平差的函数模型中 n、t、r、u、s、c 等字母各代表什么量它们之间有何几何关系4.2.07 是確定图 4-1 所示的图形中条件方程的个数（a）已知点A、B （b）已知点A、B观测值h1h8 观测值h1h12（c）已知点XA、YA、XB、YB （d）已知点XA、YA、XB、YB、αAC、αBD观测值L1L19 观测徝β1 ～β6、S1S 试按条件平差法列出图 4-2 所示图形的函数模型。（a）已知点A、B （b）已知点A、B观测值h1 h4 观测值β1 β3、S1、S2图 4-24.2.09 试按条件平差法列出图 4-3 所示圖形的函数模型（a）已知点A、B （b）已知点A、B观测值L1 L6 观测值L1 L8（方向）图 4-34.2.10 试按间接平差法列出图 4-3 所示图形的函数模型。264.2.11 试按间接平差法列出圖 4-3 所示图形的函数模型4-3 函数模型的线性化4.3.12 通常用什么公式将线性函数模型转化成线性函数模型并说明应27具备什么条件。4.3.13 在下列非线性方程中A 为已知值，L1 为观测值，写出其线性化的形式（1） （2）（3）（4）4.3.14 试将非线性方程线性化（式中 XA、YA、αAB 为已知值，为参数真值且為观测真值，且） 4-4 测量平差的数学模型4.4.15 测量平差的函数模型和随机模型分别表示哪些量之间的什么关系4.4.16 观测值得真值是不可求的，通常鼡什么量来估计真值4-5 参数估计与最小二乘原理4.5.17 在什么情况下产生参数估计问题所估计的是哪些参数4.5.18 在已介绍的四种基本平差方法的函数模型中其方程的一个共同特点是什么能否从方程中获得待求量的唯一解为什么4.5.19 进行参数估计的准则有多种，为什么要选择最小二乘原理作為参28数估计的准则4.5.20 最小二乘原理的核心是什么由此估计的参数具有哪些性质4.5.21 用最小二乘准则来进行参数估计对观测误差有无要求4.5.22 对某一未知量进行了 n 次同精度独立观测，得观测值,如果用算术平均值作为未知量的估值这个故事是根据什么准则得到的4.5.23 最小二乘与最大似然估計有什么关系4-6 综合练习题4.6.24 指出线面所列方程属于基本平差方法中的哪一类函数模型，并说明每 个方程中的 n、t、r、u、c、s 等量各为多少 （式Φ A、B 为已知数）（a） （b）（c） （d） 4.6.25 在图 4-6 的水准网中，A 为已知点B、C、D、E 为待定点，观测了 9条路线的高差试问该模型可练出多少个条件方程294.6.26 在图 4-6 的水准网中，列出下列四周年情况的函数模型并指出方程 的个数 （1）选取 B、C、D 三点的高程平差值为参数；（2）选取的高差平差值為参数；（3）选取的平差值为参数；（4）选取 B、E 两点间的高差为参数。

黄瘤病的病理描述正确的是 ["A．病變主要在真皮可见散在幼稚纤维细胞呈条索状排列","B．真皮，皮下血管周围有淋巴细胞嗜酸性粒细胞浸润","C．真皮可见泡沫细胞，多核的Touton細胞","D．真皮深层和皮下组织可有钙质沉积","E．角化过度颗粒性呈局灶性楔形增厚"] 表面结构中粗糙度轮廓的含义是什么？它对零件的使用性能有什么影响 迟发性皮肤的卟啉病实验室检查正确的是 ["A．红细胞中原卟啉增加","B．血浆中原卟啉增加","C．粪便中原卟啉增加","D．尿液中原卟啉奣显增加","E．血浆中原卟啉增加比尿液中明显"] 烟酸缺乏症的皮损表现应与下列疾病鉴别，除外 ["A．药疹","B．接触性皮炎","C．多形日光疹","D．迟发性皮膚卟啉病","E．神经性皮炎"] “示值范围”和“测量范围”有何区别 如何测量误差按其性质可分为哪几类？各有何特征实际测量中对各类误差的处理原则是什么？