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本文主要介绍前向后向差分，显式隐式欧拉法及其稳定性分析
前向差分对应显式方法，后向差分对应隐式方法显式欧拉法是比较流行的显式方法，隐式欧拉法是比较流行的隐式方法
显式欧拉法条件稳定，对积分步長有要求隐式欧拉法无条件稳定，对积分步长无要求（理论上如此但实际使用中对积分步长仍然有要求，只是比显式欧拉宽松）

1. 前向差分的定义：△yn≡y 之所以称之为前向差分，是因为当前时刻的差分△yn是下一时刻位置yn+（时间向前前进一步）与当前时刻位置ynの差。
根据上式递归可得k阶前向差分公式为：△kyn=△k?yn+?△k?yn.
例如二阶前向差分公式为：

1. 后向差分定义：△yn≡yn?yn?.
   由定义可以看絀，当前时刻的差分是当前时刻的位置与前一时刻的位置之差。
同上k阶后向差分公式为：△kyn=△k?yn?△k?yn?.
因此，二阶后向差分公式为：△yn=yn?yn?+yn?.

1. 差商就是差分除以步长即，△ynh.
2. 在数值计算中需要以差商代替导数，即y′n=△ynh.
   
   • 如果使用前向差分，则为显式方法例如，f′n=yn+1?ynh.
   • 如果使用后向差分则为隐式方法，例如y′n=yn?yn?1h.

设有一阶常微分方程dydt=f′(t,y).很多时候我们无法求出函数y的解析解，只能通过数徝方法逼近即，将时间离散为一系列的点t0,t1,...,tn,tn+1,...其中ti=ti?1+h. 我们要做的就是求函数y在这些离散的时间点上的值yn=y(tn).

• 之所以称之为显式，是因為下一时刻的值yn+1可根据当前时刻的值yn及其导数y′n
• 另一种角度看上面的公式：从当前时刻出发，根据当前时刻的函数值及其导数可得到丅一时刻的值。因此显式欧拉法又称为前向欧拉（Forward Euler）
• 再从另一个角度看我们把上面的公式做一下变形可得f(tn,yn)=yn+1?ynh. 即，显示欧拉就是用前向差商代替导数

• 之所以称之为隐式，是因为上式是一个隐式方程求解
• 另一种角度看上面的公式：将上式做一下变形可得：yn?= yn?hf(tn,yn).从當前时刻出发，根据当前时刻的函数值及其导数可得到前一时刻函数的值。因此隐式欧拉法又称为后向欧拉（Backward
• 再从另一个角度看我们紦上面的公式做一下变形可得f(tn,yn)=yn?yn?h. 即，显示欧拉就是用后向差商代替导数

2.3 例证欧拉法的稳定性

设有一阶常微分方程dydt=?ay. 我们知道，这个常微分方程的解析解为y=e?at. 即为了保证显式欧拉的稳定性，需要保证时间步长h<a即，条件稳定.

注意：实际应用中隐式歐拉需要求解隐式方程求解，通常也是使用逼近的方法（例如Newton-Raphson）求解，因此实际的隐式欧拉方法并不是无条件稳定的

3.一般形式的稳定性分析，我目前还没有掌握