线代 求线代特征值与特征向量和特征向量？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-11-24 01:40 标签： 线代特征值与特征向量

5.1 特征向量与线代特征值与特征向量

A为n维方阵x为非零向量，若存在数 为A的线代特征值与特征向量x称为对应于

定理 三角矩阵的主对角线嘚元素是其线代特征值与特征向量。

求线代特征值与特征向量的基本思想是利用行列式把含有两个未知数的方程

回想一下求行列式方法利用倍加和交换将其转换为阶梯形，那么行列式等于主对角线乘积乘以

那么很容易发现阶梯形矩阵主对角线上的元素，如果可逆那么都是主元，行列式不为0；若不可逆那么主对角线上必有元素为0，则行列式为0所以A可逆当且仅当行列式为不为0。再结合三角矩陣的主对角线的元素是其线代特征值与特征向量我们又可以得到可逆矩阵的又2条定理（天哪噜，好多定理了） ：

顺便我们也来总结下行列式性质：

插完回顾我们得到以下结论：

A，B都是n维方阵若存在可逆矩阵P，使得 则称A相似于B，或A和B是相似的把A变为 的变换称为相似變换。 相似矩阵有着相同的特征多项式从而有相同的线代特征值与特征向量（和重数）。（通过证明

我们能在k较大时快速算出 。D代表对角矩阵容易得

n维方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

换句话说A可对角化当且仅当有足够特征向量形成

的基，我们称这样的基为

在证明过程中我们可以发现A的对角矩阵D的主对角线元素即为A的线代特征值与特征向量，P的列即为A的特征向量

在求嘚时候我们可以看出一个可对角化的充分条件，就是n维矩阵有n个相异的线代特征值与特征向量n个相异的线代特征值与特征向量能保证n个線性无关的特征向量。当相异线代特征值与特征向量个数小于n时只要每个线代特征值与特征向量 的代数重数，那么也可以保证A可对角化

这里加一个对角化和线性变换

5.4 特征向量与线性变换

如果不能理解可以看这张图：


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原标题：考研数学线性代数重要考点：求线代特征值与特征向量囷特征向量

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