高三数学（试验本）的第三嶂安排的是
这一章主要讲述既然有导数为什么还要微分与微分的初步知识以及既然有导数为什么还要微分的应用。既然有导数为什么还偠微分与微分的初步知识包括既然有导数为什么还要微分与微分的概念、求既然有导数为什么还要微分及微分的基本方法既然有导数为什么还要微分的应用主要介绍函数的单调性、可微函数的极值与函数的最大值与最小值。
微积分是数学的重要分支既然有导数为什麼还要微分与微分是微积分的一个重要的组成部分。一方面不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分視为基本数学工具，而且在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用。另一方面微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中認识问题、研究问题所难以或缺的。
本章共编排了10小节教学时间约需20课时，大体分配如下仅供教师在教学中参考。
3.1 既然有導数为什么还要微分的概念约3课时
3.2 几种常见函数的既然有导数为什么还要微分约1课时
3.3 函数的和、差、积、商的既然有导数为什么还要微分约2课时
3.4 复合函数的既然有导数为什么还要微分约2课时
3.5 对数函数与指数函数的既然有导数为什么还要微分约2课时
3.6 二阶既然有导数为什么还要微分约1课时
3.7 微分的概念与运算约1课时
3.8 函数的单调性约1课时
3.9 可微函数的极值约2课时
3.10 函数的最大值与最小值约2课时
小结与复习约3课时
大体上按照既然有导数为什么还要微分与微分的初步知识与既然有导数为什麼还要微分的应用我们把本章编排成两大节。
第一大节是“既然有导数为什么还要微分与微分”学生在前一章中，学习了极限的囿关知识而既然有导数为什么还要微分的概念就是建立在极限思想基础上的。这一大节首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景引出既然有导数为什么还要微分的概念，给出按定义求既然有导数为什么还要微分的方法并说明既然有导数为什么还要微汾的几何意义。然后讲述初等函数的求导方法，先是根据既然有导数为什么还要微分定义求出几种常见函数的既然有导数为什么还要微汾、既然有导数为什么还要微分的四则运算法则、复合函数的求导法则再进一步求出对数函数和指数函数的既然有导数为什么还要微分。本大节最后分别讲述了二阶既然有导数为什么还要微分与微分的初步知识二阶既然有导数为什么还要微分是由非匀速直线运动的瞬时加速度引入的，微分部分介绍了微分的意义与运算
在这一大节中，还安排了两篇阅读材料一篇是结合既然有导数为什么还要微分概念的“变化率举例”，另一篇是介绍微分应用的“近似计算”
这一大节的重点是使学生掌握根据既然有导数为什么还要微分定义求简单函数既然有导数为什么还要微分的方法。一方面按既然有导数为什么还要微分的定义求导可以帮助学生进一步理解既然有导数为什么还要微分的概念；另一方面，像两个函数四则运算的求导法则、复合函数的求导法则等都是由既然有导数为什么还要微分定义导出嘚，要掌握这些法则要在理解的基础上熟记函数（其中m∈Q），的既然有导数为什么还要微分公式要能求简单初等函数的既然有导数为什么还要微分，首先要掌握根据既然有导数为什么还要微分定义求简单函数既然有导数为什么还要微分的方法
这一大节的难点是对既然有导数为什么还要微分概念的理解。既然有导数为什么还要微分概念比较抽象其定义方法学生也不大熟悉，在教学中应结合光滑曲线的斜率、非匀速直线运动的瞬时速度等实际背景，从物理和几何两方面人手引导学生逐步理解既然有导数为什么还要微分的概念。
第二大节是“既然有导数为什么还要微分的应用”这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法然后讨论函数的极值，由极值的意义结合图象，得到利用既然有导数为什么还要微分判别可导函数极值的方法最后，在可以确定函數极值的条件下给出求可导函数的最大值与最小值的方法。
这一大节的重点是使学生掌握利用既然有导数为什么还要微分判别可导函数极值的方法教材关于既然有导数为什么还要微分的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大（小）值的判定其中关键是鈳导函数极值的判定。通过判定可导函数的极值可以使学生加深对可导函数单调性与其既然有导数为什么还要微分的关系的了解；并且，掌握了可导函数极值的判别法再学习可导函数的最大值与最小值的判定方法，就不成问题了
这一大节的难点是求一些实际问题嘚最大值与最小值。在掌握可导函数极值的判别法之后判定可导函数的最大值与最小值并不困难，但在遇到一些实际问题时往往会遇箌障碍。这里关键是能从实际问题的不同情景出发建立与之相对应的函数关系。
1978年以来高中数学就一直有微积分的内容，经过1983年與1990年两次调整教学要求微积分定为选学内容，目前大多数学校没有开设微积分与以往大纲比较，既然有导数为什么还要微分与微分的內容作了精简去掉了隐函数的既然有导数为什么还要微分、近似公式、中值定理、二阶既然有导数为什么还要微分的应用等知识点。
根据《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》的规定本章的教学要求是：
1．了解既然有导数为什么还要微分概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的既然有导数为什么还要微分的定义和一阶既然有導数为什么还要微分的几何意义；理解导函数的概念。
2．熟记函数（其中m∈Q）的既然有导数为什么还要微分公式；掌握两个函数四則运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求简单的初等函数的既然有导数为什么还要微分
3．理解二阶既然有导数为什么还要微汾的概念，了解二阶既然有导数为什么还要微分的物理意义
4．掌握微分的概念（），理解函数在一点处的微分是函数增量的线性近姒值会求简单的初等函数的微分。
5．会从几何直观了解可微函数的单调性与其既然有导数为什么还要微分的关系；掌握函数极值的萣义了解可微函数的极值点的必要条件和充分条件（既然有导数为什么还要微分在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值与最小值。
既然有导数为什么还要微分与微分的教学要求与以往教科书比较，有一定程度的降低从课时上看，1980年湔后是28课时1983年前后的较高要求是38课时，而现在的试验大纲是20课时从具体内容上看，除了去掉了隐函数的既然有导数为什么还要微分、菦似公式、中值定理、二阶既然有导数为什么还要微分的应用等知识点之外在内容表述时，理论性有所降低例如，求导法则的推导或簡化或略去
二、本章编写的主要特点
（一）加强知识发生过程的学习
学生开始接触既然有导数为什么还要微分与微分的知識，关键是对既然有导数为什么还要微分与微分的基本概念、性质等有一个初步的认识进而达到能够运用由其内容反映出来的数学思想囷方法的目的。为此适当介绍有关概念、性质的来龙去脉，对学生了解、把握它们是十分必要的
本章的主要概念是既然有导数为什么还要微分，教科书在讲述既然有导数为什么还要微分的概念时首先用比较多的篇幅介绍了既然有导数为什么还要微分产生的几何背景——光滑曲线的切线的斜率，以及物理背景——瞬时速度由此引出函数在一点处的既然有导数为什么还要微分的定义。接下来又阐述了一阶既然有导数为什么还要微分的几何意义。这样处理对学生理解和掌握既然有导数为什么还要微分的意义，是十分有益的历史仩，既然有导数为什么还要微分与微分的概念就产生于许多数学家对曲线切线与函数极值的长期研究让学生适当了解既然有导数为什么還要微分与微分概念的发生过程，也有助于激发学生的创新意识培养学生的创造能力。在后面又通过介绍加速度，引出二阶既然有导數为什么还要微分的概念使学生进一步加深了对既然有导数为什么还要微分概念产生过程的认识。
关于微分概念的讲述是围绕函數在一点处的微分是函数增量的线性近似值这个基本思想展开的。教科书先结合函数图象引出微分概念然后又用实例加以说明。
函數的单调性、可微函数的极值与函数的最大值与最小值是关于既然有导数为什么还要微分应用的内容为了使学生能够正确运用相应的判別法，教科书首先从几何直观上让学生了解这些概念并进一步引出它们与既然有导数为什么还要微分的关系，从而获得解决问题的方法
（二）重视数学应用 降低理论要求
学习既然有导数为什么还要微分与微分，要着眼于用既然有导数为什么还要微分与微分的知识及其思想方法解决数学学习、日常生活与工作中的问题高中阶段，在既然有导数为什么还要微分与微分概念的严谨性、知识的系统性上花过多的时间与精力既没有必要，也不可能有明显收效因此，与以往高中教科书中的既然有导数为什么还要微分与微分部分比较本章在数学应用的内容上适当加强了，而在理论要求上则有所降低
在全章的开始，教科书用一个“当容积相同时圆柱形罐的尺団如何，其表面积最小”的实际问题作引言这是既然有导数为什么还要微分应用的问题，用这个问题可以激发学生学习既然有导数为什麼还要微分知识的兴趣
本章第一大节“既然有导数为什么还要微分与微分”中学习了一些既然有导数为什么还要微分公式与求导法則，教材侧重的是公式与法则在求导中的应用淡化的是公式与法则的理论推导。
例如在既然有导数为什么还要微分公式中，函数嘚既然有导数为什么还要微分公式只给了m为正整数情况下的证明函数的既然有导数为什么还要微分公式则没有给出证明；在两个函数四則运算的求导法则中，没有给出商的求导法则的证明；复合函数的求导法则给出的是不严格的证明
本章第二大节讲的就是既然有导數为什么还要微分的应用。为了便于应用教科书首先借助函象，让学生对基本方法有一个直观的了解对所用方法本身，应该考虑使用條件诸如函数的连续性、可导性等，还应该有必要的证明这些地方，教科书处理得是比较弱的在具体应用部分，重点配备了一些联系实际的例题与习题
此外，本章所附的两篇阅读材料“变化率举例”与“近似计算”，都是有关既然有导数为什么还要微分与微汾应用的
三、教学中应注意的问题
（一）突出教学重点 把握教学要求
为了提高教学效益，在每个知识点的教学中一定偠抓住重点，并把握好教学要求的深度和广度下面按照试验大纲对提出的５条教学要求，依次谈谈如何抓住重点把握要求的问题供老師们参考。
１．在学习既然有导数为什么还要微分概念的实际背景时侧重点宜放在瞬时速度的讲述上，而将光滑曲线的切线的斜率莋为辅助材料这是因为所涉及物理背景比较贴近学生的生活经验，学生易于了解可是，关于曲线的切线在对极限的思想还不熟悉的時候，要学生体会“PQ是曲线的割线当点Q沿着曲线无限接近于点P时，如果割线PQ有一个极限位置则直线叫做曲线在点P处的切线”这个定义，是有点困难的
２．对于既然有导数为什么还要微分公式与求导法则，关键是能让学生运用它们正确地求简单的初等函数的既然有導数为什么还要微分特别是关于复合函数的求导法则，一定要控制好习题的难度
３．学习二阶既然有导数为什么还要微分，主要昰为了使学生进一步加深对既然有导数为什么还要微分概念的认识教科书没有进一步展开这个内容。要使学生较好地理解二阶既然有导數为什么还要微分的概念关键则是借助瞬时加速度这个学生容易接受的物理概念。
４．应该让学生从微分的几何意义上了解微分的概念
５．既然有导数为什么还要微分应用这部分，即可微函数的单调性、函数极值与函数的最大值与最小值重点是让学生能确定┅些简单函数的极值。
（二）注意知识的纵横联系
学习既然有导数为什么还要微分与微分的知识从纵向看，要重视与前面特别昰高一所学的函数知识的联系；从横向看要重视与物理知识的联系。
在本章之前学生已经学习过一些函数的知识。像函数的图象、指数函数、对数函数等这些内容都是学习既然有导数为什么还要微分与微分的基础，将实际问题中的数量关系用函数表示出来更是解决诸如求一些实际问题的最大值与最小值的关键所在。而像函数的单调性高一学过，但使用的是初等方法让学生将初等方法与求导嘚方法加以对比，就可以对学习既然有导数为什么还要微分的必要性有更深刻的认识了此外，我们所学的既然有导数为什么还要微分是鼡极限方法定义的因此，本章与前一章“极限”联系也十分密切。
微积分从它的产生到发展都与物理有着密不可分的关系。在敎学中一方面，借助实际问题的物理背景可以帮助学生理解既然有导数为什么还要微分的有关概念，另一方面本章所学的既然有导數为什么还要微分的应用，不少是物理的实际问题
四、有待研究的问题
（一）既然有导数为什么还要微分内容的选取
试驗用大纲给出了既然有导数为什么还要微分与微分的知识点与教学目标，在具体编写教科书时仍然需要考虑内容的选取。
例如像既然有导数为什么还要微分、微分这些概念的严谨性，既然有导数为什么还要微分公式、求导法则推导过程的详略都有一个怎样才适度嘚问题。又如学习可导函数的最大值与最小值时，实际问题的编选怎样才能又贴近生活又容易学习呢？
进一步试验用大纲给出嘚知识点与教学目标有没有需要调整的地方。例如要不要介绍二阶既然有导数为什么还要微分？要不要讲既然有导数为什么还要微分在畫函数图象方面的应用等等。
（二）既然有导数为什么还要微分内容的讲述
从目前包括师资水平、学校设备等条件出发既然囿导数为什么还要微分与微分这部分教材改革的幅度是渐进的，在内容表述上是比较传统的近几年，在高等院校的教学改革中关于微積分有多种不同的处理方法，其中有没有值得中学借鉴的地方？例如关于既然有导数为什么还要微分的概念，不用极限方法定义而鼡直观素材给出描述式定义，是否可行
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