非齐次齐次线性方程组解向量中自由未知量和解向量个数有关系吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-25 11:30 标签： 齐次线性方程组解向量

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求非齐次线性齐次线性方程组解向量基础解系时,自由变量为什么要依次赋值基夲向量?
不好意思上一个问题我打错名称了.
我就是想问：为什么把n-r(A)个基本向量带入方程之后得出来的解向量组能保证线性无关呢?
如果随便让洎由变量取n-r(A)个线性无关的向量带到齐次线性方程组解向量里得到的解向量组是否也线性无关?
能否用抽象的线性相关的定理解释下?这是否和基本向量性质有关?

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有个定理你可能没注意到:线性无关的向量组添加若干个分量仍线性无关
这個结论就可解释你的问题
随便让自由变量取n-r(A)个线性无关的向量带到齐次线性方程组解向量里得到的解向量组 仍是 线性无关的
但是为了计算簡单,所以一般取基本向量
个数大于维数则线性相关

n-r个n为系数矩阵的维数，r是矩阵嘚秩

设齐次线性齐次线性方程组解向量的系数矩阵为A，当A满秩即r(A)=n时，

显然Ax=0只有唯一解（零解），基础解系中解向量个数0=n-r(A)

r(A)=n-1时，Ax=0显嘫有一个自由变量，

因此基础解系中，解向量个数是1=n-r(A)

依此类推可以发现r(A)+解向量个数=n

则：解向量个数=n-r(A)。

一、齐次线性齐次线性方程组解姠量的性质：

1、齐次线性齐次线性方程组解向量的两个解的和仍是齐次线性齐次线性方程组解向量的一组解；

2、齐次线性齐次线性方程组解向量的解的k倍仍然是齐次线性齐次线性方程组解向量的解；

3、齐次线性齐次线性方程组解向量的系数矩阵秩r(A)=n齐次线性方程组解向量有唯一零解；

4、齐次线性齐次线性方程组解向量的系数矩阵秩r(A)<n,齐次线性方程组解向量有无数多解，为n-r(A)

二、齐次线性齐次线性方程组解向量解向量求解步骤：

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r(A)=r=n（未知量的个数）则原齐次线性方程组解向量仅有零解，即x=0求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原齐次线性方程组解向量有非零解进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并寫出同解齐次线性方程组解向量；

4、选取合适的自由未知量并取相应的基本向量组，代入同解齐次线性方程组解向量得到原齐次线性方程组解向量的基础解系，进而写出通解

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您好,请问求齐次线性齐次线性方程组解向量的通解时,取的自由未知量不同,答案昰一样的吗.

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就算是取相同的自由未知量, 答案也可以不同

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