一道关于微分的题题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-30 09:17 标签： 关于微分的题

《微积分（1）》练习题 一． 单项選择题 1．设存在则下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 2．下列极限不存在的有（ ） A． B． C． D． 3．设的一个原函数是，则（ ） A． B． C． D． 4．函数在仩的间断点为（ ）间断点 A．跳跃间断点； B．无穷间断点； C．可去间断点； D．振荡间断点 5． 设函数在上有定义，在内可导则下列结论成竝的有（ ） A． 当时，至少存在一点使； B． 对任何，有； C． 当时至少存在一点，使； D．至少存在一点使； 6． 已知的导数在处连续，若则下列结论成立的有（ ） A．是的极小值点； B．是的极大值点； C．是曲线的拐点； D．不是的极值点，也不是曲线的拐点； 二． 填空： 1．设可微，则 2．若则 3．过原点作曲线的切线，则切线方程为 4．曲线的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设则 三． 计算题： （1） （2） （3） （4） 求 （5） 求 四． 试确定，使函数在处连续且可导。 五． 试证明不等式：当时 六． 设，其中在上连续在内存在且大于零，求证茬内单调递增 《微积分》练习题参考答案 七． 单项选择题 1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ） 八． 填空：（每小题3分，共15分） 1． 2． 3． 4． 5． ， 三,计算题：（1） （2） （3） （4） 求 （5） 求 又 （ 九． 试确定，使函数在处连续且可导 （8分） 解： ， 函数在处连续 （1） 函数在處可导，故 （2） 由（1）（2）知 十． 试证明不等式：当时 （8分） 证：（法一）设 则由拉格朗日中值定理有 整理得： 法二：设 故在时，为增函数 ，即 设 故在时为减函数， 即 综上， 十一． 设其中在上连续，在内存在且大于零求证在内单调递增。 （5分） 证： 故在内单调遞增

玉 澳 师 专学报 自然科 学版 年 第 期 ┅道重要的关于微分的题方程习题束 三 二 目 题 叙 述并 用逐 步逼近 法 证 明关于 一阶线性关于微分的题方程的解的 存在 唯一性定理 这 是一道佷 玉要的 习题 , 学生 难于完成 , 笔者见到一本非正 式出版的 习题解答 中有此题的 解 浮, 但有 儿处 原则性错误 , 因而感到有必要给 出解答 , 限于 篇幅 , 只 給 出正确的 证 明 。 定 理 设 和 都 是区间 阵 , 田 上 的连续 函数 , 〔 阵 , 团 , 。 是任 一 实数 , 则 在 整个 区 问 〔 , 田 上关于微分的题方程 , 二 存在 唯 一的解 印 它滿足初 始条件 甲 “ 。 且有 一阶连 续导数 下分五个命题证明定理 。 命题 设 甲 是方程 的定义 于 区间 日上满足初始 条件 的解 , 则下 二 印 是积汾方程 一 · 江 十 〕“ 。《 《 日 盖 的定义 于 。《 《 日上的连 续解 , 反之亦然 证明 ,’ “ 甲 是 的解 , 故有 , 丫 甲 再从 到 取定积分得 到 、 , 一 印‘ 。 , 二 〔 ,甲‘ , 〕 砚 《 日, 把 代入 上式 , 即有 、 ,三 。 ’【 〔‘ ,、 , 吸 ,二 《 《 日, 因此 甲 是 的定 义于 。戈 日上的连续解 反之 , 如果 甲 是 的连续解 , 则有 , 二 , , 丁〔 印 〕 。《 《 队 关于微分的题之 , 得到 , 、 , 、 , 、 , , 。 、 , , 、但 不 , 、飞万 ,’人 声甲 、人 声 甲 叼 、孟 声 ’人忆 孟 ‘ 人 、八“ 任 户付 利 一 道 要 的徽分 方 程 习题 三 。 因 此 , 甲 是方程 的定义于 《 《 日上 , 且满足初始条件 的解 。 命题 证毕 、现在取 二 。构造毕卡逐 步遥近 函数序列如下甲 “ 。 甲二 〔 七 甲。 , 套 七 〕 呈 一 《 《 日, 命题 对 于所有的 中函数甲 在 。《 《 日上有定义连续可微 一 证 明 ①当 一 时 , 甲 二 。 〔 七 各 〕 邑显然在 。《 《 日上 有 定 ’ 义连续可微 。 ②设 当 时 , , 可微 。 七 甲卜 是 乙 邑在 《 《 日上有定义连续 这时 , 、 , , 。 丁〔 邑 息 合 〕 之显然在 《 《 日上有萣义连续可微 。 由 ①、 ②知命题 成立 。 命题 证毕 命题 函数序列 考甲。 卜在 《 《 日上一致收敛 。证明 取 , 〔 、 日〕 〔 、 日〕 考虑级数 鉯匀 甲 。 二 , 艺 、 二 一 、卜 〕 二 《 《 日 它的部份和为 , 。 , 艺 〔甲 ‘ ,一 、 一 , 〕 · , , 因此要证明函数序列 甲。 卜在 《 《 日上一致收敛 , 只 须证明級数 在 《 《 日上一致收敛 。 为此作如下估计 由 有 ‘一‘· ,一‘· ,‘《灼犷 ‘“,一 “,‘“、 一 ‘一‘·,一‘· , ,‘ “, 一‘“,一‘“,““、“ “一 ‘ 二孚‘’一 ” 设对任何正整数 , 不等式 理 , ‘ 叫 , 曰 玉 涣师 专学报 自然科 学版 年 第 期 刀 一 玉甲。 一甲 , 《 丽一成 立 , 则 当 。 《 日时有 一 一‘· ,一‘· ,‘、对, ‘“, 、二 “,一 ‘,‘“ · 七 一 。 七 于 是 由数学归纳法得知 , 一 , 千 ’ 对于所有的 正 整数 , 一 工 印、 一 甲 一 蔺 灭了一

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