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来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-01-16 00:37 标签： 香港运费
下面给出一个有关区间套的定理 记得我们曾经用有理区间套来定义实数，那种方式直观但不尽完美现在很高兴可以在我们新的实数理论中，证明与区间套有关的结论我们将看到，这个区间套定理只是确界定理的一个应用而已
由此就有An?Bm和Am?Bn。因此不等式An?Bm对于任意的自然数都成立。于是集合A={A1,A2,…,An,…}是有上界的因为每个Bm都是它的上界。根据上确界定理集合A有上确界X0。因此对每个自然数n由An?A，有An?X0
证毕。 顺便指出上述定理並不要求对于每个闭区间[An, Bn]，有Bn>An只要求Bn?An就可以了（当然，如果存在自然数k使得Bk=Ak (=X0)，那么此后所有的区间都只包含一个实数且∩[An, Bn]={X0}）。另外若上面的区间套数量是有限的，显然定理也是成立的
这个区间套定理也让我们产生这样一个问题：在什么情况下，∩[An, Bn]只包含一个实數根据以前的经验，我们可能这样猜想：若区间[An, Bn]的“长度”趋向于零那么∩[An, Bn]将包含唯一的实数。但是我们这个实数理论中，目前还尚无“距离”的概念
因此我们要另外考虑。在上面定理的证明过程中我们看到A有上确界X0。与此类似设B={B1,B2,…,Bn,…}，那么B有下确界Y0我们可能已经想到了，∩[An, Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0下面给出证明。 [命题] 设{[An, Bn] | n=1,2,…}是闭区间套[An, Bn]?[An+1, Bn+1] (n=1,2,…)。
由于X0是A的上确界所以X0?X。类似地因為X是B={B1,B2,…,Bn,…}的下界，所以X? Y0这样就有X0?X?Y0。但已知X0=Y0所以满足条件的X只有一个（X=X0=Y0），即∩[An, Bn]只包含一个实数

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