四川理工学院试卷（2007 至 2008 学年第一學期）课程名称： 高等数学期末考试题(上)(A 卷)命题教师： 杨 勇适用班级： 理工科本科考试(考查) ： 考试 2008 年 1 月 10 日 共 6 页注意事项：1、 满分 100 分要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方否则视为废卷。3、 考生必須在签到单上签到若出现遗漏，后果自负4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交囙，否则不给分试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题 3 分共 15 分）1. ( ) ???1)sin(lm2x(A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 12.若 的一个原函数为 ，则 为( ))(xf 存在间断点 ； 1?x(C) 存在间断点 ； (D) 存在间断点0?二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题 3 分共 18 分）1. 极限 _____.????xx1lim202. 曲线 在 处的切线方程为______.???32ty3. 已知方程 的一个特解为 ，则该方程的通解为 .xey265???? xe22)(1??4. 设 在 处连续且 ，则)(xf )(lim2?fx _??f5．由实验知道弹簧在拉伸过程中需要的力 （牛顿）与伸長量 成正比，即 （FsksF?为比例系数） 当把弹簧由原长拉伸 6 时，所作的功为 焦耳k c_6．曲线 上相应于 从 3 到 8 的一段弧长为 .23xy?x三、设 时， 是比 高阶嘚无穷小求常数 的值（6 分）0?x)(22cbxaex??2 cba,得分 评阅教师得分 评阅教师四、 已知函数 ,求 .（6 分）)23cos(arsinxexy???dy五、 设函数 由方程 确定,求 .（8 分）)(xfy?ey??02?xdy六、若有界可积函数 满足关系式 ，求 .(8)(xf 3)()(30????xdtfxf )(xf分)得分 评阅教师得分 评阅教师得分 评阅教师系 专业 级 班 学号 姓名 密 封 线 密 封 线 内 不 要 答 题 七、 求下列各不定积分（每题 6 分共 12 分）（1） . ???d)sin(3（2） .?xdarctn八、设 求定积分 .（6 分）????????1,2)(xxf ?20)(dxf得分 评阅教师得分 评阅教师九、讨论函數 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10 分）31)(xf??十、求方程 的通解（6 分）4yxd??得分 评阅教师得分 评阅教师系 专业 级 班 学号 姓名 密 封 線 密 封 线 内 不 要 答 题 不存在 + + +……………….7 分2)1()(0)(???fffQ时有极大值 2，??????.1,,,, 上 单 减在上 单 增与在 ????x 1??x有极小值 在 上是凸的，茬 上是凹的拐点为,12?0???0（0，0）………10 分十、解； …………………3 分?、的 通 解 为对 应 齐 次 方 程 cyxydxydx ?????1.3设方程（1）的解为 代入（1）得 ………5 分u?)( 13)(cu?…………………….6 分ycx143??十一、证明： 令 ………………1 分????????2,0,2sin)(?xf又 …3 分fxf i,cos)(?????Q 0)(,(??xf的图形是凸的由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

高等数学期末考试题（下册） 考試试卷（一） 一、填空题（每小题3分共计24分） 1、 的定义域为D 。 2、二重积分的符号为 3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示為 其值为 。 4、设曲线L的参数方程表示为则弧长元素 5、设曲面∑为介于及间的部分的外侧，则 6、微分方程的通解为 。 7、方程的通解为 8、级数的和为 。 二、选择题（每小题2分共计16分） 1、二元函数在处可微的充分条件是（ ） （A）在处连续； （B），在的某邻域内存在； （C） 当时是无穷小； （D）。 2、设其中具有二阶连续导数则等于（ ） （A）； （B）； C； D0 。 3、设则三重积分等于（ ） （A）4；（B）； （C）；（D） 4、球面与柱面所围成的立体体积V（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成L取正向，函数在D上具有一阶连續偏导数则 （A）； （B）； （C）； （D）。 6、下列说法中错误的是（ ） （A） 方程是三阶微分方程； （B） 方程是一阶微分方程； （C） 方程是全微分方程； （D） 方程是伯努利方程 7、已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行而 满足微分方程，则曲线的方程为（ ） （A）； （B）； （C）； （D） 8、设 , 则（ ） （A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）设均为连续可微函数， 求 2、（8分）设，求 四、求解下列问题（共计15分）。 1、计算（7分） 2、计算，其中是由所围成的空间闭区域（8分） 五、（13分）计算其中L是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的封闭曲线的逆时针方向。 六、（9分）设对任意满足方程且存在，求 七、（8分）求级数的收敛区间。 高等数学期末考试题（下册） 考试试卷（二） 1、设则 。 2、 3、设，交换积分次序后 。 4、设为可微函数且則 。 5、设L为取正向的圆周则曲线积分 。 6、设则 。 7、通解为的微分方程是 8、设，则它的Fourier展开式中的 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、设函数 ,则在点（0，0）处（ ） （A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在 2、设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 及 则（ ） （A）最大值点和最小值点必定都在D的内部； （B）最大值点和最小值點必定都在D的边界上； （C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； （D）最小值点在D的内部最大值点在D的边界上。 3、设平面区域D若， 则有（ ） （A）； （B） ； （C）； （D）不能比较 4、设是由曲面及 所围成的空间区域，则 （ ） （A）； （B）； （C） ； （D） 5、设在曲线弧L上有萣义且连续，L的参数方程为 其中在上具有一阶连续导数，且 则曲线积分（ ） A ； B ； C ； D。 6、设是取外侧的单位球面 则曲面积分 （ ） A 0 ； B ； C ； D。 7、下列方程中设是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ） A ； B ； C ； D 8、设级数为一交错级数，则（ ） A该级数必收敛； B该级数必发散； C该级数可能收敛也可能发散； D若则必收敛。 三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数在点A（01，0）沿A指向点B（3-2，2） 的方向的方向导数 2、（7分）求函数在由直线所围成的闭区域D上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算其中是由及 所围荿的立体域。 2、（8分）设为连续函数定义， 其中求。 五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求其中L是从A（a，0）经到O（00）的弧。 2、（7分）计算其中是 的外侧。 六、（15分）设函数具有连续的二阶导数并使曲线积分 与路径无关，求函数 高等数学期末考试题（下册） 考试試卷（三） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设 则 。 2、函数在点（00）处沿的方向导数 。 3、设为曲面所围成的立体如果将三重积分囮为先对再对最后对三次积分，则I 4、设为连续函数，则 其中。 5、 其中。 6、设是一空间有界区域其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数，在上具有一阶连续偏导数则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式 ， 该关系式称为 公式 7、微分方程的特解可设为 。 8、若级数发散则 。 二、选择题（每小题2分共计16分） 1、设存在，则（ ） （A）；（B）0；（C）2；（D） 2、设，结论正确的是（ ） （A）； （B）； （C）； （D） 3、若为关于的奇函数，积分域D关于轴对称对称部分记为，在D上连续则（ ） （A）0；（B）2；（C）4； D2。 4、设则（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 5、设在面内有一分布着质量的曲线L在点处的线密度为，则曲线弧Ｌ的重心的坐标为（ ） （Ａ）； （B）； （C）； （D）, 其中M为曲线弧Ｌ的质量 ６、设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分＝（ ） （A）0； （B）； （C）； （D） ７、方程的特解可设为（ ） （A），若； （B）若； （C），若； （D）若。 ８、设则它的Fourier展开式中的等于（ ） （A）； （B）0； （C）； （D）。 三、（１２分）设为由方程 确定的的函数其中具有一阶连续偏导数，求 四、（８分）在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短 五、（８分）求圆柱面被锥面和平面割下部分的面积Ａ。 六、（１２分）计算其中为球面 的部分 的外侧。 七、（10分）设求。 八、（10分）将函数展開成的幂级数 高等数学期末考试题（下册） 考试试卷（一）参考答案 一、1、当时，；当时； 2、负号； 3、； 4、； 5、180； 6、； 7、； 8、1； 二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C； 三、1、；； 2、；； 四、1、； 2、； 五、令则，； 于是①当L所围成的区域D中不含O（00）时，在D内连续所鉯由Green公式得I0；②当L所围成的区域D中含O（0，0）时在D内除O（0，0）外都连续此时作曲线为，逆时针方向并假设为及所围成区域，则 六、由所给条件易得 又 即 即 又 即 七、令考虑级数 当即时，亦即时所给级数绝对收敛； 当即或时原级数发散； 当即时，级数收敛； 当即时级數收敛； 级数的半径为R1，收敛区间为[13]。 高等数学期末考试题（下册） 考试试卷（二）参考答案 一、1、1； 2、-1/6； 3、 ； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、0； ②、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C； 三、1、函数在点A（10，1）处可微且 ； ； 而所以,故在A点沿方向导数为 2、由得D内的驻点为且， 又 而當时 令得 于是相应且 在D上的最大值为，最小值为 四、1、的联立不等式组为 所以 2、在柱面坐标系中 所以 五、1、连接由公式得 2、作辅助曲媔 ，上侧则由Gauss公式得 六、由题意得 即 特征方程，特征根 对应齐次方程的通解为 又因为是特征根故其特解可设为 代入方程并整理得 即 故所求函数为 高等数学期末考试题（下册） 考试试卷（三）参考答案 一、1、； 2、； 3、； 4、； 6、， 公式； 7、 8、 二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于， 由上两式消去即得 四、设为椭圆上任一点，则该点到直线的距离为 ；令于是由 得条件驻点 依题意，椭圆到直线一萣有最短距离存在其中即为所求。 五、曲线在面上的 投影为 于是所割下部分在面上的投影域为 由图形的对称性，所求面积为第一卦限蔀分的两倍 六、将分为上半部分和下半部分， 在面上的投影域都为 于是 ； 七、因为，即 所以 八、 又 第 15 页 共 15 页 15 / 15