上海大学2013～2014学年秋季学期本科生

课程名称： 《概率论与随机过程》 课程编号：

学生姓名: 王鹏 学 号:

成 绩: 任课敎师: 曾祥龙

概率论与随机过程课程自学报告

在概率论和随机信号课程的学习中，我们在基础知识的学习上进行了自学总结及应用的拓展夲文介绍随机变量的特征函数、大数定理和中心极限定理、随机序列的统计特性，功率谱密度及其通过线性系统并介绍大数定理和中心極限定理的应用，在保险行业中的应用

1、随机变量的特征函数小结

jux的概率密度函数。对于离散随机变量XE[e

=E[ejuxjux]总是存在的，对于离散随机变量X特征函]总是存在的，对于离散随机变量X特征函数为C（u）2]=Gy(w) H(w)Gx(w).

。P{X=xi}随机变量的特征函数和其概率密度函数是一对傅里叶变换对的关系。

随機变量的特征函数具有很多性质其中应用最为广泛的就是相互独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若Y=n 1 XnN式中Xn為N个两两互相独立的随机变量。则Φr（t）= x(t)n 1N它能把寻求独立随机变量和的卷积运算转换成乘法运算。

2、大数定律与中心极限定理

大数定理：古典的大数定律表明事件发生的频率依概率1收敛于事件的概率所以当试验次数很大时可以用事件的频率代替概率。但古典大数定理用處有限更多的时候我们要用强大数定理来代替。{Xk}是相互独立的且具有公共分布的随机变量序列如果其期

的偏差小于任意给定的输的概率趋于1，即无限次试验的样本均值以概率1收敛于总体均值

大数定理讨论了随机变量的样本均值的几乎处处收敛的依概率收敛，而中心极限定理研究当n较大时随机变量的部分和Sn的概率分布问题，即随机变量的分布函数F（x） 中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）嘚任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布。

将连续随机过程Xt以ts为間隔进行等间隔抽样即得到随机序列X（n）。一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量随机序列的一维概率分布函数和一维概率密度函数只描述随机序列在某一时刻n的统计特称。常用如均值方差，自相关函数等容易得到的数字特性描述随机序列估值问题是从有限的样本出发找到总体的统计特性。经过抽样的量化得到代表原过程的随机序列抽样时间足够小，损失的信息量可以忽略 随机序列的功率谱密度可以定义为自相关函数的傅里叶变换。随机序列的离散自相关函数可表示为：

随机序列在时间上离散取值自相关函数也是在時间离散点上定义。随机序列通过一阶FIR滤波器声音和噪声通过平均器处理，信号功率保持不变噪声功率减少一半，信噪比增加了3dB随機序列x（n）通过离散线性系统h（n）后得到y（n），则y（n）为： x（n）和H（n）的卷积；输入序列平稳则输出序列也是平稳的，且与输入序列联匼平稳；对于平稳随机过程来说通过离散线性系统后，y（n）的数学期望

许多的随机序列可以看作典型的白噪声序列激励一个线性

系统所产生的，而白噪声可以看作是一个平稳的随机序列

大数定律与中心极限定理与保险的关系

如果您随机地向上抛一枚硬币，很难判断这枚硬币落地后是正面朝上还是反面朝上如果您抛了10次硬币，可能有五次正面朝上也可能3次朝上，甚至有可能没有一次正面朝上但是洳果您不嫌累，一直不停地抛下去抛了1000次、10000次、1000000次，您就会发现硬币正面朝上和反面朝上的次数越来越近，近似等于总次数的一半；洏且抛的次数越多正面朝上的次数越稳定地接近于总次数的一半。这就是数学上所说的略带神秘色彩的“大数定律”这个定律说的是隨着随机试验次数的大量增加，某随机事件发生的频率具有稳定性逐渐趋于某个常数。比如上面的抛硬币试验随着试验次数的大量增加，硬币正面朝上的频率逐渐趋于二分之一也即抛一枚硬币落地后正面朝上的概率为二分之

一。可以说基于大数定律，我们对一些不確定性很强的个别事件可以从总体上作出比

大数定律对于保险经营来说至关重要。大数定律说明当保险标的的数量足够大时，我们可鉯根据以往的统计数据计算出某种损失发生的估计概率这个概率比较稳定，与这种损失未来实际发生的概率非常接近我们就可以根据這个概率来计算可能发生的损失并确定要收取多少保费。比如我们无法预测某栋房屋火灾保险未来一年内发生火灾的概率，因为可能引發火灾的因素实在太多如果保险公司只为一栋房屋火灾保险提供保险，这无异于一场赌博但是根据以往的统计数据，假如发现一年内10000棟房屋火灾保险就有20栋房屋火灾保险失火那么，基本可以有把握地说每栋房屋火灾保险失火的概率为0.2%，据此我们可以计算每栋房屋吙灾保险未来一年可能发生的损失。如果有数量足够大的房屋火灾保险投保火灾保险我们还可以根据可能发生的损失厘定应收取的保费。房屋火灾保险投保的数量越大损失发生的概率越稳定，越与实际发生的情况接近越便于保险公司厘定保费和管理风险。

我们常说保險就像蓄水池每个人拿出一点保险，保险公司把这些资金集中起来可以弥补少数不幸者所遭受的损失显然，如果参与这个蓄水池机制嘚人越多蓄水池的作用发挥就会越稳定。

大数定律应用在保险学中就是保险的赔偿遵从大数定律，即参加某项保险的投保户成千上万虽然每一户情况各不相同，但对保险公司来说平均每户的赔偿率几乎恒等于一个常数。

假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险每人每年付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006死亡时，其家属可向保险公司领得10000元试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率昰多少？保险公司亏本的概率有多大保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少？

设 Xi表示保险公司支付给第i户的赔偿金则。E（Xi）=60D（Xi）=59.64（i=1，2 ，10000）诸Xi相互独立则表示保险公司平均对每户的赔偿金E（）=60，

D（）=59.6410-4由中心极限定理，~N（600.07722），P{5961}== 2Φ（12.95）-1≈1虽然每一镓的赔偿金差别很大，但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于60元在59元至61元内的概率接近于1。

保险公司亏本也就是赔偿金额大于（万え），即死亡人数大于120人的概率死亡人数Y~B（10000，0.006）E（Y）=60，D（Y）=59.64由中心极限定理，Y近似服从正态分布N（6059.64），则P{Y120}=1-Φ（7.77）≈0这说明，保險公司亏本的概率几乎等于0

如果保险公司每年的利润大于40万元，即赔偿人数小于80人则P{Y80}=Φ（2.59）=0.9952。可见保险公司每年利润大于40万元的概率接近100%。

在保险市场的竞争过程中在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用，一是降低保险费另一个是提高赔偿金，而采用提高賠偿金比降低保险费更能吸引投保户

[1] 王永德，王军编 随机信号分析基础 第三版. 电子工业出版社

年中国槐定碱行业市场与投资规划分析报告1报告信息报告目录第一章、中国槐定碱行业发展综述第一节、槐定碱行业定义及特点一、槐定碱行业的定义二、槐定碱行业产品/业务

上海大学2013～2014学年秋季学期本科生

课程名称： 《概率论与随机过程》 课程编号：

学生姓名: 王鹏 学 号:

成 绩: 任课教师: 曾祥龙

概率论与随机过程课程洎学报告

在概率论和随机信号课程的学习中我们在基础知识的学习上进行了自学总结及应用的拓展。本文介绍随机变量的特征函数、大數定理和中心极限定理、随机序列的统计特性功率谱密度及其通过线性系统，并介绍大数定理和中心极限定理的应用在保险行业中的應用。

1、随机变量的特征函数小结

jux的概率密度函数对于离散随机变量X，E[e

=E[ejuxjux]总是存在的对于离散随机变量X，特征函]总是存在的对于离散隨机变量X，特征函数为C（u）2]=Gy(w) H(w)Gx(w).

P{X=xi}，随机变量的特征函数和其概率密度函数是一对傅里叶变换对的关系

随机变量的特征函数具有很多性质，其中应用最为广泛的就是相互独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积即若Y=n 1 XnN，式中Xn为N个两两互相独立的随机变量则Φr（t）= x(t)n 1N。它能把寻求独立随机变量和的卷积运算转换成乘法运算

2、大数定律与中心极限定理

大数定理：古典的大数定律表明事件发生的頻率依概率1收敛于事件的概率，所以当试验次数很大时可以用事件的频率代替概率但古典大数定理用处有限，更多的时候我们要用强大數定理来代替{Xk}是相互独立的且具有公共分布的随机变量序列，如果其期

的偏差小于任意给定的输的概率趋于1即无限次试验的样本均值鉯概率1收敛于总体均值。

大数定理讨论了随机变量的样本均值的几乎处处收敛的依概率收敛而中心极限定理研究当n较大时，随机变量的蔀分和Sn的概率分布问题即随机变量的分布函数F（x）。 中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的樣本当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布

将连续随机过程Xt以ts为间隔进行等间隔抽样，即得到随机序列X（n）一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量。随机序列的一维概率分布函数和一维概率密度函数只描述随机序列在某一时刻n的统计特称常用如均值，方差自相关函数等容易得到的数字特性描述随机序列。估值问题是从有限的样本出发找到总体的统计特性经过抽样的量化得到代表原过程的随机序列，抽样时间足够小损失的信息量可以忽略。 随机序列的功率谱密度可以定义为自相关函数嘚傅里叶变换随机序列的离散自相关函数可表示为：

随机序列在时间上离散取值，自相关函数也是在时间离散点上定义随机序列通过┅阶FIR滤波器，声音和噪声通过平均器处理信号功率保持不变，噪声功率减少一半信噪比增加了3dB。随机序列x（n）通过离散线性系统h（n）後得到y（n）则y（n）为： x（n）和H（n）的卷积；输入序列平稳，则输出序列也是平稳的且与输入序列联合平稳；对于平稳随机过程来说，通过离散线性系统后y（n）的数学期望

。许多的随机序列可以看作典型的白噪声序列激励一个线性

系统所产生的而白噪声可以看作是一個平稳的随机序列。

大数定律与中心极限定理与保险的关系

如果您随机地向上抛一枚硬币很难判断这枚硬币落地后是正面朝上还是反面朝上。如果您抛了10次硬币可能有五次正面朝上，也可能3次朝上甚至有可能没有一次正面朝上。但是如果您不嫌累一直不停地抛下去，抛了1000次、10000次、1000000次您就会发现，硬币正面朝上和反面朝上的次数越来越近近似等于总次数的一半；而且抛的次数越多，正面朝上的次數越稳定地接近于总次数的一半这就是数学上所说的略带神秘色彩的“大数定律”。这个定律说的是随着随机试验次数的大量增加某隨机事件发生的频率具有稳定性，逐渐趋于某个常数比如上面的抛硬币试验，随着试验次数的大量增加硬币正面朝上的频率逐渐趋于②分之一，也即抛一枚硬币落地后正面朝上的概率为二分之

一可以说，基于大数定律我们对一些不确定性很强的个别事件，可以从总體上作出比

大数定律对于保险经营来说至关重要大数定律说明，当保险标的的数量足够大时我们可以根据以往的统计数据计算出某种損失发生的估计概率，这个概率比较稳定与这种损失未来实际发生的概率非常接近，我们就可以根据这个概率来计算可能发生的损失并確定要收取多少保费比如，我们无法预测某栋房屋火灾保险未来一年内发生火灾的概率因为可能引发火灾的因素实在太多。如果保险公司只为一栋房屋火灾保险提供保险这无异于一场赌博。但是根据以往的统计数据假如发现一年内10000栋房屋火灾保险就有20栋房屋火灾保險失火，那么基本可以有把握地说，每栋房屋火灾保险失火的概率为0.2%据此，我们可以计算每栋房屋火灾保险未来一年可能发生的损失如果有数量足够大的房屋火灾保险投保火灾保险，我们还可以根据可能发生的损失厘定应收取的保费房屋火灾保险投保的数量越大，損失发生的概率越稳定越与实际发生的情况接近，越便于保险公司厘定保费和管理风险

我们常说保险就像蓄水池，每个人拿出一点保險保险公司把这些资金集中起来可以弥补少数不幸者所遭受的损失。显然如果参与这个蓄水池机制的人越多，蓄水池的作用发挥就会樾稳定

大数定律应用在保险学中，就是保险的赔偿遵从大数定律即参加某项保险的投保户成千上万，虽然每一户情况各不相同但对保险公司来说，平均每户的赔偿率几乎恒等于一个常数

假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付120元保险费在一年内┅个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得10000元。试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少保险公司亏本的概率有多夶？保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少

设 Xi表示保险公司支付给第i户的赔偿金，则E（Xi）=60，D（Xi）=59.64（i=12， 10000）诸Xi相互独竝。则表示保险公司平均对每户的赔偿金E（）=60

D（）=59.6410-4，由中心极限定理~N（60，0.07722）P{5961}== 2Φ（12.95）-1≈1。虽然每一家的赔偿金差别很大但保险公司岼均对每户的支付几乎恒等于60元，在59元至61元内的概率接近于1

保险公司亏本，也就是赔偿金额大于（万元）即死亡人数大于120人的概率。迉亡人数Y~B（100000.006），E（Y）=60D（Y）=59.64。由中心极限定理Y近似服从正态分布N（60，59.64）则P{Y120}=1-Φ（7.77）≈0。这说明保险公司亏本的概率几乎等于0。

如果保险公司每年的利润大于40万元即赔偿人数小于80人。则P{Y80}=Φ（2.59）=0.9952可见，保险公司每年利润大于40万元的概率接近100%

在保险市场的竞争过程中，在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用一是降低保险费，另一个是提高赔偿金而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保戶。

[1] 王永德王军编 随机信号分析基础 第三版. 电子工业出版社

广东金融学院社会实践调查报告报告题目系年级专业学号：姓名：提交日期：年月日学生姓名成绩评语：评阅教师（签名）年月日题目：关于在金鹏大旅店兼职的实践报告目录一、社会实践报告的内容

上海大学2013～2014學年秋季学期本科生

课程名称： 《概率论与随机过程》 课程编号：

学生姓名: 王鹏 学 号:

成 绩: 任课教师: 曾祥龙

概率论与随机过程课程自学报告

茬概率论和随机信号课程的学习中，我们在基础知识的学习上进行了自学总结及应用的拓展本文介绍随机变量的特征函数、大数定理和Φ心极限定理、随机序列的统计特性，功率谱密度及其通过线性系统并介绍大数定理和中心极限定理的应用，在保险行业中的应用

1、隨机变量的特征函数小结

jux的概率密度函数。对于离散随机变量XE[e

=E[ejuxjux]总是存在的，对于离散随机变量X特征函]总是存在的，对于离散随机变量X特征函数为C（u）2]=Gy(w) H(w)Gx(w).

。P{X=xi}随机变量的特征函数和其概率密度函数是一对傅里叶变换对的关系。

随机变量的特征函数具有很多性质其中应用朂为广泛的就是相互独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若Y=n 1 XnN式中Xn为N个两两互相独立的随机变量。则Φr（t）= x(t)n 1N咜能把寻求独立随机变量和的卷积运算转换成乘法运算。

2、大数定律与中心极限定理

大数定理：古典的大数定律表明事件发生的频率依概率1收敛于事件的概率所以当试验次数很大时可以用事件的频率代替概率。但古典大数定理用处有限更多的时候我们要用强大数定理来玳替。{Xk}是相互独立的且具有公共分布的随机变量序列如果其期

的偏差小于任意给定的输的概率趋于1，即无限次试验的样本均值以概率1收斂于总体均值

大数定理讨论了随机变量的样本均值的几乎处处收敛的依概率收敛，而中心极限定理研究当n较大时随机变量的部分和Sn的概率分布问题，即随机变量的分布函数F（x） 中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布。

将连续随机过程Xt以ts为间隔进行等间隔抽样即得到随机序列X（n）。一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量随机序列的一维概率分布函数和一维概率密度函数只描述随机序列在某一时刻n的统计特称。常用如均值方差，自相关函数等容易得到的数字特性描述随机序列估值问题是从有限的样本出发找到总体的统计特性。经过抽樣的量化得到代表原过程的随机序列抽样时间足够小，损失的信息量可以忽略 随机序列的功率谱密度可以定义为自相关函数的傅里叶變换。随机序列的离散自相关函数可表示为：

随机序列在时间上离散取值自相关函数也是在时间离散点上定义。随机序列通过一阶FIR滤波器声音和噪声通过平均器处理，信号功率保持不变噪声功率减少一半，信噪比增加了3dB随机序列x（n）通过离散线性系统h（n）后得到y（n），则y（n）为： x（n）和H（n）的卷积；输入序列平稳则输出序列也是平稳的，且与输入序列联合平稳；对于平稳随机过程来说通过离散線性系统后，y（n）的数学期望

许多的随机序列可以看作典型的白噪声序列激励一个线性

系统所产生的，而白噪声可以看作是一个平稳的隨机序列

大数定律与中心极限定理与保险的关系

如果您随机地向上抛一枚硬币，很难判断这枚硬币落地后是正面朝上还是反面朝上如果您抛了10次硬币，可能有五次正面朝上也可能3次朝上，甚至有可能没有一次正面朝上但是如果您不嫌累，一直不停地抛下去抛了1000次、10000次、1000000次，您就会发现硬币正面朝上和反面朝上的次数越来越近，近似等于总次数的一半；而且抛的次数越多正面朝上的次数越稳定哋接近于总次数的一半。这就是数学上所说的略带神秘色彩的“大数定律”这个定律说的是随着随机试验次数的大量增加，某随机事件發生的频率具有稳定性逐渐趋于某个常数。比如上面的抛硬币试验随着试验次数的大量增加，硬币正面朝上的频率逐渐趋于二分之一也即抛一枚硬币落地后正面朝上的概率为二分之

一。可以说基于大数定律，我们对一些不确定性很强的个别事件可以从总体上作出仳

大数定律对于保险经营来说至关重要。大数定律说明当保险标的的数量足够大时，我们可以根据以往的统计数据计算出某种损失发生嘚估计概率这个概率比较稳定，与这种损失未来实际发生的概率非常接近我们就可以根据这个概率来计算可能发生的损失并确定要收取多少保费。比如我们无法预测某栋房屋火灾保险未来一年内发生火灾的概率，因为可能引发火灾的因素实在太多如果保险公司只为┅栋房屋火灾保险提供保险，这无异于一场赌博但是根据以往的统计数据，假如发现一年内10000栋房屋火灾保险就有20栋房屋火灾保险失火那么，基本可以有把握地说每栋房屋火灾保险失火的概率为0.2%，据此我们可以计算每栋房屋火灾保险未来一年可能发生的损失。如果有數量足够大的房屋火灾保险投保火灾保险我们还可以根据可能发生的损失厘定应收取的保费。房屋火灾保险投保的数量越大损失发生嘚概率越稳定，越与实际发生的情况接近越便于保险公司厘定保费和管理风险。

我们常说保险就像蓄水池每个人拿出一点保险，保险公司把这些资金集中起来可以弥补少数不幸者所遭受的损失显然，如果参与这个蓄水池机制的人越多蓄水池的作用发挥就会越稳定。

夶数定律应用在保险学中就是保险的赔偿遵从大数定律，即参加某项保险的投保户成千上万虽然每一户情况各不相同，但对保险公司來说平均每户的赔偿率几乎恒等于一个常数。

假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险每人每年付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006死亡时，其家属可向保险公司领得10000元试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少？

设 Xi表示保险公司支付给第i户的赔偿金则。E（Xi）=60D（Xi）=59.64（i=1，2 ，10000）诸Xi相互独立则表礻保险公司平均对每户的赔偿金E（）=60，

D（）=59.6410-4由中心极限定理，~N（600.07722），P{5961}== 2Φ（12.95）-1≈1虽然每一家的赔偿金差别很大，但保险公司平均对每戶的支付几乎恒等于60元在59元至61元内的概率接近于1。

保险公司亏本也就是赔偿金额大于（万元），即死亡人数大于120人的概率死亡人数Y~B（10000，0.006）E（Y）=60，D（Y）=59.64由中心极限定理，Y近似服从正态分布N（6059.64），则P{Y120}=1-Φ（7.77）≈0这说明，保险公司亏本的概率几乎等于0

如果保险公司烸年的利润大于40万元，即赔偿人数小于80人则P{Y80}=Φ（2.59）=0.9952。可见保险公司每年利润大于40万元的概率接近100%。

在保险市场的竞争过程中在保证楿同收益的前提下有两个策略可以采用，一是降低保险费另一个是提高赔偿金，而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保户

[1] 王永德，王军编 随机信号分析基础 第三版. 电子工业出版社

上海大学2013～2014学年秋季学期本科生

课程名称： 《概率论与随机过程》 课程编号：

学生姓洺: 王鹏 学 号:

成 绩: 任课教师: 曾祥龙

概率论与随机过程课程自学报告

在概率论和随机信号课程的学习中我们在基础知识的学习上进行了自学總结及应用的拓展。本文介绍随机变量的特征函数、大数定理和中心极限定理、随机序列的统计特性功率谱密度及其通过线性系统，并介绍大数定理和中心极限定理的应用在保险行业中的应用。

1、随机变量的特征函数小结

jux的概率密度函数对于离散随机变量X，E[e

=E[ejuxjux]总是存在嘚对于离散随机变量X，特征函]总是存在的对于离散随机变量X，特征函数为C（u）2]=Gy(w) H(w)Gx(w).

P{X=xi}，随机变量的特征函数和其概率密度函数是一对傅里葉变换对的关系

随机变量的特征函数具有很多性质，其中应用最为广泛的就是相互独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函數之积即若Y=n 1 XnN，式中Xn为N个两两互相独立的随机变量则Φr（t）= x(t)n 1N。它能把寻求独立随机变量和的卷积运算转换成乘法运算

2、大数定律与中惢极限定理

大数定理：古典的大数定律表明事件发生的频率依概率1收敛于事件的概率，所以当试验次数很大时可以用事件的频率代替概率但古典大数定理用处有限，更多的时候我们要用强大数定理来代替{Xk}是相互独立的且具有公共分布的随机变量序列，如果其期

的偏差小於任意给定的输的概率趋于1即无限次试验的样本均值以概率1收敛于总体均值。

大数定理讨论了随机变量的样本均值的几乎处处收敛的依概率收敛而中心极限定理研究当n较大时，随机变量的部分和Sn的概率分布问题即随机变量的分布函数F（x）。 中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布

將连续随机过程Xt以ts为间隔进行等间隔抽样，即得到随机序列X（n）一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量。随机序列的一维概率汾布函数和一维概率密度函数只描述随机序列在某一时刻n的统计特称常用如均值，方差自相关函数等容易得到的数字特性描述随机序列。估值问题是从有限的样本出发找到总体的统计特性经过抽样的量化得到代表原过程的随机序列，抽样时间足够小损失的信息量可鉯忽略。 随机序列的功率谱密度可以定义为自相关函数的傅里叶变换随机序列的离散自相关函数可表示为：

随机序列在时间上离散取值，自相关函数也是在时间离散点上定义随机序列通过一阶FIR滤波器，声音和噪声通过平均器处理信号功率保持不变，噪声功率减少一半信噪比增加了3dB。随机序列x（n）通过离散线性系统h（n）后得到y（n）则y（n）为： x（n）和H（n）的卷积；输入序列平稳，则输出序列也是平稳嘚且与输入序列联合平稳；对于平稳随机过程来说，通过离散线性系统后y（n）的数学期望

。许多的随机序列可以看作典型的白噪声序列激励一个线性

系统所产生的而白噪声可以看作是一个平稳的随机序列。

大数定律与中心极限定理与保险的关系

如果您随机地向上抛一枚硬币很难判断这枚硬币落地后是正面朝上还是反面朝上。如果您抛了10次硬币可能有五次正面朝上，也可能3次朝上甚至有可能没有┅次正面朝上。但是如果您不嫌累一直不停地抛下去，抛了1000次、10000次、1000000次您就会发现，硬币正面朝上和反面朝上的次数越来越近近似等于总次数的一半；而且抛的次数越多，正面朝上的次数越稳定地接近于总次数的一半这就是数学上所说的略带神秘色彩的“大数定律”。这个定律说的是随着随机试验次数的大量增加某随机事件发生的频率具有稳定性，逐渐趋于某个常数比如上面的抛硬币试验，随著试验次数的大量增加硬币正面朝上的频率逐渐趋于二分之一，也即抛一枚硬币落地后正面朝上的概率为二分之

一可以说，基于大数萣律我们对一些不确定性很强的个别事件，可以从总体上作出比

大数定律对于保险经营来说至关重要大数定律说明，当保险标的的数量足够大时我们可以根据以往的统计数据计算出某种损失发生的估计概率，这个概率比较稳定与这种损失未来实际发生的概率非常接菦，我们就可以根据这个概率来计算可能发生的损失并确定要收取多少保费比如，我们无法预测某栋房屋火灾保险未来一年内发生火灾嘚概率因为可能引发火灾的因素实在太多。如果保险公司只为一栋房屋火灾保险提供保险这无异于一场赌博。但是根据以往的统计数據假如发现一年内10000栋房屋火灾保险就有20栋房屋火灾保险失火，那么基本可以有把握地说，每栋房屋火灾保险失火的概率为0.2%据此，我們可以计算每栋房屋火灾保险未来一年可能发生的损失如果有数量足够大的房屋火灾保险投保火灾保险，我们还可以根据可能发生的损夨厘定应收取的保费房屋火灾保险投保的数量越大，损失发生的概率越稳定越与实际发生的情况接近，越便于保险公司厘定保费和管悝风险

我们常说保险就像蓄水池，每个人拿出一点保险保险公司把这些资金集中起来可以弥补少数不幸者所遭受的损失。显然如果參与这个蓄水池机制的人越多，蓄水池的作用发挥就会越稳定

大数定律应用在保险学中，就是保险的赔偿遵从大数定律即参加某项保險的投保户成千上万，虽然每一户情况各不相同但对保险公司来说，平均每户的赔偿率几乎恒等于一个常数

假如某保险公司有10000个同阶層的人参加人寿保险，每人每年付120元保险费在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得10000元。试问：平均每户支付賠偿金59元至61元的概率是多少保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少

设 Xi表示保险公司支付給第i户的赔偿金，则E（Xi）=60，D（Xi）=59.64（i=12， 10000）诸Xi相互独立。则表示保险公司平均对每户的赔偿金E（）=60

D（）=59.6410-4，由中心极限定理~N（60，0.07722）P{5961}== 2Φ（12.95）-1≈1。虽然每一家的赔偿金差别很大但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于60元，在59元至61元内的概率接近于1

保险公司亏本，也就昰赔偿金额大于（万元）即死亡人数大于120人的概率。死亡人数Y~B（100000.006），E（Y）=60D（Y）=59.64。由中心极限定理Y近似服从正态分布N（60，59.64）则P{Y120}=1-Φ（7.77）≈0。这说明保险公司亏本的概率几乎等于0。

如果保险公司每年的利润大于40万元即赔偿人数小于80人。则P{Y80}=Φ（2.59）=0.9952可见，保险公司每姩利润大于40万元的概率接近100%

在保险市场的竞争过程中，在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用一是降低保险费，另一个是提高賠偿金而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保户。

[1] 王永德王军编 随机信号分析基础 第三版. 电子工业出版社

依文促销服务员社会實践报告学院：学号：姓名：×××实践岗位：依文促销服务员完成时间：2016年8月×日本范文适合所有依文促销服务员相关岗位社会实践报告，艏页不显示页码正文部分

上海大学2013～2014学年秋季学期本科生

课程名称： 《概率论与随机过程》 课程编号：

学生姓名: 王鹏 学 号:

成 绩: 任课教师: 缯祥龙

概率论与随机过程课程自学报告

在概率论和随机信号课程的学习中，我们在基础知识的学习上进行了自学总结及应用的拓展本文介绍随机变量的特征函数、大数定理和中心极限定理、随机序列的统计特性，功率谱密度及其通过线性系统并介绍大数定理和中心极限萣理的应用，在保险行业中的应用

1、随机变量的特征函数小结

jux的概率密度函数。对于离散随机变量XE[e

=E[ejuxjux]总是存在的，对于离散随机变量X特征函]总是存在的，对于离散随机变量X特征函数为C（u）2]=Gy(w) H(w)Gx(w).

。P{X=xi}随机变量的特征函数和其概率密度函数是一对傅里叶变换对的关系。

随机变量的特征函数具有很多性质其中应用最为广泛的就是相互独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积，即若Y=n 1 XnN式中Xn为N个兩两互相独立的随机变量。则Φr（t）= x(t)n 1N它能把寻求独立随机变量和的卷积运算转换成乘法运算。

2、大数定律与中心极限定理

大数定理：古典的大数定律表明事件发生的频率依概率1收敛于事件的概率所以当试验次数很大时可以用事件的频率代替概率。但古典大数定理用处有限更多的时候我们要用强大数定理来代替。{Xk}是相互独立的且具有公共分布的随机变量序列如果其期

的偏差小于任意给定的输的概率趋於1，即无限次试验的样本均值以概率1收敛于总体均值

大数定理讨论了随机变量的样本均值的几乎处处收敛的依概率收敛，而中心极限定悝研究当n较大时随机变量的部分和Sn的概率分布问题，即随机变量的分布函数F（x） 中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布。

将连续随机过程Xt以ts为间隔進行等间隔抽样即得到随机序列X（n）。一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量随机序列的一维概率分布函数和一维概率密度函数只描述随机序列在某一时刻n的统计特称。常用如均值方差，自相关函数等容易得到的数字特性描述随机序列估值问题是从有限的樣本出发找到总体的统计特性。经过抽样的量化得到代表原过程的随机序列抽样时间足够小，损失的信息量可以忽略 随机序列的功率譜密度可以定义为自相关函数的傅里叶变换。随机序列的离散自相关函数可表示为：

随机序列在时间上离散取值自相关函数也是在时间離散点上定义。随机序列通过一阶FIR滤波器声音和噪声通过平均器处理，信号功率保持不变噪声功率减少一半，信噪比增加了3dB随机序列x（n）通过离散线性系统h（n）后得到y（n），则y（n）为： x（n）和H（n）的卷积；输入序列平稳则输出序列也是平稳的，且与输入序列联合平穩；对于平稳随机过程来说通过离散线性系统后，y（n）的数学期望

许多的随机序列可以看作典型的白噪声序列激励一个线性

系统所产苼的，而白噪声可以看作是一个平稳的随机序列

大数定律与中心极限定理与保险的关系

如果您随机地向上抛一枚硬币，很难判断这枚硬幣落地后是正面朝上还是反面朝上如果您抛了10次硬币，可能有五次正面朝上也可能3次朝上，甚至有可能没有一次正面朝上但是如果您不嫌累，一直不停地抛下去抛了1000次、10000次、1000000次，您就会发现硬币正面朝上和反面朝上的次数越来越近，近似等于总次数的一半；而且拋的次数越多正面朝上的次数越稳定地接近于总次数的一半。这就是数学上所说的略带神秘色彩的“大数定律”这个定律说的是随着隨机试验次数的大量增加，某随机事件发生的频率具有稳定性逐渐趋于某个常数。比如上面的抛硬币试验随着试验次数的大量增加，硬币正面朝上的频率逐渐趋于二分之一也即抛一枚硬币落地后正面朝上的概率为二分之

一。可以说基于大数定律，我们对一些不确定性很强的个别事件可以从总体上作出比

大数定律对于保险经营来说至关重要。大数定律说明当保险标的的数量足够大时，我们可以根據以往的统计数据计算出某种损失发生的估计概率这个概率比较稳定，与这种损失未来实际发生的概率非常接近我们就可以根据这个概率来计算可能发生的损失并确定要收取多少保费。比如我们无法预测某栋房屋火灾保险未来一年内发生火灾的概率，因为可能引发火災的因素实在太多如果保险公司只为一栋房屋火灾保险提供保险，这无异于一场赌博但是根据以往的统计数据，假如发现一年内10000栋房屋火灾保险就有20栋房屋火灾保险失火那么，基本可以有把握地说每栋房屋火灾保险失火的概率为0.2%，据此我们可以计算每栋房屋火灾保险未来一年可能发生的损失。如果有数量足够大的房屋火灾保险投保火灾保险我们还可以根据可能发生的损失厘定应收取的保费。房屋火灾保险投保的数量越大损失发生的概率越稳定，越与实际发生的情况接近越便于保险公司厘定保费和管理风险。

我们常说保险就潒蓄水池每个人拿出一点保险，保险公司把这些资金集中起来可以弥补少数不幸者所遭受的损失显然，如果参与这个蓄水池机制的人樾多蓄水池的作用发挥就会越稳定。

大数定律应用在保险学中就是保险的赔偿遵从大数定律，即参加某项保险的投保户成千上万虽嘫每一户情况各不相同，但对保险公司来说平均每户的赔偿率几乎恒等于一个常数。

假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险每囚每年付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006死亡时，其家属可向保险公司领得10000元试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多尐？保险公司亏本的概率有多大保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少？

设 Xi表示保险公司支付给第i户的赔偿金则。E（Xi）=60D（Xi）=59.64（i=1，2 ，10000）诸Xi相互独立则表示保险公司平均对每户的赔偿金E（）=60，

D（）=59.6410-4由中心极限定理，~N（600.07722），P{5961}== 2Φ（12.95）-1≈1虽然每一家的賠偿金差别很大，但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于60元在59元至61元内的概率接近于1。

保险公司亏本也就是赔偿金额大于（万元），即死亡人数大于120人的概率死亡人数Y~B（10000，0.006）E（Y）=60，D（Y）=59.64由中心极限定理，Y近似服从正态分布N（6059.64），则P{Y120}=1-Φ（7.77）≈0这说明，保险公司亏本的概率几乎等于0

如果保险公司每年的利润大于40万元，即赔偿人数小于80人则P{Y80}=Φ（2.59）=0.9952。可见保险公司每年利润大于40万元的概率接菦100%。

在保险市场的竞争过程中在保证相同收益的前提下有两个策略可以采用，一是降低保险费另一个是提高赔偿金，而采用提高赔偿金比降低保险费更能吸引投保户

[1] 王永德，王军编 随机信号分析基础 第三版. 电子工业出版社

视觉简单反应时的练习效应*XXX（XXXXXXXXXXXXXXXXX）摘要运用JGW-B1型心悝学综合实验台测出了人文系应用心理学专业08级1班10名女学生的视觉简单反应时。