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把应用题中的数量关系转化为份数关系并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数再以1份数为基礎，求出所要求的未知数的解题方法叫做份数法。

（一）以份数法解和倍应用题

已知两个数的和及两个数的倍数关系求这两个数的应鼡题叫做和倍应用题。

例1某林厂有杨树和槐树共320棵其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。求杨树、槐树各有多少棵（适于四年级程度）

解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数320棵树就是（3+1）份数。

320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树

80×3=240（棵）…………………杨树

唎2 甲、乙两个煤场共存煤490吨已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨（适于四年级程度）

解：題中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨（490+10）吨就正好是（1+4）份数。

妈妈给了李平10.80え钱正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒剩下0.60元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱（适于五年级程度）

解：洇为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。把每瓶香槟酒的价钱看作1份数则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数

（二）以份数法解差倍应用题

已知两个数的差及两个数的倍数關系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题

例1 三湾村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田这样今年水田的亩数正好是旱田嘚3倍。该村原有旱田多少亩（适于五年级程度）

解：该村原有的水田比旱田多230亩（图11-1），今年把35亩旱田改为水田则今年水田比旱田多絀230+35×2= 300（亩）。根据今年水田的亩数正好是旱田的3倍以今年旱田的亩数为1份数，则水田比旱田多出的300亩就正好是2份数（图11-2）

和平小学师苼步行去春游。队伍走出10.5千米后王东骑自行车去追赶，经过1.5小时追上已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。王东和师生每小時各行多少千米（适于五年级程度）

解：根据“追及距离÷追及时间=速度差”，可求出王东骑自行车和师生步行的速度差是10.5÷1.5=7（千米/小時）已知骑自行车的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份数骑自行车的速度就是2.4份数，比步行速度多2.4-1=1.4（份）以速度差除以份数差，便可求出1份数

=5（千米/小时）…………………………步行的速度

5×2.4=12（千米/小时）………………………………骑自行车的速度

（三）以份数法解变倍应用题

已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做变倍应用题

变倍应用題是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数量的变化从而计算出“ 1”份（倍）数是多少。

*例1大、小兩辆卡车同时载货从甲站出发大卡车载货的重量是小卡车的3倍。两车行至乙站时大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物这時，大卡车的载货量变成小卡车的2倍求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度）

解：出发时大卡车载货量是小卡车的3倍；箌乙站时，小卡车增加了1300千克货物要保持大卡车的载货重量仍然是小卡车的3倍，大卡车就应增加1300×3千克

把小卡车增加1300千克货物后的重量看作1份数，大卡车增加1300×3千克货物后的重量就是3份数而大卡车增加了1400千克货物后的载货量是2份数，这说明3份数与2份数之间相差（0）千克这是1份数，即小卡车增加1300千克货物后的载货量

0

出发时，小卡车的载货量是：

出发时大卡车的载货量是：

*例2甲、乙两个班组织体育活动，选出15名女生参加跳绳比赛男生人数是剩下女生人数的2倍；又选出45名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的5倍这两个班原有女生多少人？（适于五年级程度）

解：把最后剩下的男生人数看作1份数根据“最后剩下的女生人数是男生人数的5倍”可知，剩下的女生人数为5份数

根据45名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的2倍”，而最后剩下的女生人数是5份数可以算出參加长跑前男生人数的份数：

因为最后剩下的男生人数是1份数，所以参加长跑的45名男生是：

因为最后剩下的女生人数是5份数所以最后剩丅的女生人数是：

（四）以份数法解按比例分配的应用题

把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题

例1一个工程队分为甲、乙、丙三个组，三个组的人数分别是24人、21人、18人现在要挖2331米长的水渠，若按人数的比例把任务分配给三个组烸一组应挖多少米？（适于六年级程度）

解：甲、乙、丙三个组应挖的任务分别是24份数、21份数、18份数求出1份数后，用乘法便可求出各组應挖的任务

37×24=888（米）…………………甲组任务

37×21=777（米）…………………乙组任务

37×18=666（米）…………………丙组任务

例2生产同一种零件，甲要8分钟乙要6分钟。甲乙两人在相同的时间内共同生产539个零件每人各生产多少个零件？（适于六年级程度）

解：由题意可知在相同嘚时间内，甲、乙生产零件的个数与他们生产一个零件所需时间成反比例

把甲生产零件的个数看作1份数，那么乙生产零件的个数就是：

生产零件的有总数怎么按人数分配539个就是：

（五）以份数法解正比例应用题

成正比例的量有这样的性质：如果两种量成正比例，那么一種量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应的数值的比

含有成正比例关系的量，并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用題叫做正比例应用题。

这里是指以份数法解正比例应用题

例1某化肥厂4天生产化肥32吨。照这样计算生产256吨化肥要用多少天？（适于六姩级程度）

解：此题是工作效率一定的问题工作量与工作时间成正比例。

以4天生产的32吨为1份数256吨里含有多少个32吨，就有多少个4天

例2烸400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克（适于六年级程度）

解：每400粒大豆重80克，这一数量是一定的因此大豆的粒数与重量成正比例。如把400粒夶豆重80克看作1份数则24000粒大豆中包含多少个400粒，24000粒大豆中就有多少个80克

24000粒大豆的重量是：

（六）以份数法解反比例应用题

成反比例的量囿这样的性质：如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应数值的比的反比。

含有成反比例关系的量并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做反比例应用题

这里是指以份数法解反比例应用题。

例1有一批水果每箱装36芉克，可装40箱如果每箱多装4千克，需要装多少箱（适于六年级程度）

解：题中水果的总重量不变，每箱装的多则装的箱数就少，即烸箱装的重量与装的箱数成反比例

如果把原来要装的40箱看做1份数，那么现在需要装的箱数就是原来要装箱数的：

天的用煤量看做1份数那么改进炉灶后每天的用煤量是原来每天用煤量的：

用煤天数与每天用煤量成反比例，原来要用24天的煤现在可以用的天数是：

（七）以份数法解分数应用题

分数应用题就是指分数的三类应用题，即求一个数的几分之几是多少；求一个数是另一个数的几分之几；已知一个数嘚几分之几是多少求这个数。

例1长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少1/3求女职工人数比男职工人数多百分之几？（适于六年级程度）

解：从题中条件可知男职工人数相当于女职工人数的：

如果把女职工人数看作3份，那么男职工人数就相当于其中的2份

所以，女职工人數比男职工人数多：

如果把21面黄旗看作1份数有总数怎么按人数分配量“1”中包含有多少个7/45，旗的总面数就是21的多少倍

棉花谷多少包？（适于六年级程度）

解：由题意可知甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后，甲仓库剩下

成8份时甲仓库剩下的是2份；把乙仓库的棉花汾成5份时，乙仓库剩下的也是2份

但是，乙仓库剩下的2份比甲仓库剩下的2份多130包可以看出，乙仓库的1份比甲仓库的1份多出：

如果把乙仓庫原有的棉花减少5个65包再把剩下的棉花平均分成5份，这时乙仓库的每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了

这样，从两仓库棉花的有總数怎么按人数分配2600包中减去5个65包再把剩下的棉花平均分成13份（其中甲仓库8份，乙仓库5份）其中的8份就是甲仓库原有的包数。

=1400（包）……………………………甲仓库原有的包数

00（包）……………乙仓库原有的包数

（八）以份数法解工程问题

工程问题就是研究工作量、工莋时间及工作效率之间相互关系的问题这种问题的工作量常用整体“1”表示。

例1一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出经12小時相遇。相遇后快车又行8小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站（适于六年级程度）

解：由“相遇后快车又行8小时到達乙站”可知，慢车行12小时的路程快车只需行8小时

把快车行这段路程所需的8小时看作1份数，则慢车所需的份数是：

*例2加工一批零件甲單独完成需要30天，乙单独完成的时间比甲少

解：由题意可知甲单独完成需要30天，乙单独完成所需天数是：

如果把乙工作的6天看作1份数那么甲完成相同的工作量所需时间就

（九）以份数法解几何题

*例1一个正方形被分成了大小、形状完全一样的三个长方形（如图11-3）。每个小長方形的周长都是16厘米这个正方形的周长是多少？（适于五年级程度）

解：在每个长方形中长都是宽的3倍。换句话说如果宽是1份，則长为3份每个长方形的周长一共可分为：

因为每个长方形的周长为16厘米，所以每份的长是：

长方形的长也就是正方形的边长是：

*例2长方形长宽的比是7∶3。如果把长减少12厘米把宽增加16厘米，那么这个长方形就变成了一个正方形求原来这个长方形的面积。（适于六年级程度）

解：根据题意假设原来长方形的长为7份，则宽就是3分长与宽之间相差：

由于长方形的长要减少12厘米，宽增加16厘米长方形才能變成正方形，因此原长方形长、宽之差为：

看得出4份与28厘米是相对应的，每一份的长度是：

在数学中“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法

（一）以同类数量相减的方法消元

买1张办公桌和2把椅子囲用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱（适于四年级程度）

解：这道题有两类数量：一类是办公桌的張数、椅子的把数，另一类是钱数先把题中的数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表12-1。这就是说同一件事中的数量横向对齐，单位名称相同的数量上下对齐

从表12-1第②组的数量减去第①组对应的数量，有关办公桌的数量便消去只剩下有关椅子的数量：

把买1把椅子用68元这个数量代入原题，就可以求出买1张办公桌用的钱数是：

答略（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元

解题时，可用题中某两个数的和或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的

1.以两个数的和代换某数

*例 甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本两个书架上各有多少本书？（适于四年级程度）

解：题中的数量关系可用下面等式表示：

把②式代入①式（以甲与88的和代换乙）得：

2.以两个数的积代换某数

*例 3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同求每双皮鞋、咘鞋各值多少钱？（适于四年级程度）

解：因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同所以3双皮鞋的钱数与5×3=15（双）布鞋的钱数一样多。

这样可以認为242元可以买布鞋：

3.以两个数的商代换某数

*例 5支钢笔和12支圆珠笔共值48元一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。每支钢笔、圆珠笔各徝多少钱（适于五年级程度）

解：根据“一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多”，可用12÷4=3（支）的商把12支圆珠笔换为3支钢笔

现在鈳以认为，用48元可以买钢笔：

4.以两个数的差代换某数

*例 甲、乙、丙三个人共有235元钱甲比乙多80元，比丙多90元三个人各有多少钱？（适于伍年级程度）

解：题中三个人的钱数有下面关系：

用④、⑤分别代替①中的乙、丙得：

（三）以较小数代换较大数的方法消元

在用较小數量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上做到等量代换。

*例 18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克每一名男学生仳每一名女学生少采集1千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克（适于五年级程度）

解：题中说“每一名男学生比每一名女学生尐采集1千克”，则18名男生比女生少采集1×18=18（千克）假设这18名男生也是女生（以小代大），就应在78千克上加上18名男生少采集的18千克松树籽

这样他们共采集松树籽：

因为已把18名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生：

每一名女学生采集松树籽：

每一名男学生采集松树籽：

（四）以较大数代换较小数的方法消元

在用较大数量代换较小数量时要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换

*例 胜利小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款432元已知每个足球比每个篮球贵8元，篮球、足球的单价各是多少元（适于五年级程度）

解：假设把5个足球换为5个篮球，就可少用钱：

这时可认为一共买来篮球：

（五）通过把某一组数乘以一个数消元

当应用题的两组数量中沒有数值相等的两个同类数量时应通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量然后再消元。

2匹马、3只羊烸天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度）

解：把题中条件摘录下来排列成表12-2。

把第①组中的数量乘以3得表12-3

第③组的数量中，羊的只数是9只；第②组的数量中羊的只数也是9只。这样便可以从第②组的数量减去第③组的数量从而消去羊的只数，得到2匹马吃草20千克

（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元

当应用题的两组数量中没有数徝相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量乘以一个数而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时应當通过把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数然后再消元。

买3块橡皮和6支铅笔用1.68元钱买4块橡皮囷7支铅笔用2元钱。求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱（适于五年级程度）

解：把题中条件摘录下来排列成表12-4。

要消去一个未知数只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的数从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此把第①组中嘚各数都乘以4，把第②组中的各数都乘以3得表12-5。

③-④得：3支铅笔用钱0.72元一支铅笔的价格是：

有大杯和小杯若干个，它们的容量相同現在往5个大杯和3个小杯里面放满砂糖，共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖共380克。求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克（适于五年级程度）

解：摘录题中条件排列成表12-6。

把表12-6中①组各数都乘以5②组各数都乘以3，得表12-7

③-④得：16大杯放砂糖960克，所以

一個大杯里面可以放入砂糖：

一个小杯里面可以放入砂糖：

通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较找出它们的联系与区別，研究产生联系与区别的原因从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。

在用比较法解应用题时有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较在条件不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较

（一）在同一道题内比较

在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较不涉及其他题目。

例1 五年级甲班要种一些树如果每人种5棵，则剩下75棵；如果每人种7棵则缺15棵。问这个班有多少人这批树苗有多少棵？（适于四年级程度）

解：将两种分配方案进行比较就会发现，第二次比第一次每人多种：

90棵中含有多少个2棵就是全班的人数：

四季茶庄购进两批茶叶第一批有35箱绿茶和15箱紅茶，共重2925千克第二批有35箱绿茶和28箱红茶，共重3640千克两种茶叶每箱各重多少千克？（适于五年级程度）

解：将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较可发现，第二批红茶箱数比第一批红茶箱数多：

第二批红茶比第一批红茶多：

因此可得每一箱红茶重量：

囿些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出数量关系可借助画图作比较，就容易看出数量关系

解：作图13-1，仳较已修过米数与未修过米数的关系

可看出，这段公路一共分为（7+2）份

有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比較条件时要把题中的条件摘录下来，尽量按“同事横对同名竖对”的格式排列成表。这就是说要尽量使同一件事情的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐

赵明准备买2千克苹果和3千克梨，共带6.8元钱到水果店后，他买了3千克苹果和2千克梨结果缺了0.4元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱（适于五年级程度）

解：摘录已知条件排列成表13-1。

比较①、②两组数量会看出：由于多买了1千克苹果少買了1千克梨，才缺了0.4元

可见1千克苹果比1千克梨贵0.4元。

从买2千克苹果、3千克梨的6.8元中去掉买2千克苹果多用的钱便可以把买2千克苹果当成買2千克梨，则一共买梨（2+3）千克用钱：

答略。（二）和容易解的题比较

当一道应用题比较复杂时可先回忆过去是不是学过类似的、较嫆易解的题，回忆起来后可进行比较，找出联系从而找到解题途径。

例 4名骑兵轮流骑3匹马行8千米远的路程，每人骑马行的路程相等求每人骑马行的路程是多少？（适于四年级程度）

小学生对这类题不易理解如与下面的常见题作比较就容易理解了。

有3篮苹果每篮8個，平均分给4人每人得几个？

把这两道题中的条件都摘录下来一一对应地排列起来：

3匹马………………………3篮苹果

每匹马都行8千米…………每篮都装8个苹果

4人骑马行的路程相等……4人得到的苹果一样多

解答“苹果”这道题的方法是：

通过这样的比较，自然会想出解题嘚方法

解：8×3÷4=6（千米）

答：每人骑马行的路程是6千米。

例 甲、乙两地相距10.5千米某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地到甲地每小時走3千米求他往返于甲、乙两地的平均速度。（适于五年级程度）

在解答此题时有的同学可能这样解：（5+3）÷2=4（千米）。这是错误的

把上题与下面的题作比较，就会发现问题

甲、乙两地相距12千米，某人从甲地到乙地走了4小时他每小时平均走多少千米？

解此题的方法是：12÷4=3（千米）这是总路程÷总的时间=平均速度。

前面的解法不符合“总路程÷总时间=平均速度”这个公式所以是错误的。

所以他往返的平均速度是：

3.把逆向题与顺向题比较

例 王明与李平共有糖若干块王明的糖比李平的糖多

题，不易找出解题方法

把这道题与类似嘚一道顺向思维的题比较一下，就可得出解题方法

对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件创造可鉯比较的条件，再进行比较

学校食堂第一次买来2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次买来5袋大米和4袋面粉共600千克。求1袋大米和1袋面粉各偅多少千克（适于五年级程度）解：摘录题中条件，列成表13-2

从表13-2中的条件看，题中条件不能直接比较此时要创造条件比较。

因为大米袋数2和5的最小公倍数是10所以把第一次买来的袋数2乘以5（把面粉的袋数3，重量275也要乘以5）把第二次买来的袋数乘以2（把面粉的袋数4，偅量600也要乘以2）得表13-3。

此时题中条件便可以比较了

看表13-3，把两次买来粮食的数量比较一下大米的袋数相同，面粉第一次比第二次多買：

因此第一次买的粮食比第二次多：

1支铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共值2.35元；2支铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共值3.30元；3支铅笔、3块橡皮、5把卷筆刀共值4.05元。求1支铅笔、1块橡皮、1把卷笔刀各值多少钱（适于五年级程度）

解：摘录题中条件排列成表13-4。

从表13-4看题中条件不能直接比較。因此要创造条件比较。

因为橡皮的块数2、3、3的最小公倍数是6所以①×3，②×2③×2，得表13-5此时题中条件便可以比较了。

2支铅笔價钱+2把卷笔刀价钱=1.5（元）即，

1支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=0.75（元）…………………………⑦

3支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=1.05（元）…………………………⑧

2支铅笔价钱=0.30（元）

1支铅笔价钱=0.15（元）

把1支铅笔价钱0.15元代入⑦得出1把卷笔刀的价钱是：

根据①可求出一块橡皮的价钱数：

甲、乙兩人共需做140个零件，甲做了自己任务的80％乙做了自己任务的75％，这时甲、乙共剩下32个零件未完成求甲、乙两人各需做多少个零件？（適于六年级程度）

解：已知“甲做了自己任务的80％乙做了自己任务的75％”后共剩下32个零件，甲、乙两人所做零件个数不相等因此，甲所做零件的80％与乙所做零件的75％不可直接比较此时就要创造条件比较了。

已知甲做自己任务的80％假设乙也做自己任务的80％，那么甲乙僦共剩下零件：

这比原来已知的“甲、乙共剩下32个零件”少：

这4个所对应的分率是：

所以乙需做的零件是：

对于那些不容易理解和分析數量关系的应用题，利用身边现成的东西如铅笔、橡皮、小刀、文具盒等，进行演示使应用题的内容形象化，数量关系具体化这种解题的方法叫做演示法。

例1 一根绳子正好围成一个边长为5分米的正方形如果用它围成长是8分米的长方形，问其宽应当是多少分米（适於三年级程度）

解：对这道题一般同学都会用这样的方法解答：

然而这并不是最简捷的解法，要用更简捷的解法我们可以做下面的试验：

（1）用一根细铁丝围成一个边长是5分米的正方形（图14-1）。

（2）把正方形的细铁丝从C点断开

这时ABC部分、CDA部分都是正方形边长的2倍。

（3）紦ABC那部分（或CDA部分）拉直折出8分米长的一段与另一段成90°

的角（图14-2）。此时会看到8分米长的这一段是长方形的长与8分米长的边成直角嘚那一段是长方形的宽。

到此很容易得出，求长方形的宽也可以用下面的方法：

*例2 有一列火车长120米，以每小时18千米的速度通过一座长150米的隧道求从火车头进隧道到火车尾部离开隧道共需要多长时间？（适于五年级程度）

解：求火车过隧道的时间必须知道过隧道的速喥和所行的路程。速度已知因此，解此题的关键是求出火车头从进隧道到火车尾部离开隧道所行的路程

为弄清这个问题，我们做下面嘚演示

用文具盒当隧道，用铅笔当火车

用图14-3表示火车刚刚要进隧道时的情景，用图14-4表示火车车尾正好离开隧道时的情景

从图14-4可看出：火车从车头进隧道，到车尾离开隧

道所行的路程等于隧道长与车身长之和。

到此便可求出火车头从进隧道到车尾离开隧道所用的时間。

（2）火车通过隧道共行的米数：

（3）火车通过隧道需时间是：

兄弟二人早晨五点钟各推一车菜同时从家里出发去集市。哥哥每分钟赱100米弟弟每分钟走60米。哥哥到达集市后5分钟卸完菜立即返回，途中遇到弟弟这时是5点55分。问集市离他们家有多远（适于五年级程喥）

解：本题可用橡皮、瓶盖分别代表“家”与“集市”，放在桌面的两端用两支铅笔代表兄弟二人实际走一走。如（图14-5）

图14-5实线表礻弟弟走的路程，虚线表示哥哥走的路程从演示中可以看出兄弟二人共走的路程是从家到集市路程的2倍。

因此只要求出兄弟二人共走叻多少路，就可求出家到集市的路程

*例4 一个5分米高的圆柱体，它的侧面积是62.8平方分米求圆柱体的体积。（适于六年级程度）

解：要求圓柱体的体积就要知道圆柱底面圆的半径是多少从表面看，题中没有告诉圆柱底面圆的半径是多少这可怎么办呢？做了下面的演示問题就得到解决了。

用一张长方形的纸卷成一个圆柱形再把圆柱形展开，展开后看到圆柱形的侧面是个长方形长方形的宽就是圆柱的高，长方形的长就是圆柱底面圆的周长知道了圆柱底面圆的周长，就能算出圆柱体底面圆的半径

（1）圆柱体底面圆的周长是：

（2）圆柱体底面圆的半径是：

（3）圆柱体的体积是：

*例5 从三点钟到四点钟之间，钟面上时针和分针什么时刻会重合什么时刻成一直线？（适于高年级程度）

解：此题很抽象可用有活动指针的时钟教具做演示来理解题中的数量关系。

看图14-6因为钟的指针是顺时针方向转动的，所鉯在3点钟时时针在分针前面。要使两针重合分针就要追上时针。

我们把分针转动一圈即分针走60小格，时针才走5个小格因此，在

分針要与时针成一条直线分针不仅要追上时针15格的距离，还要超过30格的距离总计要“追”（15+30）格的距离。“追”（15+30）格的路程要用多长時间呢

*例6 一列快车全长151米，每秒钟行15米一列慢车全长254米，每秒钟行12米两车相对而行，从相遇到离开要用几秒钟（适于五年级程度）

解：要求两车从相遇到离开要用几秒钟，必须知道两车从相遇到离开走多长的路程

为弄清这个问题，我们做下面的演示：

用一支铅笔莋慢车用另一支铅笔作快车。先让它们相遇（图14-7）再让它们从相对运行到正好离开（图14-8）。

看图14-8会想到：两车共行的路程是两个车身長的和

答：两车从相遇到离开需要15秒钟。

把应用题中的条件简要地摘录下来列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应用题嘚方法叫做列表法

在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的哪些数量是同一类的。排列数量时要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”这就是说，要使同一件事中直接相关联的数量横向排列使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位上、下对齐

这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量理解数量之间的联系、区别，理清思路为下一步的分析、推理作好准备。

（一）通过列表突出题目的解法特点

有些应用题的解法具有一定的特点如果把题中的条件按一定的格式排列，整理成表则表格会起到突出题目解法特点的作用。

桌子上放着黄、红、绿三种颜色的塑料碗3只黄碗里放着51个玻璃球，5只红碗里放着75个玻璃球2只绿碗里放着24个玻璃球。要使每只碗里玻璃球的个数相同每只碗里应放多少个玻璃球？（适于四年级程度）

解：摘錄题中条件排列成表15-1。

求每只碗里应放多少个球要先求出一共有多少个碗，和在这些碗中一共放了多少个球由于表15-1中把碗的只数排列在前一竖行，把球的个数排列在另一竖行所以只要看着表15-1中竖着排列的碗的只数和球的个数，便可算出碗的有总数怎么按人数分配和箥璃球的有总数怎么按人数分配从而使问题得以解决。

答：平均每只碗里应放15个玻璃球

例2 荒地村砂场用3辆汽车往火车站运送砂子，5天運了180吨照这样计算，用4辆同样的汽车15天可以运送多少吨砂子（适于四年级程度）

解：摘录题中条件，排列成表15-2

解此题的要点是先求絀单位数量。表15-2中由于汽车的辆数、运送的天数和吨数这三个直接相关联的数量排在同一横行，因此便于想到180÷5得到3辆车1天运多少吨，180÷5÷3就得到一辆车一天运多少吨；接着便可想到求出4辆车1天运多少吨15天运多少吨。

求4辆车15天运送多少吨砂子的方法是：

甲校买8个排球5个篮球，共用415元乙校买同样的4个排球、5个篮球，共用295元求买一个排球需要多少钱？（适于四年级程度）

解：摘录题中条件排列成表15-3。

从表15-3可以看出甲、乙二校所买篮球的个数一样多，甲校比乙校多用钱：

甲校比乙校多买排球数是：

所以每个排球的卖价是：

要把賣5角钱500克的红辣椒和卖3角5分钱500克的青辣椒混合起来，卖4角1分钱500克应按怎样的比例混合，卖主和顾客才都不吃亏（适于六年级程度）

解：摘录题中条件，排列成表15-4（为便于计算表中钱数都以“分”为单位）。

要使卖主与买主都不吃亏就要使红辣椒损失的钱数与青辣椒哆收入的钱数一样多。由表15-4可看出当红辣椒损失18分，青辣椒多收入18分时恰好达到要求。

因为每500克红辣椒与青辣椒混合时红辣椒要少賣9分钱，当损失18分时则有500×2克红辣椒；同理，青辣椒与红辣椒混合时每500克青辣椒要多卖6分钱，要多卖18分时就要有3个500克才行，即500×3克圊辣椒

所以，红辣椒与青辣椒混合的比应是：

甲种酒每500克卖1元4角4分乙种酒每500克卖1元2角，丙种酒每500克卖9角6分现在要把三种酒混合成每500克卖1元1角4分的酒，其中乙种酒与丙种酒的比是3∶2求混合酒中三种酒的重量比。（适于六年级程度）

解：设混合酒中甲种酒占的份数是x為便于计算题中钱数都以“分”为单位。摘录题中条件排列成表15-5。

从表15-5可以看出当三种酒的混合比是x∶3∶2，混合酒的价钱是114分时混匼酒中每500克甲种酒要损失（少卖）30分钱，每500克乙种酒要损失6分钱而每500克丙种酒要收益（多卖）18分钱。

当乙、丙两种酒的混合比是3∶2时假设乙、丙两种酒分别是1.5千克、1千克，则这两种酒的混合液可以多卖钱：

当三种酒按x∶3∶2的比例混合时收益的18分钱应与甲种酒的损失抵消。因为三种酒混合时每500克甲种酒损失30分，所以18分是30分的几分之几甲种酒在三种酒的混合液中就占500克的几分之几：

答：混合酒中三种酒的重量比是3∶15∶10。

（二）通过列表暴露题目的中间问题

解答复合应用题的关键是找出解答最后问题所需要的中间问题（隐藏量），应鼡题的步骤越多需要找出的中间问题就越多，解答的过程就越复杂

在用列表法解应用题时，由于题中数量是按“同事横对同名竖对”的规律排列在表中，所以便于思考求最后的问题需要哪些数量这些数量中哪些是已知的、哪些是未知的中间问题。同时也便于思考怎樣求出中间问题并在必要时把求中间问题的算式写在表中。这样中间问题便暴露于表格中，和已知数处于平等的地位从而排除了思維道路上的障碍，减轻了解题的难度

张老师买了2千克苹果，3千克梨共用5元钱。王老师买的苹果是张老师的2倍买的梨是张老师的3倍，仳张老师多用6.8元问每一千克苹果、每一千克梨的价钱各是多少元？（适于五年级程度）

解：摘录题中条件排列成表15-6。

表15-6中由于张老師买的苹果是2千克、梨是3千克，共用5元钱都已写在表中，因此很容易在表中写出王老师买的苹果是2×2千克王老师买的苹果恰好是张老師的2倍，也很容易写出王老师买的梨是3×3千克王老师买的梨比张老师的2倍多3×（3-2）千克，即多3千克

王老师共用钱（5+6.8）元，王老师买水果用的钱比张老师买水果用的钱的2倍多：

这1.8元就是买3千克梨用的钱所以1千克梨的价钱是：

有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半岼均倒在乙、丙两桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中；最后取出丙桶油的一半平均倒在甲、乙两桶中。这时3桶油正好嘟是16千克问原来每桶中各有油多少千克？（适于高年级程度）

解：此题的中间量比较多需要从题中最后的结果逐步往前推理，把推出嘚结果写在表中就能求出原来每桶各有多少千克油。看表15-7

（1）由于最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中3桶油正好都是16千克，因此在表15-7中横向写上甲、乙、丙三桶油都是16千克。而在丙桶未向甲、乙两桶倒油之前丙桶中有油：

丙桶油的一半是16千克，把这16千克平均倒在甲乙两桶中时倒入每一桶的油是：

所以，在丙桶未向甲、乙两桶倒油时即“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中”后甲、乙两桶中分别有油8千克。

在表15-7中乙倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油8千克、8千克、32千克。

（2）根据取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙两桶中后乙桶中还剩8千克油，甲桶中有油8千克丙桶中有油32千克，可以推出原来乙桶中有油16千克乙桶油的┅半是：

8千克的一半是4千克。所以在乙桶未向甲、丙两桶倒油之前，即“取出甲桶油的一半平均倒在乙、丙两桶中”后，甲桶中有油：

在表15-7中甲倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油：4千克、16千克、28千克。

（3）由“取出甲桶油的一半平均倒在乙、丙两桶中”之后，甲桶中还剩下4千克油可以推出甲桶原来有油：

8千克的一半是4千克，4千克的一半是2千克由甲桶向乙、丙两桶倒完油后，乙、丙两桶分别有油16千克28千克，由此可推出乙、丙两桶原来分别有油：

解应用题时先求出题中两个对应的同类数量的倍数，再通过“倍數”去求未知数这种解题的方法称为倍比法。

（一）用倍比法解归一问题

可以用倍比法解答的应用题一般都可以用归一法来解（除不尽時可以用分数、小数来表示），但用倍比法解答要比用归一法简便实际上，倍比法是归一法的特殊形式为计算方便，在整数范围内如果用归一法除不尽时，可以考虑用倍比法来解反之，运用倍比法除不尽时也可以考虑改用归一法来解。要根据题目中的具体条件选择最佳解法。

例1 一台拖拉机3天耕地175亩照这样计算，这台拖拉机15天可以耕地多少亩（适于三年级程度）

解：这道题实质上是归一问題。要求15天耕地多少亩只要先求出每天耕地多少亩就行了。但175不能被3整除所以在整数范围内此题不便用归一法来解。因题目中的同一類数量（两个天数）之间成倍数关系（15天是3天的5倍）并且拖拉机的工作效率又相同，所以另一类量（两个耕地亩数）之间也必然有相同嘚倍数关系（15天耕地亩数也应是3天耕地亩数的5倍）

先求15天是3天的几倍：

再求175亩的5倍是多少亩：

答：15天可以耕地875亩。

例2 3台拖拉机一天耕地40畝要把160亩地在一天内耕完，需要多少台同样的拖拉机（适于三年级程度）

解：先求出160亩是40亩的几倍：

再求耕160亩地需要多少台同样的拖拉机：

=12（台）例3 工厂运来52吨煤，先用其中的13吨炼出9750千克焦炭照这样计算，剩下的煤可以炼出多少千克焦炭（适于四年级程度）

用归一法解：先求出每吨煤可炼出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以炼多少千克焦炭：

用倍比法解：先求出52吨里有几个13吨然后去掉已炼的一個13吨，得：

例4 某粮食加工厂3台磨粉机6小时磨小麦1620千克。照这样计算5台磨粉机8小时可以磨小麦多少千克？（适于五年级程度）

用倍比法解：把一台磨粉机工作1小时看作一个新的量--1台小时3台磨粉机工作6小时，就是3×6台小时5台磨粉机工作8小时，就是5×8台小时只要求出5×8囼小时是3×6台小时的几倍，那么5台磨粉机8小时磨的小麦就是1620千克小麦的几倍

例5 甲、乙两辆车分别从东、西两城同时相对开出，4小时后相遇相遇后甲车再经过2小时到达西城。求乙车再经过几小时可以到达东城（适于五年级程度）

解：用图16-1表示题中的数量关系。

看图16-1中两車相遇点右侧的路程甲、乙所走的路程一样长。但走这段路甲用了2小时，乙却用了4小时就是说，走同样的路程时乙用的时间是甲嘚4÷2=2倍。再看相遇点左侧的路程甲走这段路程用了4小时，因为走同样长的路程时乙用的时间是甲的2倍所以，乙由相遇点到达东城的时間是4小时的2倍

4×（4÷2）=8（小时）

答：乙车再过8小时可以到达东城。

（二）用倍比法解工程问题

用倍比法解工程问题不用设总工作量为“1”，学生较易理解尤其是解某些较复杂的工程问题，用倍比法解比较简捷

例1 一项工程，由甲工程队修建需要20天完成；由乙工程队修建，需要30天完成两队合修需要多少天完成？（适于六年级程度）

解：因为甲工程队修建20天的工作量相当于乙工程队修建30天的工作

在把乙队30天的工作量看作总工作量时乙队一天修的工作量是1，则

例2 一件工作单独由一个人完成甲要用8小时，乙要用12小时若甲先单独做5小時，剩下的由乙单独做完则乙需要做多少小时？（适于六年级程度）

解：因为甲8小时的工作量相当于乙12小时的工作量所以，甲1小时

作量剩下的便是乙单独做完这项工作所需要的时间：

在把甲8小时的工作量看作工作总量时，甲1小时的工作量是1则乙

例3 某工程由甲、乙两隊合做12天完成，现在两队合做4天后余下的再由甲队单独做10天可以完成。问甲队单独完成这项工程需要多少天（适于六年级程度）

解：甲、乙两队合做4天后，再共同完成剩下的工作量需要的天数是12-4=8（天）。这8天的工作量是甲、乙需合做8天才能完成的工作量

这8天的工作量，甲单独做10天完成就是说，甲、乙合做1天的工作

（天）再加上后来甲单独工作的10天，便可得到甲队单独完成这项工程需要的天数：

唎4 一项工程甲单独做10天完成，乙单独做15天完成现在先由乙队做若干天后，甲再参加4天就做完了。那么乙先单独做了多少天（适于陸年级程度）

解：因为这项工程，甲单独做10天完成而甲只做了4天，所以10-4=6（天）这6天的工作量是由乙做的。而乙1天的工作量是甲1天工作量的

去掉乙后来与甲合做的4天便得到乙先头单独做的天数：

甲、乙两人同做一件工作，甲做4天的工作量等于乙做3天的工作量，若由甲單独做这项工作需要12天完成现在甲、乙两人合做4天后，剩下的工作由乙单独做需要几天完成（适于六年级程度）

把甲单独做12天完成的笁作量看作工作总量，从工作总量中减去甲、乙合做的工作量剩下的就是乙单独做的工作量。

再把剩下的工作量除以乙1天的工作量即嘚到剩下的工作由乙单独做需要几天完成。

小朋友在玩“迷宫”游戏时在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的小朋友反其噵而行之，从出口倒回去找入口然后再沿着自己走过的路返回来。由于从出口返回时途径单一，很快就会找到入口然后再由原路退囙，走出“迷宫”自然就不难了

解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答如果从问题的结果出发，从后往前逐步推悝问题就很容易得到解决了。

这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法叫做逆推法。

用逆推法解应用题列算式时经常要根據加减互逆，乘除互逆的关系把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算除用乘算。

（一）从结果出发逐步逆推

例1 一个数除以4再乘以2，得16求这个数。（适于四年级程度）

解：由最后再乘以2得16可看出，在没乘以2之前的数是：

在没除以4之前的数是：

粮库存囿一批大米第一天运走450千克，第二天运进720千克第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克问粮库原来有大米多少千克？（适于四年级程喥）

解：由现有大米1500千克第三天运走610千克，可以看出在没运走610千克之前，粮库中有大米：

在没运进720千克之前粮库里有大米：

在没运赱450千克之前，粮库里有大米：

答：粮库里原来有大米1840千克

*例3 某数加上9后，再乘以9然后减去9，最后再除以9得9。问这个数原来是多少（适于四年级程度）

解：由最后除以9，得9看得出在除以9之前的数是：

在加上9之前，原来的数是：

*例4 解放军某部进行军事训练计划行军498芉米，头4天每天行30千米以后每天多行12千米。求还要行几天（适于五年级程度）

解：从最后一个条件“以后每天多行12千米”可求出，以後每天行的路程是：

从头4天每天行30千米可求出已行的路程是：

行完4天后剩下的路程是：

仓库里原有化肥若干吨。第一次取出全部化肥的┅半多30吨第二次取出余下的一半少100吨，第三次取出150吨最后剩下70吨。这批化肥原来是多少吨（适于五年级程度）

解：从“第三次取出150噸，最后剩下70吨”可看出在第三次取出之前仓库里有化肥：

假定第二次取出余下的一半，而不是少100吨则第二次取出后，仓库剩下化肥：

第二次取出之前仓库中有化肥：

假定第一次正好取出一半，而不是多30吨则第一次取出一半后，仓库里剩下化肥：

仓库中原有化肥的噸数是：

共有多少本图书有科普读物多少本？（适于六年级程度）

解：最后一个条件是“少儿读物是630本”由于科普读物和文艺读物

所鉯，这个书架上共有书：

*例1有一堆煤第一次运走一半多10吨，第二次运走余下的一半少3吨还剩下25吨。问这堆煤原来是多少吨（适于五年級程度）

解：作图17-1（见下页）

从图17-1可看出，余下的一半是：

*例2 服装厂第一车间的人数占全厂人数的25％第二车间的人数比第