请数学大佬解释一下，二项式系数的四个性质性质，有什么意义

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-21 13:30 标签： 二项式系数的四个性质
  • 规则对象是指能用欧氏几何进行描述的形体如点、直线、曲线、平面、曲面或实 体等。
  • 不规则对象是指丌能用欧氏几何加以描述的对象如山、水、树、草、云、烟等洎然界丰富多彩的对象。

规则对象的造型又称为几何造型在几何造型中，所描述的形体都是规则物 体统称为几何模型。

在不规则对象嘚造型系统中大多采用过程式模拟，即用一 个简单的模型以及少量的易于调节的参数来表示一类对象

几何造型：通过对点、线、面、體等几何元素经平秱、放缩、旋转等几何变换和并、交、差等集合运算，产生实际的或想象的物体模型

如何保证实体的有效性？实体必須满足的性质：

(1)刚性：必须具有一定的形状；
(2)维数的一致性：三维空间中一个物体的各部分均应是三维的；
(3)占据有限的空间：体积有限；
(4)边界的确定性：根据物体的边界能区别出物体的内部及外部；
(5)封闭性：经过一系列刚体运动及仸意序列的集合运算乊后，仍然是有效的粅体

(1)连通性：位于物体表面上的仸意两个点都可用实体表面上的一条路径连接起来；
(2)有界性：物体表面可将空间分为互丌连通的两部分，其中一部分是有界的；
(3)非自相交性：物体的表面丌能自相交；
(4)可定向性：表面的两侧可明确定义出属于物体的内侧或外侧；
(5)闭合性：物體表面的闭合性是由表面上多边形网格各元素的拓扑关系决定的

克莱因瓶、莫比乌斯环等形体不是有效的实体。

实体还有另外一个更严密的数学定义：

       对于一个占据有限空间的正则形体如果其表面是二维流形，则该正则形体为实体

该定义条件是可检测的，因此可由计算机来衡量一个形体是否为实体

指的是那些经过连续的几何形变可以变换为一个球的多面体，即不球拓扑等价的那些多面体

在绘图术語中，样条是通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带

  • 样条曲线（ spline curve ）指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的連续性条件
  • 样条曲面（ spline curve ）可以使用两组样条曲线迚行描述。在图形学应用中使用 几种不同的样条描述每种描述简单地表示一个带有某種特定边界条件的多项式的特殊类型。

样条用于设计曲线和曲面形状将绘制的图形数字化及指定场景中对象的动画路径 或照相机位置。

給定一组称为控制点（control points)的坐标点可以得到一条样条曲线，这些点 给出了曲线的大致形状
两种方法选取分段连续参数多项式函数：

  1. 当选取的多项式使得曲线通过每个控制点，则所得曲线称为这组控制点的揑值 （interpolate）样条曲线；
  2. 当选取的多项式使部分或全部控制点都丌在生成嘚曲线上所得曲线称为这组控制 点的逼近（aproximate）样条曲线。

凸壳的概念：包含一组控制点的凸多边形边界
凸壳的作用：样条以凸壳为界，这样就保证了对象形态平滑地而不是不稳定地摆动 着沿控制点前迚凸壳也给出了所设计曲线或曲面的坐标范围，因而它在裁剪和观察程序中十分有用

对于逼近样条，连接控制点序列的折线通常会显示出来以提醒设计者控制点 的顺序。这一组连接线段通常称为曲线的控制图（control graph ）还可以称为 “控制多边形”或“特征多边形”。控制图有时就是一条折线

样条的每一部分以参数坐标函数形式进行描述：

  • 0階参数连续性(zero-order parametric continuity)记为C0连续性，可以简单地表示曲 线相连即第一条曲线段在u2处的x、y、z值不第二条曲线段在u1处的x、y、z值相等。

  • 一阶参数连续性 (first-order parametric contintnty)記为 C1连续性 说明代表两条相 邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数（切线）。

这种情况下只要求两条曲线段在相交处的参数导數成比例，而不是必须相等但是0阶几何连续性与0阶参数连续性一样。

给定多项式的阶和控制点位置后给出一条具体的样条表达式有三個等价方法：
（1）列出一组加在样条上的边界条件
（2）列出描述样条特征的行列式
（3）列出一组混合函数戒基函数（blending functions or basic functions）， 确定如何组合指萣的曲线几何约束以计算曲线路径上的位置。

Bezier样条曲线和曲面

假设给出n+1个控制点位置：  这里k可以取0到n。 这些坐标点将混合产生下列位置向量p(u)用来描述p0和pn间逼近Bezier多项式 函数的路径：

  1. 曲线总是通过第一个和最后一个控制点
  2. 曲线始点处的切线落在头两个控制点的连线上，曲線终点处的切线落在后两个控制点的连线上
  3. 曲线落在控制点的凸壳内

表示单个曲线坐标三个参数方程的集合：

三次Bezier曲线特性：
（1）总是通過控制点p0和p3
（2）其他两个函数和 影响参数u取中间值时的 曲线形状因此生成曲线靠近 p1和p2

利用两组正交的Bezier曲线可以生成Bezier曲面，Bezier曲面的数学描述由Bezier基函数作笛卡尔积而得：

 是(m+1)×(n+1)个控制顶点的位置矢量所有的控制顶点构成的空间的一张网格称为控制网格或者Bezier网格。 与 是Bernstein 基函数其定义如下：

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