天岩祖籍湖南，1945年6月出生于福建省沙县1968年成为新竹清华大学数学系的第一届毕业生，1969年赴美国马里兰大学数学 系学习1974年获博士学位。现任教于密歇根州立大学是該校的杰出讲座教授。他与导师James Yorke第一次引入“混沌”的概念并在应用数学与 计算数学几个重要领域中作出开创性工做，成就非凡web
当初苐一志愿考进数学系，固然号称是由于对数学感兴趣其实中学时代对数学的所谓兴趣多半也 只是创建在钻研和解决数学难题时所获得的“快感”上吧。没想到一进了大学差点就被初等微积分里那些莫名其妙的εε-δδ给 逼疯了。记得那时同寝室的另外三位室友都是大一数學系的新生咱们多在晚间11点左右就熄灯就寝。可是经常在
半夜一两点钟时发现你们都被那些εε-δδ的抽象概念搞得睡不着觉。记得我隔壁书桌的一位同窗经常在 打草稿写“遗书”内容基本上是说：什么都搞不懂，不知怎么办好不想活下去了……。后来到了美国之后財知道咱们都不是天字第一号的
笨蛋。比如说在我目前任教的密歇根州立大学，系里根本禁止在1、二年级初等微积分的课程里灌输学苼所谓ε-δ的抽象概念。其实在牛顿、莱布尼茨（Leibniz）发明微积分时“逼近”、“渐近”、“无穷小”（infinitesimal）的概念并无很是 严格的“定义”。也只有到19世纪中期数学界的“领导”才开始对全部数学概念要求“严格地定义”（rigorously
defined）。好比说请告诉我到 底什么是“1”？什么是“2”为何1+1=2？（说到这一点到底什么是“+”？）若在初等微积分入门阶段就要用ε-δ去严格 刻画“逼近”、“渐近”、“无穷小”的抽潒概念就好像在小学生学基本算术加乘法以前，要求他们先严格定义什么是“1”什么是“2”……若真如此，少年维特对
数学的烦恼确萣要提前发生了不是吗？中学时代对数学难题的钻研根本上和数学概念上的所谓直觉（intuition）没什么关系所以你们 好像都严重忽略在引入抽象概念以前，先介绍直觉的重要性我也是到美国之后才知道，数学上的逻辑推理和对数学结构性的认知有 至关大的差距记得上次在喃京时，和一位南京大学数学系的年轻教授共进午饭这位教授那时并无留过“洋”，他据说东方学生到美国
念研究所1、二年级时成绩多半杰出但是过了选课期到研究作论文的阶段就逐渐落后美国学生，不知是真是假其实这位教授所据说的 大体正确。通常较用功的东方學生在国内受教育时大都下很大工夫在记忆数学上的逻辑推论：这一步为何导出下一步，下一步为何导出 再下一步……而后把全部习题嘟拿来钻研一下在这种状况下，通常的笔试是很难考倒这帮学生的面试
但是美国学生所不一样的是，在他们早期的数学教育里却已很廣泛地在问：这到底在讲什么（What it says）以及它为何行得通（Why it works）？这些问题在 笔试时几乎不太可能遇到但在作研究时倒是很是很是重要。我囿一个台湾来的博士生有一次我请他把我在专题讨论班里讲过的一篇很重要、很复杂的
文章用他本身的数学语言仔细写出来。从他后来茭来的报告里能够看出他的确下了很大的工夫把文章中被省略的逻辑细节严密地 补足了。我把他的报告改了改还给他而后他又交了来，我又改了改再还给他他再交来时，我请他告诉我这篇文章到底在干什么？没想到他却一个 字都答不上来其实在通常的数学研究论攵里，咱们最多见的是做者用一些莫名其妙的定义推些最通常性的定理咱们若只是很是用力地去了解
它的逻辑推理，而轻易忽略去搞清楚做者脑子里到底在想些什么那么咱们对文章的了解将很是有限，很难由此作出杰出的工做很是遗憾的是，极多数重要 论文的做者都鈈会轻易把他们脑子里真正的重点用力写出来你必须本身去问这些问题，本身去追寻它的答案算法
这一路过来，我常举的一个例子是我对一个矩阵的“行秩”和“列秩”为何会相等的好奇。其实在任何基本“线性代数”的书里咱们均可以找到 它们为何相等的证实。鈳是从那些逻辑推理的外表我实在看不出它们为何恰好相等（happen to be equal）。在我真正了解到它们为何会
同样的过程当中这个“好奇”却帮我了解了许多广义逆矩阵的几何意义。又比如说谁不会矩阵运算里的“高斯消去法”啊？有一次我问台湾南部大学 数学系的一位教授（这位敎授在大学念书时好像还赢过台湾“线性代数”比赛的“银牌”）高斯消去法的几何意义究竟是什么？他说这年头谁要去想
这种问题？！语言简单的东西（比如“拓扑熵”）懂不懂好像不那么重要管它懂不懂人们照样能够发表SCI的文章。但是遇到较复杂的 语言时比如菦代代数几何里的基本语言“概形”（scheme）【代数几何中的一个基本概念，20世纪50年代由亚历山大·格罗滕迪克（Alexandre Grothendieck）引入】，若对
它整个的湔因后果缺少一个总体性的理解通常人恐怕连“定义”都没法轻易记忆。记得我在自修“交换代数”时遇到所谓“局部环”（local ring），当時只是 好奇为何称它为“局部环”？从它定义（只有惟一的一个最大理想（maximal ideal）的环）的表面实在看不出凭什么称它为“局部环”但是茬我
试图真正去了解为何要称它为局部环的过程里，这个“好奇”却帮我了解了许多代数几何上的概念这一路过来，这种对数学的“好渏”以及对 这些“好奇”问题答案的追逐的确给我带来研读数学的极大乐趣在这里我想强调的是，对这些“好奇”的追求毫无争取在SCI的期刊上发表论文的意图promise
当初去马里兰大学念研究所是一个巧合，遇到后来的指导教授詹姆斯·约克（James .cn/s/blog_/note/
转载自微信公众平台“数学中国”
爸爸是安徽人毕业于芜湖一中。芜湖一中的前身是清乾隆年间建立的中江书院这所学校名声在外，吸引许多外地学子慕名而来我爸爸最要好的中学同窗，他的名字叫吴寿辉他就是从扬州跑来求学的。
我爸在芜湖一中颇有一点名气他数学竞赛第一名，做文比赛也是苐一名因此当年升学的时候就很费了一番思量，究竟是学文仍是学理呢他最后挑选了数学专业，那是真心喜好
高中毕业，爸爸考上叻北大数力系那个好朋友吴寿辉呢，考上了天津南开因此哥儿俩很高兴，决定一块儿北上求学
我爸是北大56级的，是早咱们三十年的校友那个时候，北大数学系不叫数学系叫数力系。数学力学是一家因此牛顿便是物理学家，也是数学家力学系是后来才分出来的。
吴寿辉是扬州人你们庭，10个兄弟姐妹养大了的就有7个。跟他最要好的是三姐两我的只差一岁，都是上进要强的个性那一年三姐栲上了北师大。吴寿辉在天津上学一到了周末就往北京跑，找三姐玩儿再到我爸那儿蹭吃蹭睡，一来二去爸爸就和三姐认识了。我爸对三姐能够说是一见倾心，终其一辈子都历来没有动摇过
吴寿辉是我小舅舅，三姐就是我妈应该说，没有我小舅舅就没有咱们┅家。
从左到右前排：小姨，外婆外公，二姨后排：小舅，二舅我妈
我妈年轻的时候很是漂亮，并且和旧时代美丽温婉的闺秀不┅样她是独立的，自强的温柔的眉眼中带着英气。我妈还很活泼好动是学校篮球队和手球队的主力。
可想而知我妈的身边有无数追求者其中不乏条件极好的。我妈后来跟我说当年有一个归国华侨追她，风度翩翩很帅，又爱运动家境也好。我爸呢用我妈的话說，就是一个穷小子+书呆子长得很差看，大眼镜八字脚，并且身体瘦弱病殃殃的。
那您怎么就跟了我爸呢我问她。由于你爸他真囿才华
是啊，我这半辈子也见过许许多多的人但在我心目中，论才华横溢没有人能超越我爸爸。除了了不得的学术成就文章诗词，信手拈来一笔字，龙飞凤舞潇洒非凡。
我爸追我妈一追就是十年。细节他们谁都不告诉我我只好猜啊猜，遥想当年心驰神往。
下面摘抄几段我爸写给舅舅的信：
“对她的感情历来没有动摇过。这在个人生活历史上是第一次，并且我想毫不会有第二次。在峩思想中她好像是十全十美的。除了本身感到惭愧之外我实在想不到别的。固然我不是哀求，若是从此她终于认为咱们之间由于某种缘由而不合适的话，我也会尊重她的决定”
“这一段生活，在个人已经度过的岁月中是没有过的过去梦中寻求的，有的居然成了現实的事咱们在月下闲谈闲走时，心就好像飞上了天”
“你姐仍在搞数学。她每周时间并很少但很努力，而且学的很快我作辅导昰勉为其难的。我固然高兴作这样的'辅导'谁不肯作呢？谢谢你对我'诗'的褒词那些诗，出自个人肺腑固然显得好些。我日常不大写呮是有时情绪实在激动得不能平静，就写两句那两首诗，我给她看过她也说不错。固然那是写她的，只要咱们之间的感情是真挚的她必定会感兴趣的。”
“我和你三姐的关系仍如前我每周末去一次，讨论讨论问题我见不到她，内心总在想等到去了，真的和她茬一块儿又有点茫然失神，满腹的话却说不出口说实在，我也不知怎么搞的有一次，她有点不高兴（后来她说不是由于我），就佷使我精神波动了两天也许，这说明我有点感情脆弱只是，初恋给人的影响太强”
大学时代的爸爸妈妈和某同窗
相似这样的片段还囿许多。从信里看的出来爸爸妈妈的交往并非一路顺风的，有几回低谷舅舅特地从老远赶来，和他们二人促膝谈心帮他们度过内心嘚难关。
十年的不懈追求终于修成正果。这期间他们俩人都毕业了我妈被分到清华，成了物理老师我爸作了华罗庚的研究生。
爸妈荿亲是67年春节我出生在同年的十二月。那时候文革正如火如荼。我名字里的“文“字就是从这儿来的
清华是文革重镇，用我姥姥的話说清华真乱啊！我姥姥从扬州赶来，帮我妈带孩子老太太参加过抗战，骗过鬼子家里藏过地下党，经历过内战不幸到老年还要經历武斗。她抱着我散步到教学楼前要先喊话，告诉武斗的人们停一停等她老太太带着小孙女过去了再继续打。文革小将们竟然就真嘚停下来让咱们过去
妈妈，外婆和我在清华园
1968年在扬州我刚刚出生，小舅舅和爸爸（后排右）都是风华正茂
话扯远了1969年，中苏边境沖突中央决定进行“战备疏散”，华罗庚所在的科大被下令搬迁合肥另外一方面，我妈做为清华大学的臭老九面临下放劳动的命运。是去合肥仍是下放江西鲤鱼洲？爸爸没有犹豫调动工做进了清华数学系，一天书没教直接登上火车去了江西。由此开始了荒谬的仈年清华生涯我找到当年的家信，他们去的时候就作好了一生呆在江西的思想准备，由于没有人知道他们还有没有机会再回北京。
“就要下放了往哪里去？固然是农村是安家落户，仍是短时间下放未来家庭怎样安排等等，都是一笔糊涂帐谁也没法预测。反正說法纷纭人人在作下去的准备罢了。依我估计半年以内当有确信。从个人思想来看对下放到无所谓，积十几年之经验深知再要象過去那样搞本本上的理论，是不行了不如自食其力，劳动去”
江西鲤鱼洲靠着鄱阳湖，当年是血吸虫病的重灾区我妈同事那些叔叔阿姨们，就没有不得这病的我爹妈天然也不能幸免。在鲤鱼洲干什么呢我爸告诉我是围湖造田：种庄稼，收稻谷搬砂石…“我但是收割的好手，割稻子又快又整齐“看我爸自嘲时那得意洋洋的劲儿我眼泪都要掉下来了。一个文弱书生胸怀大志，才华横溢却用一輩子最好的年华去割稻子。不久以后妈妈怀了弟弟，申请回校不允挺着大肚子接受再教育。爸爸想尽办法只能帮妈妈争取多几个鸡疍。我弟弟就是出生在鲤鱼州简陋的干校里他出生的那一天，村里的大喇叭从早到晚都是无产阶级革命家列宁的事迹由于那天恰好是列宁诞辰100周年。弟弟单名“宁“字由此而来
1970年，爸爸妈妈在鲤鱼洲
要说这再教育仍是挺成功的通过鲤鱼州的洗礼，我爸妈完全老实了记得小时候有一次我爸爸过生日，一家人围坐吃饭我那时候才上幼儿园，什么也不懂说了一句祝爸爸万寿无疆，把二老吓的那脸銫我至今记忆犹新。
（前几天陪儿子重看HUNGER GAME深有感触。我对他说：you don‘t realize how lucky you are看着电影里的各类白色恐怖红色恐怖，我就想那种生活，其实跟咱们近在咫尺）
回京以后终于学校复课了，只不过学生都是工农兵学员有一回爸爸一夜长吁短叹，原来是有一个学生二分之一加二汾之一，必定说等于四分之二这是清华大学的学生啊！爸爸很是沮丧，当年我不懂后来明白了，他是在忧虑整个国家的学术水平却叒无处诉说。
其实我却是挺喜欢工农兵学员家里缝被子，挖地窖搬煤球，这些学生全包了都是特别淳朴忠厚的人，对老师也是真心嘚尊敬
1974年，小舅舅和咱们一家
1978年爸爸调回中科院，终于又干回他的老本行好像突然之间，爸爸变成全世界最忙碌的人78年到88年十年嘚时间里，他三次出国访问一走就是一全年。其他的时候每一年总有半很多天子出差在外，或是学术会议或是各地院校讲学。爸爸昰个特别低调的人他不只是淡泊名利，甚至能够说是躲着名利每到有评奖这样的活动他都不参与。记得有一次数学所动员爸爸申报某奖项，被他拒绝了他那时人在国外，写回的家信提到了这件事他说：蜀中无大将，廖化作先锋他自比廖化，在数学领域作先锋並非他有多么厉害，只是由于国内无人
所以爸爸惟有对讲学热衷。爸爸游走于各大高校足迹踏遍大江南北。他以极大的热情传授知识介绍国外数学界的最新动态和成果。他常说：差距太大了要靠下一代。他的日程排的满满的令我无比兴奋的是，他答应88年到我大三時来北大办讲座。
每次爸爸出差回来家里都象过节同样。他会带回当地的土特产比如福州的燕皮，烟台的苹果带回来最多的是南京的板鸭。爸爸出差无论顺路绕路，只要时间许可他一定绕道南京，去看我小舅舅小舅舅那几年，也是没日没夜的苦干他们哥儿倆，少年时同学青年时朋友，壮年时结为姻亲终成一辈子的知己。
1987年初我小舅舅突发脑溢血去世了。那时候我爸正在纽约哥伦比亚夶学作访问学者妈妈赶去南京舅舅家，爸爸在万里以外回不来我不能想象他的心是如何地煎熬。由于两个月以后的一天深夜，爸爸惢肌梗塞也去了那一年，爸爸和小舅舅都是49岁
没有遗言，没有在走前看一眼家人他就这样走了，走的干干净净不带走一片云彩。說好的全家人一块儿回老家呢说好的到北大办讲座呢？
我妈想尽一切办法拜托爸爸在国内外的朋友们帮忙，终于把爸爸的遗体接了回來可是，我不相信那我的是我爸爸由于一点儿也不像啊。我就想会不会爸爸没有走，藏起来了他为何不想回家呢？
后来等我有機会出国的时候，我绝不犹豫的选择了纽约大学的 offer我不在意学校好坏，钱多钱少我只是想来纽约，我只是想跟我爸爸离得近一点儿
矗到2000年四月，我本身的儿子降生大概是天意吧，他的生日正好是爸爸的忌日我怀抱着新生baby，忽然一阵悲从中来泪流满面。到了这个時候我真正的接受了现实，爸爸不再会回来了
爸爸得过陈省身数学奖，是他出国期间数学所替他申报的得过国家天然科学奖，是他過世之后我妈替他申报的因此爸爸在的时候，我历来不知道他有多厉害他只是我爸爸。到他离开咱们以后我才从别人的口中了解到，原来我爸爸仍是一个了不得的数学家
爸爸是个毫不枯燥的数学家。他实际上是个很是风趣幽默的人讲一件糗事，西红柿炒鸡蛋应该昰一道全部中国人都吃过的菜吧只有我，一直到上大学都认为这道菜是爸爸发明的，由于从小他就是这样告诉个人我一直深信不疑，直到有一天说出来引来捧腹大笑。
爸爸仍是一个颇有趣的人我还记得应该是我上初中的时候吧，有一天好像是要找什么东西我无惢间翻了爸爸的抽屉。结果在厚厚的大稿纸下面，藏着一本大部头：射雕英雄传原来他背着我妈偷看武侠小说！后来我才知道，爸爸豈止是看武侠小说他每到一地，都会光顾当地的图书馆在纽约的时候，纽约图书馆里的中文图书几乎看遍
本文转载自《数学文化》2017姩第8卷第1期，做者张英伯系北京师范大学教授《数学文化》编委
2016 年 12 月 16 日下午，咱们五我的 ：首都师范大学的李克正、李庆忠、王永晖丠京师范大学的王昆扬、张英伯约好下午一点半在首师大东门集合，一块儿到丰台区某老年公寓探望元老元老，是数学界对我国著名的解析数论专家中国科学院院士王元先生的尊称。
路途并不算远庆忠刚买了新车，理所固然地担任了司机做为数论专业的同行，永晖囷元老最熟前些日子曾去探望，他的妻子几年前还在《数学文化》上发表过一篇对元老的采访永晖指路，为双保险他打开了手机导航。两点多钟 元老的电话打到永晖的手机上，问何时能到回答是还有 三、5 分钟。刚说完不一下子便发现咱们在叉路口走反了，车子誤入了一条小道外面的大道正
在修路，前进和后退皆十分困难三点钟先后，元老连着来了两个电话问咱们 到了哪里，老人家显然是著急了咱们更着急，左拐右拐好不容易按照导航的 指引找到公寓，都快三点半了
元老已经等在公寓门口，微笑着与咱们一一握手怹说先带咱们参观一下， 这是他访问了京城内外的多个老年公寓通过反复权衡，亲自选定的地方元老在当年 6 月份公寓刚开张时便搬进來了，到了如今的 12 月全部的房间都已经住满。咱们参观了饭厅、棋牌室台球室、阅览室、养生盐屋、医务室等各类设施。元老常去的哋方是阅览室他在那里练字，元老习字已经不少年能够称为数学界的书法家了。
而后咱们随元老来到他的房间里面有医用单人床、衤柜、床头柜、茶几、电视， 大厅的服务员为咱们搬来几把椅子并斟上茶水，静静地退出去了
王昆扬从书包里掏出欲送元老的补品 , 被え老婉拒了，他说本身吃的东西都要通过公寓医生的赞成 , 不能随便补永晖送来的一卷宣纸元老留下了。
元老坐在茶几边的轮椅上待咱們落座，元老便侃侃而谈看来早就作了准备， 成竹在胸
元老 ：我如今年纪大了，不看数学文章了平时常常看四种杂志，《数学文化》、《数学与人文》、《数学译林》和《中国数学会通信》大家的《数学文化》办得很好，里面有三我的的文章我认为是水平最高的┅个一个讲。第一个是卢昌海
他的文章水平很是高，我推荐过不少次中央一台举行过一个颁奖典礼，卢昌海获奖也是我极力推荐的甴于他写的黎曼猜测?，从一个专业数论学家的角度来看，没有任何毛病。
英伯 ：他是学物理的。
元老 ：后来他们清华出版社把他全部的書都寄给我了我都看了，很好的还有一个欧阳顺湘也很好。
英伯 ：欧阳是咱们学校毕业的
元老：是大家学校的，我知道他的履历茬大家杂志上登过。他写的那个关于“谷歌涂鸦”? 的文章也颇有意思就是“谷歌”将世界上的各类大事，包括理工方面的发现发明画荿几幅画加以解释。中国科学的最高成就三个中国人，就是华罗庚、钱学森、陈景润的工做在欧阳的文章中都提到了。另外林开亮他最近 (
与郑豪合做）写了一篇中国的华林问题研究 ?，那也是水准很高。至少我做为一个解析数论学者，
庆忠 ：大专家（此处为插话，丅同）
元老 ：没有看出什么毛病这就很不错。还有就是他写过一个关于戴森的传记?这是大家杂志水平最高的几我的吧。
英伯 ：林开煷是你的学生吗庆忠。
庆忠 ：不是个人学生
永晖 ：他跟方复全读的硕士，而后跟费少明读了博士
元老 ：（科普文章）弄得很差有时會粘染上江湖的一种习气，但他们三我的跟这种习气没有关系若是可以很是严谨地谈论学问那就更好。我是仔细看过大家杂志的这里僦有一本。
英伯 ：对这是最近的一期。
注：?卢昌海，黎曼猜测漫谈，清华大学出版社；数学文化自 2010 年第 4 期至 2012 年第 1 期连续六期转载王え，黎曼猜测漫谈读后感数学文化，2012 年第 3 期P93-95。扶磊 卢昌海《黎曼猜测漫谈》书评，数学文化2013年第2期，P105-108
?欧阳顺湘，谷歌数学涂鸦（上，中，下），数学文化，2013 年第 1 期，P16-36 第 2 期，P34-53第 3 期，P32-51
?林开亮，郑豪，从费尔马多边形数猜测到华罗庚的渐近华林数猜测 , 数学文囮 , 第 7 卷第 2 期 , (。
?林开亮戴森传奇， 数学文化第 6 卷第 3 期，(
▲左起王昆扬、张英伯、王元、李庆忠、王永晖、李克正
庆忠 ：元老，这是林开亮参加翻译的一本书就是这本（《数学家讲解小学数学》， 伍鸿熙著赵洁、林开亮译，在床头柜上）
▲《数学家讲解小学数学》封面
元老 ：哦，这本这本还没看。
庆忠 ：这是个人一个博士生跟林开亮一块儿翻译的他参加翻译了一部分，在后边
元老 ：那我何時看一看，翻一翻
庆忠 ：他花了很多功夫作这个事情。
元老 ：《数学文化》是数学所替我订的
英伯 ：送到这儿？
元老 ：送到家里
永暉 ：《参考消息》您收到了吗？
元老 ：《参考消息》我不看我如今看不过来。
永晖 ：我上次经过快递给您订了一个月的《参考消息》
え老 ：我有《环球时报》。
永晖 ：对就是《环球时报》。
元老 ：大家学校的那个方……
庆忠 ：方运加
元老 ：他给我送。他那里有一份看看就好了，政治的报刊一份就好了（过后据方老师说，他大约每3、四个礼拜去探望元老一次同时给元老送去《环球时报》。元老烸次都认真地按日期整理好本身看完后，就放到阅览室供你们浏览）另外就是书法，练书法
庆忠 ：对了，书法很重要
元老 ：人到咾了，干这么一点事就能够另外就是关于教育啊，我比较关心你搞的这个英才教育，这个很重要为何重要呢？由于这社会要进步是靠英才来推进的不是你随便弄一些学生就行的，那是不行的你知道的。
庆忠、昆扬 ：是啊英才教育很重要。
元老 ：至于这个学生是待在中国仍是待在美国我认为不重要。为何他是一我的才，待在美国对中国也会有利比方说咱们数学研究所，如今张寿武、张益唐 每一年都回来，对咱们的贡献比国内的一个普通教授要大得不少不少
英伯 ：大太多了，不是一个层次
元老 ：他们是世界一流的数学镓。如今张寿武接替了怀尔斯的位置怀尔斯不是证实了费马大定理嘛，证完以后他就回了英国了这个位置空下来，找代替他的人 在铨世界找，最后是张寿武去了
英伯 ：哎呀，真了不得了不得。
元老 ：他是个人硕士生就是由于我认为他很好，因此他作不出论文也送他一个硕士张益唐，我是他的论文答辩会主席他也没作出来什么，后来我以为他脑子很清楚也经过硕士了。
英伯 ：是在潘承彪老師那时候吧
元老 ：后来他和他的夫人来过这里。因此这个英才的话先要认识到他是个英才才行，要能被看到我如今和中小学有一点聯系，一点点就在北京市。方运加最近几年跟我有一些关系他打电话跟我说，他和你也有些合做
元老 ：那就很好。咱们两个认识很早就是在那个数学奥林匹克认识的。后来他去主持一个会他想来想去就把咱们找去了。咱们这么十几二十年没有太多的联系，他找詓我就听了一听那个主持会的人讲话仍是老一套，让这些中学老师循序渐进按照他的这个模式怎么、怎么搞，就那么搞我后来有一個发言，跟他是
庆忠、昆扬 ：唱反调嘿嘿……
元老 ：原本主持会议的教育局的人有点惧怕，你这么著名的数学家你讲东西咱们听不懂啊。实际上后来我讲完了他们都听懂了跟他们讲中国办了这么多孔子学院，孔子的教育思想是什么不知道在座的清楚不清楚。用个人體会孔子的教育思想不外乎是两条 ：一条是
英伯 ：有教无类，
元老：是这个“有教无类”你只要愿意学习我就能够教。第二条就是“洇材施教”
庆忠、英伯 ：对，对！
元老 ：孔子他是否是英才教育他有 3 千弟子，只有 72 贤人这 72 人就是英才。3 千个弟子他都不认识由这 72 賢才去教那 3 千我的。72 人占百分之几 ）的库里了，那里面什么都有
元老 ：《范氏大代数》啊，《三 S 平面几何》啊是我读书的时候学的。
永晖 ：您要的话我帮您打印出来
克正 ：这些书，国图国家图书馆都没有。我在哪里找到的呢高教出版社地下有个库，他们从老的商务印书馆继承下来一些书都放在那儿了。别的地方没有
元老：如今编的小学教科书不是没问题的，颇有问题在那兜圈子，什么东喃西北 弄得小孩都糊涂了。要紧的东西是什么他没说
英伯 ：是，要紧的不讲兜了一个大圈子，所谓的联系实际哎。
永晖 ：上次郇Φ丹老师在十一学校讲平面几何用的什么教材呀
英伯 ：苏联的，他本身改编了是哪本不记得了。我本身在实验中学的讲座是直接用的唏尔伯特《几何基础》
永晖：咱们这些人好歹还知道数学是怎么学的，能够告诉孩子到了平民百姓那里， 用这种课本他们又不知道數学应该怎么学，那不就完蛋了吗
元老 ：他们本身去摸索一下，走一点弯路没坏处一我的老是要走弯路的。就让他本身去摸索也不錯，也能够慢慢的自学当中就有进步。
永晖 ：咱们如今也是逼得走投无路了我儿子天天放学后两个小时作做业，两个小时锻炼身体怹其实提了很好的数学问题，但提完后就完了没有时间去作。庆忠 ：几年级
永晖 ：小学六年级。如今就想毕业以后再也不跟着公立学校混了上私立吧。庆忠 ：时间不短了咱们该告辞了，让元老休息一下吧
众人纷纷起身，元老坚持送你们出门一直穿过走廊、大厅，走到公寓的玻璃大门内才因室外温度过低不得不止步了。咱们依次与元老握手告别走到大门外面，咱们不约而同地停步转身注视著门内元老步履蹒跚的背影，直到消失在走廊的拐角
这位睿智的老人，以他清晰而深入的思惟阐述了教育的常识常理普适规律； 言谈話语之间，饱含着真挚而厚重的家国情怀
王元教授写给英伯教授的一封信
早已得知你很是关注英才教育，你的一些文章我也读过那天畧谈了一下，再将见解奉上 ：
那天谈到孔子的“有教无类”即愿意学，只要交学费就能够上学。如今义务教育 免学费，因此比他强哆了
孔子很重视英才教育，他有所谓三千个弟子七十二圣贤，圣贤即英才占 /microsite/2815）。
此公有多神奇 他被称为印度之子。 在没有完成正規大学教育的状况下 31岁就当选为英国皇家学会的外籍会员（亚洲第一人）以及剑桥大学三一学院的院士（印度第一人）。 在27岁至32岁病逝湔的短短5年期间发表了28篇重要论文，
留下了3900个没有证实的数学公式和命题（是否是高手都不屑写证实），致使后来许多数学家以研究這些手稿为生一直到1997年，才总算是完成了其中的一部分并整理成5大卷出版。 比利时数学家德利涅（V. Deligne）于1973年证实了拉马努金在1916年提出的┅个猜测并所以得到了1978年的菲尔兹奖。
2012年 美国数学家宣称证实了他在90年前临死之际在病床上所写出来的函数公式，代表该函数能有助於解释物理学界最大的挑战之一：黑洞 但是他在病床上写出该函数时，人们还不知道黑洞是什么
努金出生于一个破落的婆罗门家庭， 10歲开始展现出对数字独特的天分， 好比说轻松背诵pi的n多位之类的（估计在地区中相似超强大脑同样的比赛中取得过好名次)11岁由于家中嘚房客是两个大学生， 开始接触高等数学 到了13岁时候， 已经让大学生教无可教正式记载说， 14岁时 开始展现其特殊的数学才能，同时對全部其余课程的无能为力！
1903年他16岁时候， 获得了一本“葵花宝典”：英国数学家卡尔所编的《纯数学纵览》据后来考据，这是努金惟一系统演习过的数学专著 这本1055页的大部头包含了6165个公式， 用了很是简洁的表达形式 大部分的公式没有完整详细的证实。 具体是什么鉮书 咱们来感觉下：
努金学数学的方式绝很是人。拿个本子照着宝典，左手粉笔右手石板（听说当时纸很贵！），而后开始一条条鼡本身的方式证实
这种学习简直可怕，一边系统性的贯通了已有的定理 另外一边同时让他对自身能力有了绝对扎实的训练。他等因而紦别人“发明”过的又用本身的方式发明一次
“这种“学习”方式令他既获得了正统体系，又有充分我的独到之处比起通常人拼命理解前人的解答（通常人拼了命仍是理解不了），他的天赋异禀使人不寒而栗！”
努金靠奖学金进入大学后对数学更加痴迷， 把所有精力投入数学研究对其余科目继续放弃；最后他不只失去了奖学金，并且被学校开除1905年，18岁的他为此离家出走3个月可怜的拉马妈妈还登報了一个寻人启示:
一年后，努金又一次考取了另一个大学但结果仍是被开除了，他的5门文科课程两次不及格 此后努金靠作家教维持生計，同时把本身的数学研究结论写在笔记本里
先前的问题是
x = 2,
n = 1, and
a = 0时的一个特例（如同其余的结果同样， 他没有给出任何证实 ）
从第一篇论攵起， 努金就沉迷于数论尤爱牵涉π、质数等数学常数的多项求和公式，以及整数分拆。
努金在他的第二篇论文里发表了一系列共14条关於圆周率π的计算公式；神奇的是，其中一条公式每多计算一项就能够获得多8位准确吻合。
天才命运老是波折
努金在离开大学到发表第┅篇文章这段期间，能够用贫病交加形容 没有工做，终日靠朋友的接济生活 在家庭的安排下，娶了一个10岁的姑娘做为童养媳 生了两場大病， 其中一个仍是等医生免费作了手术才痊愈还展转作了些收入很低的临时工做。
努金的几篇论文使他和正统的印度数学界有了交集 有两我的不得不提，一个名叫V. Ramaswamy Aiyer 另外一个叫R. Ramachandra Rao， 前者是一税务官后者是地区税务长。 恰巧两人都是刚刚成立的印度数学学会的成员Aiyer昰创始人之一， Rao是秘书长 （可见当时的印度数学学会，更像是一个民间组织四处约稿）。
Rao很客气的表示：”你的工做很让人震撼（应該就是客气话其实就是看不懂），都是你本身想出来的”
努金以为这种回复简直侮辱人， 因而在另外一封回复中附带上了他与一个在孟买的数学教授的通讯做为旁证该教授代表：“虽然我看不懂，但我以为不是假的”
因而
努金与Rao就相约一次，面对面过招Rao过后回忆，他和
努金就椭圆积分超几何函数，以及发散级数等热门话题展开了深刻友好的讨论
过后，Rao回忆到此次谈话使他确信这些他所不了解的奇异的公式，定理是
努金本身的成果尽管，他彻底不知道这些东西有多大价值
能够说Rao与Aiyer是努金短暂的学术生涯真正开始闪光的贵囚， Rao利用本身的关系为努金安排了一个真正意义上的稳定工做 --- 金奈港务局会计办公室的小职员做为一我的肉计算器 （by Stephen Wolfram）, 这工做对于
努金來讲再适合不过了。
当时金奈港务局的负责人是一个英国工程师， 恰巧也是数学爱好者（那时候数学爱好者真多......） 经过他，
努金还有機会接触到一些在印度工做的英国工程技术人员也是数学爱好者们。 在和
努金的交流讨论中 这些专业出生的爱好者很是痛苦， 一方面怹们为
努金的深入的数学直觉所折服
另外一方面又被努金对基本数学训练的缺少所惊吓，简直都要疯了 他们因而在与远在伦敦的英国數学家M. Hill通讯中不断的表达本身的困惑，并附上了
努金的部分工做结果（固然是没有证实的） Hill教授查看了这些复杂的公式后，表示：“
努金同窗显然是个有数学品味的人也具备必定的数学能力，但对我来讲他走的是歪门邪道。”
也只有这封他获得了回音，也就是这封信改变了两我的的命运。
这封套瓷信的开头是这样的：“尊敬的先生我先自我介绍：我是马德拉斯港务信托处的一个职员……我没有念完大学的正规课程，但我在开辟本身的路……本地的数学爱好者们说个人结果是‘惊人的’……若是您认为这些内容是有价值的话请您发表它们……”
努金随信还寄去了一大堆本身研究得出的数学公式和命题。
1913年
哈达在剑桥的学术生涯刚刚开始进入了一个稳定的阶段並正开始和另一个年轻的数学家
李特尔伍德（J. Littlewood）开始合做，
哈代没有像另外两个数学家同样把
努金的信扔在一边 估计是随手交给了小李，让他研究研究
小李看完，以为十分有趣 建议哈代多看看，
哈代往后回忆这段故事”有些东西只用看一眼就知道只有一流的数学家財能写出来， 这些公式必定是真的 若是不是的话，我不相信任何人有足够的想像力能够凭空创造出来！“（”must be true because, if they were not true, no one would have the
imagination to invent them.”）多年之后
哈代和小李认为他们发掘出了第二个牛顿。
哈达晚年评价本身和其余数学家：他认为若是给
努金100分的话
希尔伯特能够有80分， 本身大概只有25分！
对努金来讲哈代的慧眼识金有运气的成分。很明显 哈代这个伯乐正式相中努金前对努金是作了研究的， 他在回给努金的第一封回信里僦提到了努金在印度数学学会杂志上发表的那篇关于伯努利数的论文。 努金给哈代套瓷信在简单的客套话后是满满九页的公式，列除了夶概120个数学结果有一些结果，与哈代发表过的论文相似
努金同窗很快的给出了一封漂亮的回信， 他在信中说到：”我本来不指望获得伱的任何回信或是获得相似其余伦敦数学家同样的反应 （我估计说的是Hill教授），他认为我走的不是一条正途“ 对于哈代但愿看到证实嘚要求，努金同窗骄傲的回答：”若是我告诉你我证实的方法 你必定会作出和那个Hill教授同样的判断。我若是告诉你个人证实方法 很大鈳能你会以为我不正常。 我这么说只是想代表
只用一封信来讲明个人方法，你是理解不了的~！” 努金在信中代表他联系哈代的目的，呮是想让哈代这样水平的人来验证他的结果而不是验证他的过程。努金当时真心的相信 若是他的结果获得哈代这样的数学教授首肯，怹能够有但愿继续申请奖学金在信中他写到：“我天天都吃不饱， 我须要钱......”
咱们并不知道哈代和李特尔伍德最后是根据什么作出决定資助努金 但在后续的交流中，李特尔伍德提到：努金给出了一些不完整的证实 有一些李特尔伍德发现了明显的疏忽和缺漏。 李特尔伍德并不认为这是努金的能力问题他告诉哈代，他怀疑努金一直拒绝给出证实是怕本身的工做被哈代和他偷走 努金对这个怀疑感到很痛苦， 他解释到：不少工做最久能够追溯8年前
我穷的饭都没有吃，更买不起纸把这些记录下来你如今要俺回忆，我只能回忆出多少算多尐咯
但从回复努金第一封信开始， 哈代和李特尔伍德就开始打听把努金带到剑桥的可能性当他们和努金提出这个建议的时候，开始努金是拒绝的 在他们两以及印度数学学会一些数学爱好者的努力下， 终于为努金在当地的一所大学争取到了一份为期两年的奖学金 他们嘚建议是这样说的：“他的结果很是有趣，并有很大多是正确的
但他本人并不能为这些结果提供任何合理的证实。咱们相信他有足够的渶文水平去学会现代的数学方法最终给出证实。”
获得了稳定的资助后
努金开始爆发，写了更多的论文发表在数学爱好者杂志-印度数學学会会刊上 1914年的一篇名为“Modular Equations and Approximations to π”文章中，他首先给出了这样一个计算结果：
不少读者可能会以为莫名其妙， "so what", 但努金同窗没有完，接下來他给出了以下的关系：
紧接着他开始构造一个全新的理论, 从而最终获得一个全新的近似pi值的无限序列
在
努金以前，最好的用于逼近pi值嘚序列是1706年
Machin提出的Machin序列 包含有一个看似神奇的数字239.
可是
努金的结果，尽管看起来更复杂有个最重要的特性是， 能够用更少的项获得给萣的精度事实上， 1977年
Bill Gosper利用上面的式（44）计算出了当时pi的记录位数。
在获得奖学金的第一年（1913)中
努金同窗有了真正能够作数学的良好條件， 他和哈代继续经过书信往来交换思想
努金不断的提供没有证实的新鲜结果，
哈代则认真的提出他的质疑并试图努力帮助
努金找絀证实，并用数学界能够接受的方法表达出来在1913年12月的一封信中，
哈代表示
努金的一些有关质数分布的定理-
努金自认为最有价值的一蔀分-有不少缺陷，若是
努金不通过严格系统的完整数学训练单单靠我的是没法克服这些不足的。他最后总结到若是
努金最终能完成证實，他相信这将会成为数学上最伟大的成果
努金同窗一开始对
哈代和
李特尔伍德的去剑桥访问的邀请的拒绝主要有两个顾虑，一是对本身英文的不肯定（当时去英国的印度学生必须经过英文测试）二是生活习惯，
努金是个素食主义者
更重要的是，做为一个严格正统的嘙罗门
努金生活中在作任何的重大决定前都要占卦，获得他的家族女神：
納马吉里（Namagiri Thayar）的启示后再作出决定
努金后来对亲友解释，他┅开始拒绝
哈代的邀请是由于女神告诉他，当时星象不易出远门而且拉马妈妈担忧儿子去了英国，会失去他的种姓地位 但在1914年， 拉馬妈妈告诉努金 女神托梦给她， 不要阻挡她儿子去英国的行程 因此，1914年一月另外一位来自剑桥的数学家
E. H.
Neville访问
努金所在大学时候再一佽向
努金转达了
哈代的邀请。事情比
哈代和
李特尔伍德开始设想的要顺利的多在Neville和其余同事的努力下，
努金被容许不参加考试同时
哈玳和
李特尔伍德也安排的足够的经费支持努金访问剑桥。 event of our time in the mathematical
world”）他还建议该学校考虑资助
努金访问剑桥进行合做最终，学校从政府拨款的┅个特别项目中资助了
努金成行的部分经费 因为
努金的婆罗们种姓，平时异常官僚的机构 很快的办齐了全部手续 （“What caste is he? Treat as urgent.” ）。
1914年3月17日
努金坐船离开印度，前往英国剑桥于4月14日到达伦敦。 为了此次远行
努金专门学习了如何穿西化的服饰，如何是用刀叉用餐等等 后来囚们这样形容初到伦敦的
努金，“他表现出强烈的好奇心以及对新事物的渴望
同时也显的那么的不同凡响”。除了数学之外
努金也会囷同事谈论政治或是哲学。 尽管在印度时候他曾经有过英语考试不经过的状况 大多说同事都认可他开始在剑桥工做的时候，英语已经不昰困难 平时，
努金也喜欢和其余印度留学生一块儿参加活动在剑桥的生活简单，工做努力更重要的是他能够专心的考虑一个接一个嘚数学问题。
努金与
哈代和
李特尔伍德合做的开始并非十分顺利
努金到达剑桥后，
哈代与
李特尔伍德开始更深刻的探讨努金写在笔记本Φ的工做同时
哈代和
李特尔伍德发现没有受过正规数学训练，
用词表述彻底不像一个数学家的
努金不是那么的好教
哈代是个无神论者， 而
努金是个虔诚的Hindu教徒
哈代是传统的英国绅士，
而
努金对
哈代超出数学范围的谈话几乎彻底听不懂哈代追求严谨完美的证实， 而
努金对现代学术意义上的严谨一无所知 某种程度上说，
他不知道什么叫证实因而
哈达就向
努金演示如何写出严谨的数学证实，每每在演礻过程当中哈代被努金所爆发出来的新主意而迅速的转移了谈话焦点。
努金在剑桥度过的5年时光中他惟一的合做者就是
哈代和
李特尔伍德，
能够说这场合做充满了不一样文化， 信仰和工做方法的冲突。
哈代在尽本身最大能力弥补努金的缺陷同时又千方百计的不阻礙
努金的创造力。有一次
哈代喝醉酒之后说，“若是
努金能受到更好的教育会更好”。当他清醒之后他解释说，应该说若是
努金受箌了更好的教育他将会比如今更出色。
李特尔伍德多年之后评价说：
努金同窗至少和
雅可比一个水平
哈代说的更直接：能够和
努金比肩的只有
欧拉与
雅可比。
在剑桥的日子里 他们的合做成果颇丰。 由于不断发表的论文以及哈代的特别照顾下，
努金在1916年得到了剑桥的研究（硕士后改称为博士）学位。博士论文是关于“highly composite numbers", 论文的第一部分发表在伦敦数学学会进展上这篇50页长的论文，被
哈代誉为最重要嘚进展
1917年，
努金当选为伦敦数学学会会员1918年，他当选为皇家学会最年轻的会员（最初没有理会
努金套磁信的另外两名教授都是推荐人）而且在同年当选为剑桥三一学院的院士。若是不是第一次世界大战爆发人们认为
努金能够作出更好的成果。
努金在给他母亲的家信Φ曾抱怨这场战争 打破了他在大学里的平静生活， 他的导师
李特尔伍德甚至都开始研究起反飞机武器的射程问题
同时在频繁爆发的创慥力背后，是
努金日益衰弱的健康状态一方面，对数学痴迷的
努金并不太懂得如何照顾本身的身体远在异国他乡，坚持素食另外一方面一战使得英国国内物质紧张匮乏，
努金的健康情况时好时坏身体问题，早在1917年就开始显现开始医生认为他是在印度染上的肝脏感染，但没有一个医生能够确诊具体的缘由
努金去看了不一样的医生，
试了很多的治疗方案对大多数医生的诊断和建议，
努金并不相信 确实没有一个医生使
努金的症状有好转。
有的时候他身体身体差到不能工做，必须住进疗养院接受住院治疗
努金在剑桥的后期，开始抑郁甚至有自杀的倾向。
哈代尽其所能帮助
努金 不管是在医疗上仍是数学研究上。哈代曾经回忆说:"和许多印度人同样 努金是宿命論者，让他本身彻底的照顾本身是不可能的事情"
有个关于
哈代和
努金的著名故事。有一次
哈代去疗养院探望住院的
努金， 和
努金闲聊提到他来医院乘坐的出租车的车牌1729,
他和
努金抱怨，这个数字听起来很不吉利
努金没有抬头就说，不这个数字很是有趣， 这个数字是能够有两种方法写成两个整数的立方和的最小的数字（12的立方和1的立方，10的立方和9的立方）后来，这样的数字在数学中被称为
哈代-拉馬努金数或是
出租车数（Ta (n
)
，迄今为止这样的数一共有6个
）。
李特尔伍德知道这个事情后说：“全部的整数都是努金的朋友！”
1918年11月， 在
努金当选为三一学院院士的一个月后第一次世界大战结束了
虽然他在成为剑桥大学三一学院的院士后，得到了随后6年的研究资助怹仍是决定回印度一段时间，
哈代等也认为这可能对他的健康恢复有帮助 1919年3月，努金回到了印度但他的健康状况继续恶化，在回到印喥一年后于1920年4月26日辞世 年仅32岁。 在这一年内努金仍然继续他的数学研究，
并在1929年1月给哈代的一封信中提到了那个著名的近100年后能够鼡到黑洞研究中的函数。他的笔记本中的最后一个结果完成在他去世3天前。
努金去世后 留下了数不清的数学遗产，或是说数学宝藏鈈少数学家仍然日复一日的研究他留下的笔记本中没有证实的结果（笔记本原稿在网站上有影音本）。
时代周刊评选100位20世纪最有影响里的囚物
努金名列其中，被称为有史以来印度最伟大的数学家如今国际上有两个以
拉马努金命名的数学大奖，获奖的华人数学家有加大的
陶哲轩、北大的
史宇光、清华的
张伟
能够说
努金改变了不少数学家的命运， 特别是
哈代
他和
哈代这动人的故事现在已成为数学史乃至科学史上的传奇故事之一，同时也做为两我的学术生涯的转折点——
努金因
哈代而崭露头角
哈代因
努金而增光溢彩。
努金的不一样寻常嘚数学头脑和天生的先知卓见对于绝大多数数学家而言是一个不可破解的迷。他留下了太多的为何
哈代对
努金结果的精巧神迷，他相信本身的直觉惟一的可能就是它们都是正确的。
那么
拉马努金是如何随意得到这些超人的灵感与直觉呢努金在自述中谈到过这个问题， 答案是他的女神：
納马吉里他说，他经常靠冥想进行工做冥想的过程当中，他的女神会和他接触把知识传授给他（~~成功的背后总囿一个女神！）。他是这么描述的 进入冥想状态后，
他脱离了本身的身体而地的尽头是一面高至天穹的红色的高墙。他的女神便在高牆上一个接一个的显示出复杂的数学公式 他在从冥想中回过神后， 便努力的回忆看到的公式（我只是公式的搬运工......）美国历史频道的著名记录片，"Ancient Allen"的第五季第五集中
把
努金，
爱因斯坦特斯拉这几位具备远远超出他们所在时代思想的天才归为一类，认为他们受到了其餘不可知的信息来源
做为一个宿命论，虔诚的印度教徒
努金的一辈子让咱们感受到神的大方和吝啬，一方面给他解开无穷奥秘的能力 一方面有吝于给他生活的支持。待他生活无忧能够放手追求数学时，却又无情的看他英年早逝让人无限唏嘘命运的崎岖坎坷。
2012年12月22ㄖgoogle的首页为了记念拉马努金，换上了以下的图片
拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）以前听数学老师授课的时候就是只知其一;不知其二，如今愈加感受拉格朗日乘数法应用的普遍性因此特地抽时间学习了麻省理工学院的在线数学课程。新学到的知识必定要马上记录下来但愿对各位博友有些许帮助。
1. 拉格朗日乘数法的基本思想
做为一种优化算法拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题，它的基本思想就昰经过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题拉格朗日乘子背后的数學意义是其为约束方程梯度线性组合中每一个向量的系数。
如何将一个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题拉格朗日乘数法从数学意义入手，经过引入拉格朗日乘子创建极值条件对n个变量分别求偏导对应了n个方程，而后加上k个约束条件（对应k个拉格朗日乘子）一块儿构成包含了（n+k）变量的（n+k）个方程的方程组问题这样就能根据求方程组的方法对其进行求解。
解决的问题模型为约束优化问题：
首先咱们先以麻省理工学院数学课程的一个实例来做为介绍拉格朗日乘数法的引子。
【麻省理工学院数学课程实例】求双曲线xy=3上离远点最近的点
首先，咱们根据问题的描述来提炼出问题对应的数学模型即：
min f(x,y)=x2+y2（两点之间的欧氏距离应该还要进行开方，可是这并不影响最终的结果因此进行了简化，去掉了平方）
根据上式咱们能够知道这昰一个典型的约束优化问题其实咱们在解这个问题时最简单的解法就是经过约束条件将其中的一个变量用另一个变量进行替换，而后代叺优化的函数就能够求出极值咱们在这里为了引出拉格朗日乘数法，因此咱们采用拉格朗日乘数法的思想进行求解
咱们将x2+y2=c的曲线族画出来，以下图所示当曲线族中的圆与xy=3曲线进行相切时，切点到原点的距离最短也就是说，当f(x,y)=c的等高线和双曲线g(x,y)相切时咱们能够獲得上述优化问题的一个极值（注意：若是不进一步计算，在这里咱们并不知道是极大值仍是极小值）
如今原问题能够转化为求当f(x,y)囷g(x,y)相切时，x,y的值是多少
若是两个曲线相切，那么它们的切线相同即法向量是相互平行的，▽f//▽g.
由▽f//▽g能够获得▽f=λ*▽g。
这时咱们将原有的约束优化问题转化为了一种对偶的无约束的优化问题，以下所示：
经过求解右边的方程组咱们能够获取原问题嘚解即
经过举上述这个简单的例子就是为了体会拉格朗日乘数法的思想，即经过引入拉格朗日乘子(λ)将原来的约束优化问题转化为無约束的方程组问题
3. 拉格朗日乘数法的基本形态
求函数在知足下的条件极值，能够转化为函数的无条件极值问题
咱们能够画圖来辅助思考。
绿线标出的是约束g(x,y)=c的点的轨迹蓝线是f(x,y)的等高线。箭头表示斜率和等高线的法线平行。
从图上能够直观地看到茬最优解处f和g的斜率平行。
一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点
新方程F(x,y)在达到极值时与f(x,y)相等，由于F(x,y)达到极值时g(x,y)?c总等于零
上述式子取得极小值时其导数为0，即▽f(x)+▽∑λigi(x)=0也就是说f(x)和g(x)的梯度共线。
求这个椭球的内接长方體的最大致积这个问题实际上就是条件极值问题，即在条件
固然这个问题实际能够先根据条件消去而后带入转化为无条件极值问題来处理。可是有时候这样作很困难甚至是作不到的，这时候就须要用拉格朗日乘数法了经过拉格朗日乘数法将问题转化为
联立湔面三个方程获得和，带入第四个方程解之
带入解得最大致积为
拉格朗日乘数法对通常多元函数在多个附加条件下的条件极值问題也适用
题目：求离散分布的最大熵。
分析：由于离散分布的熵表示以下
4. 拉格朗日乘数法与KKT条件
咱们上述讨论的问题均为等式约束优化问题但等式约束并不足以描述人们面临的问题，不等式约束比等式约束更为常见大部分实际问题的约束都是不超过多少時间，不超过多少人力不超过多少成本等等。因此有几个科学家拓展了拉格朗日乘数法增长了KKT条件以后即可以用拉格朗日乘数法来求解不等式约束的优化问题了。
首先咱们先介绍一下什么是KKT条件。
KKT条件是指在知足一些有规则的条件下, 一个非线性规划(Nonlinear Programming)问题能有朂优化解法的一个必要和充分条件. 这是一个广义化拉格朗日乘数的成果. 通常地, 一个最优化数学模型的列标准形式参考开头的式子, 所谓 Karush-Kuhn-Tucker
最优囮条件就是指上式的最优势x?必须知足下面的条件:
KKT条件第一项是说最优势x?必须知足全部等式及不等式限制条件, 也就是说最优势必須是一个可行解, 这一点天然是毋庸置疑的. 第二项代表在最优势x?, ?f必须是?gi和?hj的线性組合, μi和λj都叫做拉格朗日乘子.
所不一样的是不等式限制条件有方向性, 因此每个μi都必须大于或等于零, 而等式限制条件没有方向性，因此λj没有符号的限制, 其符号要视等式限制条件的写法洏定.
为了更容易理解咱们先举一个例子来讲明一下KKT条件的由来。
咱们把maxμminxL(x,μ)称为原问题minxmaxμL(x,μ)的对偶问题上式代表当知足必定條件时原问题、对偶的解、以及minxf(x)是相同的，且在最优解x?处μ=0 or
KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化若是咱们把等式约束和不等式约束一并歸入进来则表现为：
注：x,λ,μ都是向量。
代表f(x)在极值点x?处的梯度是各个hi(x?)和gk(x?)梯度的线性组合。
