在实数域中，连接两个真理的最短的路径是通过复数域----雅克·阿达马

现代数学家对复数的看法如斯，无限拔高了复数的地位，这样说有道理吗？

1 对于复数的普通认知

我想，对于复数，或许大家一般会有以下的认知吧。

这样的数就是复数。有了复数之后，开方运算就不再局限于大于0的数了，这样高中必考的一元二次方程：

书上还会给出一些复数的运算法则，这样高考命题组就可以出题了。最后留给同学们的印象，似乎复数就是一个类似于太阳能电筒（不带蓄电池）一样，属于智力过剩的产物，是数学家的玩具。

对数运算也可以操作负数了，比如（下面用到欧拉公式，可以参考）：

这两个运算没有办法执行了。不过大家思考过没有，完善数系真的那么重要呢？如果非常重要的话，为什么不能发明一个数系能够使得“除以 ”可以进行下去？

你别说，史上有非常多的数学家想去发明能够兼容“除以 ”的数系，可惜都失败了，因为没有办法自洽。比如说，某个数系兼容“除以 ”，那么很容易得到荒谬的结论：

你说这种扩展数系的方法不对，换种别的扩展方式或许就能自洽。但是数学家试过各种扩展方式，都没有办法自洽。

深想一步，尝试了无数种方法都没有发明出兼容“除以 ”的数系，是否意味着不存在这样的数系。就好比，尝试了无数种永动机，下面是其中之一：

这些永动机最后都被证伪，实际上“永动机”这个目标就是错误的（1775年法国科学院通过决议，宣布永不接受永动机。现在美国专利及商标局严禁将专利证书授予永动机类申请。据说现在有什么时间晶体，不了解就不发言）。

再深想一步，为什么扩展 就那么容易呢？没有遇到自洽的问题呢？这是因为当人们抽象出“1+1=2”的时候，复数就根植于逻辑之上、存在于数学之中，静静地等待着人们的发现。

假设有一个生活在二维空间中的纸片人：

突然发现有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁，纸片人完全不知道怎么去解释：

如果切换到三维视角去的话，问题就很简单了，原来是一个三维的球体穿过二维平面：

上面完整的视频如下（出处是）：

实数是一维的数，既生活在一维的实数轴上，又困囿其上：

而复数生活在二维复平面，拥有更大的自由度：

类比刚才的动画，你就会明白为什么复数域更加重要，也不可或缺，因为它带给我们更广阔的视野。在复数域中解决一些问题会更加简单、更接近本质。

让我们带着这个模型重新审视下复数的发现历史，进一步去理解复数。

这样就满足题目的要求：

不过他自己也认为这不过就是一个数学游戏，虽然出现了虚数，但是“既不可捉摸又没有什么用处”。

此时的卡尔达诺就好像之前的纸片人，虽然想到了虚数，触摸到了更高的维度，但是终究还是把它看成一种幻想。

之后的笛卡尔把 称为虚数，也就是虚幻的、想像出来的数；莱布尼兹描述它为“介乎于存在与不存在之间的两栖数”。

确实，纸片人要跳出自己的维度去想问题是非常困难的。

从几何上看，解就是 与 的交点。当 时， 与 有两个交点，也就是有两个根 、 ：

而 ，此时 与 不相交：

也就是说，不引入虚数（因为 ，如果根据公式求解的话，就会引入虚数），是不会产生任何问题的。本来从几何上看，此时方程就不应该有解。

的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：

如果 ， ，可以得到方程：

邦贝利指出：从几何上看是有解的，但是必须通过虚数来求解！

邦贝利大胆地定义了复数的乘法（就是多项式乘法的合理延伸）：

最终通过复数以及复数乘法，邦贝利解出了此方程的三个实数解（这里不过多解释了，这不是本文的重点）。

这是一个巨大的思维飞跃，就好像刚才的纸片小人，困惑于“为什么有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁”？最终发现，需要通过更高纬度才能真正解决这个问题。

邦贝利通过更高维度的复平面，解决了低维度的实数问题，真正的把复数带入了人们的视野。所以他被认为是复数的发现者。

抛开其它细节不谈，最重要的是 ，乘以一个复数，就把 拖到更高维度的空间去审视，从而可以得到更多的细节，比如频域。

关于傅立叶变换，我们也写过很多的文章，感兴趣可以去看看：

自然会有这么一个问题，是否有更高维度的数？答案是有的，比如四元数。

威廉·哈密顿爵士（1805－1865）发现了四元数：

其中 、 、 就是对虚数维度的扩展。为此还成立了四元数推广委员会，提议学校像实数一样教授四元数。

四元数刚开始的时候引起了很大的争议，计算很复杂，但是用处不明显。用处不明显的原因或许是，当时面临的问题还不够复杂，还用不到比复数还高的维度。

到了现代，终于在电脑动画中、量子物理中找到了四元数更多的应用，只是这些应用对普通人距离太远了。

最新版本（可能有不定期更新）：。

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1、更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 17 运算定律 3 13 观察物体（二） 2 2 四则运算 1 小数的意义和性质 33 4 目 录 60 三角形 5 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 统计 91 8 小数的加法和减法 72 6 数学广角 104 9 总复习 109 10 图形的运动（二） 83 7 102 营养午餐 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 2 1 四则运算 （1） 一 列 火 车 从 西 宁 经 过 格 尔 木 开 往 拉 萨。 西 宁 到 格 。

2、尔 木 的 铁 路 长 814 km， 格 尔 木 到 拉 萨 的 铁 路 长 1142 km。 西 宁到拉萨的铁路长多少千米？ 加、减法的意义和各部分间的关系 814+ 相加的两个数叫做加数。 把两个数合并成一个数的运算， 叫做加法。 加得的数叫做和。 1 814 km 格尔木 拉萨 1142 km 西宁 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 3 减 法 是 加 法 的 逆运算。 （2） 西 宁 到 拉 萨 的 铁 路 全 长 1956 km， 其 中 西 宁 到 格 尔 木 长 814 km。格尔木到拉萨的铁路长多少千米？ 已 知。

3、 两 个 数 的 和 与 其 中 的 一 个 加 数， 求 另 一 个 加 数 的 运 算， 叫做减法。 加法各部分间的关系： 减法各部分间的关系： 根据 3，直接写出下面两道题的得数。 （3） 西 宁 到 拉 萨 的 铁 路 全 长 1956 km， 其 中 格 尔 木 到 拉 萨 长 1142 km。西宁到格尔木的铁路长多少千米？ 和 = 加数 + 加数

4、（ 3） 题分别是已知什么？ 求什么？怎样算？ 一 起 总 结 一 下 加、 减 法 各部分间的关系。 做一做 3043 - - 575= 在 减 法 中， 已 知 的 和 叫做被减数 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 4 1. 2. 3. 4. 5. 下面各题应用什么方法计算？为什么？ 根据加、减法各部分间的关系，写出另外两个等式。

5、 - 455= （1） 滑 雪 场 上 午 卖 出 86 张 门 票， 下 午 卖 出 59 张 门 票。 滑 雪 场 全天一共卖出多少张门票？ （2） 滑 雪 场 全 天 卖 出 145 张 门 票， 其 中 上 午 卖 出 86 张， 下 午 卖出多少张？ （3） 华 光 文 具 店 运 来 一 批 练 习 本， 卖 出 370 包， 剩 下 630 包。 运来多少包练习本？

6、 - 55=12 850 - 239=611 200+ 654 - 300 400 500 128 851 143 = = 297 381 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 5 乘、除法的意义和各部分间的关系 （1）每个花瓶里插 3 枝花， 4 个花瓶一共插了多少枝花？ 求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 用加法算： 3+3+3+3=12 用乘法算： 3 4=12 2 相乘的两个数叫做因数。 除法是乘法的逆运算。 乘得的数叫做积。 在除法中，已知的积 叫做被除数 （2）有 12 枝花，每 3 枝插一瓶，可以插几瓶？ （3）有 12 枝花，平均。

7、插到 4 个花瓶里，每个花瓶插几枝？ 12 3=4 12 4=3 与第 （1） 题相比， 第 （ 2） 、 （ 3） 题分别是已知 什么？求什么？怎样算？ 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算， 叫做除法。 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 6 一 起 总 结 一 下 乘、 除 法 各部分间的关系。 注 意： 0 不 能 作

8、 36 14=504，直接写出下面两道题的得数。 商 = 被除数 除数 除数 = 被除数 商 被除数 = 商 除数 积 = 因数 因数 因数 = 积 另一个因数 做一做 504 14= 504 36= 你知道有关 0 的哪些运算？具体描述一下这些运算。3 被减数等于减数，差是 0。一 个 数 加 上 0， 还得原数。 一个数和 0 相乘， 仍得 0。 0 除以一个非 0 的数，还得 0。 想一想：在有余数的除法里，被除数与商、除数和余数之间 有什么关系？ 数学游戏 左 边 方 格 里 的 数 排 列 是 有 规 律 的。 请 把 和 是 340 的 相 邻 4 个 数 找 出 来， 再 用 彩。

9、 色 笔圈出来。看看你能找到几组。 10 80 100 150 140 110 50 40 70 20 160 90 120 130 30 60 乘法各部分间的关系： 除法各部分间的关系： 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 7 练 习 二 1. 2. 3. 4. 5. 下面各题应用什么方法计算？为什么？ 根据乘、除法各部分间的关系，写出另外两个算式。 调皮的小猫。 计算下面各题，并利用乘、除法各部分间的关系进行验算。 （1） 蜗牛每小时可爬行 5 m， 6 小时能爬行多少米？ （2） 120 支铅笔，每 12 支装一盒，可以装几盒？ （3） 蜗牛 。

2的基础上加上小括号，变成 96 （ 12+4） 2， 运算顺序怎样？ （2） 在 96 （ 12+4） 2 的基础上加上中括号“ ” ，变成 另一个算式 96 （ 12+4） 2 ，运算顺序怎样？ 一 个 算 式。

13、 里， 既 有 小 括 号， 又 有 中 括 号， 要 先 算 小 括 号 里面的， 再算中括号里面的。 先说一说下面各题的运算顺序，再计算。 通过前面的学习，我们已经知道了四则混合运算的顺序。下 面我们来总结并继续学习有括号的混合运算的顺序。 做一做 你知道吗？ 小括号 “ （ ） ” 是公元 17世纪由荷兰人吉拉特首先使用的。 中括号 “ ” 是公元 17世纪英国数学家瓦里士最先使用的。 在以后的学习中， 还会用到大括号 “ ” ， 又称为花括号。 大括号是法国数学家韦达在 1593 年首先使用的。 要 先 算 小 括 号 里面的。 括号 我 们 学 过 的 加、 减、 乘、 除 四 种运。

14、算统称四则运算。 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 10 答：租 6 条小船和 1 条大船最省钱。 怎样租船最省钱？ 5 我们一共有 30 人。 6 条小船： 20 6=120（元） 1 条大船： 35 元。 共花： 120+35=155（元） 30 4=7（只） 2（人） 7+1=8（只） 20 8=160（元） 30 6=5（只） 35 5=175（元） 分析与解答 回顾与反思 先假设 再调整 一共有 30 人 要租船游玩。 阅读与理解 小船和大船的租金 不一样。问题是 如果都租小船。 全租小船，但有 1 条船只坐了 2 人， 没坐满。是不是还。

15、可以再省钱呢？ 对，把这 2 人和另一条小船的 4 人 都安排坐 1 条大船，还可以省钱。 如果都租大船。 我们是怎么解决这个问题的呢？ 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 11 练 习 三 先说出运算顺序，再计算。1. 450+390 130 - 4 209+102 （ 52-35） 940 128 - （ 154

更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 12 5. 旅行社推出“ 风景区一日游”的两种价格方案。 （ 1）成人 6 人，儿童 4 人，选哪种方案合算？ （ 2）成人 4 人，儿童 6 人，选哪种方案合算？ 成长小档案 本。

5 人以上 （包括 5 人） 每人 100 元。 下面 4 张扑克牌上的点数，经过怎样的运算才能得到 24 呢？6. 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 13 2 观察物。

18、体（二） 摆一摆，看一看，连一连。 下面的图形分别是小强从什么位置看到的？连一连。 从前面看 从前面看 从上面看 从上面看 从左面看 从左面看 小强 1 做一做 下面的图形分别是小华从什 么位置看到的？连一连。 小华 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 14 摆一摆，看一看。 这 3 个物体，从哪面看到的形状相同？从哪面看到的形状不同？ 摆一摆，看一看。 2 从上面看这 3 个物体，形状相 同吗？从左面和前面看呢？ 从上面看，形状相同。 从前面看，形状不相同。 从左面看，形状也相同。 做一做 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公。

19、众号：小题大做工作室 15 练 习 四 1. 连一连。 从前面看 从上面看 从左面看 2. 把一个正方体和一个长方 体摆成右面的样子。下面 的图形分别是从什么位置 看到的？请你连一连。 从前面看 从上面看 （1） （2） 从左面看 3. 摆一摆，画出从前面、上面和左面看到的图形。 4. （1）这 3 个物体，从哪面看到的形状相同？ （2）从哪面看到的形状不同？ 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 16 从前面看 从上面看 从左面看 （1） 从 前 面 看 到 的 形 状 是 的 有 哪 几 个？ 看 到 的 形 状 是 的有哪几个？ （2）从左面看到。

20、的形状是 的有哪几个？ （3）这几个物体从上面看有形状相同的吗？ 5. 6. 看一看，说一说。 下面是从不同位置观察同一个物体所看到的图形，请把它摆出来。 左图是由 （ ） 个 正方体搭成的。 （1） （4） （2） （5） （3） （6） 7. 成长小档案 本单元结束了， 你有什么收获？ 从同一个位置观察不同的 物体，看到的图形可能一 样。这真奇妙！ 从不同的位置观察，才能 更全面地认识一个物体。 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 17 3 运算定律 李叔叔今天一共骑了多少千米？1 加法运算定律 李 叔 叔 准 备 骑 车 旅 行一个星期。 今 。

a+b=b+a + = + 我会用字母表示。 56+4040+56 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 18 我这样算。 你能用符号表示加法结合律吗？ 再比较下面的两组算式，。

19 1. 2. 3. 4. 5. 下面的算式分别运用了什么运算定律？ 计算下面各题，并用加法交换律验算。 先计算，再填表。 新风商场第一季度电器销售情况统计表 练 习 五 哪两只手套上数的和是 100 ？连一连。 7。

26、. 2. 计算下面各题， 怎样简便就怎样计算。 刘老师为学校采购了下面的体育用品，一共花了多少钱？ 66 元 113 元 87 元 34 元 115 km 132 km 118 km 85 km A B C D E 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 21 做一做 4 他 们 都 是 怎 样 计 算 的？ 你喜欢哪种方法？ 528 -

28、 - 66 =134 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 22 1 2 3 48 49 50 5 计算 1+2+3+4+ 98+99+100。 分析与解答 回顾与反思 阅读与理解 要 算 从 1 依 次 加到 100 的和。 我 们 列 式 验 算 一 下， 是不是 50 个 101。 有没有简单一点的算法呢？ 的确是 50 个 101，

31、108 班级 这节车厢有多少名乘客？ 这台彩电原价多少钱？ 彩电 * 降 355 元 * 样品再降 245 元 样品现价 2255 元 有效票共计 325张。 其中， 赞成 276票， 反对 24 票，弃权 ____ 票。 本 节 车 厢 上 层 有 104 个 座位， 下层有 78个座位。 上 层 还 有 4个 空 位 ， 下 层 还 有 8个 空 位 。 样品 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 25 4 25=25 4 ____ ____=____ ____ ____ ____=____ ____ 你能再写出几个这样的等式吗？你发现了什么？ 用。

32、字母表示： a b = ____ ____ 乘法运算定律 一 共 有 25 个 小 组， 每 组 里 4 人负责挖坑、 种树， 2 人负责抬水、浇树。 每 组 要 种 5 棵 树， 每棵树要浇 2桶水。 6 负责挖坑、种树的一共有多少人？ 4 25=100 25 4=100 这叫做乘法交换律。 两 个 数 相 乘， 交 换 两 个 因数的位置，积不变。 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 26 （ 25 5） 2 =125 2 =250 25 （ 5 2） =25 10 =250 7 一共要浇多少桶水？ 我 先 计 算 一 共 种 了 多少棵树。 比。

34、 8 40） =（ ___ ___） ___ 108 75=___ ___ （ 25 5） 2 25 （ 5 2） 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 27 观 察 右 边 的 竖 式， 说 说 在 计 算 的 过程中运用了什么运算定律。 两 个 数 的 和 与 一 个 数 相 乘， 可 以 先 把 它 们 与 这个数分别相乘，再相加。

25 （ 4+2） 25 4+25 2。 2 1 5 5 0 2 3 5 2 0 0 0 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 28 练 习 七 口算。 根据乘法运算定律，在 。

学校一共需要购进多少套双人课桌椅？ 我 要 买 这 套 书， 需要多少钱？ 你 是 怎 样 计算的？ 用乘法分配律计算下面各题。 下 面 每 组 算 式 的 得 数 是 否 相 等？ 如 果 相 等， 选 择 其 中 一 个 算 出得数。 。

39、众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 30 9 我 买 了 5 副 羽 毛 球 拍， 花 了 330 元。 还 买 了 25 筒羽毛球，每筒 32 元。 （1）王老师一共买了多少个羽毛球？ （2）每支羽毛球拍多少钱？ “一打”是 12 个。 我这样算。 我这样算。 还可以这样算。 还可以这样算。 12 25=____ 330 5 2=____ 12 25

班， 平 均 每 个 班 可 以 分 到 多少册？ 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 32 35 16=35 2 8 （ ） 102 56=100 56+2 （ ） 1。

。 = ？ = ？ = ？ 成长小档案 本单元结束了， 你有什么收获？ 7. 我 家 每 天 要 买 一 盒 牛 奶 和 一 袋 豆 浆。 一 星 期 买 牛 奶 和豆浆要花多少钱？ 利 用 运 算 定 律 可 使 。

43、一 些计算变得更简便。 我 发 现 以 前 学 的 很 多 计 算 方 法 都 利用了运算定律。 我 发 现 只 有 乘 法 分 配 律 包 含 了 加 和乘两种运算。 9 m 9 m 19 m 2 1 m 2.40 元 0.60 元 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 33 4 小数的意义和性质 小数的意义 多出 1 dm。 2 dm。 用米作单位，不 够 1 m 怎么办？ 在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这 时也常用小数来表示。 0.01 m （ ） m 1m （ ） m （ ） m （ ） dm （ ） m （ ） m （ ） 。

更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 34 把 1m 平均分成 1000 份。 每相邻两个计数单位之间的进率是 （ ） 。 分数： 小数： 小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一分 别写作 0.1、 0.01、 。

45、0.001 0.001 m （ ） m （ ） m （ ） m （ ） m m 1000 1 分母是 10、 100、 1000的 分数可以用小数表示。 做一做 你知道吗？ 小数是我国最早提出和使 用的。 在公元 3 世纪，我国数学 家刘徽就提出把整数个位以下 无法标出名称的部分称为微数。 到了公元 13 世纪，我国元 代数学家朱世杰提出了小数的 名称。 朱世杰 0 1FP 0 1FP 刘徽 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 35 说出其他各数位表示什么， 是什么数位。 2.83 是由 （ ） 个一、 （ ） 个十分之一和 （ ） 个百分之一组成的。

46、。 小数的数位顺序表 小数的读法和写法 2 我要长得和爸 爸一样高。 表示几个一， 是 “个位” 。 表示几个十分之一， 是“十分位”。 1 8 1 8. . . 5 6 3 2 3 7 整数部分 小数部分小数点 整数部分 小数点 小数部分 数 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 十 分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 计 数 单 位 万 千 百 十 一 （ 个 ） 十 分 之 一 百 分 之 一 千 分 之 一 万 分 之 一 做一做 1.8 m 5.63 m 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 更多资料关注微信公众号：小题大做工作室 36 3 4 这是世界上最大 的古钱币。 读小数时，小数部分要 依次读出每个数字。 写小数时，小数部分依 次写出每个数字。 高： 0.58 m 厚： 3.5 cm 重： 41.47 kg 读出这枚古钱币的有关数据。 写出上面这段话里的小数。 读作：零点五八 一点四 读作： 写作： 读作： 零点零九 零点八八 据 国 内 外 专 家 实 验 研 究 预 测： 到 2100 年， 与 1900 年 相 比， 全 球 平 均 气 温 将 上 升 一 点 四 至 五 点 八 摄 氏 度， 平。