第一部分 基础理论 第5章 残差风险和残差收益率：信息率5.1
介绍我们将提出一些在评估和实施主动策略的实践中有价值的概念和经验法则。一些真知、经验法则和一套管理残差风险和残差收益率的规范程序。其中的一些要点是：信息率衡量后验的业绩（向过去看）并意味着先验的机会（向未来看）。信息率定义了残差前沿，即主动投资经理的机会集（可行域）。每位投资经理的信息率即残差风险厌恶水平决定了他的激进程度（残差风险水平）。我们可以基于直觉确定信息率和残差风险厌恶系数的合理数值。附加值依赖于投资经理的机会集和基金程度。先验信息率指示出主动投资经理的机会集——残差前沿。投资附加值源自我们的机会集（信息率）与我们的目标函数之间的交互关系。5.2
定义阿尔法向未来看（先验），阿尔法是对残差收益率的预测。向过去看（后验），阿尔法是实现的残差收益率的平均值。如果r_P(t)是投资组合在时期t=1,2,\cdots,T上的超额收益率，r_B(t)是业绩基准在同样时期上的超额收益率，那么回归模型为：r_P(t)=\alpha_P+\beta_P\cdot r_B(t)+\epsilon_P(t) \tag{5-1} 利用回归分析得到的\beta_P和\alpha_P的估计值称为实现的或历史的贝塔和阿尔法。组合P的残差收益率是\theta_P(t)=\alpha_P+\epsilon_P(t) \\式中，\alpha_P是平均残差收益率，\epsilon_P(t)是残差收益率中均值为零的随机项。实现的阿尔法用于对主动投资经理打分，主动投资经理的任务就是获得尽可能高的得分。为了做到这一点，主动投资经理需要优质的阿尔法预测。当我们向未来看时，阿尔法是对残差收益率的预测。零\theta_n为股票n的残差收益率。我们有\alpha_n=E\{\theta_n\} \\阿尔法具有投资组合属性，因为残差收益率和数学期望都具有投资组合属性。考虑一个包含两只股票的简单情形，设两只股票的阿尔法分别是\alpha_1和\alpha_2。如果我们持有一个仅由这两只股票构成的组合，其中股票1的持仓权重为h_P(1)，股票2的持仓权重为h_P(2)，那么该组合的阿尔法将是\alpha_P=h_P(1)\cdot\alpha_1+h_P(2)\cdot\alpha_2 \\即该组合的预期残差收益率的预测值是\alpha_P。根据定义，业绩基准组合的残差收益率总等于零，即\theta_B=0总是成立。因此，业绩基准组合的阿尔法必然等于零，即\alpha_B=0。为了保证\alpha_B=0，我们要求股票层面的阿尔法列向量满足业绩基准中性的约束。记得无风险组合的残差收益率也等于零，因此现金的阿尔法，即\alpha_F也总是等于零。因此任何由业绩基准和现金构成的投资组合的阿尔法也必然等于零。5.3
后验信息率：对业绩的衡量信息率（information ratio），用IR表示，是（年化）残差收益率对（年化）残差风险的比值。在后验情形中，我们考虑的是某段历史时期上实现的残差收益率的信息率，即实现的残差收益率除以为获得该收益率所承担的残差风险。实现的信息率可能（经常）是复制。别忘记业绩基准的信息率必然精确等于零。后验信息率与回归分析（式（5-1））中阿尔法的t统计量有关。如果回归分析所用数据长度为Y年，那么信息率近似等于阿尔法的t统计量与Y的平方根之比。####5.4
先验信息率：对机会的衡量信息率是每承担一个单位年化残差风险所能获得的预期年化年化残差收益率。不过，这里隐含假设了信息被有效利用。因此，信息率更精确的定义是投资经理能获得最高的年化残差收益率/残差风险的比率。经验观测结果随着时间、资产类别以及费率水平的不同而有所变化。但是整体而言，费前信息率通常很接近表中的分布。表5-1中信息率具有均值为零的对称分布。这与我们对主动管理的基本理解——主动管理是一个零和游戏——是相符的。表5-1中也显示出：如果IR=0.5称为良好，那么IR=1.0应被称为卓越。我们将进一步定义IR=0.75为优秀。给定每只股票的阿尔法，任意（随机）投资组合P将具有一个组合阿尔法\alpha_P和一个组合残差风险\omega_P。我们定义投资组合P的信息率为IR_P=\frac{\alpha_P}{\omega_P} \\作为投资经理，我们个人的“信息率”定义为我们在所有可能的投资组合中能获得的最高信息率：IR=Max\{IR_P|P\} \tag{5-6} 可以看出，我们的信息率是根据我们的阿尔法优化出来的最优组合来衡量的。信息率的一个用途就是用来调整阿尔法的量级，以使根据式（5-6）算出的IR具有合理数值。信息率不依赖于投资经理的激进程度。我们将一直假设信息率不依赖于风险水平。在实际应用中，这个关系最终由于投资约束的限制而不再成立。基于信息率的有效降低幅度来估计禁止卖空约束的代价。虽然信息率不依赖于基金程度，但它依赖于时间尺度。我们统一使用1年作为时间尺度。这样做的原因是预期收益率和方差都随时间尺度的长度增长。因此风险（即标准差）将随着时间的平方根增长，从而预期收益率（随时间增长）与风险（随时间的平方根增长）的比率将随时间的平方根增长。这意味着季度的信息率等于年度信息率的一半。月度信息率将等于1/\sqrt{12}=0.288倍的年度信息率。5.5
残差前沿：投资经理的机会集残差前沿描述了主动投资经理的机会集。先验信息率决定了主动投资经理的残差前沿。残差前沿是通过原点的一条直线。投资经理可以获得残差前沿之下任意的预期残差收益率和残差风险组合。标注着B点的原点代表了业绩基准组合。根据定义，业绩基准没有残差风险，并且\alpha_B和\omega_B都等于零。类似地，残差收益率恒等于零的无风险资产也落在原点处。信息率为主动投资经理定义了一条”预算约束“，其直观图像就是残差前沿：\alpha_p=IR\cdot\omega_P \tag{5-7} 在最优情形下（即沿着残差前沿），投资经理只能通过增加相应程度的残差风险来增加预期残差收益率。5.6
主动投资经理的目标函数主动投资经理的目标是最大化残差收益率附加值，其中附加值定义为VA[P]=\alpha_P-\lambda_R\cdot\omega_P^2 \tag{5-8} 我们忽略业绩基准择时，所以主动收益率就等于残差收益率，主动风险就等于残差风险。上述目标函数中，预期残差收益率是得分项，残差风险是扣分项。参数\lambda_R衡量了对残差风险的厌恶程度；它将残差风险折合为阿尔法上的损失。附加值的等值面是联系预期残差收益率\alpha_P与残差风险\omega_P的方程，是一族抛物线。我们有时也把附加值称为确定性等价收益率。给定风险厌恶系数\lambda_R，投资者将把收益率为\alpha_P、风险为\omega_P的投资与具有确定性收益率\alpha_P-\lambda_R\cdot\omega_P^2的无风险投资视为效用等同。5.7
偏好与机会集的相交信息率描述了主动投资经理可选的机会集。主动投资经理应探寻其机会集中的各种选择，挑选附加值最大的那个投资组合。5.8
基金程度、机会集和残差风险厌恶在投资经理的目标函数（式（5-8））中使用”预算约束“（式（5-7）），我们得到VA[\omega_P]=\omega_p\cdot IR-\lambda_R\cdot\omega_P^2 \\使附加值VA最大化的最优残差风险水平\omega^*是\omega^*=\frac{IR}{2\lambda_R} \tag{5-10} 最优残差风险水平将随着我们机会集的增加而增加，并随着残差风险厌恶水平的增加而减少。表5-3展示了在几种典型的信息率和残差风险厌恶系数下，最优残差风险水平的变化。表5-3十分有用：它使得投资经理可以将两个抽象概念”信息率“和”残差风险厌恶系数“和”投资组合残差风险“这个更加具体的概念联系起来。我们看到机会集越大，最优残差风险的激进程度就越高；残差风险厌恶系数越低，最优残差风险的激进程度就越高。我们可以将式（5-10）重新整理，得到隐含残差风险厌恶系数：\lambda_R=\frac{IR}{2\cdot\omega^*} \\5.9
附加值：风险调整残差收益率将最优残差风险（式（5-10））代入式（5-9），我们就得到以效用函数衡量的附加值和以信息率IR衡量的投资经理机会之间的关系：VA^*=VA[\omega^*]=\frac{IR^2}{4\lambda_R}=\frac{\omega^*\cdot IR}{2} \tag{5-12} 式（5-12）表明，投资经理创造附加值的能力随着信息率的平方递增，而随着投资经理风险厌恶水平的增加而递减。因此，投资经理的信息率决定了他或她创造附加值的潜力。式（5-12）描述了一个关键结果。假设我们是风险厌恶的投资者，具有较高的\lambda_R。根据式（5-12），给定\lambda_R，我们将通过选择具有最高IR的策略（或经理）来最大化我们的附加值。然而，风险承受能力非常高的投资者也会做出完全一致的计算和选择。事实上，每位投资者都会寻找具有最高信息率的策略或投资经理。不同的投资者仅会在实施策略的激进程度上有所不同。信息率是主动管理的关键5.10
\pmb{\beta}=1前沿我们挑选的投资组合（假设不做任何择时）将落在**\pmb{\beta}=1前沿**上。\beta=1前沿是由全体具有单位贝塔值的有效组合构成的曲线，其中”有效“是指它们在各自预期收益率水平上是具有最小风险的单位贝塔值组合。这些组合不必是全额投资的。图5-7比较了不同的有效前沿。普通的有效前沿是通过无风险资产F和组合Q的直线。全额投资有效前沿是起于组合C并通过组合Q的那条曲线。单位贝塔值有效前沿起于组合B并通过组合P。从图5-7来看，存在许多可选投资组合（\pmb{\beta}=1前沿左侧的那些），它们在风险和预期收益率两个特征上完胜\pmb{\beta}=1前沿上的组合。这些”更好”的投资组合事实上具有很高的主动风险，持有这些组合的投资经理将自己暴露与可能产生较差的相对业绩的商业风险之中。全额投资有效前沿和单位贝塔值有效前沿的交点位于一个带有更多约束的有效前沿——单位贝塔值全额投资有效前沿——之上。这个交点组合通常包含很高水平的残差风险。如果我们要求自己的投资组合满足“无主动现金”的条件，那么我们面临的情形将由图5-8给出。单位贝塔值无主动现金有效前沿是一条顶点在业绩基准组合B处的抛物线，并且通过组合Y。这条有效前沿结合了全额投资约束（假设业绩基准组合B是全额投资的）和\pmb{\beta}=1约束。不带有“无主动现金”约束的机会集包含了带有这个约束的机会集。也就是说，约束条件缩小了我们的机会集。5.11
直接预测阿尔法我们已经决定相对于一个业绩基准来进行投资管理，并且（至少在第19章之前）放弃对业绩基准进行择时。我们需要的是一组阿尔法。一种产生初步阿尔法的方法就是从一组预期收益率开始，然后顺次执行第4章中描述的复杂流程。另一种方法是跳过中间步骤，直接预测阿尔法。事实上，在主动投资管理系统的开发中，一个重要的目标就是避免去预测对我们最终投资组合很可能没有影响的中间变量（例如业绩基准的预期收益率）。我们不需要激光般准确的阿尔法预测。只要方向正确，任何保持流程简单性的做法都很可能弥补在阿尔法预测精度上的损失。5.12
实证观察整体上看，根据这些实证结果，表5-1看起来是对费前信息率分布的一个非常好的先验估计。这些风险信息帮助投资经理参照全体主动投资经理的风险谱线确定自身的激进程度。5.13
总结我们为残差风险和残差收益率的投资管理建立了一个简单的框架。这个框架中，有两个关键组件：信息率——衡量了我们的机会集；残差风险厌恶系数——衡量了我们发掘那些机会集的意愿。这两个组件决定了我们的最优残差风险水平（式（5-10）），以及我们创造附加值的能力（式（5-12））。5.16
技术附录阿尔法的特征组合我们的基本输入是一组资产的阿尔法（alpha）向量：\pmb{\alpha}=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_N\}。资产n的阿尔法是对资产n的预期残差收益率的预测，其中“残差”是相对于业绩基准组合定义的。因为阿尔法是对残差收益率的预测，所以业绩基准和无风险资产的阿尔法值显然为零，即\alpha_B=\alpha_F=0。阿尔法向量的特征组合（请见第2章附录）将尽可能有效地发掘阿尔法向量中的信息。我们称组合A为阿尔法向量的特征组合：\pmb{h}_A=\frac{\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\alpha}}{\pmb{\alpha}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\alpha}} \\组合A具有单位阿尔法暴露，即\pmb{h}_A^\top\cdot\pmb{\alpha}=1，并且在所有满足这样性质的投资组合中具有最小风险。组合A的方差是\sigma_A^2=\pmb{h}_A^\top\cdot\pmb{V}\cdot\pmb{h}_A =\frac{1}{\pmb{\alpha}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\alpha}} \tag{5A-2} 此外，我们可以反过来用组合A定义阿尔法向量：\pmb{\alpha}=\frac{\pmb{V}\cdot\pmb{h}_A}{\sigma_A^2} \tag{5A-3} 信息率对任意满足\omega_P>0的投资组合P，定义IR_P为IR_P=\frac{\alpha_P}{\omega_P} \\如果\omega_P=0，我们就定义IR_P=0。我们称IR_P为投资组合P的信息率。对给定的一组\{\alpha_n\}，我们定义其信息率为其信息率为IR_P的最大可能数值，即IR=Max\{IR_P|P\} \\我们将建立组合Q、组合A以及信息率之间的联系。命题1组合A的贝塔值等于0，即\pmb{\beta}_A=\pmb{\beta}^\top\cdot\pmb{h}_A=0。因此组合A通常同时具有多空头寸。组合A具有最高的信息率：IR=IR_A=\sqrt{\pmb{\alpha}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\alpha}}\geqslant IR_P，\;\forall P \tag{5A-6}
组合A的总风险和残差风险都等于IR的倒数：\omega_A=\sigma_A=\frac{1}{IR} \\ 任意可以写成如下形式的组合P：\pmb{h}_P=\pmb{\beta}_P\cdot\pmb{h}_B+\pmb{\alpha}_P\cdot\pmb{h}_A\;(\pmb{\alpha}_P>0) \\ 都具有最高IR，即IR_P=IR。组合Q是业绩基准组合和组合A的某种混合：\pmb{h}_Q=\beta_Q\cdot\pmb{h}_B+\alpha_Q\cdot\pmb{h}_A \tag{5A-9}
其中\begin{align} \beta_Q=\frac{f_B\cdot\sigma_Q^2}{f_Q\cdot\sigma_B^2} \tag{5A-10}\\ \alpha_Q=\frac{\sigma_Q^2}{f_Q\cdot\omega_A^2} \tag{5A-11} \end{align}
因此IR_Q=IR。组合Q具有与组合A相同的信息率。组合A在风险资产中的总持仓权重为e_A=\frac{\alpha_C\cdot\omega_A^2}{\sigma_C^2} \\ 令\theta_P表示任意投资组合P的残差收益率。那么组合P的信息率为IR_P=IR_Q\cdot Corr\{\theta_P,\theta_Q\} \\ （最高）信息率与组合Q的（最高）夏普率有关：IR=\frac{\alpha_Q}{\omega_Q}=SR\cdot\left(\frac{\omega_Q}{\sigma_Q}\right) \\ 我们可以将阿尔法表达为：\alpha=IR\cdot\left(\frac{\pmb{V}\cdot\pmb{h}_A}{\omega_A}\right)=IR\cdot MCRR_Q \tag{5A-15}
式（5A-15）是一个重要的结果。它将资产的阿尔法值与该资产的残差风险边际贡献直接关联起来，关联系数正是信息率（一个常数）。因此，主动投资经理应该不断检查自己持有的投资组合中各资产的残差风险边际贡献。例如，如果一位投资经理具有信息率0.5，那么残差风险边际贡献的一半应该等于他的阿尔法预测。这是一项非常有用的检查，尤其是对手工构建的组合（相反的情形是用一个优化器构建的组合）。业绩基准的夏普率与最高信息率和最高夏普率有关：SR_B^2=SR^2-IR^2 \\ 证明对于结论1，\pmb{h}_B是贝塔向量的特征组合，而\pmb{h}_A是阿尔法向量的特征组合。于是我们有\sigma_{B,A}=\beta_A\cdot\sigma_B^2=\alpha_B\cdot\sigma_A^2，因此从\alpha_B=0可以推出\beta_A=0。\alpha_B=0：贝塔向量的特征组合在单位贝塔值组合中具有最小风险，它具有零残差收益率，从而也具有零阿尔法。组合A在单位阿尔法值组合中具有最小风险。由于它的赌注下在残差收益率中，我们将预期它具有最小的系统性风险，即\beta_A=0。对于结论2，考虑任意组合L，设其组合权重为\pmb{h}_L。对任意\beta_P和标量\kappa>0，我们可以构建一个组合P，它的组合权重为\pmb{h}_P=\beta_P\cdot\pmb{h}_B+\kappa\cdot(\pmb{h}_L-\beta_L\cdot\pmb{h}_B) \tag{5A-17} 容易看出，组合P和组合L的残差组合头寸是成比例的，因此有\alpha_P=\kappa\cdot\alpha_L以及\omega_P=\kappa\cdot\omega_L，进而有IR_P=IR_L。这说明，在寻找具有最高信息率的投资组合时，我们可以将搜索范围限制在具有零贝塔和单位阿尔法的组合中。根据定义，组合A恰是这些组合中具有最小风险的组合，因此组合A具有最高信息率。对于结论3，只需利用式（5A-2）和式（5A-6）以及\beta_A=0就可以验证。对于结论4，只需利用式（5A-17）即可验证，其中L取为组合A，并取\kappa=\alpha_P>0。对于结论5，将预期超额收益率写为：\pmb{f}=f_B\cdot\pmb{\beta}+\pmb{\alpha}= f_B\cdot\left(\frac{\pmb{V}\cdot\pmb{h}_B}{\sigma_B^2}\right)+ \left(\frac{\pmb{V}\cdot\pmb{h}_A}{\sigma_A^2}\right) \tag{5A-18} 另一方面，由于组合Q与\pmb{f}的特征组合成比例，得到\pmb{f}=f_Q\cdot\left(\frac{\pmb{V}\cdot\pmb{h}_Q}{\sigma_Q^2}\right) \tag{5A-19} 将式（5A-19）代入式（5A-18）并在两端左乘\pmb{V}^{-1}，得到\left(\frac{f_Q}{\sigma_Q^2}\right)\cdot\pmb{h}_Q= \left(\frac{f_B}{\sigma_B^2}\right)\cdot\pmb{h}_B+\left(\frac{1}{\sigma_A^2}\right)\cdot\pmb{h}_A \tag{5A-20} 在式（5A-20）两端左乘(\sigma_Q^2/f_Q)，并且注意到\sigma_A=\omega_A，于是推出\pmb{h}_Q=\left(\frac{f_B\cdot\sigma_Q^2}{f_Q\cdot\sigma_B^2}\right)\cdot\pmb{h}_B+ \left(\frac{\sigma_Q^2}{f_Q\cdot\omega_A^2}\right)\cdot\pmb{h}_A \\这样就证明了式（5A-9）~式（5A-11），而结论4告诉我们IR_Q=IR。对于结论6，我们知道组合C是全1向量\pmb{e}的特征组合，因此\sigma_{C,A}=e_A\cdot\sigma_C^2=\alpha_C\cdot\sigma_A^2=\alpha_C\cdot\omega_A^2。对于结论7，对任意组合P，我们可以将其阿尔法值写为\alpha_P=\pmb{h}_P^\top\cdot\pmb{\alpha}= \frac{\pmb{h}_P^\top\cdot\pmb{V}\cdot\pmb{h}_A}{\omega_A^2}= IR\cdot\left(\frac{\pmb{h}_P^\top\cdot\pmb{V}\cdot\pmb{h}_A}{\omega_A}\right) \tag{5A-22} 式（5A-22）的推导中我们利用了结论3。因为组合A具有零贝塔值，我们可以写出\pmb{h}_P^\top\cdot\pmb{V}\cdot\pmb{h}_A=Cov\{r_P,r_A\}=Cov\{\theta_P,\theta_A\} \\其中\theta_P和\theta_A分别是组合P和组合A的残差收益率。如果我们在式（5A-22）两端同时除以组合P的残差风险\omega_P，就得到\frac{\alpha_P}{\omega_P}=IR_P= IR\cdot\left(\frac{Cov\{\theta_P,\theta_A\}}{\omega_P\cdot\omega_A}\right)= IR\cdot Corr\{\theta_P,\theta_A\} \tag{5A-24} 注意到\theta_Q=\alpha_Q\cdot\theta_A（根据式（5A-9）），所以组合A和组合Q的残差收益率之间是完全相关的，因此Corr\{\theta_P,\theta_A\}=Corr\{\theta_P,\theta_Q\}，代入式（5A-24）即得结论7。对于结论8，我们从式（5A-11）开始，在它的两端同时除以\alpha_Q，得到1=\sigma_Q^2/(f_Q\cdot\alpha_Q\cdot\omega_A^2)=\sigma_Q/(SR\cdot\omega_Q\cdot\omega_A)=\sigma_Q\cdot IR/(SR\cdot\omega_Q)，之后即得结论8。推导过程中我们用到了\omega_Q=\alpha_Q\cdot\omega_A,SR=f_Q/\sigma_Q和IR=1/\omega_A。对于结论9，我们利用式（5A-3）以及IR=\frac{1}{\omega_A}推出结论9中的第一个等号。我们知道组合Q中的资产n的残差收益率边际贡献为Cov\{\theta_Q,\theta_n\}/\omega_Q，即MCRR_Q=\pmb{V}\cdot\pmb{h}_{QR}/\omega_Q，其中\pmb{h}_{QR}是组合Q的残差头寸。根据式（5A-9），我们知道\pmb{h}_{QR}=\pmb{\alpha}_Q\cdot\pmb{h}_A及\omega_Q=\alpha_Q\cdot\omega_A。代入\pmb{MCRR}_Q的表达式即得结论9中的第二个等号。对于结论10，首先将SR^2写为：SR^2=(f_q/\sigma_q)^2=1/\sigma_q^2=\pmb{f}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{f}，这利用了组合q的定义和式（2A-2）。根据阿尔法的定义，我们有\pmb{f}=\pmb{\alpha}+\pmb{\beta}\cdot f_B，代入SR^2表达式的右端并展开，得到SR^2=\pmb{\alpha}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\alpha}+f_B^2\cdot\pmb{\beta}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\beta}+2\cdot f_B\cdot\pmb{\alpha}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\beta}。先看右端第一项，\pmb{\alpha}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\alpha}=IR^2；再看右端第二项，f_B^2+\pmb{\alpha}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\beta}=f_B^2/\sigma_B=SR_B^2；最后证明右端第三项等于零，\pmb{\alpha}^\top\cdot(\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\beta})=\pmb{\alpha}^\top(h_B/\sigma_B^2)=\alpha_B/\sigma_B^2=0，其中用到了特征\pmb{\beta}和相应特征组合\pmb{h}_B的转化关系以及\alpha_B=0。至此得到了SR^2=IR^2+SR_B^2，结论10获证。最优投资政策和最优附加值组合A是寻找最优残差头寸的关键。考虑如下优化问题：VA=Max\{\pmb{h}_P^\top\pmb{\alpha}-\lambda_R\cdot\pmb{h}_P^\top\cdot\pmb{VR}\cdot\pmb{h}_P\} \tag{5A-25} 命题2式（5A-25）的最优解是\pmb{h}_P=\beta_P\cdot\pmb{h}_B+\left(\frac{IR}{2\cdot\lambda_B\cdot\omega_A}\right)\cdot\pmb{h}_A \tag{5A-26} 其中\beta_B是任意的。最优解的附加值是VA=\frac{IR^2}{4\cdot\lambda_R} \tag{5A-27} 最优解的残差波动率是\omega_P=\frac{IR}{2\cdot\lambda_R} \tag{5A-28} 证明
式（5A-25）定义的优化问题的一阶条件是\alpha= 2\cdot\lambda_R\cdot(\pmb{V}-\pmb{\beta}\cdot\pmb{\sigma}_B^2\cdot\pmb{\beta}^\top)\cdot\pmb{h}_p \tag{5A-29} 任何可行解\pmb{h}_P是最优解当且仅当\pmb{h}_P满足式（5A-29）。令\beta_P=\pmb{h}^\top\cdot\pmb{h}_P，于是有\pmb{\alpha}+2\cdot\lambda_R\cdot\pmb{\beta}\cdot\sigma_B^2\cdot\beta_B= 2\cdot\lambda_R\cdot\pmb{V}\cdot\pmb{h}_P \tag{5A-30} 式（5A-30）中，以式（5A-3）代替\pmb{\alpha}，并且用\pmb{V}\cdot\pmb{h}_B代替\pmb{\beta}\cdot\sigma_B^2，得到IR\cdot\left(\frac{\pmb{V}\cdot\pmb{h}_A}{\omega_A}\right)+2\cdot\lambda_R\cdot\beta_P\cdot\pmb{V}\cdot\pmb{h}_B= 2\cdot\lambda_R\cdot\pmb{V}\cdot\pmb{h}_P \tag{5A-31} 在式（5A-31）两端左乘\pmb{V}^{-1}，并除以2\cdot\lambda_R，即得式（5A-26）。注意到\pmb{h}/\omega_A具有单位残差波动率，进而从式（5A-26）可以直接得到式（5A-28）。将式（5A-26）代入附加值目标函数的表达式，整理后即得是（5A-27）。注意到\pmb{h}_P的贝塔值等于\beta_P，因此我们的讨论是前后一致的。贝塔值的改变显然不影响目标函数值（式（5A-25））：首先，阿尔法向量是业绩基准中性的，因此式（5A-25）中的阿尔法部分不受组合贝塔值影响；再查，残差风险部分是独立与组合贝塔的，所以也不受组合贝塔值的影响。\pmb{\beta}=1主动前沿一组具有单位贝塔值，并在给定预期收益率水平上具有最小风险的有效组合。如果我们要求贝塔值等于1，那么风险和预期收益率将满足\begin{align} \sigma_P^2&=\sigma_B^2+\omega_P^2 \\ f_P&=f_B+\alpha_P
\end{align} \\业绩基准组合是具有单位贝塔值的组合中风险最小的组合。业绩基准B是\pmb{\beta}=1前沿的顶点，就像组合C是全额投资有效前沿的顶点那样。落在\pmb{\beta}=1有效前沿上的投资组合必须具有单位贝塔值以及最高的阿尔法/残差风险比率。这些组合的阿尔法与残差风险之比必然等于信息率，它们也因此落在预期残差收益率/残差风险图中的有效前沿上。它们的残差方差为：\omega_P^2=\frac{\alpha_P^2}{IR^2} \\结合以上3个等式，我们就得到了\pmb{\beta}=1有效前沿的方程式：\sigma_P^2=\sigma_B+\left(\frac{1}{IR^2}\right)\cdot(f_P-f_B)^2 \\主动头寸Y：无主动现金和无主动贝塔组合A在具有单位阿尔法值的组合中具有最小方差。然而，我们发现组合A往往具有较大的正向或负向现金暴露。在主动管理中，我们常常希望在偏离业绩基准和有效利用阿尔法的过程中，能够保持无主动现金或主动贝塔的状态。但是从命题1的结论6可以看出，e_A=0当且仅当\alpha_C=0。这里我们将引入一个新的组合——组合Y。我们将证明组合Y就是在无主动现金和无主动贝塔的约束下，组合优化问题的最优解。我们首先来定义组合C的残差组合CR\pmb{h}_{CR}=\pmb{h}_C-\pmb{\beta}_C\cdot\pmb{h}_B \\组合Y被定义为组合A和组合CR的如下组合：\pmb{h}_Y=\frac{\pmb{h}_A}{\omega_A}- \left(\frac{IR_C}{IR}\right)\cdot\left(\frac{\pmb{h}_{CR}}{\omega_C}\right) \tag{5A-37} 命题3组合Y具有以下属性：组合Y的贝塔值等于零，即\beta_Y=0。组合Y的总方差和残差方差由下式给出：\omega_Y^2=1-\left(\frac{IR_C}{IR}\right)^2 \\ 组合Y的阿尔法值为\alpha_Y=IR\cdot\left[1-\left(\frac{IR_C}{IR}\right)^2\right] \\ 组合Y的现金头寸是零，即e_Y=0。注意到Y是一个主动头寸，性质4确保了组合Y的多头风险资产与空头风险资产的市值是恰好相抵的，因此组合Y的现金头寸必然等于零。组合Y的信息率为：IR_Y=IR\cdot\sqrt{1-\left(\frac{IR_C}{IR}\right)^2}= IR\cdot\sqrt{1-Corr^2\{\theta_Q,\theta_C\}} \\ 证明
对于结论1，因为组合\pmb{h}_Y是两个零贝塔值组合\pmb{h}_A和\pmb{h}_{CR}的线性组合，因此它的贝塔值也等于零。对于结论2，利用式（5A-37）计算\pmb{h}_Y的方差：\omega_Y^2=Var(\pmb{h}_Y)= 1+\left(\frac{IR_C}{IR}\right)^2- 2\cdot\frac{IR_C}{IR}\cdot\frac{\sigma_{A,CR}}{\omega_A\cdot\omega_C} \\注意到组合CR是组合C的残差头寸，因此\sigma_{A,CR}=\sigma_{A,C}。根据式（2A-4）有\sigma_{A,C}=\alpha_C\cdot\omega_A^2，于是\sigma_{A,CR}=\alpha_C\cdot\omega_A^2，代入上式，整理后即得结论2。对于结论3，利用是（5A-37）计算组合Y对特征向量\pmb{e}的暴露度：e_Y=\frac{e_A}{\omega_A}-\frac{IR_C}{IR}\cdot\frac{e_{CR}}{\omega_C}= \frac{e_A}{\omega_A}-\frac{\alpha_C}{IR}\cdot\frac{e_{CR}}{\omega_C^2} \\注意到e_{CR}=\pmb{e}^\top\cdot\pmb{h}_{CR}=1-\beta_C\cdot e_B \\以及\begin{align} \omega_C^2&=\alpha_C^2-\beta_C^2\cdot\sigma_B^2=\sigma_C^2-\beta_C\cdot(\beta_C\cdot\sigma_B^2) \\ &=\sigma_C^2-\beta_C\cdot(e_B\cdot\sigma_C^2)=\sigma_C(1-\beta_C\cdot e_B) \end{align} \\代入前式，得到e_Y=\frac{e_A}{\omega_A}-\frac{\alpha_C}{IR}\cdot\frac{1}{\sigma_C^2}= \frac{e_A}{\omega_A}-\alpha_C\cdot\omega_A\cdot\frac{1}{\sigma_C^2}= \frac{e_A\cdot\sigma_C^2-\alpha_C\cdot\omega_A^2}{\omega_A\cdot\sigma_C^2}=0 \\上式中最后一步是因为e_A\cdot\sigma_C^2=\alpha_C\cdot\sigma_A^2=\alpha_C\cdot\omega_A^2。结论5是结论2和结论3的直接推论。最优无主动贝塔、无主动现金组合组合Y与寻找最优无主动贝塔、无主动现金组合的问题紧密相关。这个优化问题的数学表述为：Max\{\pmb{h}_P^\top\cdot\alpha-\lambda_R\cdot\pmb{h}_P^\top\cdot\pmb{VR}\cdot\pmb{h}_P\} \tag{5A-41} 约束条件：\pmb{\beta}^\top\cdot\pmb{h}_P=1且\pmb{e}^\top\cdot\pmb{h}_P=e_B。命题4式（5A-41）的最优解是\pmb{h}_P=\pmb{h}_B+\left(\frac{IR}{2\cdot\lambda_R}\right)\cdot\pmb{h}_Y \\证明
对组合贝塔的约束条件说明最有解必然具有\pmb{h}_P=\pmb{h}_B+\pmb{h}_{PR}的形式，其中\pmb{h}_{PR}是残差头寸并需要满足无主动现金的约束条件，即\pmb{e}^\top\cdot\pmb{h}_{PR}=0。于是将上述关于\pmb{h}_P的优化问题转化为关于\pmb{h}_{PR}的优化问题：Max\;\{\pmb{h}_{PR}^\top\cdot\pmb{\alpha}-\lambda_R\cdot\pmb{h}_{PR}^\top\cdot\pmb{V}\pmb{h}_{PR}\} \\约束条件：\pmb{\beta}^\top\pmb{h}_{PR}=\pmb{e}^\top\pmb{h}_{PR}=0。利用Lagrange乘法求解此带约束的优化问题。为了简化表达，我们定义贝塔约束和现金约束的Lagrange乘子以此为2\cdot\lambda_R\cdot\sigma_B^2\cdot\phi和2\cdot\lambda_R\cdot\sigma_C^2\cdot\pi的，于是最优解的一阶条件为：\pmb{\alpha}+(2\cdot\lambda_R\cdot\sigma_B^2\cdot\phi)\cdot\pmb{\beta}+ (2\cdot\lambda_R\cdot\sigma_C^2\cdot\pi)\cdot\pmb{e}= 2\cdot\lambda_R\cdot\pmb{VR}\cdot\pmb{h}_{PR} \\在上式两端左乘\pmb{V}^{-1}，并利用特征组合A、B和C的定义，得到\pmb{h}_{PR}= \left(\frac{IR^2}{2\cdot\lambda_R}\right)\cdot\pmb{h}_A+\phi\cdot\pmb{h}_B+\pi\cdot\pmb{h}_C \tag{5A-44} 利用贝塔约束和现金头寸约束可以确定式（5A-44）中的参数\phi和\pi，再利用\omega_C^2=\sigma_C^2\cdot(1-\beta_C\cdot e_B)来简化，得到\pi=\frac{-\alpha_C}{2\cdot\lambda_R\cdot\omega_C^2} \\ \phi=-\pi\cdot\beta_C \\将它们代入式（5A-44），经过简单整理就得到\pmb{h}_{PR}=\frac{IR}{2\cdot\lambda_R}\pmb{h}_Y，从而得证。命题5考虑一个长为T年的时期。如果任意两段不重叠的时间区间上的残差收益率是独立的，并且任意长度相同的时间区间上的残差收益率具有相同的期望值和标准差，那么在这段时期[0,T]上，预期残差收益率与残差风险的比值（即时期[0,T]上的信息率）随T的平方根增长。证明
将时期[0,T]等分为K个子区间，每个区间的长为\Delta t=T/K，用k=1,2,\cdots,K为这些子区间一次编号，区间k表示从时点(k-1)\cdot\Delta t到时点k\cdot\Delta t。令\theta(k)表示区间k上的残差收益率，令\theta=\sum_k\theta(k)表示整个时期[0,T]上的残差收益率，由于每个子区间k上的残差收益率\theta (k)具有相同的期望值，故将其设为\alpha=E\{\theta(k)\}，于是有E\{\theta\}=E\left\{\sum_k\theta(k)\right\}=K\cdot E\{\theta(k)\}=K\cdot\alpha \\同时，每个\theta(k)具有相同的方差，设为Var\{\theta\}=\omega^2。由于不同子区间上的\theta(k)之间相互独立，我们有Var\{\theta\}=Var\left\{\sum_k\theta(k)\right\}=K\cdot Var\{\theta(k)\}=K\cdot\omega^2 \\于是Std\{\theta\}=\sqrt{K}\cdot\omega \\因此\frac{E\{\theta\}}{Std\{\theta\}}= \sqrt{K}\cdot\left(\frac{\alpha}{\omega}\right)= \sqrt{\frac{T}{\Delta t}}\cdot\left(\frac{\alpha}{\omega}\right) \\得证。特别地，年化信息率为\sqrt{1/\Delta t}\cdot(\alpha/\omega)。命题6信息率线性依赖于输入的阿尔法向量。证明
利用式（5A-6），当我们将\alpha缩放为原来的\pi倍时，方程左端IR也缩放为原来的\pi倍，即新的信息率为\pi\cdot IR。实践中的一个重要问题就是我们容易输入过于乐观的阿尔法向量，以至于优化出的组合突破了任何合理的风险控制。在这种情况下，我们通常要对阿尔法向量进行量级收缩调整。任给一个阿尔法列向量，我们可以计算（可以借助标准的计算机程序）其隐含信息率IR_0=\sqrt{\pmb{\alpha}^\top\cdot\pmb{V}^{-1}\cdot\pmb{\alpha}}。假设我们发现IR_0=2.46，根据本章中描述的信息率的经验分布，我们知道0.75左右的数值更为合理。如果我们在原阿尔法向量上乘以收缩系数\pi=0.75/2.46，那么新阿尔法向量的隐含信息率将为0.75。我们可以将收缩后的阿尔法向量输入优化程序，并选择一个合理水平的主动风险厌恶系数（例如\lambda=0.10），这样我们预期能得到比价靠谱的优化结果。

2016-08-25 09:47
来源:
量化全球商学院
做过投资的人都知道投资有风险，高收益往往伴随着高风险，所谓“富贵险中求”。简单地说，风险就是发生亏损的可能性。如何去评价风险，相同的风险条件下预期收益一定相同吗？如何才能在降低风险的同时还能获得高收益？
1952年，毕业于芝加哥大学经济系的哈里·马科维兹（Harry Markowitz）发表了一篇论文《投资组合的选择》，在这篇论文中，马科维兹提出了一个简单而又深刻的问题：收益和风险的关联在哪里？如何在两者间权衡？
哈里·马科维兹
（Harry M. Markowitz）
因提出现代投资组合理论获得1990年诺贝尔经济学奖。
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马科维兹将风险进行量化，他通过收益的波动来衡量风险，对应到数学里面就是一个收益序列的方差或者标准差。为什么是波动就是风险呢？如果一只理财产品，它的收益没有波动，一直都一个固定的值，比如银行定期存款，你存款的时候告诉你年化收益是3%，那这一年里都是3%，每天都是固定的利息，没有波动，除非银行倒闭，否则就不会有风险。我们把这种约定的银行存款利率称为无风险利率。如果一只理财产品的收益不是固定的，而是存在波动，那么这只理财产品就是有风险的，因为它的收益不确定。波动越大，收益的不确定性越大，风险也就越大。因此，马科维兹用标准差来衡量投资的风险。当风险可以量化后，一些之前模糊的问题就可以进行精确的分析了。
1/3 收益的波动情况反映了风险程度。
在上面那篇论文里，马科维兹希望解决一个更关键的问题：如果投资多只股票和现金，如何配置不同投资标的的资金比例？选择标的和配置资金的依据是什么？如果以收益最大作为目标，那么只需把所有资金都投入到收益最高的那只股票里。如果以风险最小作为目标，同样也只需要把所有资金都投入到波动率最小的那只股票里。显然问题不是这么简单。
马科维兹研究发现，对两个不完全相关的资产进行组合，可能会获得更小的风险，同时收益率不会明显降低。比如下图中，资产A是低风险低收益的产品，资产B是高风险高收益的产品，如果同时投资这两种资产，当配置不同比例时，会得到不同的风险和预期收益，得到一条资产配置的曲线。我们发现，当把73%的资金投向A、27%的资金投向B时，投资组合的风险比A和B的风险都小，而且收益比A还高。虽然组合资产的收益不如B，但是风险比B小很多。如果同时考虑风险和收益的话，投资组合看上去比B更科学。
2/3通过构建投资组合，得到了更低风险、中等收益的投资目标。
在这个基础上，就可以构建任意目标的投资组合，比如风险最小的投资组合，给定风险下的投资组合，给定预期收益率的投资组合。马科维茨进一步提出选择投资组合的目标是达到“有效组合”，也就是构建在给定的风险下获取最大预期收益的组合。不同风险下的有效投资组合形成所谓的“有效前沿”（就是上图那条曲线的上半部分）。最终的选择，可以通过求解不同风险厌恶水平下的“效用函数”最大化问题来得到。
3/3 曲线上半部分的风险和下半部分的风险相同，但是收益更高，因此上半部分曲线上的配置方案是有效的，下半部分曲线上的配置方案是无效的。
针对风险的度量，后人提出了一些改进的评价指标，比如下行风险（正收益不算是风险，只有负收益，也就是亏钱时，才算是风险），最大回撤（历史最坏的亏损情况），在险价值（在一定概率下可能发生的极端亏损）等等，但是马科维兹提出使用标准差衡量风险，仍然是最广泛认可和使用的指标。
马科维兹是投资学史上第一人，把风险提高到与收益同样重要的位置，建立起权衡收益与风险的理论框架，由此创立了现代投资组合理论，因此获得1990年诺贝尔经济学奖。
马科维兹教授开创性的研究工作，使得投资成为一门真正的科学。经过几代学者的不断发展和完善，从学术的象牙塔逐渐传入投资实战前线的华尔街，成为风靡全球资本市场的投资理念和分析工具。返回搜狐，查看更多
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如何评估一个投资组合的风险和收益，并确定最优的资产配置方案？老师布置的作业中有这样的问题，谁来帮我一下...
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