2020-03-12 07:06
来源:
少年商学院
文
区韵（Renee）
少年商学院资深导师
不知道各位家长在辅导孩子学习数学时，会不会遇到以下问题：
孩子升到小学高年级后，数学成绩一路下滑，刷题只会加重负担，孩子产生抗拒心理；
孩子听老师讲解立马恍然大悟，但自己做的时候永远找不到思路；
家长陪孩子做应用题，第一时间用X/Y方程求解，但孩子年龄小，讲解他又不明白；
孩子觉得数学都是公式数字，很枯燥，提不起兴趣。
在小学阶段会出现以上问题，往往是因为从具体事物到抽象思维这关过不好。没有办法理解为什么这些符号、数字就能够进行运算？它们是怎么来的？又为什么这么算？
其实孩子的思维认知发展有着基本的规律。孩子在小学一二年级的时候，首先出现的是非常具体的形象思维。你会看到学习内容上，语文就是认字、识词、造句，数学就是看着实物数数，加减乘除，都是认识具体事物的方法。
从三年级开始，孩子的思维要开始进入另一个阶段，完成从具体的事物到抽象概念、公式的转变。所以有一些家长会发现，3、4年级的孩子数学成绩会突然之间下降，学习进度变慢，而家长也多将此错误地归结为孩子学习态度出现了问题。
实际上是因为在具体思维阶段没有做足功课，就让孩子直接进入充满抽象的符号、公式的世界，数学就会变成一门看不见摸不着的学科了，他们会迷惑，会有挫败感，甚至产生厌学情绪，从而形成恶性循环。
因此，如何帮助孩子建立从具体思维到抽象思维过渡的桥梁，就是解决以上问题的关键。这就不得不提到新加坡数学的一大利器——「模型图」方法（Model Method），也就是通过画图，能顺利地帮助孩子从具体思维阶段过渡到抽象思维阶段，这也是新加坡在数学教育界称霸称王的秘密武器。
图像化的方式
对中等学生学数学很有帮助
自新加坡提出使用Model Method (模型图方法)后20年间，新加坡学生的数学成绩就经历了巨大的进步，在国际赛事上也频频夺冠。他们的数学教材也已经风靡全球40多个国家，被欧美多个国家大力推广。
究竟什么是模型图法呢？我们不妨举个简单的例子感受一下。
A包装比B包装多了150g的糖，问要从包装A中拿出多少到包装B才使得两个包装重量一样？
如模型所示，多出来的150g需要分一半给包装B才能使两个包装的重量相等。即，150÷2=75g。
这种题目看上去不难，是因为我们画了一个简单的模型图，将两个包装的重量关系以条形图全面呈现在孩子面前，他会很直观地知道，为什么不需要算出全部重量。
新加坡数学的「模型图」教学法，是基于著名的认知心理学家杰罗姆·布鲁纳的「Modes of Representation」（表征理论）认知学习理论发展而来的。
基于这个理论，新加坡发展出来一套适用于新加坡学生的数学CPA教学法。
C – Concrete 具象化
P – Pictorial 形象化
A – Abstract 抽象化
要如何理解CPA的这个过程呢？首先回忆一下我们小时候一开始接触数学，靠数数来计算不会是直接1、2、3…...或者直接就学习1+1=2。老师家长都会告诉我们前面有1个苹果、2个苹果；1只乌龟加上另一只乌龟等于两只乌龟，诸如此类。
总的来说就是通过非常具体的事物，让我们对数量的增加或者减少有最基础的认知，这就是C（具象化）。
紧接着，当我们再被问到这个问题的时候，我们脑海里就会想象出有两只乌龟放在一起，这就是P（形象化）。
在这之后，我们看到应用题文字的时候“有一只小狗，又来了另一只小狗，一共是多少只小狗“，这时我们在纸上写下「1+1=2」，这就是A（抽象化）。
实际上，这种从具象到形象再到抽象的学习过程（从C到P到A），我们国内也是有的，比如用线段图、表格图来使问题形象化，也就是新加坡解题路径中的 P。
只是新加坡强调P（形象化）是解题的必然路径，而我们没有那么重视这一步骤。
这就会容易让学生形成两种极端，一种就是很多人口中说的“牛娃”，本来他的思维发展就比较快，即使不用通过中间的P，也能直接从C到A，我国的数学教育方式对他们来说完全没有难度，并且也凭着这样的强化将直接抽象的能力变得越来越熟练。
但另一种是大多数中等学生，从C到A需要一个媒介帮助他们顺利过渡。但因为不经常被训练如何有效利用P形象化问题，所以如何很好地从具体过渡到抽象这个问题一直得不到解决，也有可能导致成绩一蹶不振，从此对数学失去信心。
新加坡数学最大的特点，就是放大了「P形象化」这个过程，这个过程也被称作是「Model Drawing」。国内多数翻译成建模，但严格来说，这和高等数学建模并不太一样。我更愿意称为画「模型图」。那么这种Model Drawing 究竟是如何帮助孩子解决从具象到抽象的问题呢？
画模型图可以帮助孩子真正读懂题目
如何才能让孩子转变自己的思考方式，学会用图像化思维做数学题呢？下面我们来看一道题。
这道题对于刚刚学会分数的孩子可能会很头晕。搞不清究竟是什么数量关系，自然也无从下手，家长们也许比较习惯用X求解。但对于还没接触到方程的孩子来说，可能会无法理解，家长讲解起来也抓狂。
但从模型图上看，就能很好地理解到今天剩下的60页就占昨天剩下的2/3，因此就可以得出，60÷（1-1/3）=90页。这90页就是昨天剩下的页数，占到了全部的2/5，因此可得90÷（1-2/5-1/5）=225页。
可能有的家长会认为，只要等到孩子学会代数，引入方程就简单快捷多了，这样解题不是更复杂化了吗？完全没有必要呀。
实际上，画模型图可以帮助孩子真正读懂题目。在画图时，孩子心中必须一直要有数量的概念在的，数量间的关系是如何对比，是怎么增加怎么减少的，都要做到心中有数，这对培养孩子的数感很有帮助，对题目自然也会理解得很透彻。
同时这种方法更能培养孩子数学思维的系统性。随着高年级学习，往往一道应用题里面会藏着多个数学知识点，绘图的过程会变得非常复杂，需要在C-P-A的三个阶段中反复贯穿理解与确认，不能顾此失彼，无疑会很考验孩子对数学的整体概念，而非管中窥豹。
学好模型图
可以为以后更高级的数学奠定基础
有了模型图，也能将代数思想形象化，为之后学习并掌握高阶代数打好坚实的基础。例如下面这道题：
A包装比B包装多了150g的糖，如果两个包装的总重量是1kg 450g，问包装B有多少重量的糖？
先用模型图将题目中未知和已知数量关系画出来。我们就能基于模型图进行推导，因此得出结果。不需要假设、也不需要代数。
但是你会发现这道题的 1 Unit 就是我们引入了方程后的X。根据图示我们可得X+X+150=1450g。
以模型图来展示，你就更能清晰地知道X是如何和现实进行关联的，而非在空中楼阁里理解X，这样的思想在高年级更复杂的应用题里会体现得淋漓尽致。
中国孩子在数学的传统学习上，习惯通过“题海战术”提高做题的效率和正确率，这当然有一定的成效，但在高年级之后，大量的代数抽象练习并不利于培养孩子对数学的直接感受，从而导致无法将数学真正关联真实世界，他们才会觉得数学都是数字公式，很枯燥。而新加坡数学教育的理念是，将数学拉回到现实，真正地以数学为载体，解决真实问题。
事实上，在新加坡的教材中，开始引入X/Y方程的时候，也会用先用模型图作为理解辅助。
这会为孩子未来掌握更高级的代数思想，打下了坚实的基础。
平常学习多用模型图
更加便于理解与思考
那么，中国的孩子应该如何利用好新加坡数学的方法工具呢？
如果你的孩子出现了文章开篇的这些问题，他可能会更适合使用新加坡数学的「模型图」法。特别是经常需要辅助孩子解答数学应用题的家长。使用模型图，更直观具体，孩子也很容易理解。
更重要的是，家长也能从孩子画模型图的过程中观察到他所不理解的地方，从而才能针对性地进行讲解与训练。而不是你讲了好几遍，孩子还是不理解，你也找不到症结在哪里。
另外，在解答数学题的时候，尽可能让孩子坚持画模型图，当P「形象化」变成自然而然发生的时候，就能内化成一种思维模式，要熟练到甚至没有画图，脑海里也能出现这样的关系模型图，再面对高阶的抽象思维的时候，一切都了然于胸。
那么，在练习模型图的过程中，是否需要使用原版的新加坡教材呢？我身边也有少部分家长直接给孩子使用新加坡原版教材练习书，但如果没有专门的指导老师建议还是谨慎选择这样的方式。虽然新加坡的数学体系和国内的数学体系的知识点大致一样，但教学模块和节奏还是有所区别的。因此，能结合中国数学的教育大纲进行使用，这对于适合它的学生效果会更好。
少年商学院新推出的《小学应用题学霸特训-高阶综合版 （3-6年级）》就是加州伯克利数学高材生Evan老师，将新加坡数学「模型图」思想与国内数学教学体系相结合，做出一套更加适合中国小学生的应用题课程。
目的是希望孩子在小学数学阶段，思维能力刚开始有具象化阶段进入抽象阶段的时候，有这么一套题目，有一个专业的老师，带着孩子培养好的数学思维与解题习惯。帮助孩子由浅入深将基础的数学概念学透，达到举一反三的效果。现在报名即享早鸟特惠价499元（原价：899） 早鸟价优惠仅剩最后三天，VIP会员更享优惠。
查看课程详情并报名返回搜狐，查看更多
责任编辑：

新加坡是国际数学赛事上的常胜将军，我们先来看一道网络上流传的新加坡五年级数学题，大家随意感受下难度。西方小朋友想得直挠头：谢丽尔的生日是下列日期中的一个：5 月15 日，5 月16 日，5 月19 日，6 月17 日，6 月18 日，7 月14 日，7 月16 日，8 月14 日，8 月15 日，8 月17 日。谢丽尔把月份告诉了阿尔伯特，把日期告诉了伯纳德。阿尔伯特说：“我不知道谢丽尔的生日，但我知道伯纳德也不知道。”伯纳德说：“本来我不知道谢丽尔生日的，但听完阿尔伯特的话，我就确定了。”阿尔伯特接着说：“那么，现在我也确定谢丽尔的生日了。”问谢丽尔的生日是哪一天？前言
新加坡教育在亚洲一直保持领先水准，尤其是数学方面，在低龄阶段可以让孩子爱上数学的同时，也能够极大地启发数学思维。黄卫民曾在新加坡任教数学逾10年之久，他向我们介绍了鼓励学生绘图的Model Drawing教学方法。黄卫民认为，新加坡教育的一大特点就是生活化、形象化，让孩子从小就知道数学应用到生活中去。与此同时，学生在学习过程中还应当强调过程二字，这样也更易掌握解题方法，理清表达思路。16年12月，新一轮的PISA测试结果一出，全球哗然。新加坡学生力压群雄，在数学能力、阅读能力和科学素养三个项目上包揽第一，成为了货真价实的“全能王”。要知道，往年（2009和2012年），上海作为试点代表中国参加测试时，曾两次夺得全球第一，且成绩都领先于新“状元”新加坡。新加坡学生力压群雄，在数学能力、阅读能力和科学素养三个项目上包揽第一小新注：PISA是一项由经济合作与发展组织（OED）统筹的学生能力国际评估计划（每3年举行一次），可强化对考生知识面、综合分析、创新素养方面的考查，相当权威。消息一出，新加坡教育很最自然地走到了聚光灯下，而人们也不禁好奇，是怎样的教育让新加坡这个东南亚小国在一众教育强国中脱颖而出。在亚洲国家中，数学最牛的就数新加坡了。新加坡数学融合了中西数学的特长，注重中国数学难度的同时，又强调西方数学的灵活，学起来一点也不枯燥。新加坡数学到底有多强？另外，我们再看看以往新加坡学生的数学成绩：国际数学和科学评测趋势（TIMSS）测试结果，新加坡基本上年年排名第一！新加坡的学生并非都是数学天才，他们数学成绩好，是因为他们摸索总结出一套科学有效的数学教学法。这套教学方法在其它国家也行之有效。早前，小新就听说新加坡的数学教育十分出彩，尤其在低幼阶段，更是有颇受赞誉的独门秘诀，让孩子爱上数学的同时，也极大地启发了他们的数学思维。La méthode de Singapour （新加坡数学教学法），这几年法国乃至40多个国家和地区的教育界，都开始引进新加坡的教学方法，非常火爆；有的甚至直接采用新加坡数学教材。尤其在美国，几乎所有亚裔孩子，无一例外地刷过或正在刷新加坡数学，其中不少私立学校也直接选用了新加坡数学作为他们的主打教材。黄卫民，曾在新加坡任教数学逾10年之久，2003年他来到中国，也将多年的新加坡数学教育心得带到中国。如今，拥有丰富国际教育经验的他，以执行校长的身份，正参与长沙玮思学校以及天津海嘉国际双语学校的创校工作。美国数学 VS.
新加坡数学对于纽约的公立学校，大家多是用Go Math. Go Math比较简单，学习进度也比较慢，注重model，典型的common core. 小新比较推荐的数学系列是新加坡数学SAP，纽约很多私立学校/ 全天才学校（NEST+m）都是用这一套书做数学教材。今天我们来聊聊这套书好在哪里？1我们先来看看目前美国教育局发布的关于孩子数学的一些数据：对于4年级孩子的数学，美国公立学校只有37%的孩子达到熟练水平。等孩子大点，有没有好点呢？很遗憾，到了孩子8年级，只有27%的孩子是熟练的。我们现在来看看一个公益教育组织对全球孩子数学水平的排名。对于6-11岁的孩子，新加坡孩子的数学水平世界第一，评分597. 具体排名如下：对于14-18高中的孩子全球数学水平排名如下，新加坡的分数遥遥领先：所有的数据让我们正视这个事实，美国公立学校的数学水平全球偏低，存在巨大的改革进步空间。新加坡数学对于小的孩子非常有效，是非常好打基础的教材。随着孩子的成长，数学逻辑方面的区别愈加明显。国际测评机构显示在全球15岁的青少年中，新加坡的孩子具有最强解决问题，把抽象问题具体化的能力。与之而来造就地是卓著的学习能力。学习能力非狭义上学校的考试能力，而是广义上对每一个人一生影响深重的学习能力，是每一个人的核心竞争力！2新加坡数学强调的是整体全面地掌握知识，而非单纯应试。培养孩子理解分析问题的思维方式。通过图形，具体的例子帮助孩子理解数学的魔力以及在生活中的应用。美国教育一般采取螺旋式与讨论式，小新认为这种教育模式适合大众，但是不够深，广度也有待考量因为需要顾及大部分孩子的学习接受能力。新加坡数学更注重叠加式，帮助孩子一步步进步。新加坡数学是采取3步学习法：concrete, pictorial, and abstract。孩子通过实例，然后学习画bar-models来解决实际问题这是完全符合common core的。新加坡数学SAP每年一册书，涵盖了从幼儿园小班到小学六年级的课程，根据孩子的能力，决定是否需要学习全部。程度不同的孩子在学校新加坡数学的过程中都会有不同的收获。这样大家不经会问，既然这么好为什么美国公立学校不推行呢？美国公立学校一直都有做实验去验证新加坡数学SAP的有效性的。早在2013年，政府拨款做了一个实验，找了4年级/背景相似的孩子随机分为两组，一组学习正常数学教程，另一组学习新加坡数学SAP，我们来看看结果（蓝色是普通组，灰色是新加坡数学组）：无论3A/B组, 新加坡数学组都普遍高于普通组。当然无论什么方法，永远无法保证对每个孩子都一定行之有效，有的孩子学习了新加坡数学后，一样数学水平低于平均水平。新加坡数学确实是行之有效的，同时符合common core,可以从小很好的培养孩子的数学能力。但由于个别原因无法全面推行：我们已经提过新加坡数学是叠加式，所有需要循序渐进，一级接一级学习。纽约公立学校人口流动性太大，师资不足，实施这套教材有一定难度。所以目前只有部分全天才学校/私立学校使用这套数学教程，是多数Home School在家自己学数学的首选教材。中国数学 VS.
新加坡数学几年前，清华附中国际部的数学课程引进了一部新加坡教材。这是由于以往几年的经验来看，在亚洲国家学习的学生对数学的掌握程度要高于传统美国数学课程的要求，在使用以往的美国教材时，很多学生会觉得课程相对简单，这种情况在中低年级尤为明显，到达高年级以后，由于美国课程也大量加入了AP等成都的数学，科学类课程，所以难度相比较于中国学校来讲不会显得容易。 现在回到中低年级的数学课程，美国的课程在动手实践， 探索方面较为注重，而在抽象原理方面没有更多的强调。小新认为数学是一门对抽象逻辑要求较强的学科，在中国的数学学习中，对头脑计算非常重视 （mental practice），而西方教学更多地是调查探索（investigate）甚至试图把抽象化的过程以实际现象来表现，有时候会觉得本来很简单的抽象逻辑问题被复杂的具体化了。 在新加坡数学中，这两种不同文化下数学的学习得到了较好的平衡，新加坡数学要求对抽象概念的具体化表现，但是是模块化的表现，比如问三个苹果和五个橘子，一起是多少个水果？ 中国直接写数字5+3 =8，美国会画出三个苹果，再画出5个橘子，然后拿出几个橘子形状的小塑料块，和几个苹果形状的小塑料快 （manipulatives）一样的想然后解释水果是一起的概念，再得出结论。 新加坡数学中会把苹果和橘子用同样的方块（模块）来表示， 这其中有画出模块的过程， 但是由于是用同样的模块来表达，在一定成程度上抽象化了具体的橘子苹果，把其仅仅作为一个存在的实体单元，让学生更不用分心于不同个体区别的困扰， 而更注重了数学学科的数字逻辑的训练。 这种平衡与抽象逻辑 和具体操作的学习数学的方法是很值得提倡的。为什么学数学不能用工具、扳手指？这不科学呀！在远古时代，人类学会制作及使用工具来帮助生活，可以说，这是人类走向文明的第一步。同样的道理，数学也应如此。还记得幼时，当我们扳着手指，口中念念有词地数数，那时候的我们对数学是全无抗拒的，在我们眼中，生活即数学。可是不知从何时开始，数学变成了一个个枯燥乏味的符号，和一连串深奥复杂的定义，从那一刻起，数学成为了许多孩子的焦虑之源。这样的数学似乎少了一些“人味儿”。在黄卫民看来，新加坡教育的一大特点就是生活化、形象化，包括整个新加坡的教育理念和体系都是建立在学生的学习必须跟生活很贴近。这一点在数学上的主要体现是，孩子从很小的时候就知道把数学应用在生活上，亦或是把生活的东西套用到数学里去。黄卫民认为，孩子从小接触的数学是混沌的，因此一开始就开宗明义地教定义、公式、解题方法，显然有些不合时宜，毕竟数学不能速成，应该要让孩子通过摸索，慢慢积累，将基础打得越来越扎实。在新加坡，老师很鼓励学生用手指、工具或者画图的方式来解题，甚至这也成为了重要的得分点。尤其当学生碰到一些开放式的问题时，工具就显得很重要了。而在这类题目中，老师评估的其实不是学生的答案，而是学生如何用数学思维得出答案的过程。他是否有数据的支撑，他思维的缜密度、连贯性、逻辑性，他是否能够找出整个问题里的变量即问题的核心，还有他做了何种假设等等。建模的思维渗透到新加坡数学的方方面面“在真实的题目中，学生是必须做假设的，基于何种假设，我们才能得到这样或那样的结论，所以我们要看学生敢不敢做假设。如果他达到了这些要点，我们就会给予他数学思维方面的肯定。”在中国做校长的日子里，黄卫民也需要时不时面试一些学生，在面试的过程中，他注意到一个奇怪的现象。在给一年级孩子出加法题目时，他发现有些孩子会背着他在身后偷偷地扳手指，他很好奇为什么他们要这么做。原来在中国，扳手指是一件不被允许的事，孩子只能心算。“这不是很扭曲吗？明明可以用工具帮助他巩固概念，比如说借助手指，偏偏要心算。也许整个教育的逻辑就是要培养神童，似乎擅长心算就代表数学好，而孩子在日常生活中如果表现得很神童，也会得到表扬。可是这其实不是数学，这是在炫耀数学。”新加坡数学鼓励大家运用各种各样的数学教具，通过实物帮助孩子理解和掌握抽象的数学。黄卫民说，新加坡的数学教育一直是面向21世纪、走向世界的数学教育，因此它和世界上所有先进的教育理念一样，推崇的是探究式的学习，也认为答案不是获得的，而必须是要去寻找的。之所以新加坡的数学教育允许学生利用工具，是因为他们不希望学生花很多时间去做机械的演算，而应花时间在分析和决策上。“我希望学生可以更多地进入到分析、了解答案、创造的过程中，而不是停留在加减乘除的运算上。我希望学生不仅是停留在理解知识点的层面上，而是提升到布鲁姆所说的认知领域的教育目标的最高层面——即能够学会应用、分析、综合和评价。”新加坡数学成功的秘密——核心教学理念揭秘1CPA教学法在数学启蒙阶段，帮助孩子建立良好的“数感”，理解数、建立抽象和具象之间的关系至关重要。数感可不单单是数数或算术，它包括：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果；并对结果的合理性进行解释等等！就像学外语，我们很重视“语感”，但语感不是教出来的，而是长期耳濡目染“熏”出来的。数感也无法“教”，它只能依靠孩子通过多样化的方法来亲自感受，最终自己从心里与思考习惯上生发出来！我们可以通过以下例子来感受一下CPA。来源：http://mathsnoproblem.com/en/mastery/concrete-pictorial-abstract/· 第一步：向学生展示两个篮子，一个里面有3只红苹果，另一个里有2只绿苹果。如果我们要知道两个篮子里一共有几只苹果，那么可以把这些苹果拿出来，排好队，数一数。3只红苹果+2只绿苹果，一共有5只苹果。· 第二步：把问题扩展一下，变成3块红色圆片和2块绿色圆片相加，是否结果也是5块呢？这个时候可以引导学生举出更多生活中的例子，并总结出加法就是把两组东西放在一起，数数一共有多少。（新加坡数学非常注重让学生自己通过理解，推衍，归纳总结出数学概念。）把刚才所有的具体问题用一个共同的图像来表达，就是条形框模型。3个红格子和2个绿格子，一共5个格子。这里的格子可以代表苹果，也可以代表小圆片，或者其它任何学生举出的例子。数学学习的初期，孩子需要有这样一个过渡，从具象的物体慢慢过渡到抽象的图表。· 第三步：这个时候再介绍由数字和符号3+2=5组成的这个数学表达式，就顺理成章了。由具体（实物、图形）到一般（图表、数字）的这个归纳过程，就叫做抽象。熟悉国内小学传统教学方式的家长们，可能会疑惑，在小学阶段，咱们的孩子只要记住了公式，掌握了方法，算术都特别厉害，数学公式就是要靠背的嘛。但是，通过这种方式，孩子只是记住了一堆公式和解题套路，并没有真正形成数感、逻辑和抽象思维，那么升入高年级后，数学越学越力不从心，也就不足为奇了。而新加坡的教学法恰恰特别重视概念的推导过程，让孩子从一开始就知其然，更知其所以然。2建模思维新加坡的数学基础教育的最大特点，是强化了“P-形象化”这个过程，也就是绘画建模（Model Drawing）。注重结果同时注重过程，给孩子一个清晰的“可视化”解题思路。对，你没有看错，一年级的小朋友就可以学习建模啦！建模，其实并没有想象的那么高深，我们刚刚看的那个学习加法的例子，就是一个建模过程。当用CPA教学法对孩子进行具象思维到抽象思维的过渡时，建模思维就自然而然形成了。建模方法对孩子数学学习的帮助⊙专注审题，将题目中的所有文字信息转化为简单清晰的条形框⊙在构建图形的过程中建立已知信息之间的关系，并由此推导出寻找未知信息应该采用的计算方法。⊙家长用建模的方式给孩子讲解数学题时，直观具体，孩子很容易理解；同时孩子用建模的方式解题时，家长也能从孩子画图的过程中观察他是否完全理解掌握了知识点，有没盲区⊙孩子不畏惧难题，反而会喜欢上挑战。因为他知道一下子想不清楚的题目，用建模的方式慢慢分解，思路就会越来越清晰，在这个过程中就很有成就感这种思维模式一旦形成，对于日后碰到复杂问题时，能够化繁为简，理清并表达思路，并最终得出正确答案，大有助益。这次我们来看一个稍微“烧脑”一点的例子：分数应用题。题目：Peter is selling pencils. He sold 3/5 of them in the morning and 1/4 of the remainder in the afternoon. If Peter sold 200 more pencils in the morning than in the afternoon, how many pencils did Peter have in the beginning?彼得在卖铅笔。他上午卖出了3/5，下午卖出了剩余的1/4。如果彼得上午比下午多卖出200支铅笔，那么一开始他拥有多少支铅笔？来源：http://koobits.com/2012/11/06/techniques-for-learning-the-singapore-math-model-method.·第一步：画出5个格子作为整体，并在其中三个涂上颜色，表示彼得上午卖出了3/5的铅笔。· 第二步：在没有涂色的格子等分成4份，并在其中一个涂上另一种颜色，表示下午卖出了剩余铅笔的1/4。 · 第三步：将橙色格子等分成和蓝色格子一样大小，以确保所有格子大小都相同。· 第四步：计算每个小格子代表多少支铅笔。题目中说上午比下午多卖出200支，也就是说上午的6个橙色格子减去下去的1个蓝色格子，得到的5个格子，代表200支铅笔。所以每个格子代表200/5 = 40支铅笔。· 第五步：最后计算铅笔总数。每个小格子代表40，那么一共10个格子，就有40 * 10 = 400支铅笔。至此，题目计算完毕。这道题在新加坡数学体系中，大概是三年级水平的题，没有设立x，没有解方程，也没有什么复杂的解题技巧。只是通过条形图建模，平铺直叙的把问题可视化，轻松解决。绘图建模里有两个关键概念，整体与部分的比例、数量关系的变化，是需要通过训练才能达到熟能生巧。归纳一下，新加坡数学教学法里的绘图建模，大致有以下步骤：（1）完整读题（2）逐句改写问题（3）了解题目里都涉及了谁（4）画条形图，把问题体现在图表上（5）根据问题，调整方块图（6）通过计算解决问题（7）写出答案，并确保答案有意义3知识深度掌握，难度螺旋上升除了建模思维，新加坡数学还有一个重要特点：在教学体系上，会秉承知识点深度掌握，难度“螺旋上升”的方式。不同的年级，学习的知识点会有重合，但难度不断提升。比如二年级介绍过的分数概念，会在三年级再次出现，但应用范围变广，题目难度加大。而课堂设置采用90% -10%认知更新方式，即90%的内容是在孩子认知范围内，10%为全新内容，这样容易帮助孩子建立新知识点和已有认知的联系，确保对于知识的深度理解和完全掌握。当孩子看到自己的进步，建立自信，才能走得更稳更远。新加坡数学的CPA + Model Drawing，在理解的基础上将问题以一种直观的形式表达出来，帮助捋清思路，让答案一目了然。既注重知识，又注重探索和解决问题的能力。不仅教会孩子解题的方法，更教会孩子去思考、总结，是真的将数学内化成自己的思维方式了。同样是应试的数学教育，新加坡更注重“过程”二字黄卫民再三强调，新加坡并非完全的西方教育，说到底骨子里是东方的，因此应试的元素还是相当根深蒂固的，尤其是在考试中，不管是老师还是学生都是以分数作为出发点的。不过，不同的是，新加坡的应试非常讲究“过程”二字，过程就是得分点，就好比小学时用Model Drawing的方法画图解题，同样也是重要的得分点，并且这一方针一直贯彻到高中。“所以学生很清楚地知道，必须要写过程，必须要把他们的解题方法和思路表达出来，而表达是有分数的，一旦形成这个观念，其实大家都开始更加地了解解题方法背后的深意。”黄卫民之前在新加坡教学时，也曾经接触过一帮中国的奥数小天才，他发现他要花很大的力气去告诉他们，要把解题思路写下来、说出来、画出来，因为这些都是得分点。而中国学生似乎更喜欢盯着题目想老半天，然后直接把答案写下来，只要答案正确就万事大吉。18年最新版新加坡数学SAP“中国学生可能觉得写过程不是一个很自然的做法，可我觉得这是非常自然的事情，数学就应该有这个过程，老师也需要知道这个过程。如果不写过程，即使答错了也不知道究竟错在哪儿，答对了也不确定学生是否真的理解了。不养成写过程的习惯，其实不利于学生提升到更高的水平，往往会在一个地方遇到瓶颈、无法突破。”曾经也有人诟病，新加坡的数学教育似乎不怎么强调定义，似乎对定义不熟悉就是数学基础差的代名词。对于这一点，黄卫民另有看法。“我们都知道，定义是很枯燥的，甚至会让很多人产生抗拒，所以真的有必要给数学下一个死的定义吗？”或许，在小学阶段，真的没有必要。因为定义只是帮我们归类，真正要操心这件事的应该是数学家，而我们大部分的学生都不会成为数学家，他们最终是要把数学应用到他们各自的工作和生活领域中。新加坡数学N级（小班）内页虽然学生以后可能不会再做跟数学相关的工作，但是他仍然要应用数学，因为数学对他们的工作机会有帮助。那么定义对他来说，重要吗？或者说，定义对数学的思维方式来说重要吗？答案似乎不言而喻。“我觉得数学是一个讲究过程的学科，你做什么假设，什么是变量等等问题都需要考虑。比方说，研究经济就要看什么是变化的，什么是固定的，什么是可控的，什么是不可控的，我必须要做哪方面的假设，我做假设的理由是什么，这些都是数学思维，我们要把它抽离出来。”黄卫民教了那么多年的数学，每当自己曾经的学生说起当年他给他们讲的那些有关数学的趣味故事时，黄卫民都感慨万分，因为他觉得自己教数学的目的达到了，多年过去，学生们或许已经不记得书本上的数学知识，但是他们却记得那些能应用在生活上的、数学背后的处世道理。说到底，当人们试图解决生活中遇到的一切不平衡的状态时，这就是数学。数学的美就是把事情归类、整合，直至平衡。虽然新加坡的数学教育因其东方的基因，即人们重视教育，对教育可以改变命运深信不疑，因此它不可谓不应试。但其背后强大的理论基础和考核方法之间的完美结合，却使得教育本身变得高度合理了。新闻报道中的新加坡数学题在新加坡，通过数学教研的结果来改变数学教学的方法是一个优良传统。而这些教研是源自全世界对数学教育的认知、研究后的成果，它不是某个国家、地区的做法，因此放诸四海而皆准。要知道，数学教育不仅是源自于经验的，还需要很多理论研究做支撑，比如人是怎么思考的？怎么培养人的数学头脑？人的思维是怎样的？是这些理论基础，支持着课堂里老师跟学生的对话。总的来说，理论基础迫使整个教育体制很注重数学的过程和方法，而老师在教的时候也会强调过程、方法内蕴的数学思想，再接下来考核的时候也会极有针对性地对号入座。据说，新加坡还有problem posing的传统，即学生不仅做题，还要自己出题。要知道，出题可比做题难多了。也许我们的学生真的需要更多的空间来发挥他们的数学思维，毕竟做题又快又准固然厉害，但终究数学源自生活也属于生活，只有能够应用到生活中的数学思维才能真正做到历久弥新。新加坡数学的建模，厉害在哪里其实，数学最难的题目就是应用题，而应用题的解题的关键就是孩子要学会建模。那么，承接前文，下面这个部分，小新重点跟大家介绍一下建模：建模Model Drawing方法的理念和背景新加坡的数学体系是建构式的，建立在三个过程，其中除了我们以往在数学中接触最多的第三步，即以规范的数学符号来解决问题以外，前两个过程往往为人所忽略：第一步是从自然界、真实世界里去获得数学。孩子在小学阶段，或者刚刚初识数学元素时，首先是探究数学源自哪里，然后很自然地就搬到手上来运用。第二步，他们会把手上这些自然的、混沌的数学现象，包括数字和概念，化成图形。图形是很简单的，比如说把一个人化成一个方块，或者说一个人的年龄也可以具象化成方块，亦或者将三个橙子和三个苹果，化成不同颜色的方块。总的来说，就是通过这些简单的模型，来代表人们眼中所看到或是已经知道的实物。而这就是在新加坡中小学数学教育中颇受瞩目的Model Drawing大法。新加坡的孩子从小学一二年级开始，就会接触到这种思维方法，它最大的特点，就是用图形代替抽象的数字和问题，让孩子们直观地理解数学概念和算式，而不是小小年纪就被动地接受冷冰冰的公式和定义，这不仅有利于培养孩子的数学思维，更是避免他们过早地陷入对数学的无限焦虑。换句话说，Model Drawing是通过形象化的图形来展示题目中各事物之间的关系，从而帮助学生解决问题。Model Drawing是用固定的、规整的模型（比如上面的方框图）来描述一个现实问题，这样，对现实问题的思考就转化成对这个模型的研究，能帮助孩子简化问题、整理思路，也排除无用的干扰。这一点恰好符合了皮亚杰理论，小学生还处于认知发展的具体运算阶段，说白了就是形象思维发达而抽象逻辑思维还未形成。Model Drawing所具有的形象性，不仅能解题，还提高了学生思维逻辑和解决问题的能力。究竟什么是数学模型法？看完下面这道题你就明白了：正如黄卫民所说，对于新加坡孩子来说，画图是一种非常重要的数学工具，甚至可以说，这是人类自然本能的一种方法。在远古时代，人们结绳记事，但他们显然不会把生活原原本本地一股脑全呈现出来，相反他们只是简单地记事。同样的道理，孩子不懂题目在讲什么，就把题目用图来代表，数学概念一下子就形象化了。其实，Model Drawing背后所代表的是一种“简化”的思维。简化的意思是，把生活中的数学简化成简单易懂、标准化的模型。打个比方，如果我们要研究气候，如果我们不做简化，就会发现影响气候的因素真的太多了，用数学的语言来说，就是变量太多了。所以我们要做很多假设，简化到只关注某一部分。其实这也算是一个基础版的大学数学建模的概念了。而在新加坡，小学生就已经在接触数学建模的雏形了。当然在80年代，Model Drawing刚刚在新加坡推行时，也并非没有受到阻力，当时主要的问题是家长觉得比较难适应，因为用此方法解决的问题看似很复杂，甚至在家长看来，这些题目都是要用初中的代数和方程式才能解决的问题，对于小学生而言简直不可思议。因此，学校花了很大的力气去教导家长应该怎么做。不过话说回来，当孩子接触了Model Drawing这个方法以后，到了初中，他在学习一些比较深奥的代数内容时，就会发现代数原来是很简单的。所以这个方法的好处在于，它相当有利于初高年级内容的一个衔接，使得像代数这样的高级解法变得顺理成章。小新再举一个例子，这是3年级的一道题目：“Billy和Jimmy一共有350块钱，当Billy花了60块，并且Jimmy花了30块后，他俩的钱一样多，问这两个男孩之前各有多少钱？”有的朋友看到这个题目时，第一反应就是，用方程式啊，假设Billy的钱是x，Jimmy的钱是y，列两个方程式就解出来了。可是，3年级的孩子还没学到方程式呢 …那么，怎样才能让小朋友运用其已经学习到的知识，灵活地分析和解决这样的问题呢~给小朋友灌输建模的解题思路和方式，是一种非常正确的选择。特别是在小朋友学习到高中、大学以后，面对更多更为有深度、更为复杂的函数、极限、多元多次方程等数学问题时，能够化繁为简。四两拨千斤的解题思路，变得尤为重要。这里需要孩子学会如何Using Model，也就是建立模型，俗称建模。建模这个词乍听起来特别高大上，将来大学时候组织国际数学竞赛，就会考察学生建模能力。但其实，建模这个能力不仅仅对高等数学很重要，对于入门数学也是异常关键，像小新上面举的这个例子，如果孩子不会建模，那么他对这种题目理解起来会非常困难，无法理解！01什么是建模？Model Drawing建模的基本思想就是，将一个问题，用图表的形式展现出来，最后用数学方法解答。所以，它有两个最核心的技能，第一个是会画图，第二个是会计算。1. 先说说画图画图一般就是画一个长方形的格子来代表题目中的某些条件。看起来很抽象，我举一个例子您就能明白了！比如说这道题：3A和3B班级一共有200本书，3A班级的书是3B班级的4倍，那么3A和3B班级各有多少书？那么孩子就需要能画出下面的图来，3A的长方形和3B的长方形分别对应他们所拥有的书的数量。可别小看了画图，其实很有技术含量在里面，它要求孩子尽量做到长方形的长度和题目贴切。就这道题目而言，3A的长度尽量画出3B长度的4倍，这点很重要，因为它是能帮助孩子理解并进行下一步计算的。2. 其次就是计算如果图画得足够好，那么计算就是水到渠成的事情。比如上面这一题，因为有图表的基础，所以可以将200分成5等分，从而计算出每个单元的数量了。之前李湘女儿王诗龄自己在微博晒了一段“周末在家写数学作业”的视频，视频里王诗龄用的就是新加坡数学的教育思维解决18+9这个问题。不仅如此，王诗龄全程还是用英语解答数学题，纯正的英语发音的确让人佩服。新加坡数学之所以这么牛，就是因为他们独特的CPA教学法。就是一种可以帮助孩子在潜移默化中增强“数感”的法宝。C - Concrete 具象化P - Pictorial 形象化A - Abstract 抽象化· 具象化，主要就是使用数学教具，让孩子看到摸到实物，直观了解需要求解的问题。· 形象化，是通过图像符号，把问题表述出来，是为由具象到抽象的过渡阶段。· 抽象化，就是具体的建模。建模将复杂的数学问题抽象为简单的数学符号，让孩子学会用数学语言表述并解决问题。具象化代表着实实在在的东西，充分利用各种教具，比如新加坡小学数学课堂里经常出现的小方块。学生们最初感受数字，比如加减法，就是通过这种具象的方式。儿童心理学家皮亚杰的认知理论提出，6岁-12岁的孩子们，他们的认知处于具体运算阶段，认知结构虽然从6岁前的表象图式到了运算图式，但思维活动还需要具体内容的支持。所以低年级孩子学习数学更适宜通过实物，比如数苹果、数牙签、数手指，或画图形，能帮助他们理解和掌握抽象的数学。而不是让孩子背诵大量的数学口诀和公式，甚至还强迫未懂数数的孩子心算，这是不利于孩子养成数学思维的。孩子没有理解，只有背诵，会从一开始便给孩子埋下隐患，孩子会越学越困惑、越学越挫败。具象化的分数▼具象化的加减法▼具象化学习之后就是形象化学习，学生通过图像的方式进行学习，是实物练习与接下来接受抽象概念的过渡。形象化，即“Model-Drawing”的教学模式，美国人称之为“Bar-Modeling”，简单来说，这个模式就是将抽象的问题变成方格的形式来解决。它最大的好处，就是把看不见摸不着的数学具象了，时间长了，孩子的数感自然就有了！通过这个阶段过渡，孩子就能进入到真正的抽象数学的学习，也就是真正开始接触数字了。新加坡数学SAP就是按照CPA教学法来帮助孩子建立建模的数学思维，用孩子们熟悉的芒果、小汽车来引导孩子，让孩子们觉得数学很有意思。建模的思想就像思维导图一样把我们的思考展示出来，这样，抽象的数学就能变得可视化、直观化，理解起来就容易多了。类似于思维导图能把我们的思考展示出来，可视化、直观化一样，建模可以帮助孩子把数学可视化，把抽象的数学关系转化成看得见摸得着，也很容易用来和别人讨论交流的东西，可以说是连接数学从具体到抽象之间的桥梁。课堂上的新加坡数学就小新的判断而言，用建模的方式教数学，能够极大地增加孩子的理解力，并加快孩子们的解题速度。而且这个知识点并不高深，从孩子学会数数、计算的时候就可以用，非常有效！02如何学习建模？How to learn其实，建模是一套非常完善的教学方法，一开始是新加坡数学特别喜欢用，后来在美国也开始流行起来。新加坡数学，就是从最简单的加减乘除开始，循序渐进地在它的教学和练习中帮助孩子Get到建模的方法和思想，让孩子养成用图表的形式把问题展现出来，然后再基于图表解决问题的习惯。1. 用建模方式学加法两个数相加的话，可以抽象成两个长方形，比如下面这个例子，但是注意3所代表的长方形要比4的长方形短。也可以画成这样，2. 用建模方法学减法如果是减法的话，可以画成下面这样的图，也可以这样，3. 用建模方法学乘法乘法用建模的方式可以表示成这样，比如3x8这个例子，4. 用建模方法学除法除法用建模的方法可以表示成这样，比如24 / 3这个例子，5. 用建模方法做数字比较比如表示比17多4的数字，可以写成下面的样子，6. 用建模方法学分数如果学习分数的话，可以用建模方式来，比如下面的样子，7. 用建模方法学百分比百分比的表示方法，可以变成下面的样子，8. 用建模方法学小数9. 用建模方法理解比例10. 用建模方法理解平均数11. 用建模解应用题Grant 有345个水果派，Ken比Grant多230个，问Ken有多少个水果派？三年级有75位女生，男生数量是女生的3/5，问有多少位男生？上面这些都是建模最基本的技巧，同学们实际运用的情况来看，这么做有两个很明显的好处：1. 用建模方式跟孩子讲数学，会更加直观，他也更容易理解。2. 孩子如果掌握建模方式，能帮助他理解题目，并更快地得到答案。如果您对如何教孩子建模感兴趣，小新给您推荐新加坡数学SAP。让小朋友从小开始，养成良好的数学解题思路。里面涵盖了如何用建模的方式学习数学的各个知识点。建模的思想，本质上就是找寻繁杂事物的规律，简化和标准化，甚至将会在孩子们日后的工作中，形成量化问题、抽丝剥茧的高效模型化思维，极大的地提高孩子们的效率，将使他们受益终身。建模方法运用的一些注意事项① 坚持使用，因为它是培养孩子的一种思维模式，需要不断练习让孩子形成习惯，能条件反射地去使用，达到“不知道”自己知道的状态，甚至能在没有纸笔的时候，看到一道题目脑海里也能浮想出清晰的图形关系，这样遇到复杂一点的数学题目才能保持思路清晰，有条不紊；② 孩子画图的时候注意引导他尽量按照数量的比例来画，这样更直观，也更容易提早“猜”出答案，这点有些类似我们以前做几何题，图画得好画得准确的话对解题很有帮助；③ 建模方法可以在孩子平时做任何数学作业题时使用，不一定非得用新加坡的教材或练习册，当然它能让家长省点劲儿。新加坡数学SAP教材详情，请私信咨询，将会有工作人员解答您的疑问！

文
区韵（Renee）少年商学院资深导师不知道各位家长在辅导孩子学习数学时，会不会遇到以下问题：孩子升到小学高年级后，数学成绩一路下滑，刷题只会加重负担，孩子产生抗拒心理；孩子听老师讲解立马恍然大悟，但自己做的时候永远找不到思路；家长陪孩子做应用题，第一时间用X/Y方程求解，但孩子年龄小，讲解他又不明白；孩子觉得数学都是公式数字，很枯燥，提不起兴趣。在小学阶段会出现以上问题，往往是因为从具体事物到抽象思维这关过不好。没有办法理解为什么这些符号、数字就能够进行运算？它们是怎么来的？又为什么这么算？其实孩子的思维认知发展有着基本的规律。孩子在小学一二年级的时候，首先出现的是非常具体的形象思维。你会看到学习内容上，语文就是认字、识词、造句，数学就是看着实物数数，加减乘除，都是认识具体事物的方法。从三年级开始，孩子的思维要开始进入另一个阶段，完成从具体的事物到抽象概念、公式的转变。所以有一些家长会发现，3、4年级的孩子数学成绩会突然之间下降，学习进度变慢，而家长也多将此错误地归结为孩子学习态度出现了问题。实际上是因为在具体思维阶段没有做足功课，就让孩子直接进入充满抽象的符号、公式的世界，数学就会变成一门看不见摸不着的学科了，他们会迷惑，会有挫败感，甚至产生厌学情绪，从而形成恶性循环。因此，如何帮助孩子建立从具体思维到抽象思维过渡的桥梁，就是解决以上问题的关键。这就不得不提到新加坡数学的一大利器——「模型图」方法（Model Method），也就是通过画图，能顺利地帮助孩子从具体思维阶段过渡到抽象思维阶段，这也是新加坡在数学教育界称霸称王的秘密武器。图像化的方式，对中等学生学数学很有帮助自新加坡提出使用Model Method (模型图方法)后20年间，新加坡学生的数学成绩就经历了巨大的进步，在国际赛事上也频频夺冠。他们的数学教材也已经风靡全球40多个国家，被欧美多个国家大力推广。究竟什么是模型图法呢？我们不妨举个简单的例子感受一下。A包装比B包装多了150g的糖，问要从包装A中拿出多少到包装B才使得两个包装重量一样？如模型所示，多出来的150g需要分一半给包装B才能使两个包装的重量相等。即，150÷2=75g。这种题目看上去不难，是因为我们画了一个简单的模型图，将两个包装的重量关系以条形图全面呈现在孩子面前，他会很直观地知道，为什么不需要算出全部重量。新加坡数学的「模型图」教学法，是基于著名的认知心理学家杰罗姆·布鲁纳的「Modes of Representation」（表征理论）认知学习理论发展而来的。基于这个理论，新加坡发展出来一套适用于新加坡学生的数学CPA教学法。C – Concrete 具象化P – Pictorial 形象化A – Abstract 抽象化要如何理解CPA的这个过程呢？首先回忆一下我们小时候一开始接触数学，靠数数来计算不会是直接1、2、3…...或者直接就学习1+1=2。老师家长都会告诉我们前面有1个苹果、2个苹果；1只乌龟加上另一只乌龟等于两只乌龟，诸如此类。总的来说就是通过非常具体的事物，让我们对数量的增加或者减少有最基础的认知，这就是C（具象化）。紧接着，当我们再被问到这个问题的时候，我们脑海里就会想象出有两只乌龟放在一起，这就是P（形象化）。在这之后，我们看到应用题文字的时候“有一只小狗，又来了另一只小狗，一共是多少只小狗“，这时我们在纸上写下「1+1=2」，这就是A（抽象化）。实际上，这种从具象到形象再到抽象的学习过程（从C到P到A），我们国内也是有的，比如用线段图、表格图来使问题形象化，也就是新加坡解题路径中的P。只是新加坡强调P（形象化）是解题的必然路径，而我们没有那么重视这一步骤。这就会容易让学生形成两种极端，一种就是很多人口中说的“牛娃”，本来他的思维发展就比较快，即使不用通过中间的P，也能直接从C到A，我国的数学教育方式对他们来说完全没有难度，并且也凭着这样的强化将直接抽象的能力变得越来越熟练。但另一种是大多数中等学生，从C到A需要一个媒介帮助他们顺利过渡。但因为不经常被训练如何有效利用P形象化问题，所以如何很好地从具体过渡到抽象这个问题一直得不到解决，也有可能导致成绩一蹶不振，从此对数学失去信心。新加坡数学最大的特点，就是放大了「P形象化」这个过程，这个过程也被称作是「Model Drawing」。国内多数翻译成建模，但严格来说，这和高等数学建模并不太一样。我更愿意称为画「模型图」。那么这种Model Drawing 究竟是如何帮助孩子解决从具象到抽象的问题呢？画模型图可以帮助孩子真正读懂题目 如何才能让孩子转变自己的思考方式，学会用图像化思维做数学题呢？下面我们来看一道题。这道题对于刚刚学会分数的孩子可能会很头晕。搞不清究竟是什么数量关系，自然也无从下手，家长们也许比较习惯用X求解。但对于还没接触到方程的孩子来说，可能会无法理解，家长讲解起来也抓狂。但从模型图上看，就能很好地理解到今天剩下的60页就占昨天剩下的2/3，因此就可以得出，60÷（1-1/3）=90页。这90页就是昨天剩下的页数，占到了全部的2/5，因此可得90÷（1-2/5-1/5）=225页。可能有的家长会认为，只要等到孩子学会代数，引入方程就简单快捷多了，这样解题不是更复杂化了吗？完全没有必要呀。实际上，画模型图可以帮助孩子真正读懂题目。在画图时，孩子心中必须一直要有数量的概念在的，数量间的关系是如何对比，是怎么增加怎么减少的，都要做到心中有数，这对培养孩子的数感很有帮助，对题目自然也会理解得很透彻。同时这种方法更能培养孩子数学思维的系统性。随着高年级学习，往往一道应用题里面会藏着多个数学知识点，绘图的过程会变得非常复杂，需要在C-P-A的三个阶段中反复贯穿理解与确认，不能顾此失彼，无疑会很考验孩子对数学的整体概念，而非管中窥豹。学好模型图可以为以后更高级的数学奠定基础有了模型图，也能将代数思想形象化，为之后学习并掌握高阶代数打好坚实的基础。例如下面这道题：A包装比B包装多了150g的糖，如果两个包装的总重量是1kg 450g，问包装B有多少重量的糖？先用模型图将题目中未知和已知数量关系画出来。我们就能基于模型图进行推导，因此得出结果。不需要假设、也不需要代数。但是你会发现这道题的 1 Unit 就是我们引入了方程后的X。根据图示我们可得X+X+150=1450g。以模型图来展示，你就更能清晰地知道X是如何和现实进行关联的，而非在空中楼阁里理解X，这样的思想在高年级更复杂的应用题里会体现得淋漓尽致。中国孩子在数学的传统学习上，习惯通过“题海战术”提高做题的效率和正确率，这当然有一定的成效，但在高年级之后，大量的代数抽象练习并不利于培养孩子对数学的直接感受，从而导致无法将数学真正关联真实世界，他们才会觉得数学都是数字公式，很枯燥。而新加坡数学教育的理念是，将数学拉回到现实，真正地以数学为载体，解决真实问题。事实上，在新加坡的教材中，开始引入X/Y方程的时候，也会用先用模型图作为理解辅助。这会为孩子未来掌握更高级的代数思想，打下了坚实的基础。平常学习多用模型图，更加便于理解与思考那么，中国的孩子应该如何利用好新加坡数学的方法工具呢？如果你的孩子出现了文章开篇的这些问题，他可能会更适合使用新加坡数学的「模型图」法。特别是经常需要辅助孩子解答数学应用题的家长。使用模型图，更直观具体，孩子也很容易理解。更重要的是，家长也能从孩子画模型图的过程中观察到他所不理解的地方，从而才能针对性地进行讲解与训练。而不是你讲了好几遍，孩子还是不理解，你也找不到症结在哪里。另外，在解答数学题的时候，尽可能让孩子坚持画模型图，当P「形象化」变成自然而然发生的时候，就能内化成一种思维模式，要熟练到甚至没有画图，脑海里也能出现这样的关系模型图，再面对高阶的抽象思维的时候，一切都了然于胸。那么，在练习模型图的过程中，是否需要使用原版的新加坡教材呢？我身边也有少部分家长直接给孩子使用新加坡原版教材练习书，但如果没有专门的指导老师建议还是谨慎选择这样的方式。虽然新加坡的数学体系和国内的数学体系的知识点大致一样，但教学模块和节奏还是有所区别的。因此，能结合中国数学的教育大纲进行使用，这对于适合它的学生效果会更好。少年商学院新推出的《小学应用题学霸特训-高阶综合版 （3-6年级）》就是加州伯克利数学高材生Evan老师，将新加坡数学「模型图」思想与国内数学教学体系相结合，做出一套更加适合中国小学生的应用题课程。目的是希望孩子在小学数学阶段，思维能力刚开始有具象化阶段进入抽象阶段的时候，有这么一套题目，有一个专业的老师，带着孩子培养好的数学思维与解题习惯。帮助孩子由浅入深将基础的数学概念学透，达到举一反三的效果。点击下方链接即可订阅/收听。