复变函数期末试题试题，求大神

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2 复变函数试题(一)
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复变函数试题及答案172
《复变函数》课程试卷；一、单项选择题（每题2分，共20分）1．以下命题；A．?izB．零的辐角为零；C．i?3iD．对任意复数z有sinz?1[A]；1i；x?1?i(y?3)；?1?i，则；5?3i；A．x??1,y??11B．x??1,y?11；C．x?1,y??11D．x?1,y?11[D]；?u?v?u?v；?i?iB．f?(z)??x?x?x?y；
《复变函数》课程试卷 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1． 以下命题正确的是A．?iz
B．零的辐角为零C．i?3i
D．对任意复数z有sinz?1
] 2．若1ix?1?i(y?3)?1?i，则5?3iA．x??1,y??11
B．x??1,y?11C．x?1,y??11
D．x?1,y?11
] 3．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，则 A．f?(z)??u?v?u?v?i ?i
B．f?(z)??x?x?x?yC．f?(z)??u?v?u?v?i
D．f?(z)??i
] ?y?y?y?x4．下列说法正确的是A．如果f?(z0)存在，则f(z)在z0处解析B．如果u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析 C．如果f(z)在区域D内处处可导，则f(z)在区域D内解析D．如果f(z)在区域D内解析，则f(z)在区域D内一定不解析
] 5．下列等式中不正确的是A．Ln(?1)?(2k?1)?i （k为整数）
B．Lnz?Lnz?2Lnz C．ez?2k?i?ez （k为整数）
D．sin2i?cos2i?1
]226．设f(z)?x?axy?y?ibx(2?xy2y?2，则 )在复平面内处处解析（其中a,b为常数）A．a?2,b?1
B．a?1,b?2C．a?2,b??1
D．a??1,b?2
]7．设?为单位圆周z?1，则积分Imzdz的值为??A．?i
B．??iC．?
]nnn8．级数?z的收敛圆为n!n?1?A．z?1B．z?e ee[
D．z?9．z?0是函数f(z)?z(ez?1)的2A．一级零点
B．二级零点C．三级零点
D．四级零点
] 10．设f(z)?1sinz,则Res?f(z),0?? z51 5!A．1
] 二、填空题（每空2分，共10分） 11．Arg2?1?
???2k?3212．设?为包围a的任一简单闭曲线，n为整数，则??1dz?2?i或0(z?a)n13．(1?i)的主值等于 e1zi??4ln2ln2(co?is )2211??z2!z2?1?n!zn 14．函数e在z?0处的主要部分为，在z??处的主要部分为
0 二、解答题 15．讨论函数f(z)?Rez在原点的连续性与可导性。 1?z解：令f(z)?u?iv,z?x?iy，则u?v?0因u,v在(0,0)处连续，故f(z)在(0,0)处连续。又ux(0,0)?lim不可导。16．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，且u?v。试证f(z)在D内必为常数。 证：因f(z)在D内解析，故ux?vy,uy??vx 已知等式两边分别对x,y求偏导，并用上式得：2u(?x,0)?u(0,0)?lim?1?vy(0,0)，故f(z)在(0,0)处?x?0?x??x???2uux?vx?2uux??uy???(1?4u2)ux?0?ux?0 ????2uuy?vy?2uuy?ux同理可得uy?0?vx?vy?0，故u,v均为常数，进一步有f(z)在D内必为常数。117．计算积分I?2?i??ezdz，其中?为不过0和1的任一简单闭曲线。 3(1?z)zez解：①z?0,z?1均在?的外部，f(z)?在?所围的闭区域上解析，故I?0.(1?z)z3②z?0在?内部，z?1在?外部，由高阶导数公式12!I??2!2?iez?z)1?d2ez?5dz??，其中?充分小。 ?dz21?z?3?z22??z?0z??③z?0在?外部，z?1在?内部，则 1I??2?i?ez?ezz3dz???3???e ?z?1?z?z?1z?1??5?e 2④z?0,z?1均在?的内部，由多连通区域上的复合闭路定理得I?18．（1）将函数f(z)?z?1在圆环1?z???内展为Laurent级数。 2z(z?1)解：1?z????1?1 z??z?1z?111??111f(z)?2?3?(2?3)?n?2?2?n?3z(z?1)z(1?z)zzn?0zzn?0z或f(z)??1?22?1?221?????? z2zz?1z2zz1?z???1?22??111?2???n?2?2?n?3 zzzn?0zzn?0z（2）求出函数f(z)?sinz?z的奇点并判别它们的类型（包含无穷远点）。 3zf(z)?1z31315?(z?z?z??3!5!?11?)?z????z2?3!5!? 所以z?0为f(z)的可去奇点（不含负幂项），z??为f(z)的的本性奇点（含无穷多正幂项）。 ??19．利用留数计算实积分??xsinxdx 2?1?x???zeiz??zeiz?xeix?idx?2?iRes,z?i?2?i?解：? ?1?z2??2z?21?xe????z?i????故xsinx?i?dx?Re?. 2?1?xee??20．设C区域D内一条正向简单闭曲线，z0为C内一点，如果f(z)在D内解析，且f(z0)?0,f?(z0)?0，在D内f(z)无其它零点，试证： 12?i 证：因f(z)以z0为一级极点，故f(z)?(z?z0)?(z)，?(z0)?0,?(z)在z0解析，C?zf?(z)dz?z0 f(z)?(z)?(z?z0)??(z)zf?(z)z??(z)?z???z?f(z)(z?z0)?(z)z?z0?(z)故12?iC?zf?(z)1dz?f(z)2?iC?z1dz?z?z02?iC?z??(z)dz?z0?0?z0 ?(z)包含各类专业文献、文学作品欣赏、应用写作文书、高等教育、复变函数试题及答案172等内容。
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