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《计算机仿真技术与CAD》习题答案
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第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
3.4 分布参数系统的数字仿真
color=#7-5-14 13:12:51
&&& 前面介绍的是常微分方程（ODE）的数字仿真以及模型，它们属于集中参数性 质。但是有相当一类动力学问题属于分布参数性质，比如热传导问题，振动问题等，描述这类问题需要 用偏微分方程（PDE）形式。本书除介绍PDE模型的基本性质外，还将介绍PDE的数值解法及其仿真等内容 。
3.4.1 模型形式和性质
&&& 研究PDE的人，最先感受到的是两点：首先是PDE形式比ODE形式更为自然，对 物理世界的描述能力更强。事实上，人类宇宙是由空间和时间组成的，因而其特性将随着这些变量而变 化。在ODE描述的集中系统理论中，则认为物理世界是由一个以某种特定方式相互连接的不同元素的阵列 组成的。元素的物理维数和位置并不直接影响系统性能分析。但在有一些情况下，却不能用简便的集中 元素思想，而必须考虑真实世界系统的分布特性，即空间和时间的分布，如电磁学结构分析、热和质量 的传递、大地勘探、天气预报等。
&&& 其次是PDE形式的复杂性。必须认识到，分布参数系统问题比集中系统问题在 处理上难得多。在ODE情况下，人们可以借助于计算机技术来解决难以分析的问题。而对于PDE，现有的 计算能力还差得很远。除早期的有限插分法外，近年来，又研究出许多其他方法。线上法是将PDE变换成 一组ODE来求解。模型逼近法是将PDE的解看成由一个无限级数所组成。此外还有近似变换法、数值积分 法等。但尽管如此，由于PDE是建立在物理世界的时空观基础上的，计算能力还是受到维数太大的影响。 例如，天气预报，必须在一个二维的地球表面范围内，在许多高度上、许多时间间隔上，求解天气方程 组。若将近似网格折半，就意味着表面点数呈4倍、时间间隔点数呈2倍、高度平面点数呈2倍的计算法复 杂性上升。研究一个433km网格的半球24h的天气预报问题，平均需要约1011次数值运算。若将近似网格再折半，其计算量将再增 加16倍。由此可见PDE的计算工作量之大。
若只用一阶微分，对于确定的情况，其PDE具有如下的形式：
&&&&&&&&&&&&&&(3.4.1)
从方程(3.4.1)可明显地看出，除了时间变量外，还有k个空间独立变量，即 。该开连通集 Z称为“场”，虽然场对物理世界的描述更自然些，但其解法令人望而生畏。限于本书的研究范围，我们 仅考虑由(3.4.2)式所描述的系统仿真问题，其他问题可类似求解。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3.4.2)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &(3.4.3)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3.4.4)
显然，也应满足相容性条件，即
&&&&&&&&&&&&&
此问题也经常称为热传导的第一边值问题。
& 3.4.2差分解法
为了对由PDE所描述的分布参数系统进行仿真，核心问题是对PDE进行数值求解。差分解法是常用的 方法之一。它是在时间与空间两个方向将变量离散化，因而得到一组代数方程。若利用已经给出的初始 条件及边界条件逐排求解，则可将系统中的状态任意时刻、任一空间位置上的值全部计算出来。
以(3.4.2)式为例，为了用有限差分法求解上述问题，将求解区域用二族平行于 坐标轴的直线
&&&&&&&&&&&&&& &&(3.4.5)
分割成矩形网格，如图3.4.1所示，其中分别为 x方向和t方向的步长；交点称为节点。在 t=tn上，全体节点称为差分网格 的第n层。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&
&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&图3.4.1 平面矩阵网格图
假定对所要求的解有足够的光滑性，用分别表示边值问题(3.4.2)式的解及其偏导数 处的值 。构造逼近(3.4.2)式的差分格式的一种简单方法是根据泰勒展开的“逐项逼近法”，即用适当的差商逐 项去逼近(3.4.2)式中相应的微商。
一、显式差分格式
如果逼近式取
&&&&&&&(3.4.6)
&&&(3.4.7)
将(3.4.6)、(3.4.7)式代入(3.4.2)式，并舍去截断误差项，则得差分方程
&&&&&&&&&(3.4.8)
这一差分方程的逼近误差为，称此逼近关于是一阶的，关 于h是二阶的。初始条件和边界条件(3.4.2)式也需相应的逼近，即
&&&&&&&&&&&&&&&(3.4.9)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3.4.10)
于是，(3.4.9)、(3.4.10)式构成逼近边值问题(3.4.2)、(3.4.3)式的差分格式，以(3.4.8)式可解 出
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3.4.11)
由(3.4.11)式可以看出，第n+1层任一内节点处的值可以由3个相邻 节点处的值，，决定。如图3.4.1所示。显然，方程组可以按t方向逐层求解。由于这种格式关于 可以明 显解出来，因此称为显格式。
二、隐式差分格式
如果在节点作如下逼近：
& &&(3.4.12)
&&&&(3.4.13)
将它们代入(3.4.2)式并略去截断误差，则得
&&&&&&&&&&&(3.4.14)
这一格式的逼近误差为。它同(3.4.9)、(3.4.10)式联立即第二种差分格式，和(3.4.9)～(3.4.11)式 一样可以简写为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&(3.4.15)
&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&& &&&
(3.4.9)、(3.4.10)、(3.4.15)式是关于n+1层上未知量的联立线性方 程组，它的求解不像显格式那样简单，需用求解线性代数方程组的办法（例如追赶法）去解。由于这种 格式不能直接明显地解出，因此称为隐格式。
&&& 以后将看到，隐格式的最大优点是无条件稳定的，如把它和显格式(3.4.10) 、(3.4.11)式相结合，还可以构成无条件稳定，而且逼近阶次更高的六点对称格式。
三、六点对称格式
如果把差分方程(3.4.7)和(3.4.14)式结合起来，做它们的线性组合，可得一新的差分方程
&&&&&&&&(3.4.16)
此差分方程用到相邻两层6个节点上的函数值，通常叫六点差分方程，(3.4.9)、(3.4.10)、 (3.4.16)式称为六点差分格式。当时的情况特别重要，称为六点对称差分格式。这时差分方程(3.4.16)式简化为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3.4.17)
它可以看做对点做中心差商的结果。由于
&&&&&&&&& && &&(3.4.18)
因此格式(3.4.17)式的截断误差为，即对t 的逼近阶次已提高一次。下面还会看到，这种格式还是无条件稳定的，因此得到广泛的应用。
六点对称格式(3.4.17)、(3.4.19)、(3.4.10)式可简写为
&&&&&&&&&&& &&&& &(3.4.19)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&
&它对于可以用逐次追赶法求解。
四、差分格式算法的稳定性和收敛性
&&& 采用差分格式求解PDE时，若时间步长和空间步长 h选择不合适，就有可能产生数值计算发散的现象，即也存在稳定问题。对于PDE数值解的稳定 性问题，可以参照数值积分法中有关稳定性分析的方法来研究。在此不加证明地给出三个有关稳定性的 定理。
&&& 定理3.4.1 差分格式(3.4.11)、(3.4.9)、(3.4.10)式是稳定的充要条件为 r满足不等式。
&&& 定理3.4.2 差分格式(3.4.15)、(3.4.9)、(3.4.10)式对任何 r&0的值都是稳定的，即它是无条件稳定的。
&&& 定理3.4.3 差分格式(3.4.16)、(3.4.9)、(3.4.10)式当时，稳定性条 件是； 而当时 ，则它是无条件稳定的。
&&& 定理4是关于差分格式的收敛性的。
&&& 定理3.4.4 假设边值问题(3.4.2)、(3.4.3)、(3.4.4)式的解u (x,t)在区域G中存在并连续，且具有有界的偏导数，则差分格式 (3.4.15)、(3.4.9)、(3.4.10)式的解u收敛于边值问题的解u。
3.4.3 线上求解法
&&&& 偏微分方程的另一种解法是线上求解法，或称连续―离散空间法。它 是将偏微分方程的空间变量X进行离散化，而时间变量仍保持连续，因此可将偏微分方程转化为一组常微 分方程。由于对常微分方程可利用已知的数值解法来求解，特别是可以利用已经编制好的各种仿真程序 来求解，所以线上求解法被广泛用于分布参数系统的仿真。
今仍以方程(3.4.2)为例。若将x轴以h为步长分布M份，即，则有
&&&&&&&&&&&& &&&(3.4.20)
共M+1个常微分方程。其中可以用差分来近似，即有
&&&&&&&&&&&&& &(3.4.21)
(3.4.20)式中的。
&& 将(3.4.21)式代入(3.4.20)式，可得M+1个常微分方程
&&&&&&&&&&&&(3.4.22)
只要求出，就可很方便地解出这M+1个常微分方程。比如用欧拉法，则有
&&&&&&&&&&&&&&(3.4.23)
其中可由初始条件求出；而则可由初始条件及边界条件求得。
&&& 实际上，只要写出如(3.4.22)式的微分方程，则调用任何一种微分方程数值 求解程序均可。由于首先是求出这一时刻空间各点(m=0,1,2…M)的值，然后再求出这一时刻空间 各点的值，因此被称为线上求解法。
&& &线上求解法的具体步骤可归结如下：
&& &⑴ 将空间变量从起始点到终点分成M份；
&& &⑵ 用差分来近似对空间变量求导（这里要利用边界条件）；
&&&& 从起始时间开始，利用给定的初始条件用数值积分法求出下一时刻空 间各点的函数值；
&& &⑷ 用差分来近似对空间变量的求导；
&& &⑸ 计算下一时刻空间各点的函数值；
&& &⑹ 重复⑷、⑸两步，直到规定的时刻为止。
&& &可见，采用线上求解法完全可以利用原有的数值积分法和系统仿真程序，而 只要增加一些差分计算子程序即可。图3.4.2是线上求解法仿真程序框图。
&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&图3.4.2 线上求解法仿真程序框图
线上求解法的优点是方法直观，程序简单，比较容易被工程技术人员所掌握。但它也有不足，主要 是：
&& &⑴ 误差不易控制。数值积分法由于有误差估计，可以用改变积分步长使计算 精度限制在某个范围，但线上求解法所引起的误差不易估计，所以整个系统仿真的精度就难以控制。
& &&⑵ 差分公式很多，在使用时选择哪一种公式不仅会影响计算精度，而且会影 响计算时间。因此要根据问题的需求和计算机的字长做出选择。
&&& ⑶ 空间离散的间距取多大也是线上求解法的一个重要问题，同样也要根据计 算的精度和仿真时间的要求来选择。
&& 总之，线上求解法对于比较熟悉常微分方程系统仿真的工程技术人员来讲，是一种 比较简单方便的方法。有兴趣的读者可以参考有关偏微分方程的数值解方面的文献。
3.4.4& Matlab语言在偏微分方程解法中的应用
&& &鉴于偏微分方程数值解在科学研究和数学计算中越来越主要的地位，本小节 将介绍Matlab中专门用来求解偏微分方程的软件包－PDE Toolbox。由于篇幅所限和教材内容的原因，以 及偏微分方程解法本身的复杂性，我们仅对一些简单的、基本的算法和指令给出解法算例。更深入的内 容读者可以参考PDE Toolbox的帮助文件和其它参考书。
一、偏微分方程组求解
Matlab使用指令pdepe( )求解由方程(3.4.1)描述的一阶偏微分方程组，但是为了统一起见，在 Matlab语言中将这样的一阶偏微分方程的两点边值问题统一描述为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3.4.24)
其中：m=0、1或2分别对应平面、圆柱和球形。c()的对角元素为零或正数。利用Matlab 指令求解该方程，首先必须建立描述方程(3.4.24)结构、边界条件和初始条件的三个m文件。
&&&& ◆描述偏微分方程的函数。该m文件的格式为
&&&&&&&&&&&&& function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,ux)
其中ux是u对x的偏导数。该文件返回列向量。
&&& ◆&描述边界条件的函数。方程的边界条件是和，间隔[a,b]必 须是有限的。如果m&0，则。另外必须首先将边界条件写成统一格式，为
&&&&&&&&&&&&&&(3.4.25)
描述该边界条件的m文件格式为：
&&&&&&&&&&&& function [pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,ux)
&&&&&◆ 描述初值的函数。因为一般偏微分方程的初始条件仅与方程 的状态有关，故描述初值的m文件格式为
&&&& &&&&&&&&function u0＝ pdein(x)
完成上述三个m文件后，在调用求解指令前还必须对方程的状态和时间作网格化处理，即
&&&&&&&&&&&& &&&
例如：x=0:0.05:1;
&&&&& t=0:0.05:2;
偏微分方程的求值可以利用指令pdepe( ),调用格式为
&&&&&&&&& sol = pdepe (m,@pdefun,@pdebc,@pdein,x,t);
利用绘图指令，如surf可以绘出方程(3.4.24)的解。
例3.4.1：利用Matlab语言求解偏微分方程
&&&&&&&&&&&&(3.4.26)
&&&&&& &&&
解：首先将(3.4.26)改写如方程(3.4.24)描述的标准格式：
显见： m=0
描述偏微分方程(3.4.26)的Matlab的m文件函数可以写成：
&&&&&&&&& function [c,f,s]=pdefun (x,t,u,du)
& &&&&&&&&&&c=[1;1];
&& &&&&&&&&&y=u(1)-u(2);
&& &&&&&&&&&F=exp(5.73*y)-exp (-11.46*y);
&& &&&&&&&&&s=F*[-1;1];
&& &&&&&&&&&f=[0.024*du (1);0.17*du(2)];
再将方程的边界条件写成如式(3.4.25)那样的标准格式。
描述偏微分方程(3.4.26)的边界条件的Matlab的m文件函数可以写成：
& &&&&&&&&&&function [pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)
&& pa=[0;ua(2)];
&& &&&&&&&&&qa=[1;0];
&& &&&&&&&&&pb=[ub(1)- 1;0];
&& qb=[0;1];
方程的初始条件描述函数为
&&&&&&&&&&& function u0=pdein (x)
&& u0=[1;0];
做完上述工作后，在Matlab命令窗口键入以下命令就可以完成计算
x=0:0.05:1;
t=0:0.05:2;
sol=pdepe(m,@c7mpde,@c7mpic,@c7mpbc,x,t);
surf(x,t,sol(:,:,1))
其中命令surf是图形显示，方程(3.4.26)的解图形如图3.4.3所示
二、二阶偏微分方程的数学描述和求解
(1) 二阶偏微分方程的数学描述
我们首先使用在场论中经常使用的几个定义：
☆梯度&&&(3.4.27)
其中：称为哈密顿算子
☆散度&&&&(3.4.28)
梯度和散度的混合运算可以写成
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ;&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 图3.4.3 方程 (3.4.26)的解曲面
&&&& &&&& (3.4.29)
如果c为常数，则(3.4.29)式可以简化为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &(3.4.30)
式中的△称为Laplace算子。
在此定义下我们再考虑几种常见的偏微分方程的数学描述。
&&& ◆椭圆型偏微分方程：
椭圆型偏微分方程的一般表示形式为
&&&&&&&&&&&(3.4.31)
如果c为常数，椭圆型偏微分方程(3.4.31)可以写成
&&&&&&&&&&&&&(3.4.32)
&&& ◆抛物线型偏微分方程：
抛物线型偏微分方程的一般形式为
&&&&&&&&&&&&&& &(3.4.33)
如果c为常数，抛物线型偏微分方程(3.4.33)可以写成
&&&&&&&&&&& &(3.4.34)
&&& ◆双曲型偏微分方程：
双曲型偏微分方程的一般形式为
&&&&&&&&&&&&(3.4.35)
如果c为常数，双曲型偏微分方程(3.4.35)可以写成
&&&&&&&&&&&&& &&(3.4.36)
&&& ◆&特征值型偏微分方程：
特征值型偏微分方程的一般形式为
&&&&&&&&& &&&(3.4.37)
如果c为常数，特征值型偏微分方程(3.4.35)可以写成
&&&&&&&&&&&&&& (3.4.38)
(2) 应用Matlab求解二阶偏微分方程的基本方法
&&& 利用Matlab求解二阶偏微分方程的一般有以下步骤
&&& →&题目定义：由方程(3.4.33)和(3.4.35)可以看出，参量 是二阶偏微 分方程的主要参量，只要这几个参量确定，就可以定下偏微分方程的结构。此外要做的事是确定偏微分 方程的求解区域，即边界条件。在PDE ToolBox中有许多类似circleg.m的m文件定义了不同的边界形状。 使用前可以借助help命令查看，或参考其它资料。
&&& →求解域的网格化：通常采用命令initmesh进行初始网格化，还可以采用命 令refinemesh进行网格的细化和修整。这些命令的用法同样可以使用help命令，如[p,e,t]=initmesh(g) ，这里的参量p、e、t提供给下面的问题求解时使用。
&&& →&问题的求解：在PDE工具箱中有许多求解我们在上面提到的不同类型 的二阶偏微分方程的指令，主要有：
&&& ◆assempde&&& 调用格式为：u=assempde(b,p,e,t,c,a,f)
该命令用来求解椭圆型偏微分方程(3.4.31)，求解的边界条件由函数b确定，网格类型由p、e和t确 定，c、a、f是椭圆型偏微分方程(3.4.31)
&&& ◆hyperbolic& 调用格式为：u1=hyperbolic (u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d)
该命令用来求解双曲型偏微分方程(3.4.35)。
&&& ◆&parabolic 调用格式为：u1=parabolic (u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d)
该命令用来求解抛物线型偏微分方程(3.4.33)。
&&& ◆pdeeig&& 调用格式为：[v,l]= pdeeig(b,p,e,t,c,a,d,r)
&& 该命令用来求解特征值型偏微分方程(3.4.37)。
&&& ◆pdenonlin 调用格式为：[u,res]= pdenonlin(b,p,e,t,c,a,f)
&& 该命令使用具有阻尼的Newton迭代法，在由参量p、e、t确定的网格上求解非线性椭 圆型偏微分方程(3.4.31)。
&&&&◆poisolv 该命令在一个矩形网格上求解Poisson方程。
&&& →结果处理：如Matlab的主要特色一样，在PDE工具箱中提供了丰富的图形显 示，因此用户不但可以对产生的网格进行图形显示和处理，对求解的数据也可以选择多种的图形显示和 处理方法，甚至包括对计算结果的动画显示。用户可以参考相关资料来使用。
(3) 应用实例
&&& 在这里我们给出一个简单的例子，来说明利用PDE工具箱求解偏微分方程的方 法。在Matlab的PDE帮助文件中和在线演示中提供了8个计算实例，可供读者仔细参考。
例3.4.2：最小表面问题求解。
&&& 最小表面问题方程可以表示为如下形式：
边界条件为：u=x2。显见这是一个非线性问题，我们用命令 pdenonlin来求解。
%&&&&&& Let’s solve the minimal surface problem
%&&&&&&& -div( 1/sqrt(1+grad|u|^2) * grad(u) ) = 0
%&&&&&& with u=x^2 on the boundary
g=’circleg’; % The unit circle
b=’circleb2’; % x^2 on the boundary
c=’1./sqrt(1+ux.^2+uy.^2)’;
rtol=1e-3; % Tolerance for nonlinear solver
pause % Strike any key to continue.
%&&&&&& Generate mesh
[p,e,t]=initmesh(g);
[p,e,t]=refinemesh(g,p,e,t);
%&&&&&& Solve the nonlinear problem
u=pdenonlin(b,p,e,t,c,a,f,’tol’,rtol);
%&&&&&& Solution
pdesurf(p,t,u);
pause % Strike any key to end.
计算结果如图3.4.4所示。
三、偏微分方程求解界面
&&& 在Matlab中的PDE Toolbox 包括一个图形用户界面(GUI)，在Matlab窗口运行 pdetool就进入PDE Toolbox，如图3.4.5所示。GUI主要部分是菜单、对话框和工具条。考虑到本书的篇 幅和主要内容，读者可以参考PDE Toolbox的在线帮助和其它资料，在此不再详述。
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & 图3.4.4 最小表面问题求解结果
&&&&&&&& &
& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 图3.4.5& PDE Toolbox用户界 面
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