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哥德尔、图灵、丘奇、波斯特、克林……这些开创者们，告诉了我们“计算”到底是什么，而计算之外又有什么。但平心而论，我们给这些开拓者的颂扬还远远不够。在一般人心中，他们仍然寂寂无名。这些开拓者们，生前大多没有什么好的结局，就连死后也没有得到多少廉价的赞赏。他们为我们开拓了一个信息化自动化的黄金时代，但他们又得到了什么呢？
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尽管人力能及的只有可计算的问题，但通过逻辑推演，我们能认识到，在那些我们无法解答的问题中，竟然还存在着一个精巧的结构。而正是波斯特向我们首次展示了这个无法触及的世界。
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在数学界，证明就是一切。没有证明，即使看上去再确定无误的结论，哪怕拥有再多的间接证据，哪怕是最优秀的数学家的想法，都只能是猜想，而不是定理。要确立一个定理，就必须有一个滴水不漏的证明。这就是数学界的规则。而很不巧，本篇文章的主角，波斯特的研究风格比图灵更依赖直觉，换种说法就是更不严谨。
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要知道，逻辑体系种类繁多，从弗雷格电路图一般的“概念文字”，到罗素和怀特黑德的《数学原理》中略显奇异的近代逻辑符号，再到现代一般使用的一阶逻辑，又到更复杂的模态逻辑与线性逻辑，甚至到现代如雨后春笋层出不穷的新逻辑体系，它们无论是符号、意义还是表达范围都千奇百怪，要找到一个能囊括过去、现在甚至未来出现的定义，这无疑是个令人挠头的工作。
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图灵的这段文字其实定义了一种新的图灵机，图灵把它叫做“o-机”，而它的现代术语叫“谕示机”。一台谕示机就是一台有点特别的图灵机，仅仅多了一个新功能，就是能“免费”得到某一个特定的判定问题的答复。
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实际上，许多关于无穷的看似矛盾结论，都可以归根于我们在日常经验中对数量与顺序的混淆。比如说有人会认为偶数比自然数少，是因为自然数除了偶数之外还有奇数，但实际上这种说法隐含了“先数偶数再数奇数”的这一清点顺序。
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图灵在普林斯顿的生活踏入第二年。作为博士导师的丘奇，向图灵提出了一个新的题目：探求超越哥德尔不完备性定理的方法。
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图灵知道，丘奇也知道，他们已经踏入了一个新领域。昔日希尔伯特在他的二十三个问题中，一语带过的那个“机械化的运算”，即将被赋予精确的数学含义。但正因如此，踏出的第一步必须慎之又慎，尤其对于“可计算性”这个最基础的定义，必须做到毫不含糊。为此，为了消除模棱两可之处，图灵机与λ演算是否能力相当，这是个必须回答的问题。
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在中学数学中，说到函数，自然会联想起它在平面直角坐标系的图像。这是因为中学数学中的函数，大部分情况下不过是从实数到实数的映射而已。而数学家眼中的函数，可能与程序员眼中的函数更相似：它们更像是一个黑箱，从一边扔进去某个东西，另一边就会吐出来另一个东西。
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要证明某种东西存在，只要举出一个例子就可以了；但要证明某种东西不存在，就要想办法排除所有的可能性，而在现实生活中，这几乎是不可能的。但在数学中，情况大不相同：通过形式逻辑的方法，我们可以确实地证明某种数学对象不存在。这都要归功于数学那彻底的抽象化和形式化。
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虽然看上去简单，但实际上图灵机能做的事情远远超出一般的想象。只要有足够长的纸带和足够好的耐心，今天的电脑能做的计算，一台精心设计的图灵机也能完成。也就是说，从原则上来说，只要配备适当的输入和输出设备，以及极其好的耐心，我们完全可以用图灵机上网、玩游戏甚至执行自己写的程序。
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计算似乎无所不能，宛如新的上帝。但即使是这位“上帝”，也逃不脱逻辑设定的界限。第一位发现这一点的，便是图灵。
欧洲，现代化工的第一抹亮色诞生在一名化学专业学生的烧瓶底上，随之而来的，除了如火如荼的颜色产业，蜂拥而上的时尚潮流，未来将成长为化工巨擘的小作坊……还有五颜六色的莱茵河支流。
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科学家也在为揭开衰老背后的秘密而努力。科学不是幻想，在面对衰老问题时，也要遵从科学研究的规律。而且，必须要告诉大家的是，“迄今为止，所有号称延缓或者逆转衰老的疗法，都没有科学证据的支持。对那些号称“科学”却又宣称被科学界“打压”的“抗衰老疗法”来说，“科学”不过是他们的一块幌子而已。”
在松鼠会，每一位成员都站在自己的ID背后，在一个线上的平台中，平等交流、共同探讨，以期写出更多有容、有趣的科学文章，同你一起分享科学之美，之乐趣，因为我们共同的愿景是：让科学流行起来！你呢，想和我们一起吗？还在犹豫？或是苦于找不到引路人？或是怵于传说中苛刻艰险的层层考验？
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因为|sin1/x|≤1为有界函数lim【x→0】x²=0所以 lim【x→0】x²sin1/x=0答案：0
sin1/x有界，x²是无穷小量，其乘积为无穷小如何求极限——所有资料文档均为本人悉心收集，全部是文档中的精品，绝对值得下载..
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求极限时什么情况下可计算某些项(式子...或者别的什么,我不知道怎么叫)以使计算简便?谢谢
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个人不同意九楼的看法、21楼说的倒还是挺对的、九楼说的第三题就是等价无穷小代换！而且为什么0-0就不可以呢？！
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有时候可以计算某些项
有时候不可以
但是我真的分不清什么时候可以什么时候不可以
下面是3个例子,出自复习全书数一
大家帮帮忙
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最后一步是把零带进分母了
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当然,看了解题过程
我也知道它是怎么来的
但问题在于不看答案你会不会犯错误?
不看答案你能否在适当的时候计算某些项的值而使后续简单?
并且,照2楼同学的解释,3个例子会有矛盾
正是这些矛盾让我不知道什么时候可以计算,什么时候不行
欢迎大家讨论
希望能有更好的解释
例2中:如果说因为分子中括号内与括号外是乘法关系, 且括号内值为1,因此可以将其计算出来
例1中:sinxcosxcos2x也可以看做3个连乘,且cosx,cos2x也都等于1,这是为什么不能将其计算出来,而非要用 2sinxcosx=sin2x
例3中:如果按照2楼对例1的解释“错误是加减运算中不能计算”,那此时分母中1+(sinx)^2,为什么又可以计算后一项为0而使分母为1呢?
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复习指南中有句话说“某些非未定式的因子的极限(不为零)应先求出”
但究竟应该如何区分?
ps:例2分子括号中值为2.
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我也有这个疑问~同求
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楼主错误在: 极限运算的基础你都不了解!!!
你的疑问在课本上有明确的答案.
你计算极限所依据的是什么.?
&&是极限运算的四则运算法则,&&是这个法则的存在的前提下你才可能对极限进行计算.是整个极限运算的根基!!!
希望楼主回去后能认真的去看课本, 看不能是仅仅知道就可以了,而是要真正的理解.
在这里我分析一下楼主犯错误的原因. 一个极限运算中有两个或以上的函数 能拆分成两个独立运算的极限的前提条件是其中每个函数的极限都存在,& &
极限号后是函数能不能分开&&看符合不符合极限运算的法则,应是楼主在做极限求解过程中所依据的最根本的原理,而不是平空来做&&,这是不合理的,必定出错, 李永乐解的方法过程中每一步都是在&极限四则运算&下进行的运算. 那些东西没必要写在书上的所以给楼主造成了错觉,&&
例一中:& &楼主直接就把极限号放到了每个函数的前面, 楼主你这随心的放到前面,就把整个题给改了,你解出来的结果必然是错误的.按照楼主的做法,希望楼主把每一个函数前加极限的运算号后,&&楼主看一下你把题目是不是改成了一个0/0的式子了,&&希望楼主能认真的看一下,.
关于例二,为什么又可以先求了来了呢? 这个答案还是极限运算的根本&极限运算的四则运算法则&&&分子上是两个函数相乘,而这两个的极限都是存在的,&&符合四则运算法则.&&
例三,例三本来不想说了,想让楼主自已想一下,&&但...........& &例三最后一个根本就不是楼主所说的等价无穷小的替换而是一个&&极限的求解, 分子,分母的极限都存在且分母的极限是1 所以李永乐就省略了...........
关于题目就说这么多吧,&&我还是建议楼主仔细的看一下极限的四则运算法则.........
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