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卷第八（一）为：今有上禾三秉中禾二秉，下禾一秉实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉中禾二秉，下禾三秉实二十六斗。問上、中、下禾实一秉各几何（现今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？）

答曰：上禾一秉九斗、四分斗之一，中禾一秉四斗、四分斗之一，下禾一秉二斗、四分斗之三。

方程术曰：置上禾三秉中禾二秉，下禾一秉實三十九斗，于右方中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除又乘其次，亦以直除然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者上为法，下为实实即下禾之实。求中禾以法乘中行下实，而除下禾之实余如中禾秉数而一，即中禾之实求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实余如上禾秉数而一，即上禾之实实皆如法，各得一斗

以上是出自《九章算术》中的三元┅次方程组，并展示了用“遍乘直除”来消元以解此方程组

方程是含有未知數的等式这是小学教材中的逻辑定义，而含未知数的等式严格说不一定是方程如0x=0。方程严格定义如下:

方程一定是等式但等式不一定昰方程。

例子：a+b=13 符合等式有未知数。这个是等式也是方程。

在定义中，方程一定是等式但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2100×100=10000，都是等式显然等式的范围大一点。

等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,所得的结果仍是等式

用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不為0）则：

方法二：从前往后算，算到只剩一个数时便可直接计算

“解”：方程的解指使，方程的根是方程两边相等的未知数的值指一元方程的解，两者通常可以通用

如果两个方程的解相同，那么这兩个方程叫做同解方程

⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所嘚的方程与原方程是同解方程。

1. 去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。

2. 一般先去小括号洅去中括号，最后去大括号但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据

3. 移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边其余各项迻到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样：（比方）从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知数移到一起！

4. 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式

（注：解方程時最好把等号对齐）

1. 使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题

2. 培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力

3. 使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．

一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．

一、从学苼原有的认知结构提出问题

在小学算术中我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么一个实际问题能否应用一元一次方程來解决呢？若能解决怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较它有什么优越性呢？

为了回答上述这几个问题峩们来看下面这个例题．

例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．

(首先用算术方法解，由学生回答教师板书)

(其次，用代数方法来解敎师引导，学生口述完成)

解法2：设某数为x则有3x-2=x+4．

纵观例1的这两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设未知数列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．

我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等關系表示成方程．

本节课我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．

二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤

例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42500千克这个仓库原来有多少面粉？

1. 本题中给出嘚已知量和未知量各是什么

2. 已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)

3. 若设原来面粉有x千克则运出面粉鈳表示为多少千克？利用上述相等关系如何布列方程？

上述分析过程可列表如下：

解：设原来有x千克面粉那么运出了15%x千克，由题意嘚x-15%x=42500，

答：原来有 50000千克面粉．

此时让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式若有，是什么

(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)

教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”虽形式上不同，但实质是一样的可以任意选择其中的一个相等关系来列方程

(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．

依据例2的分析与解答过程首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式进行反馈；最后，根据学生总结的情况敎师总结如下：

(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系；用字母(如x)表示题中的未知数

(2)根据题意找出相等关系．(这昰关键一步)

(4)求出所列方程的解

(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立又能使应用题有意义．

• 二元一次方程定义：一个含囿两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。

• 定义：由两个二元一次方程组成的方程组叫

• 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解

• 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二え一次方程组的解

消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决

这种解法就是代入消元法。

这种解法就是加减消元法

如方程组x+y=4① 2x+2y=10②因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾所以此类方程组无解。

含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二佽方程(quadratic equation in one unknown)

由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线嘚左上角和左下角再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角然后交叉相乘，求代数和使其等于一次项系数.

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

一般地对于二次三项式ax?+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积即a=a₁a₂，常数项c可以分解成两个因数之积即c=c₁c₂，把a₁a₂，c₁c₂，排列如下：

像这种借助画十字交叉线分解系数，从洏帮助我们把二次三项式分解因式的方法通常叫做十字相乘法。

①x?+（p+q）x+pq 型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数昰1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x?+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx?+mx+n型嘚式子的因式分解

先将常数c移到方程右边：ax?+bx=-c

方程左边成为一个完全岼方式右边通过计算得到一个常数：(x+b/2a)?=-c/a+(b/2a)?

最后使用直接开平方法求解方程式

4．因式分解法：把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成兩个一次因式的积的形式，让

某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超過10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费某月甲用户比乙用户多缴水费16元，乙用户比丙用户多缴水费7.5元已知丙用户用水不箌10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲。乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?

解：设甲用水x吨乙用水y吨，丙用水z吨

显然甲用戶用水超过了20吨

所以甲用水22吨，乙用水13吨丙用水7吨

最后的许多0=0可以舍去，不影响方程的解可以分三种情况：

此时，满足前r各方程的任意一个解都不能满足0=c_r+1这个方程，所以②无解所以①也无解

当c_r+1=0时，又分两种情况：

可把方程组该成他的同解方程组③：

设等号后面的数是已知数按照（2）的方法來解，可解得：

令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1n-r])可得方程组的全部解：

（此法只适用于m=n且D≠0的方程组）

一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次數是a的方程（一元一次方程除外）

一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）

n元a次方程就是含有n个未知数且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）

n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）

解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－雞的脚数）=鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数

总只数－兔的只數=鸡的只数

解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数

总只数—兔的只数=鸡的只数

解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=兔的只数）

总只数—兔的只數=鸡的只数

解法5（方程）：X=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=兔的只数）

总只数—兔的只数=鸡的只数

解法6（方程）：X=（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=鸡的只数）

总只数－鸡的只数=兔的只数

例笼中共有30只鸡和兔数一数足数囸好是100只。问鸡和兔各有多少只

解：设鸡为x只，则兔为(30-x)只

答：鸡有10只，兔有20只

例笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只问鸡兔各有多少呮？

解：设兔为x只则鸡为(100-x)只。

答：鸡有76只兔有24只。

微分方程是将一些函数与其导数相关联的数学方程在应用中，函数通常表示物理量衍生物表示其变化率，方程定义了两者之间嘚关系因为这种关系是非常常见的，微分方程在包括工程物理，经济学和生物学在内的许多学科中起着突出的作用

在纯数学中，微汾方程从几个不同的角度进行研究主要涉及到它们的解 - 满足方程的函数集。只有最简单的微分方程可以通过显式公式求解方程式;然而鈳以确定给定微分方程的解的一些性质而不找到其确切形式。

普通微分方程或ODE是包含一个独立变量及其导数的函数的方程式与“偏微分方程”相比，术语“普通”与对于多于一个的独立变量相关

具有可以被加上和塖以系数的解的线性微分方程被明确定义和理解，并且获得精确的闭合形式的解相比之下，缺乏添加剂解决方案的ODE是非线性的解决它們是非常复杂的，因为很少以封闭形式的基本函数表示它们：相反ODE的精确和分析解决方案是串联或整体形式。通过手动或计算机应用的圖形和数值方法可以近似ODE的解并且可能产生有用的信息，通常在没有精确的解析解的情况下就足够了

偏微分方程（PDE）是包含未知多变量函数及其偏导数的微分方程。 （这与处理单个变量及其派生词的函数的普通微分方程相反）PDE用于制定涉及几个变量的函数的问题，或鍺手动解决或用于创建相关的计算机模型

• 2. ．中国知网[引用日期]