第六章 电磁学的发展
教学目的与要求：
掌握：库仑定律的发现过程及内容；安培定律的发现过程；电流的磁效应的发现过程；电磁感应的发现过程及意义；麦克斯韦经典电磁场理论。
熟悉：人们对电、磁现象的早期研究；了解电流、；场的概念。
了解：麦克斯韦经典电磁场理论的建立及赫兹对其验证情况。
教学重点，难点：库仑定律的发现过程及内容；安培定律的发现过程；电流的磁效应的发现过程；电磁感应的发现过程及意义；麦克斯韦经典电磁场理论。
教学内容：
§1.对电磁现象的早期认识
西周(公元前1100-公元前771)青铜铭文就记载有“电”字和“雷”字。
先秦:“阴阳相薄，感而为雷，激而为霆。霆，电也。”
古人将磁石称为慈石来形容磁石“以为母也，故能引其子”的功能。
2.英国人吉尔伯特――论磁:
曾为英国伊丽莎白一世的御医，1600年发表《论磁石》，总结了前人的经验，记载了大量实验。如“小地球”实验。伽利落称其为“经验主义的奠基人”。
3.1663年，盖里克发明摩擦起电机;
4.1720年，英国牧师格雷研究了电的传导现象;
5.1733年，杜非分别了两种电;松脂电和玻璃电;
6.莱顿瓶的发现
1745年，荷兰莱顿城莱顿大学教授马森布洛克（Musschenbrock)发现了莱顿瓶，为贮存电荷找到了一个方法。莱顿瓶就是一个玻璃瓶，在瓶里核瓶外分别贴有锡箔。瓶里锡箔通过金属链与金属棒连接，棒的上端是一个金属球。
表演实验：法国人诺莱特在一座巴黎大教堂前邀请了法国路易十五的皇室成员临场观看：七百名修道士手拉手排成一行，排头的修道士用手握住莱顿瓶，当莱顿瓶充电后，让排尾的修道士触摸莱顿瓶的引线。顿时，七百名修道士几乎同时跳了起来。在场的人目瞪口呆。从而展示了电的巨大威力。
§2.富兰克林对雷电现象的研究
1.富兰克林（）
美国人，在全家17个孩子中排行15，其父是小手工业者，家境贫困。他在10岁时缀学，12岁当印刷所学徒，阅读了许多书籍，后来成为科学家和政治家。1743年创立美国哲学学会；1751年协助创办宾夕法尼亚大学，1756年当选为英国皇家学会会员。自己写的墓志铭：“印刷工富兰克林”。
2.电荷守恒定律的发现
1746年，英国物理学家、皇家学会会员柯林森（Peter Coullinson)，通过邮寄向美国费城的富兰克林赠送了一只莱顿瓶，富兰克林利用莱顿瓶做了大量的静电学实验，他发现两个带有不同性质电荷的带电体，相互接触后可以呈现中性。根据这种相消性和数学上的正负数的概念，把两种不同性质的电荷分别称为“正电”和“负电”，并进一步得出结论①正电和负电在本质上不应有什么差别；②摩擦起电过程中，总是形成等量异种电荷； ③摩擦起电过程中，一方失去的电荷与另一方得到的电荷在数量上相等。从而得到了电荷守恒定律。
3.费城实验
富兰克林40岁时，观看了电学实验，从而对电有了兴趣。其中有一个想法，天上的电和地电是统一的吗?
1752年7月，一个电闪雷鸣的上午，他将一个风筝放到空中，风筝下有一根铁丝，铁
丝下栓一根麻绳，麻绳的下一端拴丝线，绳线接触处栓了一把钥匙。
同时他还把从云端“吸取”的电荷收集在莱顿瓶中，并进行其他实验。
现象：麻绳上得纤维向四周自立，犹如“怒发冲冠”，铜钥匙可以给莱顿瓶充电，与摩擦电性质完全相同。
富兰克林的工作，揭开了雷电的奥秘，统一了“天电”和“地电”，震惊了科学界。
为了验证“地电”与“天电”的相同处，富兰克林想到雷可以击死动物，于是他就实验用“地电”去击杀火鸡，结果被电打昏了。苏醒后，却不介意地说：“我本想用电杀死一只火鸡，结果差点电死了一个傻瓜。”
然而，风险是的确存在的。1753年，俄国的里赫曼在做大气电实验时不幸中电身亡，为科学献身。
4.发明避雷针
富兰克林将其发现转化为应用-诞生了。1782年，仅费城一处，采用避雷针就多达400多处。
5.科学兴趣广泛
研究了火炉的改良，植物的移植，传染病的防治.写出了《电学的实验和研究》的著作。
6. 政治活动家
独立宣言和美国宪法的起草人之一，为祖国的独立和解放作出了贡献的政治活动家。美国独立战争期间，已经年老的富兰克林代表初创的美国出使法国，利用英法之间的矛盾争取了法国的援助。
§3.从定性到定量――库仑定律的发现
一.类比法的成功
1．电力作用的猜测
1759年，德国柏林科学院院士爱皮努斯（F.U.T.Aepinus)在书中假设电荷之间的斥力和吸力随带电物体的距离的减小而增大。
1760年，D.伯努利首先猜测电力会不会跟万有引力一样，服从平方反比定律。他的想法在当时具有一定的代表性。
2．富兰克林的空罐实验
用丝线将一小块软木悬挂在带电金属罐外的附近，软木受到吸引。但把它悬挂在罐内时，不论在罐内何处，它都不受电力。
富兰克林写信将这一现象告之他的英国朋友普利斯特利（化学家，氧气的发现者），普利斯特利想到:1687年牛顿曾证明:万有引力若服从平方反比定律，则均匀的物质球壳对壳内物体应无作用。
普利斯特利重复了上述实验，并将空罐实验与牛顿推理类比。在1767年《电学历史和现状极其原始实验》一书中他写到：“难道我们就不能从这个实验得出结论：电的吸引与万有引力服从同一定律，即平方反比关系，因为很容易证明，假如地球是一个球壳，在壳内的物体受到一边的吸引力，决不会大于另一边的吸引。”
但是，普利斯特利的结论并没有得到科学界的重视，因为他没有进行的论证，只是处于猜测阶段。
3. 罗比逊实验
罗比逊（John Robiso，苏格兰人）：受爱皮努斯的影响，设计了一个杠杆装置，如图。利用活动杆所受重力和电力的平衡，从支架的平衡角度求电力与距离的关系。并得出结论：在实验误差范围内，电力服从平方反比定律。
二 库仑的引力实验
1．库仑生平 (C.A.Coulomb,)：
法国人，青年时是军事工程师，1764年起服军役，1776年因身体原因回到巴黎，从此致力于科学研究。1779年因研究磁石问题获奖励，1781年因关于摩擦的研究获法国科学院奖励，同年因论述扭力的论文被选为法国科学院院士。
2. 同种电荷的斥力测量----库仑的扭秤实验
由于金属丝的扭力正比于扭转角，将扭丝悬挂起来，通过扭转角的大小即可测量电荷间作用力的大小，其精度可达万分之一格令，1785年库仑据此制成电秤，用以测定电力。叫作库仑扭秤。
但对于异种电荷，由于两球相吸，接触后电荷中和，无法继续进行实验。
3.异种电荷的引力测量---库仑电摆实验
和牛顿单摆类比：由于地球对物体的作用力反比于两者之间距离的平方，所以存在地面上的单摆的摆动周期正比于摆锤离地心的距离，即T∝r {∵T=2π(L/g)1/2 和 mg≈GmM/r2 ， 将后式g代入前式 }
若电荷间的引力也遵循距离平方的反比关系，则由带电体间引力产生的物体的摆动，其摆动周期T必定也正比于两带电体之间的距离r。从而设计电摆实验。
库仑单摆实验结果分析与处理：
当纸片与球心距离之比为3:6:8时，实验的电摆周期之比为20:41:60，而理论计算应为20:40:53（系数为20/3）。实验结果与理论计算之间存在差异。
但库仑坚信引力的平方反比关系，经过认真分析，他认为实验误差的产生是因为漏电引起的。经过对漏电原因的修正，实验值与理论值基本符合。
于是得出电的引力和斥力都遵守平方反比规律。并于1785年在法国科学院发表论文，提出著名的库仑定律。
4.库仑定律
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mm万有引力定律f?G0122 r
5.库仑定律的建立使电磁学进入了定量的研究，使电磁学真正成为一门科学。数学的引入，使这门科学更锦上添花。
?类比方法的成功
如果不是与万有引力进行类比，单靠实验具体数据的积累，严格的库仑定律的形式将很难得到。
由此我们可以看到类比在科学研究中的作用。
三 卡文迪什的工作
卡文迪什（）:英国人，作电学实验时曾做了电阻测量，比欧姆更早发现欧姆定律；测电力比库仑用扭秤早11年，研究电容的性质和介质的介电常数，引出了电位的概念等。科学研究对于他是一个纯粹的爱好，他并不关心自己的研究成果是否发表和能否获得荣誉，性格古怪，因此独自研究60年，其工作却不为人所知。
1879年，作为卡文迪什实验室的第一任主任的麦克斯韦出版了一本题为《尊敬的亨利?卡文迪什的电学研究》，才将卡文迪什的工作公布于众。
卡文迪什关于电的平方反比关系的研究：
①半球实验：
②数学论证：
如右图，在均匀带电球内，任取一点P，过P做对顶的圆锥面，分别在球面上截得面元dS1、dS2，它们到P点的距离分别为r1、r2，则两面元对P点所张立体角为dΩ1、dΩ2。
dΩ1=dS1/r12
dΩ2=dS2/r22
dS2/dS1=r22/r12
设球面上单位面积上的作用力为f，则有
根据球内P点所受电力为零，则有dF1= dF2
于是得：f1/f2=dS2/dS1=r22/r12
因此，只要实验证明球内任一点P处所受电力为零，就表明电荷间作用力与距离平方成反比。即f(r)∝1/r2 .
§4.由静电到动电――电流的发现
一 伽伐尼（）的研究:
意大利人，解剖学教授。1780年他与学生解剖青蛙，发现电火花会使蛙腿抽搐，后来他又发现当用铜钩倒挂蛙腿，再用铁梁横挑，蛙腿也会痉挛。1791年发表了论文《论肌肉运动中的电力》。他是发现电流的第一人，但认为是一种动物电。
二 伏打的“金属接触说”
意大利帕维大学教授，否定了伽伐尼动物说。他认为，电来自两种不同金属的接触，青蛙只不过是起了验电器的作用。
2．问题的提出
开始，伏打很赞同伽伐尼关于生物电的想法，但在进一步的研究中，他提出了一个问题：肌肉接触两个不同金属时，所产生的电流究竟是肌肉组织引起的，还是由金属引起的？
1794年他决定只用金属做实验。结果发现，电流的产生、持续和生命组织无关。并进一步指出：一切作用都是由于金属接触了某种潮湿的物体，或者接触水本身而引起的。
为了阐明自己的观点，他比较了各种金属，并把它们排成表：+锌、锡、铁、铜、银-。只要将其中两种不同的金属接触，就会出现一个带正电而另一个带负电，从而产生接触电势差。
3．伏打电堆――第一个直流电源
1800年，伏打制成了伏打电池：他把两种金属片（如银和锌）与浸透食盐水或碱水的纸或皮革接触，再将两种金属连接起来，立即产生了电流。他把许多这种装置连接起来，得到了强的多的电流，我们称之为伏打电堆。伏打因此得到了拿破仑授予的一枚金质奖章，并成为法国科学院的院士。今天电学中的一个重要单位“伏特”，就是为了纪念他。
电池的发明，提供了产生恒定电流的电源，使电学从静电走向动电，为人们研究电流的各种效应提供了条件。从此电学进入了飞速发展时期。
三 欧姆定律
欧姆（）：德国人，家境贫困，中断大学学业后当了中学老师。后被慕尼黑大学任命为教授。欧姆在傅立叶的热传导理论的启发下进行的电学研究。他将付里叶在热学中提出的热流、热阻，类比电学中的电流、电阻，温度差类比电势差。认为导线中两点之间的电流也许正比于这两点间的某种推动力之差（欧姆称之为电张力）。
为了证实上述类比的正确性，欧姆做了很多实验研究。开始欧姆所用电源是伏打电堆，由于这种电源不稳定，给实验工作带来很大困难。1821年，塞贝克（T.J.Seebeck)发明了温差电偶。欧姆采纳波根道夫的建议，采用温差电偶做电源，从而得到稳定的电源。为后来实平方反比在物理学上的应用_百度文库
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平方反比在物理学上的应用
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目： 库仑定律一定是平方反比吗
院： 物理与电子工程学院
毕业年限：
学生姓名：
指导教师：
指导教师预评评语
答辩小组评审意见 答辩小组评定成绩
见 答辩委员会终评成绩
答辩小组组长（签字）：
答辩委员会主任（签章）：
说 明：1. 成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。
2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等
库仑定律一定是平方反比吗
学生姓名：
指导教师：
2013届物理与电子工程学院物理学 班
摘要：库仑平方反比定律是电磁学的基本定律之一。本文从库仑实验、卡文迪许实验和麦克斯韦实验三个方面阐述了库仑定律早期的平方反比实验检验和平方反比律精确实验检验。库仑定律的发展历史表明，库仑定律是严格的平方反比的。
关键词：电磁学 库仑定律 平方反比 扭秤实验 单摆实验
Is Coulomb's Law Inverse Squared
Abstract: Coulomb's inverse-square law is one of the basic laws of electromagnetism. This essay elaborates experimental tests of inverse-square law and precise laboratorial analysis of that in the early stage of Coulomb's law, from the experiments of Coulomb, Cavendish and Maxwell. The development history of Coulomb's law indicates that Coulomb's law is strictly inverse squared.
Key words: electromagnetism, Coulomb's law, inverse-square, torsion balance experiment, Mono-pendulum
正在加载中，请稍后...为什么万有引力定律，库伦定律都是平方反比？平方反比有什么含义吗？
【李博海的回答(73票)】:
这个问题水很深。
首先，老师说实验结论，也并不全是在敷衍。
话说楼主知道这个平方因子是怎么实验测量的么？学习一下这些实验，对于楼主现阶段的帮助更大。
其次，说高斯定理的以及说三维空间的，只是在描述性质。高斯定理只是场的性质的描述，并不说明场的这种性质的起源。说三维空间的也只是说明了库伦场引力场的一个侧面。我也可以说是势函数1/r的调谐性。到此为止都只是停留在对性质如何描述上，并没有深入到起源问题。不过这些描述都暗示了场的一些拓扑性，比如通量和荷的联系，边界对场的唯一确定性等等。。
曾经，爱因斯坦注意到了这一点，也想解决这个问题，然而穷尽毕生功力也没能解决。一部分原因是历史的局限性，那时强弱相互作用力还没有实验仔细测量，爱因斯坦很可能并不熟悉这两个相互作用。另一部分原因则是爱因斯坦很可能走错方向了。目前看来正确的方向是电弱统一理论。电磁学首先和弱相互作用一致，具有相同的起源。再之后是标准模型，电弱统一和强相互作用统一。而到目前为止，标准模型是现今实验精确度最好的模型。然而这个模型也没有引力。包含引力的模型现在目前有很多，但是没有达成共识，实验也尚无定论。
总结来说，目前还不能解决为什么万有引力定律和库伦定律为什么这么像的问题，平方反比率的起源也不能回答。
【阿米的回答(583票)】:
库伦力和引力的大小反比于半径的平方
而我们知道，球面面积公式是
，正比于半径的平方
二者相乘是一个常数
也就是说，库伦能（静电能）和引力能，在以「源」为中心的球面上是守恒的
球面面积以平方的速度扩大，同时静电能量和引力能量以平方反比的速度被「稀释」
这反映了某种「守恒」的东西——当然，到了大学以后，你会知道这个东西叫做「通量」
那么如果不是平方反比，意味着什么呢？
比如三次反比，或者说只要负指数比2大
那么说明「稀释」的速度赶不上球面扩大的速度
意味着在比较远处，「通量」变小了
或者说，电场或者引力被「拦住」了
能量被「锁死」在离「源头」（库伦力是点电荷，引力是质点）不太远的地方
就像人被关在房间里出不去一样
常见的例子是电偶极子（两个离得很近的正电荷和负电荷形成的一对正负电荷）
电偶极子在远处就是立方反比
其实就是说，正电荷产生的电场被负电荷「拦住」了、「拖住」了、「抵销」了一部分
还有一个例子是等离子体，它「稀释」的速度更快，是以指数形式下降的
，在远处根本感觉不到电荷的存在
这个特殊性质导致了在电磁学基本定律的基础上，建立了一个完全新的学科：等离子体物理
比如说正比，或者说只要负指数比2小就算
那么说明「稀释」的速度赶不上球面扩大的速度
意味着到了很远很远的地方，「通量」越来越大
到了无穷远处，「通量」变成了无穷大
于是你会很容易感到某种「不安」
事实上这意味着：在无穷远处还有某种「东西」存在
这种「东西」从「源头」一直延伸到很远很远处
或者说，产生电场或者引力的「源头」并不仅仅是点电荷/质点，还有一个可以延伸很远的东西
常见的例子有两个，二者其实有本质的区别
一个是弹簧，胡克定律
，就符合这种情况
但是事实上，当
很大的时候，弹簧就会超过「弹性限度」
也就是说，胡克定律只在离「平衡位置」不太远的地方才成立
远了，就会破坏胡克定律，我们叫做，弹簧的性质有一个「截断」
另一个是「宇宙学常数」，也就是我们经常听说的「暗能量」
顾名思义，它的性质是常数
它随着「宇宙膨胀」无限延伸，而宇宙又很大
以至于它能够在总量上超过所有我们熟悉的物质，同时又在我们身边（近处）体现不出任何影响
而且，似乎暗能量是没有「截断」，没有一个像胡克定律一样受到破坏的限制的
这个谜团可能意味着某种我们未知的全新的东西
其实还有一个东西，就是库伦力或者引力，只和半径的大小有关，而与半径的方向
无关，其实这也是有物理内涵的，这东西叫做「有心力」，静电场和引力场又属于「保守场」，当然这和题目离得比较远了总结来说，平方反比定律，意味着非常深厚的根源，有很强大的物理意义，但是受限于中学或者低年级大学本科生，这个意义很难说清楚，而且也会占用太多的课堂时间，所以老师不得不用「实验结论」这样的话来敷衍
【张克楠的回答(12票)】:
因为光子和引力子质量为0, 且考虑的是3维空间且光子之间没有相互作用。在广义相对论中引力也只有在弱场近似下才会有平方反比。
如果考虑的时空维度不是3+1维而是D维, 那就可能是(D-2)次方反比率, 当然相应的万有引力常数和真空介电常数也要做相应修正。
如果考虑的是W，Z玻色子或π介子这样有质量的媒介粒子, 那就是yukawa相互作用, potential在原先反比的基础上还要乘上一个与质量相关的指数衰减的因子。
如果考虑的是胶子这样有内部自由度color的无质量粒子, 在低能禁闭情形的作用和橡皮筋就有些相似了, 作用势正比于之间的距离, 胶子和光子的不同之处在于不同color的胶子可以有相互作用。
【催aa的回答(23票)】:
因为高斯定理+三维空间。
【濮凡的回答(16票)】:
物理本来就是建立在实验基础上的，当然可以问什么样的更基本的模型决定了平方反比？可以说这是光子静止质量为0导致的。但实际上光子静止质量是不是零呢？人们永远不能知道，只能永远用更精密的测量划定上限，现在仍然有相关实验组在做，国内也有。关于平方反比律的一些讨论基于的模型需要很专业的知识储备，但我觉得什么物理模型都是人类的猜想，把平方反比律用实验发现解释也没什么不好，够用就行。
————————————————————————————————————————
平方反比是麦克斯韦方程组的一个推论，麦克斯韦方程组能够推导出关于电势的有源波动方程，从而导出平方反比。而麦克斯韦方程组可以通过满足规范对称性和相对性原理（洛伦兹变换不变性）的拉氏量推导出，所以不妨说平方反比律或麦克斯韦方程组背后蕴含的是规范对称性和相对性原理，上升到对称性的高度或许会让物理模型更深刻耐人寻味一些，但同时也涵盖了更复杂的数学关系。当然这些推导是在光子静止质量为零的情形。光子有静止质量的时候，需要在推导电势有源波动方程中加上-m^2*c^2/hbar^2*phi，其中m为光子静止质量，hbar为狄拉克常数，phi为电势，在考虑电荷密度不随时间变化的情形下，能够接触一个比较简洁的解析解，电场将带有随距离的指数衰减因子，并不是单纯的平方反比。这里添上的这一项应该是来自于光子静止质量对于拉氏量的修正，然而更具体的细节我也不是很清楚，认识到这个层面我觉得已经能有比较好的解释了。
PS：由麦克斯韦方程组推导平方反比实际上只限于电荷不随时间运动的情况，电荷随时间运动时要考虑到推迟效应，解出来的电磁场多级展开后得到辐射场项，辐射场随距离就是1/r衰减的。严格解的形式十分复杂，考虑推迟效应解出来的势场为李纳-维谢尔势（Lienard-Wiechert），和静电势场的区别在于多了一个和速度以及位移有关的因子，由这样的推迟势的形式推导出的严格的电磁场的解就完全不是平方反比那么简单了。
【胡鞍钢的回答(3票)】:
因为空间是三维的。
另，如果非要扯到高维空间的理论，那我只能说目前可感知的是三维的
【huma的回答(23票)】:
徐一鸿在他的QFT in a nutshell中对 在弱场极限下平方反比 如此普遍有过讨论。但是反例也是比较多的，比如引力在强场下就不是平时平方反比，电偶极子对电荷作用力就比平方反比更加复杂，如果光子和引力子有质量那么平方反比也不成立。平方反比另外一种说法就是“力场”散度为0，明显有些答案在循环论证。
现在可以补充一点个人的理解，当相互总用满足何种条件时候，才会出现平方反比定律。
1. 只有一个长度量纲。
在引力中我能够找到三个长度量纲的物理量：GM/c^2，Gm/c^2和距离。一个质量为M的黑洞的半径就是GM/c^2。对于有质量的光子和引力子，我们能够找到两个长度量纲的物理量：e^2/(mc^2) (高斯单位制度)和距离。上两种情况都是违反平方反比的。显然，只有一个长度量纲是平方反比律的必要条件，因为具有两个以上量纲的时候，力的大小是不可能是距离的简单的幂律函数。
2. 拉格朗日量密度具有locality并且领头项是四矢势的一阶导数。
在弱场条件下的引力和无质量的电磁力都只有一个长度量纲的物理量：距离。这时候已经没有给一个理论本身任何剩余任何长度量纲的常数。如果拉格朗日量密度的领头阶是
，这样的理论是trivial的，我们不考虑。考虑领头项是四矢势的一阶导数的情况
+更高阶导数项，由于理论不包含的任何长度量纲的常熟，那么这个理论的拉格朗日量是不包含二阶以及以上导数的。所以这个理论的拉格朗日量必然有这样的形式
。其对应的偏微分方程是二阶偏微分方程。对于不随时间变化的且满足空间旋转不变的二阶微分场方程是
3. 球对称。
显然只有相互作用具有旋转不变性时候才能纯粹的谈力大小与距离的关系。电偶极子不是球对称的（但是有
）。对于球对称情况，应用高斯定律，便有
。对于d维，显然
显然只不是严谨的数学推导而且少了大量细节。另外假设读者了解广义相对论，经典电动力学，经典理论的拉格朗日变分形式，量子场论里常用的量纲简化思路。
【张小泉写歌词的回答(152票)】:
（可以看懂本回答的基础：初中）
让我们来做一个类比：假设三维空间中出现了一个水源，该水源向周围稳定地以速率 V 输出水。那么我们任意画一个闭合曲面：
1. 当此闭合面不包括该水源时，进入和离开该曲面的水量是相等的；
2. 当此闭合面包括里该水源时，曲面总体上是净流出的，净流出的速率等于水源输水的速率 V。
现在我们围绕着水源画两个同心球面，半径分别为
—— 由于他们的总流出速率
相等，那么单位面积上的流出速率的关系
呢？其关系为：
即对任意半径为 r 的以水源为中心的球面，其单位面积的流出速率:
上式看起来很熟悉？是的，平方反比律。
把水源类比为电荷，那么其输出的水可以被当作电场；把水源类比为有质量的物体，那么其输出的水就可以被当作是引力场。
————————————————————————————————————————
提升阅读：
1. 如果有无穷多个水源均匀地组成一个平面，那么水流会被迫互相平行地流出；而无论距离平面的远近，你所接收到的流出速率是一样的。（类比：充满均匀电荷的无限大的平板的电场。）
2. 如果在上述的球面中有我们不知道的另一个水源（或者一个排水点）呢？我们探测到的单位面积流出速率会大一些（或者小一些），因为有更多的水源了（或者因为有部分水被排出了）。在假设 V 不变的情况下，分母中 r 的指数 2 会因此变小（或者变大）。
3. 如果我们真的没有其他水源（或者排水点），却观察到 r 的指数不为 2，会是什么原因呢？我们只能怀疑球面的公式
是否正确了，或者说我们的空间是不是真的是三维的？
1) 在二维空间中，如果我们放一个水源，它只能在一个平面上排水，这时我们画一个包含水源的圆即可包住所有的流出的水，
，分母中 r 的指数为 1。一次方反比。
2) 在四维空间中，水源可以沿着四维的方向流水，这时四维超球的“表面积”为
，分母中 r 的指数为 3。三次方反比。
综合关于二维和四维的讨论，那么如果我们真的观察到 r 的指数小于 2，那么说明我们空间的维度小于 3；如果 r 的指数大于 2，那么空间的维度大于 3，那我们看不到的的那些维度呢？我不知道（我也希望有高维空间的存在，这样我们就可以想办法进行星际旅行啦）。
——————
链接：n维“球”的“表面积”：
【张海涛的回答(528票)】:
搬过来科普一下
这个解释不深入，望各路大神轻喷…
有心的同学,在学习万有引力和库仑力之后，都会有一个小疑问——为什么都是“平方反比律”？？难道就是老师说的“这个是实验结论”或者敷衍的一句“背下来就OK”？
不，不，不能这样学物理。一个缺乏本质理解的物理，只学了就忘的空中楼阁。要想学习好物理，就要尽量弄清楚它们，而不是尽量“记住”它们，何必那么费劲背呢？
我上高中时，就面临过物理老师的上述回答，让人完全不满意的答复。但是很快，就自己弄明白了，“平方反比律”其实是很简单的一个数学原理，只是用在中而已。
物体之间的这些非接触的相互作用，比如一个质点、一个电荷点对于一定距离的某处的作用，可以这样理解为一种场，常见的就是引力场、静电场。。。
在理想情况下（真空、无其他干扰），场,是在整个三维空间均匀扩散分布的，就象节庆夜空的焰火，在天上炸开，形成一个不断扩展的球面。
以大家最熟悉的引力场为例，如果作为一种由中心质点A开始均匀球面扩散的能量E，那么站在离A的距离R的位置B，能够感受到的单位面积的能量X=E/S怎么计算呢？
——很简单，总能量E是均匀分布在整个球面上的，
球面积公式S=4πRR，所以X=E/S=E/4πRR ∝ 1/RR，即“平方反比律”。
我说的很细，其实就这么简单，就是一个均匀分布在三维空间分布的数学表达形式而已。“平方反比律”，就这么回事。
于是，在物理学中有了这样一条：如果任何一个物理定律中，某种物理量的分布或强度，会按照距离源的远近的平方反比而下降，那么这个定律就可以称为是反平方定律。比如万有引力、库仑力、辐射强度、。。。
如果任何一个物理定律中，某种物理量的分布或强度，会按照距离源的远近的平方反比而下降，那么这个定律就可以称为是平方反比定律。
例如，你在空旷的荒野上，寒冷的夜晚，点起一堆篝火，你能够感受到的温暖，与到火的距离的平方成反比。。。
平方反比律，是物质相互作用的本质属性，根源在于三维立体空间的如此简单而强大的数学原理。这一定律是物理学的最重要支柱，到目前也没有任何实验或推论能够推翻，当然，如果一旦被推翻，那么若干的重大物理根本规律，都得重新改写。至少，在目前人类能够涉及的三维世界中，平方反比律是绝对的金科玉律。也许，人们能够自如地穿越维度，什么四维或者多维空间的情况下，应该就不是平方反比律了。。。
再比如,增加维度不好理解,那么减少维度,在二维平面下,它就是我们熟悉的相似三角形原理的一种情况啦
多余的话，不说了，有兴趣的话，自己想一下哦。。。
譬如，声音的强度也是满足这个，I＝P/A，而表面积A＝4πrr，所以，声音与距离平方成反比。l
总之，一切能够在三维空间中不受阻力和干扰（理想真空），而全方位同心球面自然扩散的“影响”（如力、能量、效果。。。），都符合这一规律，这一规律是三维度空间的最基本原则。不仅万有引力、库仑力、声音强度、爆炸冲击波、甚至在计算无线电波的距离衰减，都是用的这个平方反比律。 这是基本的数学原则，呵呵，如果将来能够深入分析高维空间的话，这个定律就要改一下啦，至于现在嘛，这就是我们生活和存在的空间的最基本原则。
如果这一原则被打破，那么人类几千年文明的数学和物理中的大量定理，都要重新修改。它在本质上，就是一个“点”源，对于整个理想三维空间发挥“影响”的分布。
如果我们退一步，对于二维平面的影响的话，那么就是距离反比，而不是距离平方反比了啊。。。再退一步，对于一维的直线的话，那么就是分母为1，与距离无关，永远是百分之百。。
【许木木的回答(29票)】:
我以前也困惑过这个问题很久。
后来发现吹气球时气球表面厚度和气球半径平方成反比。这个是因为球半径的平方与球表面积成比，但气球的物质总量不变，所以当半径增加时只能以平方反比的形式变薄扩散了。
这是一种最自然的选择。引力波和电磁波在空间中都成球状扩散，所以是平方反比。
但不是所有波都这样。比如你拿跳绳的一头来甩，能量原封不动地传了过去。因为跳绳只有一维，与距离的0次方成反比，所以距离多长能量密度都一样。
当你在水上扔石头，水波就在二维平面扩散，所以其能量密度和距离成反比。
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这么多赞，诚惶诚恐。题主只是初中生，讲的只是自己的粗浅理解。前面已经有很好的答案了，大家就别再点赞了，别让这篇不严谨的答案误导了大家。
【小时了了的回答(2票)】:
吹气球 气球皮单位面积的质量平方反比于气球直径
【胡子昂的回答(22票)】:
一个三维空间的点粒子向外辐射相互作用的场，由于空间各向同性，所以是以球面波的形式向外均匀辐射（球面上各点平权）。所以，以点粒子为球心的球面上任意一个面元得到的辐射量(相互作用强度)是相同的。三维空间中球面面积严格等于4pi*r^2。所以就有了平方反比。你们老师说实验验证的，真TND扯犊子。实验验证是这样的，只能说明我们处在三维空间。
如果你了解一点场的概念，我们的理解就会容易很多。
按照场论，存在一种基本粒子，用来传播引力相互作用的粒子，该粒子可以与任何有质量的的物体发生耦合。这种粒子被称之为引力子（graviton），引力子被设想为一个为2、为零、不带的。为了传递引力，引力子必须永远相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。
我们了解了引力子之后，我们假定空间存在一个质量为M的质点（注意：在不影响结论的情况下，为了便于理解，在此我尽量不用严格的量子语言）。这个质点因为它带有质量，所以会向外辐射引力子。那么向外辐射引力子的方式是怎样的呢？毫无疑问，在一个各向同性的空间中，引力子以球面波的形式向外扩张，于是很严格的得到这个球面面积为4pi*r^2。由于球面上每一点都是平权的，所以球面上一质点所受引力的大小要除掉球面的面积（力的大小和与质点发生耦合的引力子数量成正比，这就和两人抛接小球一样）。平方反比就从这里来的，至于我们熟悉的那个引力公式
，为什么木有pi，在下面我会说道两句。分子上的m可以认为质量越大辐射和接收的引力子越多。
说到这里，我们为了便于理解。来看看另外一种相互作用吧，那就是我们所熟悉的电磁相互作用。那么电磁相互作用是怎样形成的呢？我们知道带电粒子会辐射光子，光子以光速向前推进并与其它带电粒子发生耦合，就这样抛接光子，于是产生了电磁相互作用。光子也是玻色子，它的质量为0，自旋为1，电量为0。光子有一个特性就是可以和任何带电物体发生耦合，所以它会成为电磁相互作用的传播子，它的作用与引力相互作用的引力子是类似的。下来我们再看看两个带电的点电荷之间的库仑相互作用。库仑力的大小为
，看看这里就有4pi*r^2，这同样是因为点电荷向外辐射球面光波导致的。
此外，在中学库仑力的公式是F= Ke* qq'/ r^2，形式上像极了万有引力。但是大家有木有想过在大学里为神马变成了
是真空中的，我们知道它是物理学当中的基本常数之一，它的大小对我们来说意义非常重大，直接影响宇宙的演化。显然用替代了ke是因为比ke更具有物理本质。现在，你应该明白引力公式里为神马木有pi。我直觉上认为存在一个比G更基本的物理常数，因为4pi*r^2是严格的数学结果。
所以按上述方式来理解，我们可以严格的得到引力相互作用平方反比的结果。当然，如果有人在地球表面做地球引力的实验验证，显然不会得到平方反比，我们上述的解释是建立在质点上的，显然在地球附近的话需要积分。
下面这一段是关于电磁相互作用平方反比的验证，是从上摘录的，众位大神，包括Maxwell也做过相关实验。
1769年，苏格兰物理学家首次通过实验发现两个带电球体之间的作用力与它们之间距离的2.06次方成反比。
1770年代早期，著名英国物理学家通过巧妙的实验，得出了带电体之间的作用力依赖于带电量与距离，并得出静电力与距离的
次方成反比，只是卡文迪什没有公布这个结果。
后来，利用与卡文迪什类似的方法，得出静电力与距离的
次方成反比的结果。
库仑定律是电学的基本定律，其中平方反比关系是否精确成立尤其重要，而根据现代量子场论，静电力的平方反比关系是与光子的静质量是否精确为零相关的，所以，对静电力的平方反比关系的精确验证，关系着现代物理学基本理论的基础。当前对库仑定律平方反比关系的验证越来越精确，如1971年进行的一次实验，给出库仑定律与平方反比关系的偏差小于
【胡子昂的回答(6票)】:
用高斯定理说明平方反比就是耍流氓，因为高斯定理基本都是用平方反比证的！
用高斯定理说明平方反比就是耍流氓，因为高斯定理基本都是用平方反比证的！
用高斯定理说明平方反比就是耍流氓，因为高斯定理基本都是用平方反比证的！
重要的事情说三遍！！！
实际上平方反比是错的，或者至少是不精确的。平方反比定律建立在超距作用的基础之上，而实际上引力和电磁力的传播都是需要时间的。实际上，广义相对论中的引力就不是精确的平方反比，要加上一些后牛顿项进行修正；而库仑定律虽说对于静止的电荷正确，但是如果考虑运动电荷那就不对了（还要考虑磁场的作用，具体数学结果我忘了，反正不是简单的平方反比。这个可以参考电动力学的课本。）
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