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多孔结构与粗糙表面辐射偏振特性的数值模拟
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官方公共微信不完全量测下的水下纯方位目标跟踪算法研究
水下纯方位目标运动分析(Bearings-Only Target Motion Analysis，BOTMA)是水下作战系统中的重要环节之一，高效、可靠、准确的对水下目标进行定位跟踪，并对目标的运动参数进行实时估计，从而秘密的完成行动策划和实施对目标的突然打击，是水下作战系统发展的必然趋势。在现实的水下作战场景中，对目标进行跟踪时，观测器易受到外部环境及自身探测能力等因素的影响，导致观测器所获得的方位角信息存在不完全量测现象。在不完全量测制约下，合理高效地处理观测器所获取的量测信息，实现对水下目标的准确跟踪，对提高水下作战系统的作战能力具有重要的现实意义...展开
水下纯方位目标运动分析(Bearings-Only Target Motion Analysis，BOTMA)是水下作战系统中的重要环节之一，高效、可靠、准确的对水下目标进行定位跟踪，并对目标的运动参数进行实时估计，从而秘密的完成行动策划和实施对目标的突然打击，是水下作战系统发展的必然趋势。在现实的水下作战场景中，对目标进行跟踪时，观测器易受到外部环境及自身探测能力等因素的影响，导致观测器所获得的方位角信息存在不完全量测现象。在不完全量测制约下，合理高效地处理观测器所获取的量测信息，实现对水下目标的准确跟踪，对提高水下作战系统的作战能力具有重要的现实意义。　　本论文针对上述问题，对不完全量测下的水下纯方位目标跟踪算法进行了较为深入地研究，所做工作及研究成果如下:　　首先，在不完全量测的条件下，根据典型的目标运动模型和水下纯方位系统的观测方程，建立了不完全量测下的水下纯方位目标跟踪的数学模型。　　其次，在不完全量测的基础上，分析并改进了常用的三种非线性滤波算法，即扩展卡尔曼滤波算法、无迹卡尔曼滤波算法和粒子滤波算法。当量测数据缺失时，采取插值补点法进行补点，并结合两种性能评价准则，即CRLB(Cramer-Rao Low Bound，CRLB)和均方根误差（Root mean square error, RMSE），对改进后的目标跟踪算法进行性能分析。　　然后，针对不完全量测下的水下纯方位目标跟踪问题，给出了基于展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波和粒子滤波的BOTMA跟踪算法。根据观测器不同的探测概率和不同的机动模型，分别给出相应的仿真算例。仿真结果表明，在探测概率大于特定值时，目标跟踪误差曲线渐近收敛并且接近于理想的CRLB。同时，对给出的三种滤波算法进行了对比分析，结果表明，基于无迹卡尔曼滤波的BOTMA目标跟踪算法具有较高的跟踪精度。　　最后，研究了真实水下BOTMA跟踪系统量测噪声的生成算法，在此基础上对不完全量测下的BOTMA目标跟踪算法进行了蒙特卡洛仿真分析。结果表明，蒙特卡洛仿真均方根误差曲线逼近理想的CRLB曲线，验证了基于无迹卡尔曼滤波的BOTMA目标跟踪算法的可行性和有效性。收起
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角的比较方法有两种
角的比较方法有两种
范文一：３７９１因有含ｌ，口要只。）１（数级叶立傅的）工（厂据根，么那角级数求和的两种方法王白银，齐新社（西安通信学院基础部，陕西西安７１０１０６）摘要借助实例介绍如何利用傅立叶级数和复变函数的幂级数这两种工具解决有关三角级数的求和问题．关键词傅立叶级数；幂级数；级数求和‘中图分类号０１７４．２１文献标识码Ａ文章编号１００８—１３９９（２０１１）０３—００３３．０２在高等数学中，求级数的和是一个重要的内容．根据一般项的不同可采用不同方法．下面介绍两种剃。／（ｚ）ｄｃｏｓ船一与三角函数有关的级数的求和方法，即利用傅立叶级数和复变函数幂级数的方法．射几，∞淞ｌ：一肌ｚ）ｃｏｓ魃ｄｘＩ＝先介绍如何利用傅立叶级数求三角级数的和．［（－－１）＂／６０一／（ｏ）一，：彻一时（２）设函数厂（ｚ）是定义在［一巧，丌］上的连续偶函设函数，（ｚ）是定义在［一丌，ｄ上的奇函数，且数。且在（０。７ｒ）有连续的二阶导数，则．厂（ｚ）的傅立在（ｏ，丌）上连续二阶可导，则，（ｚ）的傅立叶级数叶级数（即余弦级数）为［１３（即正弦级数）为［１］，（ｚ）－警＋厶口一Ｐ口。ｃｏｓｎ２，’（１）Ｌ１）Ｈ事１～厂（ｚ）一∑ｂ．ｓｉｎｎｘ，（３）其中其中ｎ０２呈ｒ，（ｚ）如，７ｒＪ０ｂ。一羔ｒ厂（ｚ）ｓｉｎｎ．３。妇．７ｒＪ０口，。。呈ｒ，（ｚ）ｃｏｓ舡ｄｚ（砣：ｌ，２，…）．玎Ｊ同理，在此种情形下，ｂ。（ｎ一１，２，…）还可表示为Ｏ其实，在此种情形下，ａ。（挖＝１。２，…）还可表示为ｂ。＝（二业兰，（丌）＋３－ｆ＜０）一街ｒｍｒ（／ｎ：羔ｆ。厂（ｚ）ｄ。ｉｎ船一．ｎ玎ＪＯ射：／，（小ｉｎ眦如．。（４）盖ｌ，‘ｚ）ｓｉｎ艇ｌ。一Ｊ。／‘ｚ）ｓｉｎ舭如ｊ２例１求级数妻黑的和．ｊ１Ｔｉｔ／收稿日期：２０１０—０５—２６；修敌日期：２０１１—０３—２７．解设法找到一个定义在［一／ｒ，玎］上的连续偶作者简介：王白银（１９６３一），男，河北宣化人，教授，主要从事函数逼函数ｆ（ｘ），并保证其在（ｏ，玎）上有连续的二阶导数，雯兰竺髯究‘齐新社（－－），男，陕西扶风人，讲师，从事微分方程定蟹弛弼蚌嗣Ｉ趾师。。直错鼻古番奄””“…”“Ｊ、‘７“７”“”。””、“’７、“’‘。““性理论研究．Ｅｍａｉｌ。ｔｙｑｘｓ＠１６３．ｃｏｍ．子１／（１＋，１２），即可反求出题中的级数和．为此通过ＳｏｍｅＴｙｐｉｃａｌＥｘａｍｐｌｅｓｏｆＩｎｆｉｎｉｔｅＳｅｒｉｅｓＷＥＩＧｕａｎｇ－ｍｅｉ（ＬＩＢａｎｄＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｙｓｔｅｍＳｃｉｅｎｃｅｓ．ＢｅｉｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００１９１．ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｅｘａｍｐｌｅｓ，ｃｈａｒａｃｔ．ｅｒｉｓｔｉｃｓ０ｆｔｈｅｎｔｈｔｅｒｍｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆａｎｉｎｆｉｎｉｔｅｓｅｒｉｅｓａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｗｈｅｎｔｈｅｓｅｒｉｅｓｉｓｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ，ｏｒｄｉｖｅｒｇｅｎｔ．ＷｅｔｙｐｉｃａｌｌｙｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｗｈｅｎａｎｉｎｆｉｎｉｔｅｓｅｒｉｅｓｆａｉｌｔＯｆｉｔｉｎｔｈｅｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａＩｔｅｓｔｓ，ｓｕｃｈａｓｔｈｅｒａｔｉｏｔｅｓｔ，ｔｈｅｒｏｏｔｔｅｓｔ，ａｎｄＬｅｉｂｎｉｚ＇ｓＴｈｅｏｒｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｅｒｉｅｓ，ｔｅｓｔｓｆｏｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｓｅｒｉｅｓ３４高等数学研究２０１１年５月考察（２）式，令，（ｚ）在区间（Ｏ，，ｒ）内满足／，（ｚ）＝厂（ｚ），ｆ７（７ｒ）＝０，可以先构造一个复变函数幂级数∑ｎ。ｚ“，求出其和”＝０由此解得函数，（ｚ），再令，（ｚ）＝Ｃ（Ｆ十ｅ２。。）（Ｏ＜ｚ＜７ｒ），ｚ＝ｅ。。＝ＣＯＳＸ＋ｉｓｉｎｘ，其中Ｃ为任意常数．此时有或者ｃ￡Ｈ２２（ｅ２一一１）ｚ—ｒ（ｃｏｓｚ＋ｉｓｉｎｘ），（ｎ一１，２，…），（１＋ｎ２）７ｒ则有口。：鱼ｒ（ｅｚ＋ｅｚｒｚ）如：至（ｅ。一一１）．０。∞丌Ｊ０，ｒ∑口。ＣＯＳｎＸ＋ｉ∑Ⅱ。ｓｉｎｎｘ—ｆ（ｅｋ）．ｎ鲁０ｎ＝０所以分别比较上式两端的实部与虚部，则有ｅ７＋ｅ２ｒ。２土（ｅｈ—１）＋７ｌ＂∑口。ｃｏｓｎｘＲｅ［ｆ（ｅｂ）］，¨一ｏ２（ｅＺ－一１）７ｒ圣罱（ｏ＜ｚ＜以∑以。ｓｉｎｎｘ—ＩｍＦｆ（ｅｂ）］．ｎ＝０取ｚ一１，可得丌（ｅ＋ｅ２，ｒ１）一（ｅ２一一１）例３［２３ｑＩ＜１）的和。ＣＯＳ礼Ｚ求级数∑ｑ”ＣＯＳ撒（Ｉｎ＝０∞∑州’ｌ＋，ｚ２２（ｅｋ一１）解考察复变量指数函数展开式例２Ⅲ求级数∑ｓｍａｚ（０＜ｚ≤丌）的和．恕Ｈ＝１圭。薹矿㈣ｌ≤¨≠１）．解找出一个定义在［一丌，丌］的奇函数，（ｚ），若令同时保证，（ｚ）在（Ｏ，７ｒ）有连续的二阶导数，即可根ｚ—ｑ（ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ），据Ｊｆ（ｚ）的傅立叶级数（３），仿例１，确定系数（４），使则有其含有形如１／．的因子，从而反求出级数和．为此，１．——令Ｊｆ（ｚ）在区间（ｏ，丌］内满足１’——ｑｃｏｓａ’——ｉｑｓｉｎａ／，（ｚ）＝０，厂（丌）一０，由此解得∑（ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ）～ｑ，¨＝０厂（ｚ）＝ＣＯｔ—ｚ）’也即其中Ｃ为任意常数．此时有．（——１——－－．———ｑ—．ｃ—ｏ——ｓ—ａ—．）—．—＋—．．．ｉ—ｑ—ｓ．．ｉ，ｎ—一ａ＝：．１＋ｑ２—２ｑｃｏｓａＤ”５一。２（押＝１，２。…），ｎ∑ｑ”ｃｏｓｎａ＋ｉＳ研２ｓｉｎｎｘＨ＝０。∑删ｑ丌一ｚ一∑（Ｏ＜士≤７ｒ），所以”＝ｌ从而薹矿一一最芦斋㈨ｌ＜，，。∑蒯——２百Ｌ—Ｊ—ＳＩＮ—［／／＂＝妻（７／＂一Ｘ）（ｏ＜Ｘ≤Ｉｔ、）．ＬＵ≮≮?ｎ‘参考文献接下来介绍如何利用复变函数的幂级数求三角［１］同济大学数学教研室．高等数学；上册［Ｍ］．５版．北京：级数的和．高等教育出版社，２００２：２４６—２５０．在求∑ｎ。ＣＯＳ／／Ｘ以及∑ｎ。ｓｉｎｎｘ的和函数时，Ｅ２３陈欣．关于数项级数求和的几种特殊方法［Ｊ］．武汉工业ｎ＝０Ｈ＝０学院学报．２００６．２５（２）：１０１—１０２．ＴｗｏＭｅｔｈｏｄｓｆｏｒＳｕｍｍｉｎｇＴｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃＳｅｒｉｅｓＷＡＮＧＢａｉ—ｙｉｎ，ＱＩＸｉｎ－ｓｈｅ（ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ。Ｘｉ’ａｎＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｘｉ’ａｎ?７１０１０６?ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｄｉｓｃｕｓｓｅｓｈｏｗｔｏｕｓｅＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓａｎｄｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓｏｆｃｏｍｐｌｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｔｏｆｉｎｄｓｕｍｓｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓｅｒｉｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｆｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓ，ｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓ，ｓｕｍｏｆａｓｅｒｉｅｓ三角级数求和的两种方法作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：王白银， 齐新社， WANG Bai-yin， QI Xin-she西安通信学院,基础部,陕西,西安,710106高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS)本文链接：http://d..cn/Periodical_gdsxyj.aspx原文地址：３７９１因有含ｌ，口要只。）１（数级叶立傅的）工（厂据根，么那角级数求和的两种方法王白银，齐新社（西安通信学院基础部，陕西西安７１０１０６）摘要借助实例介绍如何利用傅立叶级数和复变函数的幂级数这两种工具解决有关三角级数的求和问题．关键词傅立叶级数；幂级数；级数求和‘中图分类号０１７４．２１文献标识码Ａ文章编号１００８—１３９９（２０１１）０３—００３３．０２在高等数学中，求级数的和是一个重要的内容．根据一般项的不同可采用不同方法．下面介绍两种剃。／（ｚ）ｄｃｏｓ船一与三角函数有关的级数的求和方法，即利用傅立叶级数和复变函数幂级数的方法．射几，∞淞ｌ：一肌ｚ）ｃｏｓ魃ｄｘＩ＝先介绍如何利用傅立叶级数求三角级数的和．［（－－１）＂／６０一／（ｏ）一，：彻一时（２）设函数厂（ｚ）是定义在［一巧，丌］上的连续偶函设函数，（ｚ）是定义在［一丌，ｄ上的奇函数，且数。且在（０。７ｒ）有连续的二阶导数，则．厂（ｚ）的傅立在（ｏ，丌）上连续二阶可导，则，（ｚ）的傅立叶级数叶级数（即余弦级数）为［１３（即正弦级数）为［１］，（ｚ）－警＋厶口一Ｐ口。ｃｏｓｎ２，’（１）Ｌ１）Ｈ事１～厂（ｚ）一∑ｂ．ｓｉｎｎｘ，（３）其中其中ｎ０２呈ｒ，（ｚ）如，７ｒＪ０ｂ。一羔ｒ厂（ｚ）ｓｉｎｎ．３。妇．７ｒＪ０口，。。呈ｒ，（ｚ）ｃｏｓ舡ｄｚ（砣：ｌ，２，…）．玎Ｊ同理，在此种情形下，ｂ。（ｎ一１，２，…）还可表示为Ｏ其实，在此种情形下，ａ。（挖＝１。２，…）还可表示为ｂ。＝（二业兰，（丌）＋３－ｆ＜０）一街ｒｍｒ（／ｎ：羔ｆ。厂（ｚ）ｄ。ｉｎ船一．ｎ玎ＪＯ射：／，（小ｉｎ眦如．。（４）盖ｌ，‘ｚ）ｓｉｎ艇ｌ。一Ｊ。／‘ｚ）ｓｉｎ舭如ｊ２例１求级数妻黑的和．ｊ１Ｔｉｔ／收稿日期：２０１０—０５—２６；修敌日期：２０１１—０３—２７．解设法找到一个定义在［一／ｒ，玎］上的连续偶作者简介：王白银（１９６３一），男，河北宣化人，教授，主要从事函数逼函数ｆ（ｘ），并保证其在（ｏ，玎）上有连续的二阶导数，雯兰竺髯究‘齐新社（－－），男，陕西扶风人，讲师，从事微分方程定蟹弛弼蚌嗣Ｉ趾师。。直错鼻古番奄””“…”“Ｊ、‘７“７”“”。””、“’７、“’‘。““性理论研究．Ｅｍａｉｌ。ｔｙｑｘｓ＠１６３．ｃｏｍ．子１／（１＋，１２），即可反求出题中的级数和．为此通过ＳｏｍｅＴｙｐｉｃａｌＥｘａｍｐｌｅｓｏｆＩｎｆｉｎｉｔｅＳｅｒｉｅｓＷＥＩＧｕａｎｇ－ｍｅｉ（ＬＩＢａｎｄＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｙｓｔｅｍＳｃｉｅｎｃｅｓ．ＢｅｉｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００１９１．ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｅｘａｍｐｌｅｓ，ｃｈａｒａｃｔ．ｅｒｉｓｔｉｃｓ０ｆｔｈｅｎｔｈｔｅｒｍｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆａｎｉｎｆｉｎｉｔｅｓｅｒｉｅｓａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｗｈｅｎｔｈｅｓｅｒｉｅｓｉｓｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ，ｏｒｄｉｖｅｒｇｅｎｔ．ＷｅｔｙｐｉｃａｌｌｙｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｗｈｅｎａｎｉｎｆｉｎｉｔｅｓｅｒｉｅｓｆａｉｌｔＯｆｉｔｉｎｔｈｅｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａＩｔｅｓｔｓ，ｓｕｃｈａｓｔｈｅｒａｔｉｏｔｅｓｔ，ｔｈｅｒｏｏｔｔｅｓｔ，ａｎｄＬｅｉｂｎｉｚ＇ｓＴｈｅｏｒｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｅｒｉｅｓ，ｔｅｓｔｓｆｏｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｓｅｒｉｅｓ３４高等数学研究２０１１年５月考察（２）式，令，（ｚ）在区间（Ｏ，，ｒ）内满足／，（ｚ）＝厂（ｚ），ｆ７（７ｒ）＝０，可以先构造一个复变函数幂级数∑ｎ。ｚ“，求出其和”＝０由此解得函数，（ｚ），再令，（ｚ）＝Ｃ（Ｆ十ｅ２。。）（Ｏ＜ｚ＜７ｒ），ｚ＝ｅ。。＝ＣＯＳＸ＋ｉｓｉｎｘ，其中Ｃ为任意常数．此时有或者ｃ￡Ｈ２２（ｅ２一一１）ｚ—ｒ（ｃｏｓｚ＋ｉｓｉｎｘ），（ｎ一１，２，…），（１＋ｎ２）７ｒ则有口。：鱼ｒ（ｅｚ＋ｅｚｒｚ）如：至（ｅ。一一１）．０。∞丌Ｊ０，ｒ∑口。ＣＯＳｎＸ＋ｉ∑Ⅱ。ｓｉｎｎｘ—ｆ（ｅｋ）．ｎ鲁０ｎ＝０所以分别比较上式两端的实部与虚部，则有ｅ７＋ｅ２ｒ。２土（ｅｈ—１）＋７ｌ＂∑口。ｃｏｓｎｘＲｅ［ｆ（ｅｂ）］，¨一ｏ２（ｅＺ－一１）７ｒ圣罱（ｏ＜ｚ＜以∑以。ｓｉｎｎｘ—ＩｍＦｆ（ｅｂ）］．ｎ＝０取ｚ一１，可得丌（ｅ＋ｅ２，ｒ１）一（ｅ２一一１）例３［２３ｑＩ＜１）的和。ＣＯＳ礼Ｚ求级数∑ｑ”ＣＯＳ撒（Ｉｎ＝０∞∑州’ｌ＋，ｚ２２（ｅｋ一１）解考察复变量指数函数展开式例２Ⅲ求级数∑ｓｍａｚ（０＜ｚ≤丌）的和．恕Ｈ＝１圭。薹矿㈣ｌ≤¨≠１）．解找出一个定义在［一丌，丌］的奇函数，（ｚ），若令同时保证，（ｚ）在（Ｏ，７ｒ）有连续的二阶导数，即可根ｚ—ｑ（ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ），据Ｊｆ（ｚ）的傅立叶级数（３），仿例１，确定系数（４），使则有其含有形如１／．的因子，从而反求出级数和．为此，１．——令Ｊｆ（ｚ）在区间（ｏ，丌］内满足１’——ｑｃｏｓａ’——ｉｑｓｉｎａ／，（ｚ）＝０，厂（丌）一０，由此解得∑（ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ）～ｑ，¨＝０厂（ｚ）＝ＣＯｔ—ｚ）’也即其中Ｃ为任意常数．此时有．（——１——－－．———ｑ—．ｃ—ｏ——ｓ—ａ—．）—．—＋—．．．ｉ—ｑ—ｓ．．ｉ，ｎ—一ａ＝：．１＋ｑ２—２ｑｃｏｓａＤ”５一。２（押＝１，２。…），ｎ∑ｑ”ｃｏｓｎａ＋ｉＳ研２ｓｉｎｎｘＨ＝０。∑删ｑ丌一ｚ一∑（Ｏ＜士≤７ｒ），所以”＝ｌ从而薹矿一一最芦斋㈨ｌ＜，，。∑蒯——２百Ｌ—Ｊ—ＳＩＮ—［／／＂＝妻（７／＂一Ｘ）（ｏ＜Ｘ≤Ｉｔ、）．ＬＵ≮≮?ｎ‘参考文献接下来介绍如何利用复变函数的幂级数求三角［１］同济大学数学教研室．高等数学；上册［Ｍ］．５版．北京：级数的和．高等教育出版社，２００２：２４６—２５０．在求∑ｎ。ＣＯＳ／／Ｘ以及∑ｎ。ｓｉｎｎｘ的和函数时，Ｅ２３陈欣．关于数项级数求和的几种特殊方法［Ｊ］．武汉工业ｎ＝０Ｈ＝０学院学报．２００６．２５（２）：１０１—１０２．ＴｗｏＭｅｔｈｏｄｓｆｏｒＳｕｍｍｉｎｇＴｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃＳｅｒｉｅｓＷＡＮＧＢａｉ—ｙｉｎ，ＱＩＸｉｎ－ｓｈｅ（ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ。Ｘｉ’ａｎＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｘｉ’ａｎ?７１０１０６?ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｄｉｓｃｕｓｓｅｓｈｏｗｔｏｕｓｅＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓａｎｄｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓｏｆｃｏｍｐｌｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｔｏｆｉｎｄｓｕｍｓｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓｅｒｉｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｆｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓ，ｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓ，ｓｕｍｏｆａｓｅｒｉｅｓ三角级数求和的两种方法作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：王白银， 齐新社， WANG Bai-yin， QI Xin-she西安通信学院,基础部,陕西,西安,710106高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS)本文链接：http://d..cn/Periodical_gdsxyj.aspx
范文二：两种方法解杨辉三角形环境：Microsoft VC++6.0编程语言：C语言方法一：采用动态二维数组#include#include#includevoid make(int n);void dempty(int n);void main(){}void make(int n){int i=0,j=0; int ** array=(int**)malloc(n*sizeof(int *)); int i=0; printf("please input the number of item:"); scanf("%d",&n); make(n);for(i=0;i{array[i]=(int*)malloc((i+1)*sizeof(int));for(j=0;jfor(j=0;j{printf("%d
",array[i][j]); //输出二维动态数组中的值
}printf("\n");}}void dempty(int n){ free(array);} 运行结果：方法二：普通方法：//下面这种方法是 资料上推荐使用的，效果比我编写的好 #includelong combi(int n,int r){long p=1;for(i=1;ip=p*(n-i+1)/i;void paint(int N){int n,r;for(n=0;nfor(r=0;rif(r==0){for(i=0;iprintf("
");}printf("%3d",combi(n,r)); }printf("\n");}}void main(){} scanf("%d",&n); paint(n);运行结果：
范文三：两点边角后方交会法（自由设站）在龙滩水电站地下洞室开挖中的应用 ［ 作者：刘建川
新闻来自：中国水电七局三分局
］（ 更新时间：
编辑：兰晓宇 ）摘
要：在龙滩水电站地下洞室的开挖施工中，为了方便、快捷、准确的进行洞室的开挖施工放样，采用两点边角后方交会法（自由设站）进行测站设置。本文介绍此方法在施工中的具体应用，并讨论其对开挖放样精度的影响，从中找出最佳的设站方法。关键词：施工放样；两点边角后方交会法；自由设站；放样精度1、前
言龙滩水电站工程位于广西天峨县境内，是红水河梯级开发中的骨干工程。它采用地下引水式发电系统，设计有目前世界最大的地下厂房系统，在不到1平方公里的范围内，纵横交错地布设了近百条地下洞室。在这种特大型地下洞室的开挖中，控制测量是最为关键的部分，但由于前期隧洞尚未贯通，控制测量一般采用支导线的方式（基本导线和施工导线相结合）进洞。洞内的控制点相对较少，洞内的施工条件十分复杂，如果使用传统方法将控制点作于地面上，则十分难找而且很容易被破坏，或者还可能由于种种原因控制点上不能架设仪器。特别是越接近开挖掌子面的地方，越容易被破坏。在这种情况下，本文提出使用两点边角后方交会（自由设站）的方法设站，并讨论此方法对施工放样精度的影响，从中找出最佳的设站方案。2、施工测量方案在地下洞室控制测量中，首先在远离开挖工作面的地方作一个等级控制点（即基本导线点），其次使用此控制点在接近开挖掌子面的地方将一定精度的控制点A、B作于墙上（至少作两个以上的控制点），作为两点边角后方交会法（自由设站）的起始点。在施工放样时，测站操作过程为：（1）将测站置于便于放样的地方P，在P点整置仪器。（2）测量出图（1）中的γ角和S′AP，S′BP斜边，天顶距θAP、θBP。（3）使用公式（1-1）计算检查基线限差△S基和△H。（4）若△S基和△H小于限差值，则将γ角和S′AP或S′BP代入公式（1-2）计算出P点的坐标和高程。（5）使用P点的坐标计算掌子面点，即可进行施工放样。在进行施工放样前，先使用fx-4500或fx-4800将（1-2）、（1-3）式和隧洞开挖程序编入计算器，在施工放样时直接输入观测值计算P点坐标和进行施工放样。如果使用全站仪则只需要调用它的内部程序（自由设站）观测A、B两点即可完成测站设置。但由于测角和测边均为半测回值，加上测角系统误差（2C）的影响，测站精度能否满足施工放样的要求，成为一个需要讨论的问题。图1检查公式：P点坐标计算公式：3、精度分析对于基本条件的两点边角后方交会法的精度受图形条件影响很大。如果使用不当则不能满足施工放样的要求。下面就此问题进行讨论：图2如图2所示，将（1-2）微分，并根椐误差传播定律，得（αAP，S0的误差不计）根据误差传播定律，得P点的点位误差：（起始点的误差不计）（1）P点的点位精度与γ、β、S、S0之间的图形结构有关。（2）当β≈90，γ≈0时，P点的精度最弱，即P点远离AB两点且位于AB中垂线附近。（3）当β≈0，γ≈90时，P点的精度最高，即P点无限靠近测距点A（S≈0），此时相当于控制测量中的偏心观测。（4）当β≈0，γ≈0时，即P点在AB的反向延长线上。（1-4）式写为：此时P点的误差主要与S、S0有关，即比极坐标引点的精度稍弱一点，S/S0越大越弱。所以应尽量使用长基线边，短测距边。（5）当β≈0，γ≈180时，即P点在AB基线的中间。（1-4）式写为：此时P点的误差应比极坐标引点时还高些，即相当于经典工程测量中的正倒镜投点法。利用(1-5)、（1-6）式假定S0，S边一定的情况下，在不同的测角、测边精度的情况下，P点的点位中误差如表-1：通过表-1的数据表明，在隧洞中使用两点边角后方交会法，由于三角形边长较短，主要的误差来源于测距误差。所以只要依据合理的图形结构，使用全站仪的内部程序，测角半测回设站是完全能够代替极坐标引点，满足地下洞室开挖放样的要求。(6)当在第2种情况下，即最不利的图形条件情况下：设△ABP为等腰三角形，则代入（1-4）式并化简，在s、mr、ms、MP一定时，求得γ角允许的最小解：，将表-1的测角、测边误差代入（1-7）式计算最弱条件下的最小γ角（如表-2）。通过表-2的数据表明,要满足测站设置精度为10mm的要求,即使在最不利的图形条件下,只要γ角度大于最小值,也能满足开挖放样精度的要求的。4、结
论通过上面的讨论表明，在测角、测边误差一定时，应尽量选择3.（3），3.（4），3.（5）种图形结构方式设站，应尽量选择长基线边（S0）短测距边（S）。在应用(2)种图形结构进行设站时，应控制γ角的大小和基线边（S0）的长度。在实际的应用中，一般是利用全站仪内部的自由设站程序，连续观测A，B两点的距离和方向，自动计算出P点坐标并进行设站，然后测量第三个控制点进行校对，这样测站的精度和可靠性大大提高了。目前，龙滩水电站工程地下厂房系统的大部分洞室已顺利贯通，通过对所有洞室的开挖质量进行分析后，说明利用两点边角后方交会（自由测站）是可以满足地下洞室开挖精度要求的。
范文四：?225?文章编号:05)03-0225-03两种股骨扭转角测量方法的比较孙建峰,韩　斌,肖　京,邓　磊,顾敏琪(中国中医研究院西苑医院,北京　100091))测量股骨扭转角的比较,探讨CT测量扭转角的　　摘要:目的　通过CT法及裸骨投照测量法(以下简称“裸骨法”可靠性。方法　分别采用CT法及裸骨法测量80个股骨标本股骨扭转角,对测定值进行统计学分析,并作左右两侧比(-6.1°);裸骨法测量的扭转角为11.27°(-5.5°较。结果　采用CT法测量的扭转角为11.04°±8.24°～34.0°±8.01°)。(-4.4°),差异无显著性意义(P>0.05,配对样本t检验)。～34.2°两者间的扭转角度相差0.23°±1.64°～3.4°左右两侧对比,差异无显著性意义(P>0.05,独立样本t检验)。结论　CT测量法是临床测定股骨扭转角确实可靠的方法,临床上健侧的扭转角可作为参考依据。关键词:股骨;扭转;体层摄影术;X线计算机;摄影测量法中图分类号:R322.7+1　　文献标志码:AComparativeStudyofTwoMethodsofMeasuringFemoralTorsionAngleSUNJian2feng,HANBin,XIAOJing,DENGLei,GUMin2qi(DepartmentofOrthopaedics,XiyuanHospital,ChinaAcademyofTraditionalChineseMedicine,Beijing100091,China)Abstract:ObjectiveComparedwithCTscanmethodand“bare2bonemethod”ofmeasuringfemoraltorsionangle,tostudythereliabilityofmeasuringtorsionanglebymeansofCTmethod.MethodsTorsionangleswere.measuredwithCTmethodandanewphotogrammeryofdigitalcamerarespectivelyin80femoralspecimens.AllthevalueswereanalyzedwithSSPS.ResultsMeanvalueofComparedofthevaluesinbothleftandrightsides(-6.1°)and11.27°(-5.5°)with～34.0°,s=8.24°～34.2°,s=8.01°torsionanglewithCTmethodwas11.04°digitalphotogrammery.Therewasnodifferenceofstatisticalsignificancebetweenthem(P>0.05,pairedsamplesttest).Comparisonofthevaluesinbothleftandrightsideswaswithoutdifferenceofstatisticalsignificance(P>0.05,Independent2samplesttest).ConclusionCTmethodisanaccurateandreliablemethodtomeasurethefemoraltorsionangle.Torsionangleinnormalsideisregardtoareferencevalueinclinic.Keywords:X2photogrammery正常股骨扭转角的存在是适应人体生理活动的要求,与颈干角共同构成股骨前倾角,并与髋臼前倾角相适应。有关股骨近端扭转角和股骨干的解剖关系及扭转角的测量方法已有很多讨论1～3。本文通过对80个股骨标本CT法及裸骨法测量扭转角的比较,探讨CT法测量扭转角的可靠性。1　资料与方法1.1　一般资料　80个示教用成人尸体股骨干标本,由北京大学医学部解剖教研室提供。年龄、性别、民族不详。左35个,右45个,左右不成对。1.2　方法　a)CT扫描:采用美国GEProspeedAI螺旋CT扫描机,层厚5mm,层距5mm。将标本平放于扫描床上,垂直于股骨长轴分别对股骨头颈及股骨髁水平进行二维CT):将股骨标扫描(见图1)。“裸骨法”b)裸骨投照测量法(简称本置于水平玻璃上,两髁后缘及大转子后缘接触玻璃面。OlympusC22100u数码相机置于与股骨干同等高度,轴位投照,镜头距股骨头200cm,成像时大转子后缘接触点位于两髁后缘接触点中间(见图2)。c)图像处理:采用Photoshop6.0图像处理软件分别对采得的图像进行测量。CT法取股骨颈最窄处中心点与股骨头中心点连线与水平线的夹角,减去股骨内外两髁后缘接触点连线与水平线之间的夹角。裸骨法直接取股骨颈最窄处中心点与股骨头中心点连线与水平线的夹角。1.3　统计学处理　采用SPSS10.0统计学处理软件对CT法及裸骨法测量的扭转角的结果进行配对样本t检验,对两种方法测量扭转角左右侧对比并进行独立样本t检验。2　结　　果本组80个股骨标本扭转角(见表1)。CT法和裸骨法测量比较,平均扭转角度前者略小于后者,相差0.23°±1.64°(-4.4°),两者间的差异无显著性意义(P>0.05,配～3.4°对样本t检验)。对比左右两侧CT法和裸骨法测量的扭转?226?角,扭转角右侧大于左侧,两侧差异无显著性意义(P>0.05,图1　股骨标本CT扫描法测量扭转角　　　　　　　　　　　　图表1　80个标本两种方法测量扭转角的比较(°)CT法裸骨法平均值11.0411.27最小值-6.1-5.5最大值34.034.2标准差8.248.01平均标准误0.920.90t　值1.1371)P　值>0.051)1)配对样本t检验表2　CT法与裸骨测量扭转角左右侧的比较(°)分　　类CT法裸骨法左右合计左右合计例　数平均值9.10.标准差7.069.008.247.058.708.01平均标准误1.201.340.921.191.300.90t　值1.2)-P　值>0.051)->0.052)-1)2)左右侧对比,独立样本t检验3　讨　　论3.1　扭转角与前倾角的区别　扭转角(torsionangle)是指某一肢体骨远近端横轴不在同一平面上,其间的夹角称扭转角,其几何学概念实质上是经过股骨干长轴和远近端横轴的两个平面之间的夹角。股骨前倾角(Femoralneckanteversion)是指股骨颈长轴与股骨干额状面间的夹角4。其几何学概念实质上是一直线与一个平面间的夹角。两者之间是有区别的,平时简单地将扭转角误认为前倾角。在临床独立样本t检验)(见表2)。2　股骨标本裸骨投照法测量扭转角工作中用得较多的是扭转角,如人工髋关节置换术中安放股骨假体时需保持一定的扭转角,即假体的平面与股骨的冠状面的角度,以防止人工关节脱位。这里实际上提到的是扭转角,而不是前倾角,因为所选的假体的颈干角是固定的,扭转角的大小决定了前倾角的大小,而在股骨颈骨折螺钉内固定时,则是沿前倾角的方向固定,此时需要兼顾扭转角和颈干角两个因素。因为股骨颈前倾角并不在水平面上(除非颈干角为90°),所以直接测量前倾角非常困难,但可以通过扭转角和颈干角计算出来。本组80个标本的颈干角平均为128.75°,CT法测量的扭转角平均为11.04°,裸骨法测量的扭转角平均为11.27°,根据扭转角和颈干角计算出前倾角,CT法平均为8.58°,裸骨法平均为8.76°,前倾角小于扭转角。3.2　两种方法测量扭转角的比较　裸骨法实际上是裸骨解剖测量方法。传统的解剖学测量方法5,将股骨标本仰卧位平放于玻璃上,股骨两髁后缘接触的玻璃平面代表股骨冠状面,用游标卡尺分别测量出股骨头中心与股骨颈中心。用万能角度尺测量两中心的连线与玻璃平面的夹角。在实际测量中我们发现,股骨头是假定为球形,股骨头中心的定位相对容易;而股骨颈中心的定位比较困难,股骨颈截面类似椭圆形,并且股骨颈自身向前有扭转6,7。我们对这一方法进行了改进,采用裸骨投照测量法,股骨摆放同传统方法,将数码相机置于与股骨干同等高度,成像时大转子后缘接触点位于两髁后缘接触点中间,保证裸骨方向是股骨干纵轴方向。测股骨颈最窄处中心点与股骨头中心点连线与水平线的夹角。该方法的优点是利用数码相机可监控的特点,在调整满足要求后再进行摄像,采得的图像利用计算机分析。该方法得到的数据精确度高,具有良好的可重复性和可靠性。?227?CT法测量扭转角时,由于颈干角的存在,只有在股骨头下半部分扫描时,才能获得股骨头及股骨颈在同一帧扫描中出现,此时只能扫描到股骨颈上半部分。股骨头假定为球形,股骨头任一水平面截面上圆形的中心与股骨头球形的中心在一条直线上,轴位观时,CT截面上圆形的中心可以代表股骨头的中心;而股骨颈在不同的截面却有变化,股骨颈自身向前旋转6,7,CT截面在不同层面时所获得的股骨头颈关系就会有所差别,越靠近上端,股骨颈越偏前,股骨颈中心偏前,所测的扭转角就越小(见图3);逐渐向下端,股骨颈中心逐渐后移,扭转角值就相应增大。因此,由于颈干角的存在和股骨颈自身向前旋转的关系,CT法测出的扭转角就比裸骨法测出的扭转角小。)及CT扫描层面示意图(CT扫描层面股骨颈中心偏前)图3　股骨颈旋转(向前旋转15°目前采用CT测量的方法较多,扭转角的范围有较大差异,差异的来源:a)样本的差异;b)测量方法的选择;c)股骨头中心的确定;d)股骨颈中心的确定;e)股骨髁轴(股骨平面)的选择。我们推荐目前的常用方法,选择含股骨头颈的层面,以股骨头颈中心的连线为股骨颈轴线,以经过股骨髁后缘的连线为股骨髁轴,以股骨髁后缘与大转子后缘三点决定的平面为股骨冠状面(table2top法),该方法比较简单。本组的CT法与裸骨法相比,都是测量股骨颈的扭转角。80个标本分别采用两种方法测量,结果相差0.23°±1.64°(-4.4°),比纪盛章等5的结果平均4.78°小,这与我～3.4°们选择的处理方法和样本量有关。目前有些学者5,6采用三维CT测量扭转角,将扫描取得的二维图像进行重建,得出的图像再进行轴位测量,实际上与我们采用的裸骨法类似,都是从轴位测量扭转角。只是三维CT法是影像测量法,而裸骨法是裸骨解剖测量法。裸骨解剖测量是公认的最可靠的测定方法,而在临床上不能做到,根据我们CT法与裸骨法的测量结果比较,差异无显著性意义,我们认为二维CT可以作为临床上可靠的测量扭转角的常用方法。3.3　扭转角大小的判定　既往较公认的扭转角范围为12°～15°,但我们测量时发现股骨扭转角动荡范围较大,虽然小于张怀　8的-15°～45°的结果,但我们的测量结果仍然在-6.1°～34.2°之间,而位于12°～15°之间的仅占10%。因此,临床判定扭转角的大小不能以其平均值为标准,应以左右侧对比为主要参考依据,但须注意左右侧有一定差异的可能,作者简介:孙建峰(1971-我们不成对标本扭转角右侧大于左侧,P>0.05,差异无显著性意义。但张怀　8的成对标本扭转角左侧大于右侧,男性两侧相差5.31°,女性两侧相差6.32°,差异有显著性意义。左右两侧的差异有待进一步研究。参考文献:1]BanchongM,KriskraiS,TrongtumT,etal.　Morphologicalstudyoftheproximalfemur:anewmethodofgeometricalassessmentusing32dimensionalreverseengineering[J.MedEngPhys,2622.2]HermannKL,EgundN.Measuringanteversioninthe　femoralneckfromroutineradiographs[J.ActaRadiol,2415.3]PetersonHA,KlassenRA,McleodRA,etal.Theuse　ofcomputerisedtomographyindislocationofthehipandfemoralneckanteversioninchildren[J.JBoneJointSurg(Br),2208.4]裘法祖.外科学[M.第4版.北京:人民卫生出版社,　.5]纪盛章,程喜定,杨建平,等.股骨颈前倾角三维CT　测量方法[J.中华骨科杂志,2188.6]FabeckL,ParewyckS,RoozeM,etal.Gemometrical　analysisofthefemoralnecktorsion[J.CellsTissuesOrgans,72.7]孔晓川,陆应隆,周　建,等.股骨颈旋转角的CT研　究[J.中国矫形外科杂志,]张怀　,郑靖中,杨玉田.国人股骨颈干角及扭转角的　测量统计[J.解剖学报,2269.收稿日期:),男,主治医师,中国中医研究院西苑医院,100091。
范文五：在学习“图形认识初步”这一章中，经常遇到计算线段或角的问题． 解答它们，有如下两种方法可供选择： 　　一、从和差倍分入手计算线段或角 　　这种方法主要是寻找出要求的线段或角与相关的线段或角之间的和差倍分关系． 通过求出相关的线段或角，从而求出要求的线段或角． 　　例1 如图，AB＝20，点C为AB的中点，点D为CB上的一点，点E为BD的中点，且EB＝3，求CD的长． 　　分析：不难发现，CD＝CB－BD．要求CD的长，应先求CB和BD的长． 　　解：因为AB＝20，点C为AB的中点， 　　所以CB＝AB＝ ×20=10． 　　因为点E为BD的中点，EB＝3， 　　所以BD＝2EB＝6． 　　从而CD＝CB－BD＝4． 　　例2 如图，OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠EOD＝70°，求∠BOC的度数． 　　分析：由OD平分∠BOC，得∠BOC＝2∠BOD，而∠BOD＝∠EOD－∠BOE，那么要求∠BOC的度数，应先求∠BOE的度数． 　　解：因为OE平分∠AOB，∠AOB＝90°， 　　所以∠BOE＝∠AOB＝45°． 　　因为∠EOD＝70°， 　　所以∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝25°． 　　因为OD平分∠BOC， 　　所以∠BOC＝2∠BOD＝50°． 　　二、从构造方程入手计算线段或角 　　这种方法主要是用字母表示某些线段或角，通过构造方程后，求出要求的线段或角． 　　例3 如图，若B、C是线段AD上的两点，且AB?BC?CD＝3?2?4，E、F分别是AB、CD的中点，EF＝22，求AD的长． 　　分析：由AD＝AB+BC+CD，且AB?BC?CD＝3?2?4，那么要求AD的长，关键在于求AB或BC或CD的长． 　　解：设BC＝x，那么AB＝x，CD＝2x． 　　因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EB=AB=x，CF=CD=x． 　　因为EB＋BC＋CF＝EF， 　　所以x+x+x=22． 　　解之，x＝8． 这时BC＝8，AB＝12，CD＝16． 　　所以AD＝AB＋BC＋CD＝36． 　　例4 如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数． 　　分析：注意到∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，且∠BOC＝2∠AOC，那么要求∠AOB的度数，关键在于求∠AOC的度数． 　　解：设∠AOC＝x，那么∠BOC＝2x，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝3x． 　　因为OD平分∠AOB， 　　所以∠BOD＝∠AOB＝x． 　　因为∠BOC－∠BOD＝∠COD，∠COD＝19°， 　　所以2x－x＝19°． 解之，x＝38°． 　　所以∠AOB＝3×38°＝114°．
范文六：1-2sin2xcos2x1-tan(720°+ 2x ) 求证 cos22x-sin2 2x= 1+tan(360°+ 2x )分析 本题采用“右边?左边”和“左边、右边?中间” 两种方法证明．本题中的角是“2x”，同角三角函数的基 本关系式中，内涵在“同角”二字上 sin2 x 1 cos2x- sin2 x 1- tan2 x = = 证法一： 右边= sin2 x cos2x+ sin2 x 1+ tan2 x 1 + cos2 x 2 (cos2x- sin2x ) = cos2x+sin2x- 2cos2xsin2 x 1- 2sin2xcos2 x = = 22 22 cos2x- sin2 x cos2x- sin2 x 22=左边．等式成立．证法二：1- 2sin2xcos2 x cos2x+sin2x- 2cos2xsin2 x 左边 = = 22 22 cos2x- sin2 x cos2x- sin2 xcos2x- sin2 x (cos2x- sin2x ) = = cos2x+ sin2 xsin2 x 1 - 1- tan2 x === 右 sin2 x 1+ tan2 x 1 + cos2 x 2 22∴ 左边=右边．等式成立．sin2 x 1 - cos2x- sin2 x 1- tan2 x = = 证法三： 右边= sin2 x cos2x+ sin2 x 1+ tan2 x 1 + cos2 x1- 2sin2xcos2 x cos2x+sin2x- 2cos2xsin2 x 左边 = = 22 22 cos2x- sin2 x cos2x- sin2 xcos2x- sin2 x (cos2x- sin2x ) = = cos2x+ sin2 x 2 22∴ 左边=右边．等式成立．1-2sin2xcos2x1-tan(720°+ 2x ) 求证 cos22x-sin2 2x= 1+tan(360°+ 2x )分析 本题采用“右边?左边”和“左边、右边?中间” 两种方法证明．本题中的角是“2x”，同角三角函数的基 本关系式中，内涵在“同角”二字上 sin2 x 1 cos2x- sin2 x 1- tan2 x = = 证法一： 右边= sin2 x cos2x+ sin2 x 1+ tan2 x 1 + cos2 x 2 (cos2x- sin2x ) = cos2x+sin2x- 2cos2xsin2 x 1- 2sin2xcos2 x = = 22 22 cos2x- sin2 x cos2x- sin2 x 22=左边．等式成立．证法二：1- 2sin2xcos2 x cos2x+sin2x- 2cos2xsin2 x 左边 = = 22 22 cos2x- sin2 x cos2x- sin2 xcos2x- sin2 x (cos2x- sin2x ) = = cos2x+ sin2 xsin2 x 1 - 1- tan2 x === 右 sin2 x 1+ tan2 x 1 + cos2 x 2 22∴ 左边=右边．等式成立．sin2 x 1 - cos2x- sin2 x 1- tan2 x = = 证法三： 右边= sin2 x cos2x+ sin2 x 1+ tan2 x 1 + cos2 x1- 2sin2xcos2 x cos2x+sin2x- 2cos2xsin2 x 左边 = = 22 22 cos2x- sin2 x cos2x- sin2 xcos2x- sin2 x (cos2x- sin2x ) = = cos2x+ sin2 x 2 22∴ 左边=右边．等式成立．
范文七：【摘 要】 任意角三角函数的定义有两种方法，分别是“终边定义法”和“单位圆定义法”，这两种方法本质上是一样的，新课标人教版教材采用的是后者。为什么要采用“单位圆定义法”？它的优点在哪里？本文就两篇文章《“单位圆定义法”VS“终边坐标法”》和《为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数》所提的观点，提出一些个人的看法，以求教于广大同行。 　　【关键词】 任意角的三角函数定义 匀速圆周运动 终边坐标法 单位圆定义法 　　任意角三角函数的定义有两种方法，分别是“终边定义法”和“单位圆定义法”，这两种方法本质上是一样的，新课标人教版教材采用的是后者。为什么要采用“单位圆定义法”？它的优点在哪里？抱着学习的目的，在拜读了专家层面的两篇文章《“单位圆定义法”VS“终边坐标法”》（以下简称文1）和《为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数》（以下简称文2）之后，笔者发现，他们对两种定义法存在着重大分歧，为什么会出现这么大的分歧呢？到底哪一种方法更适用于三角函数的教与学呢？本文试对二者的分歧一探究竟。 　　1 两种观点的分歧 　　两种观点的分歧主要体现在以下几个方面：①从三角函数历史发展的角度，各自论述了“单位圆定义法”和“终边坐标法”谁更符合概念的本质；②文1从认知结构和认知习惯的角度论述了“终边坐标法”的优点，而文2则从认知效率以及构建知识结构的角度论述了“单位圆定义法”的优点。 　　至于哪种方法更有利于解题实践（以人教A版例2为例），显然是“终边坐标法”更好，本文就不再赘述，而只从上述两点对双方各自的论述提几点看法。 　　2 从任意角的三角函数历史发展的角度看 　　从17世纪起，由于数学注重了对运动的研究而引出了很多重要的数学概念，函数就是其中之一。而任意角的三角函数就是源于对匀速圆周运动的研究，也称为圆函数。数学上研究匀速圆周运动，根本的是研究圆周上的一点P（x，y）与时间t的函数关系（假设点P的初始位置在x轴的正半轴上）。点P的位置要由两个量x与y来确定，设角速度为w，容易由锐角三角函数的定义想到，x/y=coswt，y/r=sinwt（r为圆半径0，则x=rcoswt，y=rsinwt。这样，参数方程（1）就从数学的角度刻画了匀速圆周运动。由于匀速圆周运动是周期运动，从而三角函数就是周期函数。历史上，最早给出三角函数定义的是欧拉，只是没有把任意角和圆放在直角坐标系中。 　　文2 片面强调了锐角三角函数与任意角三角函数研究的对象不同，前者是解三角形的工具，后者反映了现实世界的周期现象，但却忽视了二者的渊源关系，要研究匀速圆周运动，不可避免的“借用”了锐角三角函数的定义。而且用单位圆定义任意角三角函数，当遇到半径不为1的圆周运动时，又该如何处理呢？还是要回到“比值定义”上，可见这个定义有失一般性，不能反映概念的本质——比值。 　　从以上所述可以看到，任意角三角函数源于圆周运动的研究恰恰支持了“终边坐标法”。 　　3 从学生的认知结构和认知习惯来看 　　锐角三角函数的定义是边长的比值，比如：正弦=对边/斜边，对一个确定的锐角α，都有唯一确定的正弦值与它对应，这是学生在初中早已熟悉的。因此用“终边定义法”定义任意角的正弦值，学生并不难理解比值的唯一性，不会造成思维上的负担，并不像文2所说的“终边定义法”要经过“取点——求距离——求比值”等步骤，“对应关系不够简洁”。而用“单位圆定义法”虽然简化了正余弦函数的外在表现形式，但在“对应法则”上，却与学生已有的对正弦的理解不太和谐，要经过“做单位圆——取交点——对应横坐标（或纵坐标）”的步骤，反而降低了思维效率。所以从学生已有的认知基础来看，“终边坐标法”更胜一筹。 　　至于文2提出的，在结束了三角函数的学习之后，许多学生还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的“这些问题”不无关系，笔者以为会出现一些问题跟知识本身是没关系的，有的更多的是教学方法上的问题，不能因为教学方法的问题而去改变知识的本来面目。 　　4 从构建任意角三角函数的知识结构来看 　　文2提出了“比值作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰”，而采用“单位圆定义法”，自变量α与函数值x，y的关系非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的各种性质。实际上，在“终边坐标法”定义下，我们采用了从一般到特殊的认识顺序，在研究三角函数的图像和性质时，引入了单位圆，利用单位圆中的三角函数线作出了三角函数的图像，从图像中得到三角函数的各种性质。所以无论采用哪一种定义对构建三角函数的知识结构来说都一样。至于推导同角三角函数的基本关系，诱导公式和差角公式等，用不用单位圆这个“特例”并没有产生多大的区别。 　　所以，对于后续的学习，“单位圆定义法”并没有带来什么实质性的好处。 　　参考文献 　　1 孙孜等.“单位圆定义法”VS“终边坐标法”[J].中学数学教学参考，2009.6 　　2 章建跃.为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数[J].数学通报，2007.1 　　3 刘海亚.也谈“单位圆定义法”与“终边坐标法”[J].中学数学教学参考，2009.9
范文八：证明两个直角三角形全等方法归纳学习了一般三角形全等的判定方法:SSS、SAS、ASA、AAS，也同样适应于直角三角形全等的判定.除了以上方法外，直角三角形全等还有特殊的判定方法:HL.在判定两个直角三角形全等时，要根据条件选择适当的判定方法.一、根据一般三角形全等的判定方法（SAS、ASA或AAS)判定三角形全等例1 如图1，点A、E、F、D在同一直线上，且AE=DF，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足分别为点F、E，且BF=CE.求证：AB=CD.例2 如图2,在△ABC和△BCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC,CF⊥BD且OB=OC.求证:BE=CF.二、根据直角三角形特有的判定方法（HL）判定两个直角三角形全等例3 如图3，已知∠ACB=∠BDA=90°，AD=BC，AB//CD.求证：∠1=∠2.HL”在证明两个直角三角形全等中的应用．一、用于证明角相等例1
如图1，已知AD是BE垂直平分线，且AB=DE二、用于证明线段相等 例2
如图2，已知B、F、C、E在同一条直线上，AB⊥BCBF=EC，求证：AB=DE．三、用于证明线段垂直例3
如图3，AC⊥BD，AC=DC，BC=EC，求证：DE⊥AB．直角三角形全等的应用举例一、证明两条线段相等例1 如图，在Rt△ABC的斜边BC上的截取CD=DA，过点D作BC的垂线交AB于E，则图中有哪两条线段相等？请说明理由AECB
D 二、证明两直线垂直例2如图，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于E，且有BF=AC，FD=CD，则BE⊥AC，为什么？A
CDB直角三角形全等及其应用一、判定两个直角三角形全等的方法一般三角形全等的判定公理及推论适用于直角三角形，HL是直角三角形全等的一个特殊的判定公理.例1.如图，A、B、E、F四点共线，AC?CE，BD?DF，AE?BF，AC?BD，求证：?ACF??BDE。
BC二、证明线段相等或角相等利用三角形全等是证明线段相等或角相等的方法之一。
例2. 求证：等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角。已知：如图，在?ABC中，AB?AC，AD?BC于D，求证：BD?CD，?BAD??CAD。三、用全等证平行例3 已知如图，AB⊥AC，AC⊥CD，AD=BC，求证：AD∥BC.四、证线段互相垂直例4 已知如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F，BE=AC，DE=DC，BF和AC垂直吗？说明理由五、证角平分线例5 如图，已知：AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE交于点O，求证：AO平分∠BAC.直角三角形中的动态问题如图1所示，在Rt△ABC，∠C=90?，AC=4cm，BC=2cm，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，在运动过程中，线段PQ=AB。问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？MQMMQBQCP图1AC(P)图2CA图3PA学完“直角三角形全等的条件”后，老师给学生布置了这样一个题目： 判断：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，这个命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出说明；若是假命题，请举出反例。
范文九：46城 市 勘 测2004年两点边角后方交会计算方法及精度评定王 峰(中原油田设计院勘察大队,河南濮阳 457001)摘 要:本文论述了野外测量中一种交会定点方法,作为一个典型的固定图型,在理论上按条件平差方法推导了计算公式,并进行了精度评定和实际应用举例。该方法克服了野外测量已知点少及已知点间不通视的困难,其突出特点是,设站次数少,计算简单、实用,同时提高了测量工作效率。关键词:两点边角后方交会;平差;中误差1 引 言野外测量我们经常会遇到下面这种情况,如图1,B、C为已知点,且相互不通视,A为待定点。为了求得A点的坐标,我们在A点上设站观测了边长Sb、Sc及角度A,然后通过条件平差或近似计算方法求出A点的坐标。这种测量方法我们以前做过理论探讨,在实际工作中也得到很好的应用。优点是设站次数少(只有1次),且有多余观测,从理论上讲其精度有可靠的保证,从实际工作中又解决了测量现场已知点少且不通视的问题。式:22S2a=Sb+Sc-2SbSccosAc由于Sa为已知边,不考虑其测量误差影响,Ac是由观测边长及Sa按余弦定律求得,亦即Ac应满足下将上式微分、整理、集项后可得:Sb-SccosAcSc-SbcosAcdAc=-SSsinAcdSb-SSsinAcdSc(1)bcbc若以$A表示Ac的改正数;VSb、VSc表示观测边长Sb、Sc的改正数。又sinAcUsinA,cosAcUcosA,则上式可化作:Q(Sb-SccosA)Q(Sc-SbcosA)VSb-VSc(2)SbScsinASbScsinA设VA为观测角A的平差改正数,则下式应成立:$A=-Ac+$A=A+VA将(2)式代入上式,并设A-Ac=W得:Q(Sb-SccosA)Q(Sc-SbcosA)VSb+VSc+VA+W=0SbScsinASbScsinAQ=206265图1 两点后方交会示意图Q(Sb-SccosA)Q(Sc-SbcosA)b=SbScsinASbScsinA上式则变为:aVSb+bVSc+VA+W=0(3)令 a=上式即为条件方程的最后形式。下面确定观测值的权,设mB为测角中误差的先验估值,mSb、mSc为测边中误差的先验估值,且令:L=mB,则22mmSScb=1,=2,=2PBPSbmBPScmB222 计算方法2.1 严密平差方法(按条件平差)图1中,观测总数为3,有一个多余观测,按条件平差有一个条件。第3期王峰1两点边角后方交会计算方法及精度评定47由条件式及上式组成法方程式(a2+b2+1)K+W=0PSbPSc令N=++1PSbPSc(5)22d(4)mB可根据作业等级或技术要求而定。(2)角度前方交会方法?用余弦定理计算Bc、Cc角?计算三角形闭合差W并分配之W=A+Bc+Cc-180A=A-3W
B=Bc-3WC=Cc-3W>>由角度前方交会公式计算待定点坐标xA=yA=XCctgB+XBctgC-YC+YBctgB+ctgCCBCBctgB+ctgC(10)(11)(9)则(4)式可化为:NK+W=0
K=-N-1W至此,法方程式解算完毕。根据以上推证,对于两点边角后方交会进行平差,可按以下步骤进行:(1)抄录已知点及观测数据,编绘图表。(2)根据观测边长和已知边长计算角AcbcaAc=arccos2SbSc(3)计算a、b、W、N。m2Sb222(4)VSb=a#2#NmBm2ScVSc=b##NmBVA=-NSb=Sb+VSb
A=A+VA(5)由平差值计算待定点A的坐标xA=(X+XC)+2B2c2b(2S2a3 精度评定(6)3.1 单位权中误差本命题的多余观测 r=12[PVV]=-WK=N(7)=?Wr3.2 测角中误差L=?mB=L3.3 方位角中误差以ABA表示BA边方位角,ABC表示BC边已知方位(8)角,则:ABA=ABC+Bc (Bc由余弦定理求得)若不考虑已知方位角误差,则依上式可得:mABA=mBcmBc的推导如下:由图1知 Sb=Sa+Sc-2SaSccosBc将上式微分、集项,整理后得Q#Sb(dS-dSccosA)SaScsinBcb因SasinBc=SbsinA,代入上式得dBc=(dSb-dSccosA)ScsinA=SsinAdSb-SsinAdScccdBc=222NXC-XB)-(YC-YB)S2a2S2b-ScyA=(YB+YC)+(XB-XC)2(YB-YC)-22SaS2a其中:$=S(S-Sa)(S-Sb)(S-Sc)(12)S=(Sa+Sb+Sc)2XB,YB及XC、YC分别是已知点B、C的坐标。2.2 近似计算方法(1)距离交会方法计算公式仍用(8)式,只是用观测距离进行交会计算。将计算角Ac与观测角A的差值Ac-A,只作为观测精度进行考虑。若认为mAcUmA=mB,:48城 市 勘 测2004年22)mSb+(ctgA)2m2ScScsinASc将上式代入(12)式,可得BA边方位角中误差为m2Bc=(22)mSb+(ctgA)2m2ScScsinASc3.4 点位中误差2mA=(BA4.2 计算N、WMSb=?0.54cm
P=0.29SbMSc=?0.63cm
=0.40PSbW=-2d
N=2.944.3 求改正数及平差值VA=-W/N=0.7dMSb=-0.31cmMSc=-0.50cmA=86b08c00.7dSb=Sc=.4 求A点坐标XA=m
YA=.5 精度评定单位权中误差:L=?=?1.17dN测角中误差:mB=L=?1.17d(13)方法:先求A点XA坐标中误差和YA坐标中误差,从而求得A点的点位中误差。XA=XB+SCcosABA 将其微分得dXA=dSCcosABA-SCdABAsinABA由误差传播定律知:222m2XA=cosABAmSC+(SCsinABA)m2ABAQ2将(12)式代入上式得22222mBcmXA=cosABAmSC+(SCsinABA)2Q同理得A点Y坐标中误差为m2Bc=sin+(SCcosABA)ACQ待求点A的点位中误差为m2Y22ABAmS22mA=2mXA+2mYA=2mSC+2SCm2Bc2Q5 结 论(1)两点边角后方交会方法按条件平差解算,有较强的规律性,可以采用计算器或计算机编程进行计算。两点边角后方交会方法,克服了已知点不通视给测量工作带来的麻烦,同时减少了外业工作量。因此,在实际工作中具有较好的应用价值。(2)由于多余观测值少,观测值先验方差的选取对精度评定结果影响敏感,因此,应根据作业情况及精度要求适当选取测量仪器。参考文献表1边长4 应用实例下面是在实际工作中的一个实例,观测值及已知点数据见表1。取mB=?1.0d测距仪的测边精度为:ms=0+5ppm*S4.1 计算Sa、a、b、AcSa=.5Ac=86b08c02d观测值及已知点的数据名号BAC86080280.000角度b c d坐
标XY[1] 武汉测绘学院大地测量系,5测量平差基础6编写组.测量平差基础.北京:测绘出版社,1981.[2] 郭禄光,樊功瑜.最小二乘法与测量平差.上海:同济大学出版社,1985.[3] 李青岳,陈永奇.工程测量学.北京:测绘出版社,1997.86.000
范文十：城市勘测维普资讯
２ ０ 年　 ０４两点边角后方交会计算方法及精度评定王 峰（ 中原油 田设 计 院 勘察 大 队 ， 河南 濮 阳４ ７０ ） ５０ １摘要： 本文论述 了野外测量 中一种交会定点方法， 作为一个典型的 固定图型 ， 在理论上按条件平差方法推 导 了计算公式 ， 并进行 了精度评定和实际应用举例 。该方法克服 了野外测量 已知点 少及 已知点间不通视 的困难 ， 突出特点　 其 是， 设站 次数 少， 计算简单 、 实用， 同时提高 了测量工作效率。关键 词 ： 两点 边 角后 方 交会 ；平差 ；中误 差１ 引　 言野外测量我 们经常会 遇到 下面 这种情 况 ， 图 １　 如 ， Ｂ Ｃ为 已知点 ， 、 且相互不 通视 ， Ａ为待 定点 。为 了求得　 Ａ点 的坐标 ， 我们 在 Ａ 点上 设 站观 测 了边 长 Ｓ 、 ｃ ｂ Ｓ 及角度 Ａ， 然后通过 条件平 差 或近 似计算 方法求 出 Ａ 点　 的坐标 。由于 Ｓ 为 已知 边 ， 考虑 其测 量误 差 影 响 ， 　 ａ 不 Ａ 是由观测 边 长及 Ｓ 按 余 弦 定律 求得 ， 即 Ａ 应 满 足 下　 ａ 亦式：＝ ＋ 一２ ｂ ｃｏ Ａ　 　 　 Ｓ Ｓｃ ｓ将上式微分 、 整理 、 集项后 可得 ：这种测量方 法我 们 以前 做过 理论 探讨 ， 在实 际工　 作中也得 到 很好 的应 用。优 点 是设 站 次数 少 （ 只有 ‘ １ｄ　 　 Ａ一（） １次 ）且有多余观 测 ， 理论上讲其 精度有可靠 的保证 ， ， 从从实 际工作 中又解决 了测量 现场 已知点少且 不通视 的问题 。Ａ若以 △ Ａ表示 Ａ 的改 正数 ； 、 Ｓ 　 Ｖｓ Ｖ 表示 观测 边长　 Ｓ 、ｃ ｂＳ 的改正数。又 ｓ Ａ ￣ ｓ Ａ， ｉ 　 －ｎ ∞　 ≈∞　 ， 上式　 ｎ ． ｉ 则可化作 ：＝ 一 　 一（） ２设Ｖ Ａ为观 测角 Ａ 的平差 改正数 ， 下式应成立 ： 则手 ｚ ＝Ａ 手 Ｓ Ａ将 （） ２ 式代人上式 ， 并设 Ａ—Ａ ＝Ｗ 得 ：ＳＳｓｎ ｂｃｉ 　　 Ａ　 Ｖ ｂ。 Ｓ Ｓ ｓｎ ＋ Ｓ　 　 　 ｂ ｉＡ　 Ｖ 　 Ａ。 ’ ＝０ ｓ ＋Ｖ ＋ ’ ｕ 。 Ａ ｗ￣Ｃ 　 Ｓ　 ａＢＰ＝２ ６ ６ 　 ０２ ５令图 １ 两点后 方 交会示 意 图ａ　 ＝ｂ　 ＝上式则变 为 ：Ｖ ￣ Ｖ ａ ｓ＋ｂ ｓ＋Ｖ ＋ｗ ＝０ Ａ（） ３２ 计算方法２ １ 严 密平差方法 （ 、 按条件 平差 ）图 １中 ， 观测 总 数 为 ３ 有 一 个多 余观 测 ， 条 件　 ， 按 平差有一个条 件 。上式 即为条 件方程 的最后形 式。下面确定 观测 值　 的权 ， 设　 为测角中误差 的先 验估值 ， ｓ、 ｓ ｍ ｍ 为测边中 误差的 先验估值， 　 ＝ ；则 且令： ｍ ，一．上 一！ 上 一ｍ’ ；收 稿 日期 ：０ ３ ５ ９ ２ ０ —０ —２ｍ　 ；第３ 期王峰 ． 两点边角后方交会计算方法及精度评定维普资讯 ４　 ７ｄ ２２８ ＜Ｉ √ ｍ Ｉ（２ ａ 　１＋ｂ ２ 　１＋１Ｋ＋ ＝０ ） ｗ 　 （） ４ｍ８ 可根据 作业等级或 技术要求而定 。（） ２ 角度前方交 会方法令＝ ＋ ＋ Ｎａ妥１ 　 　 ２① 用余 弦定理 计算 Ｂ 、 　 　Ｃ 角　 ② 计算三 角形 闭合差 Ｗ 并分 配之Ｗ ＝Ａ ＋Ｂ　 Ｃ　 １ ０ ＋ 一 ８：一 　 Ａ 　ｗｊ１ｌｇＢ ｛　 ｝ ＝一ｗ：， 　 ｃ 　ｗ 一ａｒ ｃｏｓ ｃ：（ ９ ）ｌ（０　 １） ｕ－　 ｕ （ １　 １）③ 由角度前方交会 公式计算待定点 坐标　 Ｘ 　　 Ａ 一—Ｘｃ ｔ ｃｇＢ ＋ Ｘａ ｔ ｃｇＣ － Ｙｃ＋ ＹＢ ｃｇ— ＋ ｃｇ— ｔ Ｂ ｔ Ｃ—Ｙｃ ｔ 　 ＋ Ｙ　 　 Ｃ　 Ｘｃ ｃ ｇＢ Ｂｔ ｃｇ ＋ｙＡ： ——— —－Ｍ＝ ＝　 ＝ ｃｇＢ ＋ ｃ二Ｃ　 ｔ　 ｔ ｇ—一Ｘ　 Ｂ嚣Ｎ Ｉ · 　 ｗ 　 Ｖｂ· ｝ ｓ．　 　 ＝ Ｗ 嚣一 ａ·３ 精度评定３ １ 单位权 中误差　 ．本命题 的多 余观测 ｒ 　 ＝１Ｖ 　 Ａ 一Ｊ［ｗ ］ Ｐ ＝一ＷＫ＝ｗ２＝ ± 　 ＝ ±ｗ３ ２ 测角中误差　 ．ｍ８３ ３ 方位角中误差　 ．ＸＡＩ（ Ｘｙ ＝ Ａ吉Ｂ ） （　一（Ｘ— （　＋ Ｙ ） Ｘ ｃ 　 Ｙ 　 Ｂ 　 Ｂ） ＋ — —ＪＢ　］一　—　 ＋ ２（）　 ｝ Ｘ Ｓｃ－ 　８ ｃ 　　 （ 　 ））以 ａＡ Ｂ 表示 Ｂ Ａ边方位角 ， 表 示 Ｂ 啦 Ｃ边 已知方位角， ： 则‰ ＝ａＣ 　 （　 弦定理求得 ） Ｂ＋Ｂ Ｂ 由余若 不考虑 已知方位 角误差 ， 则依上式 可得 ：ｍｍ　 Ｂ（２　 １）ｍ一 Ｂ 的推导如下 ：由图 １ 知　 ＝Ｓ＋ 一 Ｓ ｃ ６　 ； 　 ２ａｃ Ｂ ＳＯ将 上式微分 、 集项 ， 整理后得　 （ｓ —ｄ ￣ ｓ 　 ｄ ｂ Ｓｃ Ａ） ｏ因 Ｓｓ Ｂ ＝Ｓｓ Ａ， ￣ ｎ 　 ｂ ｎ 代人 上式得　 ｉ ｉｄ 　 Ｓ Ｏ Ａ（Ｓ —ｄ ￣ ｓ 　 Ｂ ｎ ｄ ｂ Ｓｃ Ａ） ｏ，ｉ＝－－ｇｎｓ 盛 ｄ －ｂ Ａ一 Ｓ ｄ ｃ按 误 差 传 播 定 律 可 得维普资讯 城市勘测２ｏ 年　 ０４商＝ ＿） ＋ ｃ ） （ 　 （ｔ　 　ｌ 　ｇ Ａ将上式代人 （２ 式 ， １ ） 可得 Ｂ Ａ边方位 角 中误差为　 ｍ 　 （ ＳＩｌ－ ） 　 ）ｋ 　 ＿ Ｙ ￣ｃ ２，４２ 计算 Ｎ、 ． ｗＭ　 ０４ 　 武＝ ９ Ｓ ＋５ｍ ｂ ．ｃ 　 。Ｍｓ ｃ＋　ｃＡ ｍ　 （ ｔ ）２ ｇ　ｃ（） １　 ３＋０． ３ ｃ ６ 　ｍ＿。 ０ 　 　 Ｎ ＝２． ４ ９３ ４ 点位 中误 差　 ． 方法： 求 Ａ点 Ｘ 先 Ａ坐 标 中误 差 和 Ｙ Ａ坐 标 中误差， 从而求得 Ａ点 的点位 中误差 。 　 Ｘ ＝Ｘ ＋Ｓ ＣＳＢ 将其微 分得　 Ａ Ｂ ｃＯａＡｄ Ａ Ｓ ｃｓＢ —Ｓ ｄ Ｂｓ 　Ａ Ｘ ＝ｄ ｃｏａ ａ ｃ ａＡｉ 　 ｎＷ ＝ 一２４ ３ 求改正数及平 差值　 ．ｖｎ＝ 一Ｗ ／ ＝ ０． 　 Ｎ ７Ｍｓ ＝ 一０． １ ｃ ｂ ３ 　 ｍＭ ｓ ＝ 一０． ０ ｃ 　 ５ 　 ｍ—由误差传 播定律 知 ：Ａ ＝ ８ 。８ ０ ７ ６ ０ 　 ０． 　 ｓｕ １ ８ ０ ７ 　 ＝ ０ ６． ０ ９ｍＡＣ２Ａ２ （　ａ ） ２ Ｏａｍ ＋Ｓ ｉｌｚ ｘ ＳＢ ｃ ｃ ￣ 　 ＝ ｎ将 （２ 式代 人上式 得　 １）Ｓ ＝１ ５ １８ 　 ｃ ２ ７． ７ ０４ ４ 求 Ａ点坐标　 ．ｍＡ Ｏ２Ａ２ （ ｓａ ） 　 ２ Ｄａｍ ＋Ｓ ｉｌ２ ｘ ＳＢ ｃ ｃ ￣ 警 　 ｎ，＝ １ ３ ６． ８ 　 １ ５ ２ ３ ｍＹｎ＝１ ２ ３． ０ 　 １ ３ ３ ３ ｍ同理得 Ａ点 Ｙ坐标中误差为４ ５ 精 度评定　 ．ｍ　ｎ ｍ＋ｃ ） 　 Ｙ ‰ ｃＳ ２ ２ ２（ 　 Ａ 　 警待求 点 Ａ 的点位 中误差 为单权误 ：±　＝１” 位中差 ＝√ ±１ 　 ．　 ７测角 中误差 ： ０ 　＝±１ １　 ｒ＝ ｎ ．７ｍ　 ２ ｍＡ ＋ Ａ ｘ Ｙ ２ ｍＡ ２ ＋４ 应 用 实例下面是在 实际 工作 中的一个 实 例 ， 测 值及 已知　 观 点数 据见表 １ 。取　 ＝±１０ ．　 测距仪的测边 精度为 ：￣ ＋５ｐ ｍ＊ 　 ｒ ＝Ｏ 　ｐ Ｓ ｒ５ 结论（） １ 两点边角后 方交会方法按条 件平 差解算 ， 较　 有 强 的规律性 ， 以采 用计算 器或计算机编 程进行 计算 。 可 　 两点边角后方 交会方 法 ， 克服 了 已知点 不通 视给 测量工作带来 的麻烦 ， 同时减少 了外业工作量 。因此 ， 在实　 际工作 中具有较好 的应 用价值 。４ １ 计算 Ｓ、、、 　 ． ａａｂＡＳ ＝１ ０ ． １　 ａ ６ ６８０ａ＝ １． １ ４ ５６（） ２ 由于多余观 测值少 ， 观测值先验方差 的选取 对精 度评 定结果影 响敏感 ， 因此 ， 应根据作业 情况及精 度　 要 求适 当选取测量仪器 。参 考文 献裹１ｂ＝ １ ７ ７ 　 ．８ ５Ａ　 ８ 。 ８ ０ 　 ＝ ６０ 　 ２观测 值及 已知 点 的数据［］ 武汉测绘学院大地测量 系，测量平差基础＞ １ 《编写组． 测量平差 基础 ． 北京 ： 绘 出版 社 ．９ １ 测 １８ ．［］ 郭禄光， ２ 樊功瑜． 最小二 乘法与测量平差 ． 上海： 同济大学出 版 社 ．９ ５　 １８ ．［］ 李青岳， ３　 陈永奇． 工程测量学： 北京： 测绘出版社 ，９７ １９．