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什么叫幅频特性曲线？什么叫波德（Bode)图和奈奎斯特（Nyquist)图？频率特性用Bode图表示有何优点？
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什么叫幅频特性曲线？什么叫波德(Bode)图和奈奎斯特(Nyquist)图？频率特性用Bode图表示有何优点？
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1在LC正弦波振荡电路中，不用通用型集成运算放大器作放大电路的原因是其上限截止频率太低，难以产生高频振荡信号。
)2当集成运放工作在非线性区时，输出电压不是高电平，就是低电平。
)3一般情况下，电压比较器的集成运算放大器工作在开环状态，或者引入了正反馈。
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在伯德图上求截止频率的一种解析方法
摘 要：伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线构成。在实际的教学过程中发现,通过绘制伯德曲线得到准确的截止频率是不容易的。本文讨论了开环对数幅频渐近特性的解析表达式用于计算开环系统的截止频率。通过举例介绍
【题　名】在伯德图上求截止频率的一种解析方法
【作　者】张正强
【机　构】南京理工大学自动化学院 江苏南京210094 曲阜师范大学电气信息与自动化学院 山东日照276826
【刊　名】《电气电子教学学报》2009年 第2期 31-32页　共3页
【关键词】对数幅频渐近特性 解析表达式 伯德图 截止频率
【文　摘】伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线构成。在实际的教学过程中发现,通过绘制伯德曲线得到准确的截止频率是不容易的。本文讨论了开环对数幅频渐近特性的解析表达式用于计算开环系统的截止频率。通过举例介绍了它的求解方法及其应用。虽然这种表达式有助于学生用频率特性法分析和综合系统,但在教学过程中仍应强调绘制伯德图的重要性。
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对数幅频渐近特性,解析表达式,伯德图,截止频率
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05系统的频率特性
机械控制工程基础第五章 系统的频率特性5-1 频率特性 5-2 频率特性的对数坐标图 5-3 频率特性的极坐标图 5-5 最小相位系统 5-6 闭环频率特性与频域性能指标 5-7 系统辨识1机械控制工程基础教学目的、要求1.掌握系统频率特性的概念和求法2.熟悉系统的Bode图和Nyquist图的构成3.掌握系统闭环频率特性的求取方法教学重点 1.系统幅频特性和相频特性的求法2.根据Bode图估计系统的传递函数3.最小相位系统2机械控制工程基础时域法：通过求解系统微分方程的时间解来分 析、研究控制系统的性能；时域分析的缺陷?高阶系统的分析难以进行；?当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统 的分析工作将无法进行。3机械控制工程基础频域分析法的特点?用频域法来分析控制系统的性能，不必求解系统的微分方程，而是作出系统频率特性的图形，然后通过 频域和时域之间的关系来分析系统的性能。?频率特性不仅可以反映系统的性能，而且还可以反映系统的参数和结构与系统性能的关系。因此，通过 研究系统的频率特性，可以了解如何改变系统的参数 和结构来改善系统的性能。4机械控制工程基础频域分析法的特点?利用频率特性通频带的概念，可以设计出既满足系统动态性能指标，又能使不希望有的噪声减小到满意 程度的系统。?频率特性也是一种数学模型，而且系统或元部件的频率特性可以用实验的方法测定。对于难于用机理法 建立数学模型的系统或元部件非常实用。?频率法不仅适用于线性系统，还可以应用于某些非线性系统。是广大工程技术人员熟悉并广泛使用的有 效方法。5机械控制工程基础本章作业(P192～195)5-1 (3)5-2 (5)、（8）5-3 (1) 、（4） 、（6）5-85-95-11(a) 、（d） 、（f）6机械控制工程基础5-1 1、频率特性的概念频率特性频率响应：系统对正弦信号的稳态响应。稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅值比，输出与输入的相位差为完全确定的。 频率特性：在正弦信号作用下，系统输入量的频率由0 变化到?时，稳态输出量与输入量的振幅和相位差的变化规律。A sin ?tG ( s)B sin(?t ? ? )7机械控制工程基础A sin ?tG ( s)B sin(?t ? ? )输入： r (t ) ? A sin ?t 稳态输出：c(t ) ? B ? sin(?t ? ? ) ? A ? G( j?) ? sin(?t ? ? ) 都是频率 ?的函数B / A ? G( j?) ,? ? ?G( j?)幅频特性 A(? ) 相频特性 ? (? )G(j?)是在系统传递函数G(s)中令s=j?得来，称为系统 的频率特性。|G(j?)|表示频率特性的幅值，∠G(j?)表 示频率特性的相位角。当?由0变化到?时，|G(j?)|和 ∠G(j?)的变化情况，总称为系统的频率特性。8机械控制工程基础思考：稳定的线性定常系统在余弦激励下的稳态 输出? 输入： r (t ) ? A cos ?t 稳态输出：r (t ) ? ? A sin(?t ? ? / 2)c(t ) ? ? A ? G ( j? ) ? sin(?t ? ? / 2 ? ? ) ? A ? G ( j? ) ? sin[? / 2 ? (?t ? ? )] ? A ? G ( j? ) ? cos(?t ? ? ) ? B ? cos(?t ? ? )B / A ? G( j?) ,? ? ?G( j?)9机械控制工程基础频率特性的应用范围?频率特性描述的是稳态正弦输出量和输入量之间的关系。但大多数控制系统的输入量不仅不是正弦函数，而且是非周期函数。?非正弦周期函数可以分解成傅立叶级数，即分解成一系列频率不同的谐波。由于线性系统满足比例性和叠加性，系统在非正弦周期函数作用下的响应，可以由这些 谐波分别作用在系统上的频率响应之和求得。因此可以 应用频率特性研究在非正弦周期函数作用下的响应。10机械控制工程基础频率特性的应用范围?非周期函数可以看作是周期无限延长的非正弦周期函数，因此可以把非正弦周期函数分解为各次谐波的方法推广应用到非周期函数的谐波分析中去，从而可以用频率响应研究非周期函数的响应。11机械控制工程基础频率特性的求取方法?求微分方程的稳态解；?已知系统传递函数G(s)，令s=j?代入，即得；?通过实验测得。12机械控制工程基础例1：已知系统传递函数G(s) = K/(Ts+1)，求系统的 频率特性及对正弦输入Asin?t的稳态响应。解：系统的频率特性G(j?) = K/(jT?+1)当r(t) = Asin?t时B A ? G ? j? ?? ? ?G ? j? ?c( t ) ? AK 1 ? (T? )2 sin(?t ? tan?1 T? )13机械控制工程基础例2：如图所示系统，当输入3cos(4t-30°)+sin(10t+45 °) 时，试求系统的稳态输出。 99 G (s) ? 2 s ? 3s ? 9?s 2 ? 3s9 9 3? G( j? ) ? A(?) ? ? (? ) ? ? arctan 2 2 2 ?? 2 ? j3? ? 9 9 ??2 (9 ? ? ) ? 9?xi (t ) ? 3cos(4t ? 300 ) ? sin(10t ? 450 ) ? 3sin ?900 ? (4t ? 300 ) ? ? sin(10t ? 450 ) ? ? ? ?3sin(4t ? 120 ) ? sin(10t ? 45 )0 0xi1 (t ) ? ?3sin(4t ?120 )0xi 2 (t ) ? sin(10t ? 45 )014机械控制工程基础xi (t ) ? 3cos(4t ? 300 ) ? sin(10t ? 450 ) ? ?3sin(4t ? 1200 ) ? sin(10t ? 450 )A(?) ? A1 (4) ? A2 (10) ? 9 (9 ? ? 2 )2 ? 9? 2 9 (9 ? 4 ) ? 9 ? 42 2 2? (? ) ? ? arctan3? 9 ??2 3? 4 9 ? 42?1 (4) ? ? arctan9 (9 ? 102 )2 ? 9 ?1023 ?10 ?2 (10) ? ? arctan 9 ? 102xo (t ) ? xo1 (t ) ? xo 2 (t ) ? ?3 ? A1 ? sin(4t ? 120 ? ?1 ) ? A2 sin(10t ? 45 ? ?2 )0 0? 3 ? A1 ? cos(4t ? 300 ? ?1 ) ? A2 sin(10t ? 450 ? ?2 )15机械控制工程基础结论：当传递函数中的复变量s用 j?代替时，传递函数 就转变为频率特性。反之亦然。 线性系统的数学模型类型：微分方程、传递函数、脉 冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：d j? ? dt微分方程d s? dt频率特性s ? j?传递函数L? g(t )? L?1 ?G( s)?脉冲函数16机械控制工程基础Y ( s) 1 例：设传递函数为： G ( s ) ? ? 2 X ( s) s ? 3s ? 4微分方程为：y (t ) 1 d 2 y (t ) dy(t ) ? 2 ,? ?3 ? 4 y (t ) ? x(t ) 2 d x(t ) d dt dt ?3 ?4 2 dt dt频率特性为：Y ( j? ) 1 G ( j? ) ? ? X ( j? ) ( j? ) 2 ? 3( j? ) ? 4其余略。17机械控制工程基础2、频率特性的含义及特点 (1)频率特性分析是通过分析不同谐波输入时系统的 稳态响应来表示系统动态特性的；频率特性是输出与 输入的傅氏变换之比。由于任何信号都可展开为不同 谐波成分的叠加，因而分析频率特性有更广泛的意义。C ( s) G( j? ) ? G( s) s ? j? 而 G( s) ? R( s )? ?C ( s) G ( j? ) ? R( s)? s ? j?s ? j?C ( j? ) ? R( j? )F (s) ? ? f (t )e? st dt ? F ( j?) ? ? f (t )e? st dt0 0????f (t )e? j?t dt傅氏变换定义 F ( j? ) ?????f (t )e? j?t dt18机械控制工程基础傅氏变换定义F ( j? ) ?????f (t )e? j?tdt傅氏变换与拉氏变换是类似的。除了积分下限不同外， 只要将s换成j?，就可将已知的拉氏变换式变成相应 的傅氏变换式。 (2)系统频率特性G(j?)是系统脉冲响应函数傅氏变换；G(s) ? ? g (t )e? st dt ? G( j?) ? ? g (t )e? st dt0 0 ? ? ? s ? j?????g (t )e? j?t dt(3)在经典控制理论范畴，频率分析较时域分析简单， 特别是对于高阶系统。19机械控制工程基础3、机械系统动刚度的概念 质量-弹簧-阻尼系统(m-k-B)k m B f(t):输入力d 2 x(t ) dx(t ) m ?B ? kx(t ) ? f (t ) 2 dt dt其传递函数X ( s) 1 1 G( s) ? ? 2 ? ? 2 F ( s) ms ? Bs ? k k s ? 1 2? s ?1x(t):输出位移B 阻尼比 ? ? 2 mk?2 n?nk 无阻尼自然频率 ?n ? mX ( j? ) 1 1 G( j? ) ? ? ? 系统的频率特性 F ( j? ) k ? ? 2 ? 2?? ?1 ? 2 ? ? j ?n ? ?n ?20机械控制工程基础?动柔度：? ( j? ) ? G( j? ) ? 1 ?1 k ? ?2 ? 2?? ?1 ? 2 ? ? j ?n ? ?n ??? ? 2 ? F ( j? ) 1 1 2?? ? ?动刚度： ( j? ) ? K ? ? ? k ?? 1 ? 2 ? ? j ? X ( j? ) G ( j? ) ? ( j? ) ?n ? ?n ? ???? =0时，即为系统静刚度。K ( j? ) ?? ? 2 ? 2?? ? ? k ?? 1 ? 2 ? ? j ? ?k ?n ?? ?0 ?? ?n ?21? ?0机械控制工程基础当? ≠0时，得?? ? 2 ? ? 2?? ? ? K ( j? ) ? k ??1 ? 2 ? ? ? ? ? ?? ?n ? ? ?n ? ? ? ?22 1/ 2? K ( j? ) 令 ? 0 ? ? ? ?r ? 1 ? 2? 2 ?n ??K ( j? ) min ? 2? k 1 ? ? 2当 当? ?1K ( j?) min ? 2? k?r为谐振频率? ? 1 2 ? 0.707系统不存在谐振频率， 也不会发生共振。22机械控制工程基础例1：弹簧吸振器简化图示模型, 若质量m1受到干扰力f=Asin?t,如 何选择吸振器参数m2和k2,使质量 m1产生的振幅为最小? 解：以f为输入，x1 为输出,系统微k1f m1k2 m2x1 x2分方程为x ?m1??1 ? k1 x1 ? k2 ( x1 ? x2 ) ? f ? x ? k2 ( x1 ? x2 ) ? m2 ??2则位移x1 与干扰力f之 间的传递函数为X1 ( s) m2 s 2 ? k2 G( s ) ? ? F (s) m1m2 s 4 ? [k2 (m1 ? m2 ) ? k1m2 ]s 2 ? k1k223机械控制工程基础X1 ( s) m2 s 2 ? k2 G( s ) ? ? F (s) m1m2 s 4 ? [k2 (m1 ? m2 ) ? k1m2 ]s 2 ? k1k2 k1f m1则动刚度为F ( j? ) 1 K ( j? ) ? ? X 1 ( j? ) G( j? ) m1m2? 4 ? [k2 (m1 ? m2 ) ? k1m2 ]? 2 ? k1k2 ? k2 ? m2? 2k2x1 m2 x2F ( j? ) X 1 ( j? ) ? ? 0, 有K ( j? ) ? ? K ( j? )则 m2 s 2 ? k2 ? 0 ? ? 2 ? k2 / m2 当 k2 m2 ? ? 2时施加于m1上的干扰振动被m2和k2吸收。24机械控制工程基础例2：质量-弹簧-阻尼系统(m-k-B)如 图所示，输入力f为方波，即f(t)=f(t2T)，试求系统的稳态输出位移x(t)。f (t )km Bf(t):输入力10x(t):输出位移T2T3T4T5TtX ( s) 1 ? 2 解：其传递函数为 G( s) ? F ( s) ms ? Bs ? k 1 G( j? ) ? (k ? m? 2 )2 ? B2? 2B? ? (? ) ? ?G ( j? ) ? ? arctan k ? m? 225机械控制工程基础f (t )10T2T3T4T5Tt1 f (t ) ? ? sin n?t ? n?1 n 1 x(t ) ? ? G( jn? ) ? sin[n?t ? ?G( jn? )] ? n?1 nBn? ? ? ? ? sin ? n?t ? arctan ? ? n?1 n (k ? mn2? 2 )2 ? B 2 n2? 2 k ? mn2? 2 ? ? 4?4?4?126机械控制工程基础4、频率特性的表示方法?解析法：G(j?)?幅频特性：A(?) = B/A = | G(j?) | ?相频特性： ? (?) = ∠G(j?)?图示法：?对数坐标图或称Bode图； ?极坐标图或称Nyquist图； ?对数幅-相图或称Nichols图。27机械控制工程基础5-2 频率特性的对数坐标图（伯德图） 1、对数坐标图定义 ?对数幅频特性图 横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率，单位 rad/s，Hz。 纵坐标：线性分度，表示幅值A(?)对数的20倍，单位 分贝（dB）。L ?? ? ? 20 lg A ?? ? ? 20 lg G ? j? ?28机械控制工程基础?对数相频特性图横坐标：与对数幅频特性图相同。纵坐标：线性分度，频率特性的相角? (?) ，单位度。采用对数分度是为了在一张图上同时能展示出频率特性的低频和高频部分,即在较宽的频率范围内研究系统的频率特性。29机械控制工程基础p11 2 4 1倍频程 1倍频程p2p36 8 10 20 40 60 80 100 1倍频程 1倍频程10倍频程 10倍频程(a)10倍频程1234(b)56730机械控制工程基础关于Bode图的说明 ①? =0 不可能在横坐标上表示出来； ②横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确 定；③只标注?的真值；通常采用频率比的概念：④通常用L(?)简记对数幅频特性，也称L(?)为增益； 用?(?)简记对数相频特性。31机械控制工程基础Bode图的优点 ①幅频特性的乘除运算转变为加减运算。②对系统作近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐近线，大大简化了图形的绘制。 ③便于用实验方法估计被测系统的传递函数。 ④对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围。 ⑤两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅 频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零 度线对称。32机械控制工程基础2、各种典型环节的伯德图 （1）比例环节 传递函数： G(s) ? K 频率特性： G( j?) ? K ? Ke j 0 幅频特性： A(? ) ? K 相频特性： ? (? ) ? 0L 对数幅频特性： (? ) ? 20lg K对数相频特性： ? (? ) ? 0 当改变传递函数的K值时，会导致传递函数的对数幅频 曲线升高或降低一个相应的常值，但不影响相位角。33机械控制工程基础（2）积分环节 1 传递函数 G ( s ) ? s频率特性 幅频特性 A(? ) ?1 1 ? j? / 2 G ( j? ) ? ? e j? ?1相频特性 ? (? ) ? ?90? 对数幅频特性 L(? ) ? ?20log ? 对数相频特性 ? (? ) ? ?90??积分环节的对数幅频图为一条直线，此直线的斜率为C20dB/dec，对数相频图为等于-90o的一条直线。34机械控制工程基础(3）微分环节 传递函数 G ( s) ? s 频率特性 G( j?) ? j? ? ?e j? / 2 幅频特性 A(? ) ? ? 相频特性 ? (?) ? 90? 对数幅频特性 L(? ) ? 20log ? 对数相频特性? (?) ? 90?微分环节的对数幅频图为一条直线，此直线的斜率为 20dB/dec，对数相频图为等于90o的一条直线。35机械控制工程基础注意:积分环节和微分环节的频率特性互为倒数，其对 数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称。36机械控制工程基础(4）一阶惯性环节传递函数G(s) ? 1 Ts ? 11 1 G( j? ) ? ? e? j arctan T? 频率特性 1 ? j?T 1 ? ? 2T 2 1 幅频特性 A(? ) ? 1 ? ? 2T 2相频特性? (? ) ? ? arctanT?2 2对数幅频特性 L(? ) ? ?20lg T ? ? 1 对数相频特性? (?) ? ? tan (T?)?137机械控制工程基础对数幅频特性 L(? ) ? ?20lg T 2? 2 ? 1 对数相频特性 ? (? ) ? ? tan1 (? ?? ) T?1(T?)低频段近似为0dB的水平 线，称为低频渐近线。1 (0 ? ? ? ) TL(? ) ? ?20lg T 2? 2 ? 1 ? 01 (? ?? ) TL(? ) ? ?20lg ?T高频段近似为斜率为 - 20dB/dec 的直线，称为 高频渐近线。 ( 1 ? ? ? ?)TL(?) ? ?3.03dB1 (? ? ?T ? ) T转角频率38机械控制工程基础对数幅频特性 L(? ) ? ?20lg T ? ? 12 2对数相频特性?(?) ? ? tan (T?)?139机械控制工程基础?(?) ? ? tan?1 T? 相频特性：作图时先计算几个特殊点：?T ???? ?T ????0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0-0.62.0 -63.4-1.13.0 -71.5-2.94.0 -76-5.75.0 -78.7-11.37.0 -81.9-16.710 -84.3-26.620 -87.1-3550 -88.9-45100 -89.41 1 ? ? 当? ? 0时， ? (0) ? 0;当? ? 时， ? ( ) ? ? ;当? ? ?时， ? (?) ? ? 。 T T 4 2 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( ?0, -45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是 根据转角频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当 增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。40机械控制工程基础 波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）： 当? ? ?o 时，误差为： 1 ? ?20log 1 ? T 2? 2 ? 当? ? ?o 时，误差为： 2 ? ?20log 1 ? T 2? 2 ? 20logT? ??TL???,dB 渐近线,dB 误差,dB 0.1 -0.04 0 -0.04 0.2 -0.2 0 -0.2 0.5 -1 0 -1 1 -3 0 -3 2 -7 -6 -1 5 -14.2 -14 -0.2 10 -20.04 -20 -0.04最大误差发生在1 ? ? ?o ? 处，为 T? max ? ?20log 1 ? T 2?0 ? ?3(dB)20 -1 -2 -3 -41 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T41机械控制工程基础（5）一阶微分环节 传递函数 G(s) ? Ts ? 1 频率特性G( j?) ? 1 ? j?T ? 1 ? ? 2T 2 e? j arctan T?A(?) ? 1 ? ? 2T 2幅频特性相频特性? (? ) ? ? arctan ?T2 2对数幅频特性 L(? ) ? 20lg T ? ? 1 对数相频特性低频段(?&&1/T) 高频段(?&& 1/T)? (?) ? tg (T?)?1L(? ) ? 20 lg1 ? 0L(? ) ? 20 lg(T ? ) ? 20 lg ? ? 20 lg T ? 20 lg ?42机械控制工程基础注意到一阶微分环节与一阶惯性环节的频率特性互为 倒数，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与 一阶惯性环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称， 相频特性曲线关于零度线对称。显然，一阶微分环节 的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。43机械控制工程基础（6）振荡环节 传递函数：? 1 G( s) ? 2 2 ? 2 ,0 ? ? ? 1 2 T s ? 2? Ts ? 1 s ? 2??n s ? ?n2 n频率特性G( j? ) ? ?? ? ? ? j 2??n?2 2 n 2 ?n?幅频特性：A(? ) ? 1 ? ? ? ? ?? 1 ? ( )2 ? ? ? 2? ? ? ?n ? ? ?n ? ?2 2? 2 ? 1 ? ( ) ? j 2? ?n ?n? 2? ?n?? ? 1? ? ? ? ?n ?21相频特性：? (? ) ? ? arctan44机械控制工程基础对数幅频特性：? ?? ? L(? ) ? ?20 lg ?1 ? ? ? ? ? ?n ? ?2 2 ? ? ?? ? ? ? 2? ? ? ? ?n ? ? 2低频段(?&&?n)高频段(?&&?n)L(? ) ? ?20lg1 ? 02?? ? ? L(? ) ? ?20 lg ? ? ? ?40 lg ? ?40 lg ? ? 40 lg ?n ?n ? ?n ?L(? ) ? ?40 lg ?45机械控制工程基础2?? (? ) ? ? arctan? ?n2?? ? 1? ? ? ? ?n ?易知：? (0) ? 0?? (?n ) ? ?90?? (?) ? ?180?由振荡环节的幅频特性曲线可见，当?较小时，在?=?n附近， L(?)出现峰值，即发生谐振。由于在?=?n附近存在谐振，幅频特性 渐近线与实际特性存在较大的误差，?越小，误差越大。当0.38& ?&0.7 时，误差不超过3dB。因此，在此?范围内，可直接使用渐 近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。46机械控制工程基础（7）二阶微分环节 0 传递函数 G(s) ? T 2 s2 ? 2? Ts ? 1，? ? ? 1 频率特性 G( j?) ? 1 ? T 2? 2 ? 2 j? T?幅频特性相频特性?1? ? T ? ? ? 2? T? ? ? 2??T ? ? (? ) ? arctan ? 2 2 ? ? 1? ? T ?A(?) ?2 2 22对数幅频特性 对数相频特性低频段(?&&1/T)L(?) ? 20lg? 2??T ? ? (? ) ? arctan ? ? 1 ? ? 2T 2 ? ??1 ? T ? ? ? ? 2? T? ?2 2 22L(? ) ? 20lg1 ? 0高频段(?&&1/T) L(?) ? 20lg(T 2? 2 ) ? 40lg ? ? 40lg T ? 40lg ?47机械控制工程基础? (? )(deg) 180°150° 120°二 阶 微 分 环 节 波 德 图90° 60° 30°0°L(? )(dB )? ? ? ? ? ?? 1 .0 ? 0 .7 ? 0 .5 ? 0 .3 ? 0 .2 ? 0 .110渐近线? ? ? ? ? ?? 1 .0 ? 0 .7 ? 0 .5 ? 0 .3 ? 0 .2 ? 0 .10-10-201 10T1 5T1 2T1 T2 T5 T10 T48机械控制工程基础（8）延时环节 传递函数：G(s) ? e?? s 频率特性： G( j?) ? e? j?? 幅频特性： A(? ) ? 1? 相频特性： (? ) ? ??? (rad )? ?57.3?? (?)对数幅频特性： L(? ) ? 049机械控制工程基础K 例1：绘制开环传递函数为 G( s) ? (1 ? s )(1 ? 10s )的零型系统的伯德图。解：系统开环对数幅频特性和相频特性分别为L(? ) ? L1 (? ) ? L2 (? ) ? L3 (? ) ? 20 lg K ? 20 lg 1 ? ? 2 ? 20 lg 1 ? 100? 2? (? ) ? ?1 (? ) ? ? 2 (? ) ? ?3 (? ) ? ? arctan ? ? arctan10?50机械控制工程基础L(? )/dB L1(? ) －2 0d B/d ec 2 0lg K 0 dB 0 .1 L3(? ) －2 0d B －4 0d B L(? ) 1 L2(? ) －4 0d B/d ecK G( s) ? (1 ? s )(1 ? 10s )?0? (? )/(° )? 1(? ) ?－4 5 －9 0 －1 35 －1 80 －2 10? 3(? )? 2(? )? (? )1 0－1 1 00 1 01 1 02零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线, 随着?的增 加，每遇到一个转角频率，对数幅频特性就改变一次斜率。51机械控制工程基础例2：设Ⅰ型系统的开环传递函数为 试绘制系统的伯德图。K G( s) ? s(1 ? Ts)解：系统开环对数幅频特性和相频特性分别为L(? ) ? L1 (? ) ? L2 (? ) ? L3 (? ) ? 20 lg K ? 20 lg ? ? 20 lg 1 ? T 2? 2? (?) ? ?1 (?) ? ?2 (?) ? ?3 (?) ? ?90? ? arctanT?52机械控制工程基础L(? )/dB L(? ) －2 0d B/d ec L1(? ) 2 0lg K 0 dB 0 .1 －2 0d B 1 L2(? )K G( s) ? s(1 ? Ts)?L3(? ) －4 0d B/d ec1/T－4 0d B ? (? )/(° ) 0? 1(? )?－4 5 －9 0? 3(? ) ? 2(? )－1 35 －1 80? (? )53机械控制工程基础3、绘制系统伯德图的一般步骤 1）将传递函数写成标准的时间常数表达式(典型环节的 串联) 2 K (? 1s ? 1)? (? p s ? 1)(? p ?1s 2 ? 2? p ?1? p ?1s ? 1)? G( s) ? ? s (T1s ? 1)? (Tq s ? 1)(Tq2?1s 2 ? 2? q ?1Tq ?1s ? 1)?即将常数项都化为1。 2）确定各环节的转角频率(?=1/?1 ,¨,?=1/?p ，1/?p+1 ,¨; ?=1/T1,¨,?=1/Tq，1/Tq+1 ,¨)，选定Bode图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转角频率的1/10左右，而最高频率为最高转角频率的10倍左右。确定坐标比例尺，由小到大标注各转角 频率。54机械控制工程基础3）计算20lgK，在?＝1rad/s处找到纵坐标等于20lgK 的点，过该点作斜率等于-20?dB/dec的直线，向左延 长此线至与纵坐标相交，得到最低频段的渐近线。 ※在低频段对数幅频特性 L(?) ? 20lg K ? ? ? 20lg ?4)向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转角频率改 变一次渐近线斜率； ※ 对惯性环节,斜率下降20dB/ 振荡环节,下降40dB/ 一阶微分环节,上升20dB/dec； 二阶微分环节，上升40dB/dec。 最终斜率为－20（n－m）dB/dec的斜线。55机械控制工程基础5)对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性； 6)在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数 相频特性曲线，将各典型环节的对数相频特性曲线沿 纵轴方向叠加，便可得到系统的对数相频特性曲线。 也可求出?(?)的表达式，逐点描绘。2?? i? ? (? ) ? ? arctan(? i? ) ? ? arctan 2 1 ? (? i? ) i ?1 i ? p ?1p m2? Ti? ?? ? ? ? arctan(Ti? ) ? ? arctan 2 2 i ?1 1 ? (Ti? ) i ? q ?1?qn ??高频时有?(?)=-(n-m)×90056机械控制工程基础例1：L 40G ( j? ) ?j? ?1 ? j 2? ? ?1 ? j 0.05? ? ( j 0.125? )2 ? ? ?4 ?1 ? j 0.5? ?-20dB/dec20( j? ) ?1(1 ? j 0.5? )4-40dB/dec0 -20dB/dec[1 ? j0.05? ? ( j0.125 )2 ]?1 ?-20(1 ? j 2? ) ?1-40-60dB/dec ω570.10.512.0810机械控制工程基础G ( j? ) ?Anglej? ?1 ? j 2? ? ?1 ? j 0.05? ? ( j 0.125? )2 ? ? ?(1 ? j 0.5? )4 ?1 ? j 0.5? ?90°0°(1 ? j 2? ) ?14( j? ) ?1-90°[1 ? j0.05? ? ( j0.125 )2 ]?1 ?-180°-270° 0.10.512.0810ω58机械控制工程基础例2：试绘制以下传递函数的对数幅频曲线(10s ? 1) G( s) ? s( s ? 1)(0.05s ? 1)解：转角频率由小到大分别为：?1 ? 0.1, ?2 ? 1, ?3 ? 20增益K=1，含1个积分环节,低频段渐 近线是过(1,0)点，斜率为-20的直线-2020 0.1 0 1 -2020-40L(?) ? 20lg K ? 20? lg ?59机械控制工程基础例3：已知系统开环传递函数为G( s ) ? K (T2 s ? 1) ? ? n2 2 2 2s(T1 s ? 1)(T3 s ? 1) ( s ? 2?? n s ? ? n ),1 ? T1 ? T2 ? T3 ?1?n试绘出开环对数渐近幅频曲线。 解：转角频率由小到大分别为： 1 1 1 ?1 ? , ?2 ? , ?3 ? , ?4 ? ?n T1 T2 T360机械控制工程基础例4：试绘制以下传递函数的对数幅频曲线解：转角频率由小到大分别为：?1 ? 2, ?2 ? 2, ?3 ? 3最低频段的对数幅频特性可近似为：L(?) ? 20lg K ? 20lg ? ? 20lg(7.5) ? 20lg ?61机械控制工程基础L(? ) / dB-2020lg 7.5-60 -8001 2 23? / rad ? s?1-6015 (s / 3 ? 1) G( s) ? ? 2 2 s( s / 2 ? 1)( s / 2 ? s / 2 ? 1)62机械控制工程基础 思考题：已知系统开环传递函数分别为10 G( s) ? (1 ? 0.1s )?1?c (1 ?G(s) ? s (1 ?250 G(s) ? s(1 ? 0.01s))s?1s )?1 ? ?c ? ?2?2试分别绘出开环对数渐近幅频曲线。L(dB) 20 -20 L(dB) L(dB) -20 50 -40 -20 ω -4010ω100ω1ωcω2ω -4063机械控制工程基础4、系统类型和对数幅频曲线之间的关系在上章的误差分析中，讨论了系统类型与系统静态 误差系数的关系。而根据系统的对数幅频曲线也可确定 系统的静态误差系数及系统对给定输入信号引起的误差 值。 开环传递函为 G(s) H (s) ? K (Ta s ? 1)(Tb s ? 1) ??? (Tm s ? 1) ?s (T1s ? 1)(T2 s ? 1) ??? (Tp s ? 1)开环传递函的频率特性为G ? j? ? H ? j? ? ?? j? ? ? j?T ?1?? j?T ?1? ??? ? j?T ?1??1 2 p64K ? j?Ta ? 1?? j?Tb ? 1? ??? ? j?Tm ? 1?机械控制工程基础G ? j? ? H ? j? ? ?? j? ? ? j?T1 ? 1?? j?T2 ? 1? ??? ? j?Tp ? 1??K ? j?Ta ? 1?? j?Tb ? 1? ??? ? j?Tm ? 1?在低频段对数幅频特性型 别 ? 0 阶跃输入L(?) ? 20lg K ? ? ? 20lg ?斜坡输入 加速度输入显然，低频段的频率特性与系统型数?、增益K有关。静态误差系数r (t ) ? a ?1(t )r (t ) ? atat 2 r (t ) ?2KpKKv0 K ∞ ∞Ka0 0 K ∞ess ? a (1 ? KP )a (1 ? K )0 0 0ess ? a K V∞ess ? a Ka∞ ∞Ⅰ ∞ Ⅱ ∞ Ⅲ ∞a K0 0下输 的入 稳信 态号 误作 差用a K065机械控制工程基础G ? j? ? H ? j? ? ?? j? ? ? j?T1 ? 1?? j?T2 ? 1? ??? ? j?Tp ? 1??K ? j?Ta ? 1?? j?Tb ? 1? ??? ? j?Tm ? 1?在低频段对数幅频特性L(?) ? 20lg K ? ? ? 20lg ?显然，低频段的频率特性与系统型数?、增益K有关。66机械控制工程基础1、静态位置误差系数Kp 对于0型系统，根据低频段渐近线确定静态位置误差 系数Kp （开环增益K=Kp ）。 0型系统低频段渐近线为L(?) ? 20lg K ? 0 ? 20lg ? ? 20lg K p0型系统低频段渐近线是20lgKp分贝的水平线。 系统开环对数幅频特性低频段 是水平线时，系统是0型系统。系统跟随阶跃信号输入时有稳 态误差，误差大小与开环对数 幅频特性低频段高度有关。67机械控制工程基础2、静态速度误差系数Kv 对于Ⅰ型系统，根据低频段渐近线或其延长线确定静 态速度误差系数Kv （开环增益K=Kv ）。L(?) ? 20lg K ? ? ? 20lg ? ? 20lg KV ?1? 20lg ?当?=1时L(1) ? 20lg KV ?-20?v ? KV1? / rad ? s ?1若低频段渐近线或其延长线与零分贝线的交点为?v，则L(?v ) ? 20lg KV ?1? 20lg ?v ? 0L(? ) / dBKV ? ?v即静态速度误差系数 KV ? ?v-201Ⅰ型系统? / rad ? s?1L(? ) / dB20lg KV20lg KV0-40?v ? KV0-6068机械控制工程基础L(? ) / dBL(? ) / dB-201Ⅰ型系统? / rad ? s?1-20?v ? KV1? / rad ? s ?120lg KV20lg KV0-40?v ? KV0-60当系统开环对数幅频特性起始段的斜率为－20dB/dec时， 系统为I型系统。 系统跟随斜坡输入时有固定稳态误差，误差大小与低频 渐近线在?＝1时的高度有关。69机械控制工程基础L(?) ? 20lg K ? ? ? 20lg ? ? 20lg Ka ? 2 ? 20lg ? 当?=1时 L(1) ? 20lg Ka 若低频段渐近线或其延长线与零分贝线的交点为?a，则 2 L(?a ) ? 20lg KV ? 2 ? 20lg ?a ? 0 ? Ka ? ?a即静态加速度误差系数 Ka ? ? -401Ⅱ型系统L(? ) / dB3、静态加速度误差系数Ka 对于Ⅱ型系统，根据低频段渐近线或其延长线确定静 态速度误差系数Ka （开环增益K=Ka）。2 aL(? ) / dB20lg Ka20lg Ka-40?a ? K a1? / rad ? s?10?a ? K a-200-6070机械控制工程基础L(? ) / dB20lg Ka-401Ⅱ型系统 ? / rad ? s ?1 20lg KL(? ) / dB-40a?a ? Ka1? / rad ? s?10?a ? K a-200-60当系统开环对数幅频特性起始段的斜率为－40dB/dec时，系 统为II型系统。系统在跟随阶跃和速度输入时无稳态误差，跟随加速度输入信号时有固定稳态误差，误差大小与低频渐近线在开?＝1时 的高度有关。71机械控制工程基础5-3 频率特性的极坐标图 1、极坐标图也称奈奎斯特图或幅相频率特性图，是当?从零变化至无穷大时，表示在极坐标上的频率特性的幅值与相位角的关系 图。因此，极坐标图是在复平面内用不同频率的矢量之端 点轨迹来表示系统的频率特性。G(j?)在实轴和虚轴上的投影，就是G(j?)的实部和虚部。 所以奈奎斯特图又表示G(j?)实部和虚部的关系。相位角以从正实轴开始，逆时针为正，顺时针为负。 易知，向量G(j?) 的长度等于A (?)（|G(j?)|）；由正实轴 方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j?)方向的角度等于?(?)=∠G(j?)。72机械控制工程基础2、典型环节的极坐标图 1）比例环节 传递函数：G( s ) ? KG( j?) ? KIm(?) K频率特性：幅频特性：| G( j? ) |? K 相频特性：?Re(?)? (? ) ? 073机械控制工程基础2）积分环节1 传递函数： G ( s ) ? sIm(?)? ??1 频率特性： G ( j? ) ? j?1 幅频特性： | G ( j? ) |? ?相频特性： ? (? ) ? ?90?Re(?)? ?074机械控制工程基础3）微分环节 传递函数： G( s) ? s 频率特性： G( j? ) ? j?? ??Im(?)? ?0Re(?)幅频特性： | G( j? ) |? ?相频特性： ? (?) ? 90?? ? ??75机械控制工程基础1 Ts ? 1 1 频率特性： ( j? ) ? G 1 ? j?T传递函数： G ( s ) ?4）惯性环节幅频特性：| G ( j? ) |?1 1 ? ? 2T 2? 相频特性： (? ) ? ? arctan T??G( j 0) ? 00当 ? ? 0时：1 当? ? T 时，G( j 0) ? 11 G( j ) ? T1 1 ?G ( j ) ? ?450 ? 0.707 T 2当? ? ?时，G( j?) ? 0?G( j?) ? ?900Im? ?? .0? ?00.5 1Re? 450? ? 1/ T76机械控制工程基础 实频特性： 可得： 惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为1/2的一个半圆。 虚频特性：推广：当惯性环节传 K G ( s) ? 递函数是 ，其 Ts ? 1 频 率 特 性 是 圆 心 ?K ? 为 ? 2 ,0 ?，半径为 K 的 ? ? 2 实轴下方半个圆周。Im? ?? .0? ?00.5 1Re? 450? ? 1/ T77机械控制工程基础K 推广：传递函数是 G ( s) ? ，其频率特性是圆心 Ts ? 1 K ? K ?为? ? ?,0? ，半径为 2 ?2的实轴下方半个圆周。78机械控制工程基础5）一阶微分环节 传递函数： G(s) ? Ts ? 1? ??Im(?)频率特性： G( j?) ? 1 ? j?T幅频特性： | G( j?) |? 1 ? ? 2T 2 相频特性： ? (? ) ? arctan ?T? ? ??? ?0Re(?)79机械控制工程基础6）振荡环节传递函数：幅频特性：| G ( j? ) |? 12 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2? ? ?n ? ? ? ?n ? ? ? ? ? 22 ?n 1 G( s) ? 2 2 ? ,0 ? ? ? 1 2 T s ? 2? Ts ? 1 s 2 ? 2??n s ? ?n频率特性：G ( j? ) ? ?? ? ? ? j 2??n?2 2 n 2 ?n相频特性：? 1 ?? ? ? 1 ? ? ? ? j 2? ?n ? ?n ?22?G ( j? ) ? ? arctan? ?n2?? ? 1? ? ? ? ?n ?? ? 0时 | G( j? ) | =G(0)=1 ? (? ) ? ? (0) ? 0?? ? ?n时? ? ?时 | G( j? ) |? G(?) ? 0 ? (? ) ? ? (?) ? ?180?1 ? (?) ? ? (?n ) ? ?90? | G ( j? ) |? G(? n ) ? 2?80机械控制工程基础图形规律 当?&1较大时，极坐标图接近一个半圆。 当0&?&1时，曲线的幅值随?的增大而增大，出现 一个最大值，然后逐渐减小至0，这个最大的幅值称为 谐振峰值Mr，该频率称为谐振频率?r。81机械控制工程基础?2 2 ? 2 ) 幅频特性：| G ( j? ) |? (1 ? 2 ) ? (2? ?n ?n 2 2 G 传递函数： (s) ? s ? 2??n s ? ?n ?7）二阶微分环节相频特性：? ? j? ? G ?? 频率特性： ( j? ) ? 1 ? 2? ? ?n ? ?n ?2? ? 0时| G( j?) |? G(0) ? 1? (? ) ? ? (0) ? 0?? ???n ? (? ) ? arctan ?2 1? 2 Im(?) ?n2?2?? ? ?n时 | G( j? ) |? 2? ? (?) ? 90? ? ? ?时| G( j? ) |? ?? (? ) ? 180??? 1T? ?0Re(?) 1082机械控制工程基础Im(?)8）延时环节? ?01 Re(?)? ? 0??传递函数： G(s) ? e?? s 频率特性：G( j?) ? e? j?? ? cos ?? ? j sin ?? 幅频特性：| G( j?) |? 1 相频特性： ? (? ) ? ??? (rad ) ? ?57.3??(?)83机械控制工程基础3、系统Nyquist图的一般画法 (1)写出幅频特性、相频特性的表达式：G(s) ? G1 (s) ? G2 (s)?Gn (s)G ( s) ? A(? )e ? A1 (? )ej?1 (? )j? (? )? A2 (? )ej?2 (? )? An (? )ej?n (? )? A1 (? ) ? A2 (? )? An (? ) ? e即j [?1 (? ) ??2 (? )???n (? )]A(?) ? A1 (?) ? A2 (?)? An (?)? (? ) ? ?1 (? ) ? ? 2 (? ) ? ? ? n (? )84机械控制工程基础(2)分别求解频率等于零和无穷大时的频率；(3)求奈氏图与实轴的交点； (4)求奈氏图与虚轴的交点； (5)必要时画出奈氏图中间几点；(6)根据A(?)的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。85机械控制工程基础4、开环Nyquist曲线的绘制?、T均大于0G(s) ? K s? (1 ? ? s)?i ?1 n ?? im其相角为：? (? ) ? ? tan ? i? ? ??1 i ?1 m? (1 ? Tj s)j ?1?2? ? tan ?1 Tj?j ?1n ??对控制系统而言，n≥m。当? ? 0 时，G(0) ? 当? ? ? 时，G ( j? ) |? ?? ? 0, (n ? m), G ( j? ) |? ?? ? K , (n ? m)1 ( j? )? ? ?0|? ?(? ? 1) or K (? ? 0),? (0) ? ???2? (? ) ? m?2???2? (n ? ? )?2? ?(n ? m)?286机械控制工程基础(1)0型系统（? =0）? ?0| G (0) |? KG(s) ? K s? (1 ? ? s)?i ?1 n ?? im? (1 ? T s)j ?1 j? (0) ? 0?? ??| G (?) |? 0? (?) ? ?(n ? m) ? 90?n-m=3n≥mn-m=1 n-m=2 n-m=487机械控制工程基础(2)I型系统（? =1）? ?0| G (0) |? ?G(s) ? K sn-m=3? (1 ? ? s)?i ?1 n ?? im? (1 ? T s)j ?1 j? (0) ? ?90?? ??| G (?) |? 0? (?) ? ?(n ? m) ? 90?n-m=4 n-m=1 n-m=2n≥m88机械控制工程基础(3)II型系统（?=2）? ?0| G (0) |? ?G(s) ? K? (1 ? ? s)s ? ? (1 ? T j s)j ?1 i ?1 n ?? im? (0) ? ?180?? ??| G (?) |? 0? (?) ? ?(n ? m) ? 90?n-m=4n-m=3n≥mn-m=289机械控制工程基础结论 （1）当ω=0时，奈奎斯特图的起点取决于系统的型次： 0型系统（?=0）：起始于正实轴上某一有限点； I型系统（?=1）：起始于相位角为-90°的无穷远处，其 渐近线为一平行于虚轴的直线； II型系统（?=2）：起始于相位角为-180°的无穷远处。90机械控制工程基础（2）当ω=∞时，若n&m，奈奎斯特图以顺时针方向收敛 于原点，即幅值为零，相位角为-(n-m)×90°；若n=m 时，奈奎斯特图曲线止于实轴上的某一有限远点。 （3）当G(s)含有零点时，其频率特性的相位?(?)将不随 的增大单调减，奈奎斯特图产生变形或弯曲，具体画法 与频率特性各环节的时间常数有关。91机械控制工程基础G 例1：已知系统的开环传递函数为： ? s ? H ? s ? ? K ?T1s ? 1??T2 s ? 1??T3s ? 1?试绘制系统的开环Nyquist图。 解：频率特性为：G ?? ?G ? j? ? H ? j? ? ? K ?T1 j? ? 1??T2 j? ? 1??T3 j? ? 1?92机械控制工程基础例2：试绘制的Ks G(s) ? Ts ? 1Nyquist图。频率特性为jK? KT ? 2 ? jK? G( j? ) ? ? jT ? ? 1 T 2? 2 ? 1将G(j?)分为实部P和虚部Q，即G(j?)=P(ω )+jQ(?),则KT ? P(? ) ? 2 2 T ? ?122K? Q(? ) ? 2 2 T ? ?12K ? ? ?K ? 2 ?P? ? ?Q ? ? ? 2T ? ? ? 2T ?93机械控制工程基础K ? ? ?K ? 2 ?P? ? ?Q ? ? ? 2T ? ? ? 2T ?22K ? K ? Nyquist轨迹是一个半圆， 圆心为 ? , 0 ? ,半径为 2T ? 2T ?Im ?K /2T0 ??0K /2T? ??K /TRe94机械控制工程基础例3：试绘制的T2 s ? 1 Nyquist图。 G( s) ? T1s ? 1jT2? ? 1 (TT2? 2 ? 1) ? j (T2 ? T1 )? 频率特性为 G( j? ) ? ? 1 2 2 jT1? ? 1 T1 ? ? 1将G(jω)分为实部P和虚部Q，即G(jω)=P(ω)+jQ(ω),则TT2? ? 1 1 P(? ) ? 2 2 T1 ? ? 122(T2 ? T1 )? Q(? ) ? 2 2 T1 ? ? 12? ? T1 ? T2 ? T1 ? T2 ? 2 ?P? ? ?Q ? ? ? 2T1 ? ? ? 2T1 ?95机械控制工程基础T1 ? T2 ? T1 ? T2 ? Nyquist轨迹是一个半圆， 圆心为 ? 2T , 0 ?,半径为 2T ? 1 ? 1? ? T1 ? T2 ? T1 ? T2 ? 2 ?P? ? ?Q ? ? ? 2T1 ? ? ? 2T1 ?22Im ?? ?0T2 ? T1 2T1ImT1 ? T2 2T10? ??T2 / T1T2 / T111T1 ? T2 2T1Re0? ??T1 ? T2 2T1? ?0ReT1 ? T2T2 ? T196机械控制工程基础5-5 最小相位系统的概念若系统开环传递函数G(s)的所有零点和极点均在[s]平 面的左半平面，则此系统称为最小相位系统。[例]判别下列两系统是否为最小相位系统 Ts ? 1 ? Ts ? 1 G1 ( s) ? G2 ( s) ? T1s ? 1 T1s ? 1 其中: T1& T & 0 解 系统G1(s)的零极点全在左半平面，为 最小相位系统。 系统G2(s)的零点在右半平面，极点在 左半平面,为非最小相位系统。j?(a)1 1 ? T ? T1?j? ?(b)1 ? T11 ?T97机械控制工程基础例： 分析这三个系统的频率特性。其伯德图为：由图可知，三个系统具有相同的幅频特性，但相频特 性不同，最小相位系统的相位变化范围最小。其相位角为 -(n-m)×90o，而非最小相位系统存在着过大的相位滞后， 这不仅影响系统的稳定性，也影响系统的快速性。98机械控制工程基础对于最小相位系统，幅值特性和相位特性之间具有唯 一对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零 到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一 确定，反之亦然；但是这个结论对于非最小相位系统 不成立。对数幅频特性的高频渐进线的斜率都是-20(n-m)dB/Dec， 相频都趋于 -(n-m)×90o 一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭 环系统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免 出现非最小相位环节。99机械控制工程基础5-6 闭环频率特性与频域性能指标 1、闭环频率特性R(s) E(s)G(s)C(s)X1(s)H(s)C ( j? ) G( j? ) F ( j? ) ? ? R( j? ) 1 ? G( j? ) H ( j? )闭环频率特性100机械控制工程基础2、频域性能指标 ?谐振峰值Mr及谐振频率?r；?截止频率?b与频宽；?相位裕量和幅值裕量(第六章介绍）。101机械控制工程基础(1)谐振频率?r及谐振峰值Mr 将闭环频率特性的幅值用 M(?)表示。MrM (0)当?=0的幅值为M(0)=1时， 0 ?r ? M的最大值Mr称作谐振峰值。 若?=0时，M(0)不为1，则 Mr=Mmax(?r)/M(0)，在谐振峰值处的频率?r称为谐 振频率。 Mr又称相对谐振峰值，若取分贝值，则得：20lg M r ? 20lg M max (?r ) ? 20lg M (0)102(dB)机械控制工程基础对于二阶系统,闭环频率特性2 ?n G( j? ) ? 2 ( j? )2 ? 2??n ( j? ) ? ?n其幅频特性为G ( j? ) ?2 ?n 2 (?n ? ? 2 ) 2 ? (2??n? ) 2d | G ( j? ) | ? 0 得谐振频率?r为 由 d??r ? ?n 1 ? 2? 2则谐振峰值Mr为 M r ?| G( j?r ) |?(0≤?≤0.707)1 2? 1 ? ? 2(0≤ ? ≤0.707)103机械控制工程基础则二阶系统的谐振频率及谐振峰值?r ? ?n 1 ? 2?谐振频率2Mr ?1 2? 1 ? ? 20?? ?2 ? 0.707 2阻尼自然频率无阻尼自然频率2?r ? ?n 1 ? 2? ? ?d ? ?n 1 ? ? ? ?n2? ?0?r ? ?nMr ? ?系统产生共振? ? 0.707系统不存在谐振频率，即不产生谐振104机械控制工程基础60 5040301200.9100.80.70 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Mr ?1 2? 1 ? ? 2??1?? 20.6 0.70.50.40.3Mp ?e?0.20.1000.10.20.30.40.50.60.7105机械控制工程基础谐振峰值反映了系统的相对稳定性。一般而言， Mr值愈大，则系统阶跃响应的最大超调量也愈大。通 常希望系统的谐振峰值在1.1~1.4之间，相当于二阶系 统的?为0.4＜ ? ＜0.7。谐振频率在一定程度上反映了系统瞬态响应的速 度。 ?r愈大，灵敏性好。对于弱阻尼系统， ?r 与 ?n 的 值很接近。?r ? ?n 1 ? 2?讨论： ?2Mr ?1 2? 1 ? ? 22 0?? ? ? 0.707 2? Mp ?M r ? ，对机械系统，一般1〈M r 〈1.4106机械控制工程基础(2)截止频率?b及频宽 Mr 当闭环频率响应的幅值下降 M (0) 到零频率值以下3分贝时， 0.707 M (0) 对应的频率称为截止频率。 即M(?)衰减到0.707M(0) 时 ?r ?b 0 ? 对应的频率。 M (0) 20lg M ?b ? 20lg M (0) ? 3 ? 20lg (dB) 2 而0????b 的频率范围，称为系统的频宽BW。频宽反映 了系统对噪声的滤波特性, 同时也反映了系统的响应速 度。频宽愈大，瞬态响应速度愈快，但易引入噪声干扰； 反之,频宽愈小（只有较低频率的信号才易通过），瞬 态响应速度愈慢，但抑制高频干扰能力强。107机械控制工程基础①一阶系统1 1 G ( j? ) ? G(s) ? jT? ? 1 Ts ? 1M (? ) ? 1 T 2? 2 ? 1 M (0) ? 12 M (?b ) ? ? , 2 2 2 T ?b ? 111 ?b ? T一阶系统的性能tr ? 2.2T ts ? 3T? tr ? 2.2/ ?b , ts ? 3/ ?b即频宽与上升时间及调节时间均成反比。108机械控制工程基础②欠阻尼二阶系统F ( s) ? G (ss?n 22M (? ) ?21 ? ?? ? ?1 ? ? ? ? ? ?n ? ?2 2 ? ? ?? ? ? ? 2? ? ?n ? ? ? ? 2? 2 ?? n s ? ? n? b 与 ? n 的关系M (0) ? 1M (?b ) ?12 ?b 2 2 2 ?b (1 ? 2 ) ? 4? 2 ?n ?n1 ? , 22 ?b 2 2 2 ?b (1 ? 2 ) ? 4? ? 2 2 ?n ?n?b ? ?n ? (1 ? 2? ) ? (1 ? 2? ) ? 1 ?? 即，对确定的?，?b与?n成正比。? ?? ? n 1?? 2, ts ? 3.52 2 21/ 2?tr ??? n(? ? 5%)因此，频宽与上升时间 及调整时间成反比。109机械控制工程基础闭环频域指标：M (0) ? 1, M r ?1 2? 1 ? ? 22,(? ? 0.707) (? ? 0.707)?r ? ?n 1 ? 2? ,?b ? ?n (1 ? 2? 2 ) ? 2 ? 4? 2 ? 4? 4MP ? e闭环阶跃响应 时域指标：??? / 1?? 2?100%2t p ? ? / ?d ? ? / (?n 1 ? ? ) tr ? (? ? ? ) / ?d ? (? ? ? ) / (?n 1 ? ? 2 ) ts ? 3??n110机械控制工程基础例1：已知单位反馈系统的开环传递函数为50 G(s) ? (0.05s ? 1)(2.5s ? 1)求该系统的?、?n、?r、Mr和?b。 解：闭环系统的传递函数GB（s)为51 50 50 0.125 GB ( s) ? ? ? 0.125s 2 ? 2.55s ? 51 51 s 2 ? 2.55 s ? 51 0.125 0.125 51? ?n ? 20.2Mr ? 1 2? 1 ? ?22 ?n ?0.125 ?r ? ?n 1 ? 2? 2 ? 14.14 2.55 2??n ? ? ? ? 0.505 0.125? 1.15?b ? ?n (1 ? 2? 2 ) ? 2 ? 4? 2 ? 4? 4 ? 25.6111机械控制工程基础 例2：实验测得某闭环系统的对数幅频特性如图所示，试确定 系统的动态性能 。?Mp, ts ?解：由图可知，可以确定是二阶欠阻尼 系统20lg r ? 3 dB M3 20M r ? 10 ? 1.4125?b ? 5Mr ? 1 2? 1 ? ?2解出 ? , ?n由?b ? ?n 1 ? 2? 2 ? 2 ? 4? 2 ? 4? 42 ?n G( s ) ? 2 2 s ? 2??n s ? ?n可确定 M p , ts112机械控制工程基础5-7 系统辨识 1、概述 辨识：采用实验的方法获得系统传递函数。在系统辨识时，通常是给系统施加一种激励信号，测 量系统的输入和输出响应，然后对输入和输出数据进 行数学处理并获得系统的数学模型。频率特性获取方法：正弦信号（应用频率特性定义）；单位脉 冲、三角波、方波及其它波形信号（应用离散傅氏变换求取系 统实验频率特性）。 辨识方法：实验频率特性的伯德图估计最小相位系统的传递函 数；利用实验频率特性实验值，应用曲线拟合方法求取系统传 递函数。113机械控制工程基础3、由伯德图估计系统的传递函数（P188） 由最小相位系统的对数幅频特性确定其传递函数的步骤： （1）由低频段斜率确定系统传函的型别：-20?dB/dec(?为传函中包含的积分环节数)（2）确定传函增益K 0型：20lgK=L(1)?型：低频段或其延长线交频率轴于点?0，K= ?0??型：低频段或其延长线交频率轴于点?0，K= ?02114机械控制工程基础 L(?)L1（3）串联环节的确定：?1?交接频率?1处，1斜率改变-20dB/dec，串 s ? ? 1 1 斜率改变+20dB/dec，串 s ?1 ? 11 斜率改变-40dB/dec， 串 ( s ?1 )2 ? 2? s ?1 ? 1斜率改变+40dB/dec，串 (s ?1 )2 ? 2? s ?1 ?1115机械控制工程基础 （4）二阶环节的阻尼比?，根据实验曲线在转角频率?r处的峰 值Mr(?r)与?的关系确定。Mr ? 1 2? 1 ? ?2?1 2??r ? ?n 1 ? 2? 2 ? ?nL(?n ) ? ?20lg 2?（5）获得系统的频率特性函数或传递函数。 （6）根据实验测得的相频特性曲线校验获得的传递函数。 若为最小相位系统，两相频特性应大致相符，并且在很低和 很高频段上严格相符。116机械控制工程基础例1：已知最小相位系统的对数幅频特性图L(?) -20 -40?1 ?c?0?试求系统的传递函数。 系统传递函数为 G( s) ?K s( s ?1 ? 1)其中，K ? ?0 或2L(?1 ) ? 20lg K ? 20lg?1 ? 40(lg?c ? lg?1 ) ? K ? ?c ?1117机械控制工程基础L(dB)20 10 -20 ωL(dB)-20 100 ω50-4010 G( s) ? (1 ? 0.1s )L(dB)G( s ) ?K s(1 ? 0.01s )K ? 50K(-40-20 ω 2 ω -40sG (s) ? s (2?1s? 1) ? 1)相对低频高频简化法ω1或? K ?? / ? ?2 ? 0 ? c 1 ??0 L(?c ) ? 20 lg ? 2 ? ?C 0 ? 1 ? ? ? L(?1 ) ? L(?c ) ? 20(lg K ? 2lg ?1 ) ? 0 ? ?20(lg ?1 ? lg ?c ) K ? ?c?1118ωc?2机械控制工程基础 例2：已知最小相位系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函 数。 2 ? ? ? 1 ? s ? ? K ? K ( ? 1) ? ? ?c ? ? 0 ? ? ? ?2 ? 2 ? G ( s) ? L(? c ) ? 20 lg? ??0 2 s s ? ? ? 1 ? s ( ? 1)( ? 1) ?? c ? ? c ? ? 0 ? 0 ? 1 ? ?1 ?3 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ??c K ?2 ?1 ?c ?c ?1? 2? c K? ?1119机械控制工程基础 例3：已知最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如图所示，试 确定系统的传递函数。 解：由图可知系统有6个典型环节 组成，低频段的斜率为零，说明 系统不含积分环节；在?=0.1处幅 频斜率由[0]变为[+20]，有一微分 环节加入；在?1, ?2, ?3,?4处幅频 ? s ? K? ? 1? 斜率各变化[-20]，说明依次共有4G(s) ? ? 0.1 ? ? ? s ? s ? ? s ? ? s ? 个惯性环节加入；系统的传递函 ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? 数形式为 ? ?1 ? ? ?2 ? ? ?3 ? ? ?4 ?20lg K ? 30dB40 ? 30 ? 20 ? (lg ?1 ? lg 0.1)5 ? 0 ? ?60 ? (lg ?4 ? lg100)K ? 31.62?1 ? 0.32?420 ? 5 ? ?40 ? (lg ?3 ? lg ?4 )?3? s ? 31.62 ? ? 1? ? 0.1 ? G ( s) ? ? 82.54 ? s ? ? s ? ? s ? ? s ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? 0.32 ? ? 3.48 ? ? 34.81 ? ? 82.54 ? ? 34.8140 ? 20 ? ?20 ? (lg ?2 ? lg ?3 )?2 ? 3.84120机械控制工程基础例4：某控制部件具有最小相位性质，其对数幅频如图所示，其 中虚线部分为转角频率附近的精确曲线，试求其传递函数。 解：控制部件由积分、比例、振 荡三个环节串联组成，传递函数2 K?n G( s) ? 2 s(s 2 ? 2??n s ? ?n )在频率?=10时，渐近幅频为零分贝，L(?) ? 20lg K ? 20? lg ? ? 20lg K ? 20lg10 ? 0 ? K ? 10?n即转角频率100，在?n=100时，振荡环节的幅频近似为1/(2?)，由图知，此处精确幅频与渐近幅频之差为10，故Mr ? 1 2? 1 ? ?2?1 2??r ? ?n 1 ? 2? 2 ? ?n1 20lg ? 10 2?? ? 0.158?n ? 10010 ?104 G( s) ? s(s 2 ? 2 ? 0.158 ?100s ? 104 )121机械控制工程基础本章小结1、频率特性频率特性概念；频率特性含义及特点；机械系统动刚度 的概念；频率特性的表示方法。 2、频率特性的对数坐标图对数坐标图；各种典型环节的伯德图；绘制伯德图的步 骤；系统类型和对数幅频曲线之间的关系。 3、频率特性的极坐标图 极坐标图；典型环节的极坐标图；绘制奈奎斯特图的步 骤。122机械控制工程基础4、对数幅相图5、最小相位系统 最小相位系统和非最小相位系统的概念。 6、闭环频率特性与频域性能指标 闭环频率特性；频域性能指标；开环频率特性求闭环频率特性的方法。 7、系统辨识 由伯德图估计最小相位系统的传递函数。123机械控制工程基础小结频率响应法是控制理论的重要组成部分，它可根 据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能 较方便地分析系统参量对时域响应的影响，从而指出 改善系统性能的途径。 学习本章应掌握以下几个方面的基本内容： (1) 频率特性的定义，典型环节频率特性的奈氏图和 伯德图，进而绘制复杂系统的奈氏图和伯德图。虽然 用MATLAB可以方便地绘制这两种图，但如果不甚明了 其原理且不善于迅速地画出图像和进行实际分析，那 么这种工程方法的优点也就失去了一大半。124机械控制工程基础(2)若系统传递函数的极点和零点都位于s平面的左半部， 则这种系统称为最小相位系统。反之，若系统的传递函数 具有位于s平面右半部的极点或零点，则这种系统称为非 最小相位系统。对于最小相位系统，幅频和相频特性之间 存在着唯一的对应关系，即根据对数幅频特性，可以唯一 地确定相应的相频特性和传递函数。而对非最小相位系统 则不然。(3)频率响应法是奈氏稳定判据的核心 （第六章），它利用系 统的开环频率特性去判断闭环系统的稳定性。依据开环频 率特性不仅能够定性地判断闭环系统的稳定性，而且可以 定量地反映系统的相对稳定性，即稳定的程度。系统的相 对稳定性通常用相位裕量和幅值裕量来衡量。125机械控制工程基础(4) 时域分析中的性能指标直观反映系统动态响应的 特征，属于直接性能指标。而系统频域性能指标可以 作为间接性能指标。常用的闭环系统的频域性能指标 有两个，一是谐振峰值Mr，反映系统的相对稳定性； 另一个是频宽或截止频率?b，反映系统的快速性。126
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