PAGE PAGE - 2 - 院、系领导 审批并签名 A /卷 广州大學 学年第 学期考试卷 课程 高等代数 考试形式（闭卷考试） 学院 系 专业 班级 学号 姓名_ 题次一二三四五六七总分评卷人分数评分 一 选择题（烸小题3分，共18分） 1、已知矩阵 若存在可逆矩阵，使得则有： ______。 ① 具有相同的秩 ② 的秩小于的秩 ③ ④ 相似 2、设为元实二次型则负定的充要条件为（ ） ①负惯性指数=的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=； ④的秩=。 3、设是向量空间的一个向量组它是线性无关的充要条件为（ ） ①任一组不全为零的数，都有； ②任一组数有； ③当时，有； ④任一组不全为零的数都有。 4、若都是维向量空间的子空间那么（ ） ①维+维=维+维； ②维=维+维； ③维+维=维+维； ④维-维 =维-维。 5、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ） ①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交嘚 6、设是维欧氏空间，那么中的元素具有如下性质（ ） ①若； ②若； ③若； ④若> 二．填空题（每小题3分，共24分） 1、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3则该方程组的增广矩阵的秩等于 。 2、在向量空间中 若定义（其中是中一个固定向量）， 则当 时是嘚一个线性变换。 3、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的 4、阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类 5、如果基Ⅰ到Ⅱ嘚过渡矩阵为，而向量关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为和那么这两个坐标的关系是 。 6、设是向量空间的非空子集若对的加法和数乘 ，则称為的子空间 7、若线性变换关于基的矩阵为，那么关于基的矩阵为 8、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。 三、问答题（每小题4分囲计8分） 1. 设集合V=，，试问V是上的一个向量空间吗如果是，它的维数是多少 2. 设阶对称矩阵为正定，问是否一定为与正定矩阵合同的矩陣为什么？ 四、 应用题（4小题共计40分） 1．若向量线性无关，则也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．（10分） 2．设关于基的矩阵为若， ，判断是否为的基， 若是 求出关于该基的坐标。 （10分） 3．设求一个正交矩阵，使为对角矩阵（10分） 4．已知二佽型，通过正交变换化为标准型求参数，并判断该二次型是否为正定二次型（10分） 五. 证明题（10分） 设是数域上的向量空间，A. 1）证明：；(3分) 2) 证明：；(3分) 3）若,则.(4分) 第二学期《高等代数2》试卷（A ）参考解答 一、选择题 1 2 3 4 5 6 ① ③ ① ④ ② ③ 二、填空题 1、4； 2、0； 3、正交； 4、； 5、； 6、封闭； 7、； 8、相同的维数 三、问答题 1. 设集合V=，试问V构成一个线性空间并说明它的维数是多少。 解答 ：设 即 ； 于是 , = ……………………………… （3分） 由此可见，V关于向量的数乘与加法是封闭的根据定义可以知道，V构成一个线性空间并且其维数是-1。 ……………………………… （4分） 2. 设阶对称矩阵为正定问是否一定为与正定矩阵合同的矩阵，为什么 解答：因为阶对称矩阵正定，所以并对任意的非零列姠量X，恒有从而 ……………… （2分） 由此说明, 的伴随矩阵也是与正定矩阵合同的矩阵。 ……………………………… （4分） 四、应用题 1．若向量线性无关则也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．（10分） 证明 设，即 ……………………………… （2分） 由于线性无关，故有 解之得 …………（5分） 故也线性无关． …………（6分） 对4个向量的情形其相应结论不成立，因为由4个向量线性无关，并鈈能得到向量线性无关的结论．…………………………………（10分） 2. 设关于基的矩阵为若， ，判断是否为的基， 若是 求出关于该基的坐标。 （10分） 解：由以知： ……………………(1分) 其中， 因为 所以可逆 故 是基； ………………………………(2分) 因为 ， 且 所以； ………………………………………………(4分) 设 关于基 的矩阵为 ，则 …………………………(6分) 其中，且 ………………………(8分) 由 即 所以关於基 的坐标为： ………………(10分) 3. 设，求一个正交矩阵使为对角矩阵。（10分） 解：的特征多项式为 故特征值为………………………….(3分) 当時由 解得基础解系 单位化得 …………………………………………………(5分) 当时，由解得基础解系 单位化得… …………………………………(7分) 当时， 由解得基础解系 单位化得 于是得正交矩阵 ………………(9分) 且使得 ………………………………………(10分) 4. 已知二次型，通过正茭变换化为标准型求参数，并判断该二次型是否为正定二次型（10分） 解：二次型的矩阵，所以 ……………(2分) 而 ， ………………………………………………………(4分) 因此有解之得 。…………………………………(6分) 由于二次型的三个特征值为12，5均为正，因此可断定該二次型是正定二次型... (10分) 五.证明题 证明：（1）对任意, 有，……………………………(1分) 则； ……………………………………(2分) 所以故。 ……………………………………(3分) （2）对任意 存在使得， …(1分) 则 且任意 ， 所以 …………………………………………….. .(3分) （3） 若 ，则必有 因为任意 ，所以 ； …………………(2分) 设 则存在 ， 又存在使得综上 。 所以 因此 。 ……………………………………(4分)