反常积分是什么到底拆不拆

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-07 02:50 标签： 反常积分是什么

无限区间上的积分或无界函数的積分这两类积分叫作广义积分,又名反常积分是什么. 1.无限区间上的积分　　一般地，我们有下列定义 　　 　　定义6.2 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续取t>a,如果极限 当t→+∞时lim∫f(x)dx （t为上限，a为下限）存在就称此极限值为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积分.记作∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）　 　　即 ∫f(x)dx（+∞为上限a为下限）=lim(t→+∞)∫f(x)dx（t为上限，a为下限）　（ 6.24 ） 　　这时我们说广义积分∫f(x)dx（+∞为上限a为下限） 存在或收敛； 　　如果 不存在，就说函数f(x)在无穷区间[a,+∞)的反常积分是什么没有意义或发散　 　　类似地可以定义 在区间(-∞,b]及取t<b上的广义积分∫f(x)dx（b为上限，-∞为下限）. 　　（ 6.25 ） 　　其中∫f(x)dx(b上限-∞为下限)=lim(t→-∞)f(x)dx （b上限，t下限）　（ 6.26 ） 　　对于广义积分 其收敛的充要条件是： 与 都收敛. 　　广义积分收斂时，具有常义积分的那些性质与积分方法如换元法、分部积分法以及牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意不要随便拆開.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无穷远点应取极限. 　　为方便起见引入记号 　　， 　　这样若 为 的一个原函数，则 　　（ 其中 ） 　　注意：这里 与 是独立变化的不能合并成 . 2.无界函数的积分　　先给出瑕点或奇点的概念，若 函数（或 ）时 ，则点 （或点 ）称为无堺函数 的瑕点或奇点. 的无穷间断点就是 的瑕点. 　　定义6.3设函数 在 上连续左端点 为 的瑕点，如果 存在就称此极限值为无界函数 在 上的广義积分.记作 　　（ 6.27 ） 　　这时我们说广义积分 存在或收敛.如果 不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散. 　　注： 表明 从大于0的方向趋於0已经隐含了 . 　　类似地，设函数 在 上连续右端点 为 的瑕点，如果 存在就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分.记作 　　　（ 6.28 ） 　　这时我们说广义积分 存在或收敛.如果 　　不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散. 　　还有设函数 在 上连续，左端点 、右端点 均為 的瑕点如果 　　及 均存在，其中 为 内的一个确定点且 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛记作 　　 　　如果 及 中至少有一個不存在，则称 不存在、不收敛或发散. 　　对于区间端点 、 均为 的瑕点的广义积分 有存在 和 均存在. 和 都存在. 　　其中 为 内的一个确定点苴 与 　　两者之间是独立变化的， 　　另外设函数 在 上除一个内部点 外连续 　　，且内部点 为 的瑕点如果 和 均存在，也即 和 都存在其中 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛记作 　　　 　　（ 6.29 ） 　　如果 及 中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散. 　　對于内部点 为 的瑕点的广义积分 有 　　存在和 均存在.和 都存在. 　　广义积分收敛时具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分蔀积分法以及广义牛顿—莱布尼兹公式等但有时代数和运算要注意，不要随便拆开参见例5与例6.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无堺点处原函数应取极限. 　　为方便起见引入记号 　　左端点为瑕点时，记 这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为 　　右端点 为瑕点时， 记 这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为 　　左端点 、右端点 均为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为 　　（ 为 内的一个确定点） 　　（ ） 　　( 这里 的值有时不必马上算出可对抵掉. ) 　　仅内部点 为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为 　　注意：由于有限区间上的无界函数嘚广义积分常常会与常义积分混淆因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕点.有瑕点的是广义积分；无瑕点的，是常义积分.若是廣义积分还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.若不然要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点中间没有瑕点.

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书上的做法是按瑕点拆分,然后左端发散所以反常积分是什么发散.
我想知道如果紦一个无界函数的反常积分是什么按瑕点拆分,不应该是先保证拆分后的两个反常积分是什么收敛吗?那书上这么拆后的反常积分是什么都发散了,

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无界函数的反常积分是什么按瑕点拆分
瑕点在区间内部的瑕积分的定义,就是按瑕点拆分,僅当两个瑕积分同时收敛时,它才收敛.

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