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§4.3数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.
二、疑难知识导析
&1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；
2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；
3.等差数列中, am=an+ (n－m)d, ; 等比数列中，an=amqn-m;
4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：aman=apaq；
5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；
7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈）；
8.若一阶线性递推数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式.
三、经典例题导讲
[例1]设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：。
错解：欲证
由对数函数的单调性，只需证＜
& 原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.
正解：欲证
由对数函数的单调性，只需证＜
由已知数列是由正数组成的等比数列，
则－＝ ＝－＜0；
& 原不等式成立.
[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）
错解：因球　每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为前10项之和.
即＝199（米）
错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了＝100（米）…因此到球第10次着地时共经过的路程为
＝300（米）
答：共经过300米。
[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？
错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r)18.
错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.
正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息入手考虑，出生时的a元到18年时变为a(1+r)18，
1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)17，
2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)16，
17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)1，
a(1+r)18+ a(1+r)17+& …+ a(1+r)1
答：取出的钱的总数为。
&[例4]求数列的前n项和。
& 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则
&&&&& &&当时，
[例5]求数列前n项和
解：设数列的通项为bn，则
[例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，
求数列{an}的前n项和
& 解：取n =1，则
又由 &可得：
[例7]大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
解：设相邻两层楼梯长为a，则
当n为奇数时，取&& S达到最小值
当n为偶数时，取&& S达到最大值 .
四、典型习题导练
1．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
2．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)
3．已知数列中，是它的前项和，并且，
& （1） 设，求证数列是等比数列；
& （2） 设，求证数列是等差数列。
4.在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形。 5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求的值.
第五章　不等式
§5.1不等式的解法
一、知识导学
1. 一元一次不等式ax&b
(1)当a&0时，解为；&&&&&&&&&&&&&&
(2)当a＜0时，解为；
(3)当a＝0，b≥0时无解；当a＝0，b＜0时，解为R．
2. 一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根，且x1＜x2
ax2+bx+c＞0
ax2+bx+c≥0
ax2+bx+c＜0
ax2+bx+c≤0
{x｜x＜x1或x＞x2}
{x｜x≤x1或x≥x2}
{x｜x1＜x＜x2
｛x｜x1≤x≤x2｝
{x｜x≠-，xR}
｛x｜x=-｝
3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：
　　①将f(x)的最高次项的系数化为正数；
　　②将f(x)分解为若干个一次因式的积；
　　③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；
　　④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
4.分式不等式：先整理成＞0或≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：
　　＞0f(x)?g(x)＞0
　　然后用“根轴法”或化为不等式组求解.
二、疑难知识导析
1.不等式解法的基本思路
解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.
2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.
3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解―注意分类.
三、经典例题导讲
[例1] 如果kx2+2kx－(k+2)&0恒成立，则实数k的取值范围是＿＿＿.
A. －1≤k≤0&& B. －1≤k&0 &　C. －1&k≤0&& D. －1&k&0
错解：由题意：
解得：－1&k&0
错因：将kx2+2kx－(k+2)&0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k＝0的情况.
正解：当k＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立， k＝0符合题意.
当k0时，由题意：
解得：－1&k&0
&[例2] 命题＜3，命题＜0，若A是B的充分不必要条件，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿
A.&&&& B.&&&& C.&&&& D.
错解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4，
又由（x＋2）(x＋a)=0得x=－2或x＝－a,
A是B的充分不必要条件,
x|－2＜x＜4x|－2＜x＜－a
－a&4故选D.
错因：忽略了a＝－4时，x|－2＜x＜4＝x|－2＜x＜－a，此时A是B的充要条件，不是充分不必要条件.
正解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4，
又由（x＋2）(x＋a)=0得x=－2或x＝－a,
A是B的充分不必要条件,
x|－2＜x＜4x|－2＜x＜－a
－a&4故选C.
[例3]已知f(x) = ax + ，若求的范围.
错解： 由条件得&& &
②×2－①&& &&&&&&&&&&
①×2－②得 &&&&&&&&&
错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的.当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.
正解： 由题意有,
& 把和的范围代入得
[例4] 解不等式（x+2）2(x+3)(x－2)
错解：（x+2）2
原不等式可化为：(x+3)(x－2)
原不等式的解集为｛x| x －3或x｝
错因:忽视了“”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.
正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x－2) ①或（x+2）2(x+3)(x－2)②，
解①得：x=－3或x＝－2或x＝2
解②得：x＜ －3或x＞2
原不等式的解集为｛x| x －3或x或x｝
[例5] 解关于x的不等式
解：将原不等式展开，整理得：
&讨论：当时，
当时，若≥0时；若&0时
点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.
[例6]关于x的不等式的解集为
求关于x的不等式的解集．
解：由题设知　，且是方程的两根
从而& 可以变形为
点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.
[例7]（06年高考江苏卷）不等式的解集为　　
解：∵，∴0＜，∴
反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.
四、典型习题导练
1.解不等式
2. 解不等式
3.解不等式
4. 解不等式
5.解不等式
6.k为何值时，下式恒成立：
7. 解不等式
8. 解不等式
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