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4月1日 21:09刘忠高中数学名师工作室
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数形结合思想在高中数学教学中的应用
上传: 陈慧 &&&&更新时间： 17:00:18
数形结合思想在高中数学教学中的应用
吉水中学& 陈& 慧
摘要：&数&与&形&是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立统一的辨证关系。数形结合是一种重要的数学思想，是人们认识、理解、掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想。它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的。它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，觖决数学问题能起到促进和深化的作用。切实把握好数形结合的思想是学好数学的关键之一。文章先阐述了数形结合的原则及途径，再从五个角度探讨了数形结合思想，在高中数学中的重要作用。
&数形结合&就是根据数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法。数形结合包括&以形助数&和&以数辅形&两个方面。巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，达到优化解题途径的目的。从&数&的严谨性和&形&的直观性两方面思考问题，拓展了解题思路，可起到事半功倍的效果。
一、数形结合的原则
我们做每一件事都有要遵循的原则，数形结合也不例外一般要遵循以下三个原则：
（一）等价原则
等价原则是指&数&的代数性质与&形&的几何性质的转化应是等价的，即对于所讨论的问题形与数所反映的反差关系应具有一致性，有时，由于图形的局限性、构图的粗糙和不准确，将对所讨论的问题产生影响，造成失误。
（二）、双向性原则
双向性原则是指几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的许多局限性。
二、数形结合的途径
数形结合是一柄双刃的解题利剑，那么要如何进行有效的数形结合转换？数形结合的实现途径有哪些呢？
（一）由数到形的转换途径
1、方程或不等式问题常可以转化为两个函数图象的交点式位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关问题：
2、利用平面向量的数量及模的性质来寻求代数式的几何性质。
3、构造几何模型，通过对代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形。4、利用解析几何中的曲线与方程的关系、重要的公式（如两点问的距离、点到直线的距离、直线的截距），定义（如平面域）等来谋求数式的图形背景及有关性质。
（二）由形到数的转换途径
1、解析法：建立适当的坐标系，引进了坐标将几何图形变换为探讨坐标的位置关系。
2、三角形：将几何问题与三角形沟通，运用三角知识寻求解题的途径。
3、向量法：即将几何图象向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题将抽象的几何运用推理转化为精确的代数运算，特别是空问向量，使得解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题，变得有章可循，有路可走。
三、数形结合思想在高中数学教学中重要作用
数形结合思想在高中数学教学中重要作用主要从以下五个方面来论述：
（一）从新课程标准对&双基&的要求来看数形结合思想
首先引用一下《数学新课程标准》对数学中的&双基&的理解：教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，具体来说是：
1、强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。对一些核心概念和基本思想（如函数，空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）都要贯穿高中教学的始终，由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。
2、重视基本技能训练。要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。
3、与时俱进地审视双基。随着时代和数学的发展，高中数学中的双基也在发生变化，例如统计、概率、导数、向量、算法等内容已成为高中数学的基础知识。对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。如立体几何的教学可从不同视角展开。从整体到局部，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法（代数方法）处理有关问题；不等式教学要关注它的几何背景及应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明&&由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。
（二）从新课程标准对思维能力的要求来看数形结合思想
数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生 从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。
（三）从新课程数学内容的特点来看数形结合思想
1、数学，特别是现代形态下的数学，因其过于抽象，过于形式化、符号化而&不得人心&，它与人们的直觉经验相距十万八千里，给人一种&无感情&的面貌，加上它曲折而奥妙的逻辑推理，造成学生认知上的特殊难度，这也许是学生怕它，避开它的一个原因。然而在课堂教学中教师没有能够帮助学生摆脱这种由于数学自身的特点带来的困境，还是过于呆板地强调着逻辑思维能力，在教学中忽视对直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对书本中一些抽象的结论的理解。忽视学生形象思维的培养。学生对于现在这种过于陈旧的课堂教学模式不能产生&亲和感&，感到枯燥，厌恶，不少学生是为了高考而强迫自己去记忆一些内容，不能真正产生学习数学的动力。事实上教材中体现数形结合思想方法的内容很多，可以通过数形结合给代数提供几何模型，形象直观地揭示问题的本质，减轻学生学习的负担，从而引发学生学习数学的兴趣。
2、新高中数学课将精选出代数、几何等基础知识综合为一门学科，这样做一是有利于精简数学内容；二是有利于数学各部分内容相互联系；三是有利于数学思想方法的相互渗透。新教材充实了平面向量和空间向量 ，这些改革都有利于&形&与&数&的结合。
3、利用数形结合有利于进行初、高中数学的过渡衔接。初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强调对数学概念的理解基础上的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力，数学语言的运用要求较高。在此学生对于高中数学的学习要有一个适应过程。教师更要帮助学生渡过这个关口。从高一数学内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。
（四）从高考题设计背景来看数形结合思想
先看一下前几年全国高考试题中对数形结合思想考查的比例情况；（1）2002年（全国数学文科卷）；有8小题（第1、4、5、7、10、11、14、16）和3大题（17、20、21）共84分，占卷面总公的面分为56%。（2）2003年（全国卷）；有5个小题（第3、9、10、12、14）和5个大题（第17、18、19、20、21）共计86分，占卷面总公百分比为57.3%。（3）2004年（全国卷）；有5个小题（第7、8、9、15、16）和2个大题（第19、22）题，共计49分，占卷面总分比为32%。
随着数学教育改革不断深入，高考命题朝着多样性和多变性发展，增加了应用题，开放题，情景题，强调检测学生的创造能力。重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合应用，着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。高考试题这种以能力立意的积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。而数形结合是中学数学中最重要、最基本的数学思想方法之一。利用数形结合设题，一方面考查学生对数学的符号语言，数学的图形语言的理解能力，语言的互补、互译、互化能力，即在数学本质上的有欲转化能力，另一方面考查学生的构图能力，以及对图形的想象能力，综合应用知识的能力；考查数形结合的应用能力最能展示学生能否进行&数学地思维&。因此数形结合在每年的高考中都是一道亮丽的风景线，如果能从图形特征中发现数量关系，又能从数量关系中发现图形特征，并准确构图那么很快就能得出正确答案。
（五）从教与学的现状来看数形结合思想
数形结合思想方法的教学价值及其解题功能，已被广大数学教育工作者所认识，其理论研究与实践探索也渐趋深入。然而笔者感到，在实际数学教学中，数形结合思想方法的教学还未真正落实到位，主要表现在数形结合思想方法的教学目标不够明确，在数学知识的教学过程中不能合理布点、由浅入深，盲性大，而计划性、系统性、有序性、层次性、过程性则显得不足。有的教师甚至只是把它看成是解题的一种手段，只在使用时一带而过，有名无实。主要表现在：
（1）讲授概念、定理的几何意义，只是照本宣科，课本上有的讲，课本上没有的不讲。
（2）在教法上，从数到形的翻译过程过于简单，起不到以形助数的作用，有不少学生认为讲几何意意义增加了学习负担。
（3）教师的基本功不过关，给图潦草，图形不准确，靠图形说明不了应说明的问题。
（4）用几何语言表达图形性质训练不充分，不少学生不会用几何语言表达几何意义。
（5）学生缺乏图形意识，数译形的能力较差，即学生根据数式条件构造图形的能力较差，因此遇到问题想不到用几何直观帮助解决，分析问题的能力较差。
从上述的分析我们可以看出，数形结合在高中数学教学中有着非常重要的作用。因此我们教师在数学教学中一定要充分发挥数形结合思想的作用，重视数形结合方法的运用，提升我们的教学水平。
[1]沈文选，《中学数学思想方法》，湖南师范人学出版社1999年第一版
[2]周春荔，《教学观与个方法论》，首都师范大学出版社1996年第一版
[3]教育部基础教育司，《普通高中新课程研修手册&新课程的观念与创新&》，高等教育出版社，2006年第一版。
[4]徐广华，数形结合思想在解题中的应用，广东教育（高中版），2007（10）
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《数形结合思想》课改结题报告
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《数形结合思想》课改结题报告
文章来源：
更新时间： 17:22:44
一、课题研究的背景及意义
改革开放所带来的社会急剧变化和经济迅猛发展，向教育提出了新的挑战，教育必须从现存的各种问题出发，寻找最佳的教育模式，以适应社会变革和经济的发展。初中数学教育作为义务教育的重要组成部分，也毫不例外的要接受挑战。
长期以来，由于受传统化教学的倾向，初中数学教育存在着重知识、轻思想方法，过分重视数学的抽象性、逻辑性，却使数学自成体系，而忽视了数学与初中初中学生关系的建立，结果造成数学教育的内容笼杂、单调且重复性强。致使初中学生获得的知识是孤立的、片面的、僵化的。初中学生从一开始接触数学，就学会死记硬背，感受不到学习的乐趣，甚至产生畏惧与厌烦。因此，探索初中数学教学模式刻不容缓。
《课标》明确指出：能从生活和游戏中感受事物的数量关系并体验到数学的重要和有趣。显而易见，数教育的目标与任务不是为了让初中初中学生获得有限的数学知识，更重要的是为了让初中学生在掌握初浅知识的过程中运用知识来解决问题的能力；运用已有知识尝试去获得新知识的能力；发展思维（特别是初步的抽象逻辑思维）和举一反三、触类旁通的能力。实践证明对初中初中学生来说，通过数学启蒙教育获得的知识是很有限，但是思维的培养和训练，能力的发展和提高，对其今后的学习和成长却是终身有益的。
从初中初中学生的生活经验和客观事实出发，变“抽象”数学为“形象”数学，把较为抽象的数方面知识与较为形象的形方面知识统一起来，是有利于初中初中学生学习、理解数学的，同时更有利于初中初中学生思维的发展。为此，大量事实证明我对初中初中学生园数学教学模式探索的改革将是可能，也是可行，且是有用的。
二、 课题的界定
数学是由两个概念构成的，一个是数，一个是形，数抽象，形直观。数学就像一棵大树，它是从数和形这两类基本东西里生长出来的并能长出千奇百怪的分枝和花朵。数形结合是抽象与直观、思维与感知的结合。
“数形结合”是本课题最为重要的研究内容，是指把几何图形作为数学学习的一种操作材料，让初中初中学生在发现图形的各种规律中了解数学的初浅知识。它可分为两个层次。第一层次指直接的数形结合。把图形作为数学学习的操作材料，在摆弄、玩耍、游戏中感知数学的存在与有用。第二层次指间接的数形结合。这种结合是指在初中初中学生掌握数的初浅知识的基础上，进行时间、空间，各种数学规律的高一层次教学活动。如：加法交换律，认识时钟等内容。
“从形入手 数形结合 ” 它是抽象与直观，思维与感知的结合。即指：抓住数学教学内容的系统性、逻辑性、抽象性，以各种美丽的图形方式导入数教育。在感知几何图形内在数形关系的基础上，通过两者之间的巧妙融合、巧妙渗透让初中初中学生在主动探索与操作中发现问题、解决问题，利用数形结合以及自身的内部机制理解和掌握数概念。引导初中初中学生运用数学知识，解决生活中的问题，激发学习的兴趣。
“从形入手数形结合初中初中学生园数学模式”是指：在皮亚杰认知理论和新《纲要》思想的指导下，将“从形入手数形结合”的思想，作为制定教育计划的基础，并用以处理各种数学学习要素之间的关系，逐步建构生成内容与预设内容相结合的，并能适应初中初中学生思维和能力发展的初中初中学生数学教育新模式。
三、课题研究的基本框架（目标、内容等）
由于“从形入手数形结合初中初中学生园数学模式之探索”课题研究的范围比较大，为了能对此课题进行深入的、可操作性的、富有实效的研究，采用总课题分解、带动子课题运转模式，逐步形成了课题研究的基本框架，使课题研究日趋完善。
1、指导思想
通过数学教育促进初中初中学生个性的健康发展
2、研究目标
让初中初中学生在探索形的规律中，认识与走近数，从而激发初中初中学生对数学活动的学习兴趣
确立初中初中学生在数学学习中主体地位
在感知几何图形的和谐、美丽、神奇中，体验数学世界的抽象美。在数形相互作用与巧妙融合下，掌握一些初浅的数学知识
让初中初中学生从现实生活中学数学，将学到的数学运用在生活中
培养初中初中学生观察、思考和解决数学问题的能力
数学教育面向全体初中初中学生，促进每个初中初中学生在自己原有基础上的发展
培养初中初中学生正确使用数学活动材料的技能和良好的学习习惯
3、研究策略
初中初中学生数学教育目标、内容是对初中初中学生数学素质的要求
4、研究内容
积极转变教学观念，研究如何将从形入手、数形分离的教学模式转化为从形入手、数形结合5、新的教学模式
强调环境对初中初中学生数学能力发展的价值意义，借助直观的形，结合抽象的数，把数与形巧妙的融合在一起，让初中初中学生感受几何图形的和谐、美丽，数学的抽象美，在有趣、奇妙的想象中进入数学领域，获得有关数方面的粗浅知识，让初中初中学生在生活中、活动中主动学习数学，通过评价了解初中初中学生的发展现状，创造适合初中初中学生发展的数学教育，培养初中初中学生在学习中主动探索，积极思考，不断发现问题、提出问题的能力，促进初中初中学生思维的发展。
四、 研究对象
本校初中学生。
五、 研究的方法
（一） 观察法
教师通过直接的观察，搜集日常生活或教学过程中所发生的现象或资料，了解初中初中学生的心理变化，确定研究目标、内容、过程等。如：初中初中学生在自由摆放图形时，观察初中初中学生的摆放规律、动作、表情、语言、过程、结果，进行记录和分析，确定教育措施，为课题开展积累第一手感性材料，是我们开展课题研究的起点。
（二） 调查法
为切实了解初中初中学生的发展现状与初中初中学生的数知识等方面的内容，在课题研究初期我们就根据小、中、大班初中初中学生的年龄特点，自行设计了包括初中初中学生数、量、形、时间、空间等方面内容的“初中初中学生数学教学情况调查表”，根据调查结果逐步形成不同年龄段初中初中学生的研究方案。在每学期末，采用情景调查与试卷调查的方法，检验科研成效。
（三） 行动研究法
是教师们在课题实施过程中遇到某个具体问题时，一起探寻解决问题的最好方法，也是本课题研究的主要方法。在研究过程中我们经常根据课题目标，发现问题→提出问题→提出解决问题的方案→施行方案→评价问题解决的情况→再次发现问题……循环反复，直至问题得到满意的解决。如：在中班的课题开展过程中，由于教师过于注重初中初中学生的操作摆弄，而忽视了初中初中学生之间的交流、思考和教师的适时指导，使操作过程成为了一种无目的的行为。课题组通过反复的研究、讨论，从而提出了正式教学与非正式教学不同的教学目标与教师的角色迁移的新理念。
（四） 质的研究法
每个初中初中学生都有自己的生活经验、家庭环境，这种特定的、生物的和社会文化氛围，导致不同初中初中学生有不同的思维方式和解决问题的策略。此项方法主要是根据不同初中初中学生的发展状况，对数学能力超常与数学学习困难的初中初中学生进行重点的、内在的、长期的研究，形成特殊初中初中学生的研究策略。
六、 课题的实施
（一）学习理解《课标》，建立目标、评价体系
《课标》中的一个重要变化是没有将数学领域单列，而是放在科学领域之中，并明确指出：“能运用各种感官，动手动脑，探究问题。”“提供丰富的可操作的材料，为每个初中初中学生都能运用多种感官、多种方式进行探索。”有力的说明了数学教育必须以科学的事实为依据，初中初中学生只有处于自主和主动的状态下，通过对物体的操作，知识的建构才有可能。
课题组成员通过多次反复的学习和研究，使教师的教育观念发生根本的转变，逐步明确了初中初中学生数教育研究的重点是：从机械记忆为主的学习到主动建构为主的学习，从符号为主的学习到实际意义为主的学习，让初中初中学生在解决问题的过程中运用数学、理解数学、学习数学，使图形成为科学探究的工具。逐步确立了以培养初中初中学生的兴趣、态度、能力、习惯等内容为重点的研究目标，探索形成了一整套多元化、多样化、个别化，关注初中初中学生内在变化和情感体验的描述性评价与量化评价相结合的评价体系。
（二）探究教学模式，选择适宜内容，体现全新观念
1、教学计划的探究
依据新《课标》的精神和初中初中学生年龄特点、生活经验和本园的实际情况，合理安排教学计划形成全新的教学模式是本课题研究的重中之重。我们首先把与现实生活息息相关的各种美丽的图形当作初中初中学生数学学习的“领路人”，运用欣赏、讲述、寻找、游戏等多种教学方法，让初中初中学生认识图形，感知图形。也就是初中初中学生数学教育的起点不再是学科知识的起点“1”（1和许多），而是从现实生活中事物各种形状的认识、摆弄、拼搭过渡到对数的认识，通过教师的引导让初中初中学生在直观的观察、操作中进行归纳，发现规律。其次是在图形的摆弄中运用集合、对应等方法发现物体的多少，并将物体进行分类、排序。最后才过渡到数的理解以及时间、空间、方位等方面的内容。形成了相互联系、层层递进的数学教学新模式（计划）。
2、内容是实现目标的载体，为此我们从初中初中学生身心特点和学科的特殊性入手，注重内容的生活性、丰富性、启发性、连贯性，从兴趣入手，选择有探索欲望的教学内容，真正调动初中初中学生学习的积极性。
3、过程的探究
为了培养二十一世纪能生存、发展、合作，具有竞争力人，必须从小培养他们的主动性和创造性。为此在教学过程中我们把由教师教→初中初中学生学的单一传导过程，变为教师←→初中初中学生双向互动及多向互动的过程。
4、日常教学中，教师时刻观察、注意初中初中学生的兴趣和需要，作为调整和重新安排材料的依据，同时也在时刻思考如何在最恰当的时候建议初中初中学生在更高一层次上运用材料或教给初中初中学生一些能够接受的数概念，还经常主动地与一些发展水平较高和发展水平较低的初中初中学生一起活动，教给前者一些更高水平的游戏规则，让他们带动其他初中初中学生，给予后者必要的帮助，使他们能跟上其他初中初中学生。在初中初中学生之间发生争执时，教师又是活动的协调者，以初中初中学生能够接受的方式解决相互间的矛盾。使教师、初中初中学生、材料、环境都互动起来。
（三）采用多种手段，发展初中初中学生的思维
1、丰富的环境，为初中初中学生的思维发展创设外部条件
中国古代曾有人用“染于苍则苍，染于黄则黄，所入者变，其色亦变”来说明环境对人的影响。教育总是在一定的环境中进行的，环境是隐性教育的一种重要途径。对初中初中学生来说，初中初中学生园的一切包括人、事、物、时间、空间等都是构成初中初中学生发展的重要内容。为了让初中初中学生切实感受到图形的美丽、神奇，激发初中初中学生学习数学的兴趣，我们首先从物质环境和精神环境两方面进行了探索。
（1）物质环境
物质环境的创设其实是教育思想、教育概念和教育价值的物化。
（2）心理环境
我们在注重创设物质环境的基础上，还及时将物质环境和心理环境结合起来。
一是教师常常以伙伴的身份与初中初中学生一起玩，形成一种宽松的民主的气氛。
二是活动中给予初中初中学生充分的自由度，让初中初中学生自由选择、自由探索、自由想象，甚至做出决定。当发现初中初中学生遇到问题自已想办法解决或表现出兴趣时，及时给予赞赏和鼓励。
三是平日里常常以商量的口吻和讨论的方式指导学生，使初中初中学生的思维处于轻松活跃的状态，提高了初中初中学生探索和创新的可能性。
2、激发兴趣，为初中初中学生的思维发展增强内部动力
“数学是思维的体操”。学前初中初中学生思维总是伴随着活动兴趣的产生，发展变化而同步进行。科学家发现学前初中初中学生的思维能力既可受活动兴趣因素的激励获得超常发挥。也可因活动兴趣的丧失而产生失常表现。所以，激发兴趣就成了数教学最重要的工作之一，也是教师所遇到最困难的问题之一。
在教学实践中我们发现，初中学生的兴趣主要是通过材料的操作与摆弄；数学美的欣赏；解决现实生活中的实际问题来激发的。为此我们首先从初中初中学生的生活经验出发，让初中初中学生发现问题，寻找解决问题的方法（收集操作材料）。其次通过各种教学活动在操作材料的摆弄中引导初中初中学生欣赏数学的科学美、抽象美和创造美。最后用学到的知识解决现实问题。极大的激发了学习兴趣，使初中初中学生在生活中举一反三，不断的发现与发展。
因此，兴趣是学前初中初中学生数学思维的调控器。在课题进行中，我们正是抓住了兴趣这一思维调控器，使&“从形入手数形结合”的教学模式大放异彩，达到发展初中初中学生思维，提高认知能力，增强内部动力的功效。
3、鼓励操作，为初中初中学生思维的发展提供可能
皮亚杰曾经说过：“数学的抽象乃是操作性质的，他的发生、发展要经过连续不断的一系列阶段，而其最初的来源是一些十分具体的行动”。可见，数学的抽象依靠的是作用于物体的一系列动作的协调，同时在心理上建立相应的协调联系。因此，初中初中学生只有通过画、剪、拼、排、贴等操作活动，让数学变成看得见、摸得着，并受初中初中学生喜爱的活动。
为使操作达到理想的效果，我们从数学学科本身固有的特点出发，以《课标》的理论为依据，边实际边总结，提出以下几条教学原则：
（1）条件性原则：指在初中初中学生操作探索过程中具备的条件①为每位初中初中学生提供人手一份的村料。②给予初中初中学生充分的操作时间和空间。③允许初中初中学生有同伴间交流的机会。
（2）目的性原则。在初中初中学生操作摆放图形或实物的过程中，教师都应明确活动的目的。一是通过图形“力”的作用，发现问题，初步体验到某些概念的内涵或运算规律，二是有目的的让初中初中学生用语言表述动作的结果，三是引导初中初中学生讨论操作结果，使目标有效达成。
（3）规则性原则：操作活动中的规则性可以减少教学活动或日常教学中的盲目性和随意性。特别是自发性探索活动中，只有建立了合乎情理的规则，才能达到教学目的与初中初中学生探索的要求。
（4）评价性原则。在操作摆弄中所获得的知识是初浅的、零碎的，需要教师归纳和评价。因此，评价性原则往往会对教学效果起到画龙点睛的作用。
（5）差异性原则。在初中初中学生操作与创作过程中，教师要努力根据初中初中学生的实际水平和年龄特点，投放不同的操作材料，促进初中初中学生富有个性的发展。
在课题实施过程中，我们深深体会到只有鼓励初中初中学生积极动手操作，在尝试中发现问题.、思考问题、解决问题，让初中初中学生体验操作的乐趣，才能发展初中初中学生的思维，感受和体验到数学活动的乐趣。
4、引导探索，为初中初中学生的思维发展扩大空间
引导探索的最大特点是不直接将知识或经验告诉给初中初中学生，而是留给初中学生尝试、讨论、发展和充分想象的时间和空间。活动中教师的主要任务是引导初中初中学生发现、提出和解决问题。
其实，引导初中初中学生探索时不但不宜急于将答案全盘托出，而且也不宜急于否定或肯定初中初中学生提出的问题。教师要充分肯定他们的不同想法，即使初中初中学生提出的见解是错误的，也要提供机会让初中初中学生自己认识错误，放手让他们大胆尝试，求新、求异。
5、相互渗透，促进初中初中学生的全面发展
初中初中学生的发展是整体的、全面的，初中初中学生教育应注意整体性和全面性。
在初中初中学生生活的周围环境中，各种知识都是相互联系渗透的，为此我们在注重教学模式的探讨研究的同时，还注重将数学内容渗透到一日生活和各领域间。表现为整理玩具时启发初中初中学生思考如何分类、排序；在游戏活动时，把数、量、形等内容有机的融入；进一步促进初中初中学生的全面发展。
七、 课题研究的成效
两年的课题研究，使我们在研究中学习、在学习中实践、在实践中思考、在思考中提升，获得了较为丰硕的研究成果。不仅促进了初中初中学生的发展，而且也使我园的教育质量有了进一步的提高，赢得了社会的肯定和家长的信任。
（一）建构了“从形入手数形结合”这一新的数学教学模式
（二） 理论与实践联系得更紧密
两年来，在先进教育理念与实践的反复探索中，我们逐步扩大了数学教育研究的范围，不仅使教学目标更贴近初中初中学生原有的基础；教学内容更丰富；活动形式更加多样有创意；环境创设更体现初中初中学生的参与性和班级的个性，并设计了大量的操作材料和数学游戏活动，让理论与实践联系得更紧密。
由于突出初中初中学生数学学习的生活化、操作化、游戏化，重视教师的自主创新，在探索新模式的过程中，使教育理论得以进一步内化，提出了教育教学中的三条原则、五个注重和六个不要。
1、三条原则：
①教是为了不教，教不是单纯地教知识，而是教初中初中学生会主动获取知识，学会学习。
②扶是为了不扶，帮助而不代替。
③导是为了不导，不断提高初中初中学生的学习能力。
2、五注重：
①注重现实，从现实中来，并帮助初中初中学生实现。
②注重优势，善于发现初中初中学生优长，善待初中初中学生。
③注重过程，研究活动过程艺术，活动的过程就是教育。
④注重方法，探索教学方法的科学，用正确的方法引出好效果。
⑤注重效果，没有效果的教育不是高质量的教育。
3、六不要：
①不要简单否定学生的想法。
②不要对学生有固定的看法。
③不要说学生不行。
④不要追求学生一下子就做得完美（标准）。
⑤不要强制学生一定按照教师的意见做。
⑥不要让学生在众人面前难堪。
（三） 大大促进了初中初中学生的发展
新的教学模式使数学教育活动成为了一种形成态度、发展思维、合作意识和探索精神的活动。在后期的测查评估中发现实验班初中初中学生的数概念发展水平明显高于对照班，而且还带动了相关技能提高，表现为：
1、 逻辑思维能力的发展
通过课题研究我们发现初中初中学生思维的灵活性和创造性有了很大提高。逐步变单向思维，为多项思维、创新思维，学会从多种角度思考问题，思维的灵活性和创造性增强了。初中初中学生也常常好学、好问，表现出强烈的求知欲望，带动了观察力、注意力、记忆力、想象力的全面发展。
2、 主动性的提高
在数与形的结合、抽象与直观的结合、思维与感知的结合中，使初中初中学生接触到的数学不再是枯燥、乏味、抽象的，而是美丽、生动、具体的，使初中初中学生对数学活动表现出浓厚的兴趣，学会了主动探索、积极思考、不断发现问题、提出问题、解决问题，学习的主动性大大提高。
①会看。会观察，能发现环境、材料中提供的可以利用的条件，看懂蕴含在材料所提供的解决问题的思路、操作规则、方法。
②会想。不是盲目的做（试误），而是能建立数学问题（任务）与已有的生活经验，已知的相关的数学知识之间的联系，从已有经验中寻找解决问题的思路、方法。
③会做。按照已想出的办法（假设），去动手操作（实验），若行不通，还能另辟蹊径，找别的方法。
3、 良好个性的形成
课题研究使初中初中学生在搭搭、摆摆、连连、拼拼、剪剪等操作过程中，在积累感性经验的同时体会到了成功的喜悦，无形中增强了初中初中学生的自尊心、自信心。教学活动中的师生互动、生生互动，有力的促进了初中初中学生间的互相合作、交往与谦让。培养了初中初中学生大胆、开朗的性格及乐意帮助同伴、愿意与人合作的良好品质。
4、 良好学习习惯的习得
通过课题研究和培养，我校初中初中学生在数学活动及其他活动中都能始终保持积极的学习热情，注意力集中，不易受干扰。对数学活动兴趣浓厚了，求知欲旺盛了，他们爱动脑筋、爱提问题、爱探索，并反映在其他各科教育活动和日常生活、爱学习将为入高中学习乃至终身学习奠定良好的基础。
（四） 教师素质的提高
1、更新了教育观念
在研究过程中，教师与初中初中学生在活动中的角色发生了重大的改变，教师成为初中初中学生数学活动中材料的提供者、活动的观察者、困难的引导者、过程的参与者，教师更关注的是分析学生的思维特点和发展状况，制定系列活动方案，给予初中初中学生不同的帮助与指导，促进不同层次的初中初中学生在不同水平上的发展。
2、变备课为备教材
以往备课，教师首先要熟悉、分析教材，找出重点、难点，寻觅与教材相匹配的教具，在教案中写明整个教学过程的细节。现在，备课成了为初中初中学生准备活动材料，重点是如何根据不同发展水平的初中初中学生需要，提供不同的材料。如何为初中初中学生提供多种的、丰富的活动材料以及每一种材料本身具有多功能性，使课堂教学变成了初中初中学生作用于不同材料的探索活动，逐步实现了变统一要求、统一行动向同一活动、不同要求的转化。
3、增强了整合意识
一直以来我们教改的侧重点是在教学手段和教学方法上。课题研究却使教师的眼光着眼在初中初中学生的整体发展和终身学习上。使各种有效资源得到了整合。
4、提高了数学教学活动设计的能力
在研究过程中，要设计既符合课程目标，又适合初中初中学生的身心发展的教学活动，对教师们来说是具有挑战性的。大家不仅充分发挥了自己的创造性，而且也发扬了不怕苦的精神，常常为设计一个好的活动废寝忘食，又为创设出一个学生喜欢的活动欢欣鼓舞。
5、增强了相互间的交流，提高了科研能力
在实施课题的过程中，课题组成员经常一起探讨、研究。选择教材、创编教材、研究教学计划、讨论观察记录、开展教学评估、进行效果分析等等，特别是课题后期更是有许多案头工作，为此付出了艰辛的劳动，并在不断磨练中逐渐成长。
八、问题与思考
两年的探索与实践，使我们的研究取得了较好的成效，但在实践中，我们也发现了许多不足，主要表现在：
1、教师教育观念转变落后于教育行为还有不相协调的因素，在新理念的贯彻方面还需不断探索。
2、如何更系列、有序地投放丰富、多变的活动材料。
3、如何更客观、更全面的评价每位初中初中学生数知识发展情况，使每个初中初中学生富有个性的发展。
4、如何进一步转变家长的教育观念，让家长也投身到教育改革中来，更好的贯彻实施素质教育。
总之，初中初中学生的数学教学不仅是一门科学，又是一门艺术。通过课题研究使我们积累了不少的经验和体会，也使我们吸取了一些教训。我们既认识到初中初中学生数学教育模式的重要性，也认识到它的艰巨性、复杂性。为了学生们的健康成长，我们愿继续努力探索，创造出更加完善的初中初中学生数学教育新模式。
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