求∫<1,2>rarctany/xdr

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-05-28 23:35 标签： lt br gt
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求∫&0，+∞&e^(-x^2)dx
出D1,D2,S的图.
显然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)&0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式:
&&&D1&e^(-x^2-y^2)dxdy&&&&S&e^(-x^2-y^2)dxdy&&&&D2&e^(-x^2-y^2
要计算&&0，+&&e^(-x^2)dx 可以通过计算二重积分:&&&D&e^(-x^2-y^2)dxdy.
那个D表示是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.
下面计算这个二重积分:
解:在极坐标系中,闭区域D可表示为:0&r&a,0&&&2&
∴&&&D&e^(-x^2-y^2)dxdy=&&&D&e^(-r^2)*rdrd&
=&&0,2&&[&&0,a&e^(-r^2)*rdr]d&
=-(1/2)e^(-a^2)&&0,2&&d&
=&(1-e^(-a^2))
下面计算&&0，+&&e^(-x^2)
设D1={(x,y)|x^2+y^2&R^2,x&0,y&0}.
D2={(x,y)|x^2+y^2&2R^2,x&0,y&0}.
S={(x.y)|0&x&R,0&y&R}.
可以出D1,D2,S的图.
显然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)&0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式:
&&&D1&e^(-x^2-y^2)dxdy&&&&S&e^(-x^2-y^2)dxdy&&&&D2&e^(-x^2-y^2)dxdy.
∵&&&S&e^(-x^2-y^2)dxdy=&&0,R&e^(-x^2)dx*=&&0,R&e^(-y^2)dy
=(&&0,R&e^(-x^2)dx)^2.
又应用上面得到的结果:&&&D&e^(-x^2-y^2)dxdy=&(1-e^(-a^2))
∴&&&D1&e^(-x^2-y^2)dxdy=(&/4)(1-e^(-R^2)).
∴&&&D2&e^(-x^2-y^2)dxdy=(&/4)(1-e^(-2R^2)).
于是上面的不等式可写成:
(&/4)(1-e^(-R^2))&(&&0,R&e^(-x^2)dx)^2&(&/4)(1-e^(-2R^2)).
令R&+&,上式两端趋于同一极限&/4,从而
&&0，+&&e^(-x^2)dx =sqrt(&)/2.
其中:sqrt(&)表示根号&.
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【高等数学】求二重积分
问题，解答是令u=x+y，v=y/x我认为这不是高等数学方法。
I=∫∫&D&(x-y-2)[e^(y-x)]dxdy，其中D：0≤y≤x，x+y≥1。放在极坐标系下计算。
I=∫&0,π/4&dθ∫&1/(cosθ+sinθ,+∞&[ρ(cosθ-sinθ)-2][e^(ρsinθ-ρcosθ)]ρdρ。
分部积分，过程简述
∫&1/(cosθ+sinθ,+∞&[ρ(cosθ-sinθ)-2][e^(ρsinθ-ρcosθ)]ρdρ
=-(ρ^2)[e^(ρsinθ-ρcosθ)]|&1/(cosθ+sinθ,+∞&=[1/(cosθ+sinθ)^2]e^[(sinθ-cosθ)/(cosθ+sinθ)]。
I=∫&0,π/4&[1/(cosθ+sinθ)^2]e^[(sinθ-cosθ)/(cosθ+sinθ)]dθ
=(1/2)e^[(sinθ-cosθ)/(cosθ+sinθ)]|&0,π/4&
=(1/2){1-e^(-1)]。
偏导数常用的方法。
该二重积分似应发散？
&&1/2,1&dx&&1-x,x&(x-y-2)[e^(y-x)]dy+&&1,+&&dx&&0,x&(x-y-2)[e^(y-x)]dy
=&&1/2,1&dx&&1-x,x&(x-y-2)d[e^(y-x)]+&&1,+&&dx&&0,x&(x-y-2)d[e^(y-x)]
=&&1/2,1&[(x-y-1)e^(y-x)]&1-x,x& dx+&&1,+&&&[(x-y-1)e^(y-x)]&0,x& dx
=&&1/2,1&[-1-2(x-1)e^(1-2x)]dx+&&1,+&&&[-1-(x-1)e^(-x)]dx
=[-x+(x-1/2)e^(1-2x)]&1/2,1&+[-x+xe^x]&1,+&&
=1/(2e)-1/2+(-&-1/e+1)=-&.
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∫(0,兀)sinx&#47;1+cos^2xdx
lety= cosx dy = -sinx dxx=0, y= 1x=π , y=-1∫(0-&π)sinx/[1+(cosx)^2]dx=∫(-1-&1)
dy/(1+y^2)=[arctany]|(-1-&1)=π/2
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