企业退休职工养老金制度的改革摘要本文针对企业退休职工养老金制度改革中的四个问题，分别建立了相应的模型。 针对问题一 根据问题要求，为了很好的预测出 2010 年至 2035 年的山东省职工的 年平均工资，制定了三个方案：对每个方案进行分析、计算、检验后，确定方案三最为 合理，此方案运用阻滞增长模型进行预测，运用 MATLANB 编程预测出 2011 年至 2035 年
的山东省职工的年平均工资分别为（3，4，5， 7，9，，， ，，） 。 针对问题二：分析题意，首先根据附录 2 计算出 2009 年该企业各年龄段职工的平 均工资，用灰色预测法预测出下一段平均工资，并根据公式算出缴费指数的参考值。其 次，考虑到企业职工分别从 30 岁、40 岁开始缴费，直到退休（55 岁，60 岁，65 岁） 共 6 种情况，再次，结合题给公式算出这 6 种情况下的基础养老金和个人账户养老金得 出养老金，最后，根据替代率公式分别算出各种情况下的替代率为缴费年龄段 替代率 30―55 0. 0. 0. 0. 0. 0.3604针对问题三：在某职工从 30 岁开始缴费至（55 岁、60 岁、65 岁） ，到 75 岁死亡情 况下， 根据题意分析出个人缺口总额和统凑资金缺口总额的计算方法， 利用 MATLANB 编程得出： 1 缴费从 2000 年 30 岁缴养老保险到 55 岁是退休，直至 75 岁死亡，达到平衡的岁 数为 63 岁养老保险缺少的钱数为：1535160 元 2 缴费从 2000 年 30 岁缴养老保险到 60 岁是退休，直至 75 岁死亡出现缺口时，达 到平衡的岁数为 71 岁养老保险缺少的钱数为：181379 元 3 缴费从 2000 年 30 岁缴养老保险到 65 岁是退休， 直至 75 岁死亡都没有出现缺口， 养老保险多余的钱数为：1623460 元。 针对问题四：根据题意，对问题采用两种措施，来达到替代率为 58.5%和维持养老 保险基金收支平衡的目标，并建立了相应的模型。 对于措施一，其它条件不变的情况下，增加缴费率，在职工从 30 岁开始缴费至 60 岁为止，75 岁死亡，在达到目标下个人缴费率为 21.36%，企业缴费率为 26.3%.。 对于措施二，在个人缴费率不变的条件下，提高缴费年龄，在职工从 30 岁开始缴 费，75 岁时死亡，在达到目标时，缴费年龄为 68 岁，企业缴费率为 21%。关键词：阻滞增长 替代率收支平衡MATLAB 编程11 问题重述1.1 基本情况 养老金也称退休金， 是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的 资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。 养老保险管理的一个重要的目标是养老保险 基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支 平衡的一个重要因素是替代率。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养 老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基 金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡 较难维持，可能出现缺口。 1.2 相关信息 职工退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费 指数） ，再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基 础养老金） ，加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金） ，作为退休后每个 月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户 中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一 年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为 3%。 养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系； 工资的增长又与 经济增长相关。我国经济发展的战略目标，是要在 21 世纪中叶使我国人均国民生产总 值达到中等发达国家水平。 山东省职工历年平均工资统计表（见附录 A） 2009 年山东省某企业各年龄段工资分布表（见附录 A） 1.3 名词解释 1 养老保险基金：养老保险基金分为“社会统筹”与“个人账户”两部分。 2 社会统筹：企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳作为社会统筹。 3 个人账户：把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳作为个人账户。 4 替代率：替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。 5 缺口：缺口是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。 6 缴费指数：即职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比 1.4 问题提出 问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设， 并参考附件 1，预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资。 问题二： 根据附件 2 计算 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。 如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值， 考虑该企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、 40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，计算各种情况下的养 老金替代率。2问题三： 假设该企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴养老保险， 一直缴费到退休 （55 岁，60 岁，65 岁） ，并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡。计算养老保险基 金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取 的养老金之间达到收支平衡。 问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以 采取什么措施。请给出你的理由。2 问题假设与符号说明2.1 问题假设 1 题中所给的数据都是真实、可靠的 2 工资与时间的变化是连续的 3 企业职工都是在整数岁死亡 4 国家的经济发展不会发生反常的波动 2.2 符号说明X1 X2 (1 ) (1 ) (0)(k ) (k )1978 年到 1987 年山东省职工的年平均工资的原生序列 预测出的 1988 年到 1997 年山东省职工的年平均工资序列 1978 年到 1987 年山东省职工的年平均工资的累加生成序列(0)X1 X2(k ) (k )预测出的 1988 年到 1997 年山东省职工的年平均工资的累加生成序列 y 山东省职工历年平均工资 a , b , c 参数估计值 N 山东省职工历年平均工资 S 本人指数化月平均缴费工资 m 企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限 x i 参保人员退休前 1 年、2 年、??、m 年本人缴费工资额 ( i ? 1, 2 ,? ? ? ? ?, m ) N 企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数 c i 参保人员退休前 1 年、2 年、??、m 年职工平均工资 ( i ? 1, 2 ,? ? ? ? ?, m )3 问题分析3.1 问题一的分析 根据题目要求， 我们所要解决的关键问题是求出 2011 年到 2035 年的山东省职工的 年平均工资，并对未来中国经济发展和工资增长形势作做出简化、合理的假设。 为预测出这些年职工的年平均工资，我们初步建立三种方案，再从中选择一种比较 合理的模型，具体分析如下： 对于方案一，采用灰色预测的方法，用前十年的数据去预测后十年的数据（即职工 的平均工资） ，再用预测出的数据预测后十年的数据，均与实际数据相比较，如果误差 较小，则进行下一步预测，如果误差较大，则说明该模型不可取。进而转入用其它两种 模型。3对于方案二，采用回归分析的方法，首先，画出散点图，其次，判断线性关系，求 出相应的回归方程，最后，对 1978 年到 2010 年职工的年平均工资进行预测，并进行误 差分析，如果误差较小，对 2011 年到 2035 年职工的年平均工资进行预测，如果误差较 大，则说明该模型不可取。 对于方案三，采用阻滞增长模型（即 S 型增长曲线）的方法进行预测，并对其进行 检验，如果检验通过，对 2011 年到 2035 年职工的年平均工资进行预测，如果检验不合 格， 则要对模型进行改进， 知道检验合格为止， 然后再对山东省的年平均工资进行预测。 最后，根据所建立的模型进行选择，在合格的模型中选择一种误差最小的模型进行 预测。 3.2 问题二的分析 根据题目要求，运用附件 2 计算出 2009 年该企业各年龄段职工工资与企业平均工 资之比（即缴费指数） ，还要计算出该企业职工从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，直到退 休（55 岁、60 岁、65 岁）各种情况下的养老金替代率，此时要先对 60-64 岁年龄段得 平均工资进行预测，我们采用灰色预测的方法进行预测，然后计算出预测的值与该企业 平均的比值，得出 60-64 岁的缴费指数，最后运用求养老金的方法求出养老金，并与退 休前的工资做比较得到养老替代金 3.3 问题三的分析 对题目进行分析，可知养老保险基金的总缺口=个人缺口总额+统凑资金缺口总额， 首先，分三种情况，该企业职工自 2000 年起从 30 岁开始缴费到 55 岁、60 岁、65 岁退 休后， 一直领取养老金至 75 岁死亡，根据题意分析出个人缺口总额和该企业职工统凑 资金缺口总额计算方法，最后，根据计算方法，利用 MATLAMB 编程计算出三种情况下 养老保险基金的总缺口和缴存的养老保险基金与其领取养老金达到平衡的岁数。 3.4 问题四的分析 目标是要即达到 58.5% 的替代率，又要维持养老保险基金的收支平衡。因此，可以 采取这二种措施达到目的。 措施一 在其它条件不变，提高缴费率。假设投保人在自 2000 年起从 30 岁开始缴 费到 60 岁为止，至 75 岁死亡，职工个人缴费率逐步提高的背景下，求出替代率的变化 情况，当替代率达到目标时，求出此个人缴费率下，在维持养老保险基金的收支平衡下 企业的缴费率。 措施二 个人缴费率水平不变，提高企业职工退休年龄。随着退休年龄的延长，职 工与企业缴纳保险金的时间长度也在增加，同时职工领取退休金的时间也随之缩短，这 对提高替代率和维持养老保险基金平衡具有重要意义。增加额度定为从 65 岁开始，每 提高 1 岁结算一次，直至符合目标替代率，再在此年龄下，求出老保险基金平衡时企业 的缴费率。4 模型建立与求解4.1 模型一 根据问题分析，为了很好的预测出 2011 年到 2035 年山东省职工的年平均工资，我 们制定了三个方案。4方案一 灰色预测法 1 预备知识 灰色预测是鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并 通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可 以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。 设原始数列： X 得到：X(1 ) (0)? {x(0)(1), x(0)( 2 ), ? ? , x(0)( n )} ，对其做一次累加生成? {x(1 )(1), x(1 )( 2 ), ? ? , x(1 )( n )}，即 x (1 ) ( k ) ??xi ?1k(0)(i ), k ? 1, 2, ..., n建立白化行式的微分方程（影子方程）dx(1 )? ax(1 )? bdt? 设 ? ? ( a , b ) T ，按最小二乘法得到：? = ( B T B ) ?1 B T Y?其中：? ? ? ? ? ? B ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? 1 2 1 2 (x(1 )(x (x(1 )(1) ? x (2) ? x ??(1 )( 2 )) ( 3 ))(1 )(1 )( n ? 1) ? x(1 )( n ))? 1 ? ? 1 ? ? ??? ? ? ?? x (0) (2) ? ? (0) ? ? x (3) ? Y ? ?? ? ? ? ? (0) ? x (n)? ? ?综合以上，白化行式的微分方程解为：? x(1)( k ? 1) ?[ x ( 0 ) (1) ?b a] e ? ak +b a， k ? 1, 2, ..., n预测值为? x(0)? ( k ? 1) ? x(1 )? ( k ? 1) ? x(1 )(k )2 模型的建立和求解 通过对本题数据的分析， 1978 年到 2010 年的山东省职工的年平均工资数据共有 从 33 个，为了预测后 25 年山东省职工的年平均工资。首先，用 1978 年到 1987 年山东省 职工的年平均工资即 10 个数据，来预测 1988 年到 1997 年山东省职工的年平均工资， 并与实际值做比较。其次，根据预测得到的 1988 年到 1997 年的数据，来预测 1988 年 到 1997 年山东省职工的年平均工资，并与实际值做比较。以此类推，最后预测出 2011 年到 2035 年的年平均工资，若期间出现较大误差，则此模型不可行。 首先，根据 1978 年到 1987 年山东省职工的年平均工资，得到 10 维数列X1(0)( k ) ? {566 , 632 , 745 , 755 , 769 , 789 , 985 , ,1428 }5对 X 1 ( k ) 求解，运用 MATLAB 编程得出影子方程为(0)? x1(1 )( k ? 1) ?
e1 . 0791 k- 根据上式可以预测得到表二：1988 年到 1997 年山东省职工的年平均工资 年份 平均工资 年份 平均工资 2 3 7 6 9 3 2 7 3 4再用 1988 年到 1997 年实际的山东省职工的年平均工资与预测得到的数据做比较 得出表三： 相对误差和误差比例 年份 90
相对误差 228.168 188.972 221.57 143.658 207.667 误差比例 0.128 0.098 0.103 0.063 0.080 年份 95
误差 482.737 5.957 4.151 误差比例 0.153 0.315 0.357 0.365 0.342以上运用 MATLAB 编程均见（附录 C） 。 再根据预测出的 1988 年到 1997 年山东省职工的年平均工资得到 10 维数列X(o ) 2? { 731.027,19 970.316,3328.429,214 09.043,3688.342,,4106.333, .784}对X2(0)( k ) 求解，运用 MATLAB编程得出影子方程为0 . 108 k ? (1 ) X 2 ? 13781 e ? 13625 . 648根据上式，代入相关数据可以预测得到表四：1998 年到 2007 年山东省职工的年平均工资年份 平均工资 年份 平均工资6 61 84 26 .8237 .879再用 1988 年到 2007 年的数据与预测得到的数据进行误差比较，可以得出6表五：相对误差和误差比例 年份 00
相对误差 9．709 95.834
误差比例 0.338 0.336 0.354 0.369 0.382 年份 05
误差 8.871 7.128 10787.12 误差比例 0.377 0.391 0.415 0.437 0.472对以上数据分析可知，随着时间的增加，误差会越来越大，则此模型只可用于短期 的预测，对于长期的模型预测，误差较大。所以，对于长期的模型预测，此模型不可用， 则进行下一个模型讨论。 方案二 回归模型 对题中的数据进行处理， 运用 MATLAB 编程画出 1978 年到 2010 年山东省职工历年 平均工资散点图如下：3.5 x 10432.521.510.5005101520253035图 1：1978 年―2010 年山东省职工历年平均工资散点图对上图分析可知，山东省职工历年平均工资与时间是非线性关系，并成指数函数增 长分布。常见的指数函数形式有 y ? a ? be kx 和 y ? a ? be k / x ，假设职工历年平均工资与 时间变化的函数关系式为：y ? a ? bect根据回归分析的方法，利用 MATLAB 编程（程序见附录 C） ，得出a ? -38.5612 b ? 422.6492 c ? 0 . 13237则职工历年平均工资与时间变化的表达式为y ? ? 38.5612 ? 422.6492 e0 ,1322 x根据以上表达式，可以预测出 1978 年到 2010 年职工的年平均工资，并与实际的年 平均工资作比较，见表六所示：表六：预测出职工年平均工资与实际值比较情况 年份 80 83 86 89 92
预测年平均工资 443.8 512 589.8 678.6 780 895.7 8.4 6.8 6.6 1.6 5.7 3961 误差百分比 21.59% 18.99% 20.83% 10.12% 1.43% 13.52% 4.34% 6.16% 2.85% 8.32% 0.63% 5.55% 7.83% 15.69% 16.56% 10.06% 8.69% 年份 97 00 03 06 09 2010 预测年平均工资 1.5 8.3 2.3 78 63.5 03.9 18.3 22.9 误差百分比 12.03% 10.97% 5.34% 1.54% 0.67% 0.35% 0.45% 0.91% 4.29% 4.41% 2.83% 1.43% 2.53% 3.73% 2.26% 3.27%对上表进行分析可知，相对误差较大，此模型只可用于短期预测，对长期预测而言 不是一种很好的模型。 3 方案三 阻滞增长模型 从模型二可知，用指数增长模型进行预测，随着时间的增加，预测得到的数据与原 数据比较，误差会越来越大。根据实际情况考虑，职工的年平均工资不会随着时间的增 大而无限增加，而是增大到某种程度后，增长会趋于平缓，因此，结合 1978 年―2010 年山东省职工历年平均工资散点图， 我们不妨假设职工在职时的工资变化曲线为 s 型增 长曲线。常见的 s 型曲线形式有： y ? 形式为N ? k 1? ea ? btk 1? ea ? bx和y ?k 1 ? aebx，假设职工工资的变化曲线两边同时取对数，可得1? ea ? bt?? k ? ? a ? b t ? ln ? ? 1? N ? N ? k8令? k ? Y ? ln ? ? 1 ? , ( i ? 0,1, 2 ) ? Ni ?从题目已知的数据表中分别取出其起点、 中点和终点代入上式 （1， 566） 17,4338） ， （ ， （33,32074） ：? k ? 566 ? ln ? ?? a?b ? 566 ? ? k ? 4338 ? ln ? ? ? a ? 17b ? 4338 ? ? k ? 32074 ? ln ? ? ? a ? 3 3b ? 32074 ?解以上三元一次方程组，消去 a , b ，得出：N 0 N 2 ? k ? N1 ? ? N12 2?k ? N0 ??k ? N2 ?化简可得? k1 ? 0 (不 符 合 题 意 ， 舍 去 ) ? N1 ?2 N 0N 2 ? N1 ? N 0 ? N 2 ?? ? ?k2 ? 2 N 0 N 2 ? N1 ?将上式中的 N 0 ? 5 6 6, N 1 ? 4 3 3 8, N 2 ? 3 2 0 7 4 代入 k 2 的关系式中，得出 k 2 ? 6 8 7 4 7 0 ， 即 k 2 的值就是 k 的解，将 k ? 687470 和 1978 年到 2010 年山东省职工的年平均工资代入? k ? Y ? ln ? ? 1 ? , ( i ? 0,1, 2 ) ? Ni ?中可得，各年份相对应的 Y 值见表 6：表七： 山东省职工的年平均工资和 Y 值年份 80 83 86 平均 工资 566 632 745 755 769 789 985 28 1782? k ? Ni ? Y ? ln ? ? Ni ? ?年份 91 94 97 平均 工资 92 38 41 ? k ? Ni ? Y ? ln ? ? Ni ? ?年份 02 05 08 平均 工资
32074? k ? Ni ? Y ? ln ? ? Ni ? ?7.0 6.0 6.9 6.0 6.7 5.95275.4 5.3 5.3 4.1 4.2 4.48634.1 4.5 3.3 3.5 3.1 3.0172为了使 1978 年―2010 年山东省职工历年平均工资的实际值与预测值间的误差达到 最小，用最小二乘法求出 a 和 b 的值。 根据上表，经过简单的计算，求得一级数据为：9? t ? 561 ? t ?1 2 5 2 9 ? Y ? 1 6 9 .8 7 5 9 ? Y ? 9 2 7 .7 2 9 9 ? tY ? 2 4 8 9 .72 2n ? 33 t ? 17 Y ? 5 .1 4 7 8将以上数据分别代入到求解 a 和 b 的关系式中，并求解得出b ?? tY ?t?2? t??Y? n 2 (? t ) n ?2 4 8 9 .7 ?5 6 1 ? 1 6 9 .8 7 5 9 33 2 561 33 ? ? 0 .1 3 3 112529-a ? Y ? t ? b ? 5 .1 4 7 8 -1 7 ? ( ? 0 .0 3 1 1) ? 7 .4 1 0 5将解得的 k 、 a、 b 值代入原式中可得：Y ? 1+e 6874707 .4 1 0 5 ? 0 .1 3 3 1 x①根据①式和山东省职工的年平均工资中的数据运用 MATLAB 编程（程序见附录 D） 画出以下图形:3.5 x 1043平均工资的实际值 平均工资的预测值山东省职工历年平均工资2.521.510.50051015 20 年 份 /年253035图 2：平均工资的实际值与预测值的关系10通过对上图观察，可看出预测值与实际值的误差不大，初步断定此模型可以采用， 但是，要想使预测出的结果，更具有说服力，对模型进行检验。 先检验判定系数： 曲线方程的拟合度就是相关指数 R 2 ，用其可以用来衡量曲线方程的拟合效果，在 总平方和中所占的比例越小，说明方程的效果越好，在总平方和中所占的比例越大，说 明方程的拟合效果越差。因此，可以用剩余回归平方和在总平方和中的比例来表示曲线 配合的好坏，根据判定系数的公式求得：? ?N ? ?N2? ?N ?N??2? 7782400 ?
? 1 ? 0 .0 0 3 ? 0 .9 9 72R ? 1?5700000由上式可知，相关指数 R 2 与 1 非常接近，因此①式的拟合程度较好。 最后据显著性检验的关系式F ? SSR (n ? 2) SSE ?? ( y ? y ) ? (n ? 2) ? ? ( y ? y)?? ? 31 7782400? 9 8 5 6 .2取显著水平 ? ? 0 .0 1 ，根据自由度 d f 1 ? 1 和 d f 2 ? 1 0 查 f 分布表找到相应的灵界值 拒绝 H 0 ，说明山东省职工的年平均工资的生长型曲线关系是显著的。 因此该模型可以采用。 由①式生长曲线的函数关系式， 代入相应的年份数据预测出 2011 年到 2035 年山东 省职工的年平均工资见下表：表八：2011 年―2035 年山东省职工的年平均工资 预测值 年份 预测值 年份 预测值
5 0 283150F? ? 6 0 5 6 , F ? F?年份 13 预测值
59710年份 18 年份 33 预测值 280 940 396470综上可知，运用模型三进行预测较为合理，且误差较小，因此，选用模型三进行预 测 2011 年到 2035 年山东省的年平均工资。 4.2 模型二 1 备用知识 养老金计算方法： 养老金=基础养老金+个人账户养老金 个人账户养老金=个人账户储蓄额÷计发月数11基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2 ×缴费年限×1% 本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴费指数 能 够 正 确 反 映 “ 本 人 指 数 化 月 平 均 缴 费 工 资 (Average Indexed Monthly Earnings)” 指标的计算公式为：x1 ? S ? c1 c1 ? x2 ? c1 c2 n ? ? ? xm ? c1 cm化简得c1 ( S ? x1 c1 ? x2 c2 12m ? ?? ? xm cm )x c 其中， 1 , x 2 , ? , x m 为参保人员退休前 1 年、 年、 2 ??、 年本人缴费工资额；1 , c 2 , ? , c m m 为参保人员退休前 1 年、2 年、??、m 年职工平均工资；n 为企业和职工实际缴纳基本 养老保险费的月数合计（ n ? 12 m ，m 为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限）。xi ci（ i ? 1, 2 ? ? m ）称为退休前第 i 年的缴费指数2 模型的建立 根据对问题的分析，假设该企业各年龄段职工的工资取组中值，利用 2009 年山东 省某企业各年龄段工资分布表,计算得出 2009 该企业的平均工资和各年龄段的平均工资 如下： 企业的平均工资为：2580.23 元年龄段 平均工资 20-24
2078 各年龄段的平均工资 30-34 35-39 40-44 26 45-49
2980由退休年龄包括 55,60,65 岁， 这要求知道 60―64 岁年龄段的平均工资和缴费指数， 因缴费指数取决于平均工资，为了预测出 2009 年 60-64 岁，该预测属于短期预测，此 时运用灰色预测法进行预测， 根据各年龄段的平均工资和 MATLAB 编程得出用后 3 个数 据预测出的数据与实际值误差最小，其中，误差最大的为 0.16%，即预测出的平均工资 为： （编程见附录 E） 60-64 岁平均工资为：2847.7 由题中已知计算比例的公式为：职工缴费指数参考值= 各年龄段职工平均工资 企业平均工资由此计算得出各年龄段职工缴费指数的参考值为：表九各年龄段职工缴费指数的参考值 年 龄 段20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-6465-69缴 费 0.0 0.7 1.6 1.0 1.8 指数12根据题意，要分别算出企业职工自 2000 年从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，缴费到 退休（55 岁，60 岁，65 岁）各种情况下的养老金代替率，由已知信息可知，代替率为 职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例， 要想求出替代率必须知道职工退休时的养 老金和退休前的工资。通过分析，首先，求出 2000 年到 2035 年企业职工的平均工资， 其次，求出职工退休时的养老金，最后求出养老金替代率。 首先， 根据 2009 年企业职工的月平均工资与 2009 年山东省职工的月平均工资的比 例 1.0429 和 2000 年到 2035 年山东省职工的月平均工资，得出 2000 年到 2035 年企业 职工的月平均工资见下表：年份 02 05 08 月平均工资 762 870 988 44 95 2000 年到 2035 年企业职工的月平均工资 年份 月平均工资 年份 月平均工资 11 14 17 258 3 89 18 21 24 19 426
1741 年份 29 32 35 月平均工资
34457其次，根据养老金=基础养老金+个人账户养老金，先求出基础养老金，再求出个人 账户养老金。 1 先算出从 30 岁到退休（55 岁,60 岁,65 岁）时的情况 （1） 30 ~ 55 岁时，因为 30 岁时为 2000 年，退休时为 2025 年， c 1 为退休前一 年的职工平均工资，即 2024 年，由模型一预测出 2024 年年平均工资 c1 ? 164730 ， 先算出基础养老金，根据各个年龄段的缴费指数，可求出本人指数化月平均缴费工 资SS ? 1 6 4 7 3 0 ? (0 .9 8 2 5 ? 1 .0 6 6 7 ? 1 .1 7 2 8 ? 1 .2 6 6 7 ? 1 .2 0 8 7 ) 12 ? 5 ? 1 .0 4 2 9 ? 1 6 3 1 3 .2 6根据计算基础养老金的公式，基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资 +本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1% 把 S ? 16313.26 代入公式得基础养老金 ? （
? 1 6 3 1 3 .2 6） 2 ? 2 5 ? 1 % ? 3 7 5 5 .0 9 ?（2） 30 ~ 60 岁时，根据以上的分析，退休前一年为 2029 年，由模型中的预测 值可知 c1 ? 2 6 1 2 8 0 ，现算出基础养老金，结合不同年龄段的缴费指数，可算本人指 数化月平均缴费工资 S ，如下S ? 2 6 1 2 8 0 ? (0 .9 8 2 5 ? 1 .0 6 6 7 ? 1 .1 7 2 8 ? 1 .2 6 6 7 ? 1 .2 0 8 7 ? 1 .1 5 5 1) 12 ? 613? 1 .0 4 2 9 ? 2 5 9 3 3 .7 5将 S ? 25933.75 代入到基础养老金公式，得基础养老金 ? （
? 2 5 9 3 3 .7 5） 2 ? 3 0 ? 1 % ? 7 1 5 6 .2 4 ?（3） 30 ~ 65 岁时，方法同上，退休前一年为 2034 年， c1 ? 3 7 3 9 4 0 ，算出基础 养老金S ? 3 7 3 9 4 0 ? (0 .9 8 2 5 ? 1 .0 6 6 7 ? 1 .1 7 2 8 ? 1 .2 6 6 7 ? 1 .2 0 8 7 ? 1 .1 5 5 1 ? 1 .1 0 3 7 ) 12 ? 7 ? 1 .0 4 2 9 ? 3 6 9 3 7 .7 9将 S ? 36937.79 代入到基础养老金公式，得基础养老金 ? （
? 3 6 9 3 7 .7 9） 2 ? 3 5 ? 1 % ? 1 1 9 1 7 .4 0 ?2 再算出 40 岁到退休（55 岁,60 岁,65 岁）时的情况 （1） 40 ~ 55 岁时，因为 40 岁时为 2000 年，退休时为 2015 年， c 1 为退休前一 年的职工平均工资，即 2014 年，由模型一预测出 2014 年年平均工资 c1 ? 5 2 8 4 0 ，先 算出基础养老金，根据各个年龄段的缴费指数，可求出本人指数化月平均缴费工资SS ?5 2 8 4 0 ? (1 .1 7 2 8 ? 1 .2 6 6 7 ? 1 .2 0 8 7 ) 12 ? 3? 1 .0 4 2 9 ? 5 5 8 4 .6 5根据计算基础养老金的公式，基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资 +本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1% 把 S ? 5584.65 代入公式得基础养老金 ? （ 52840 12 ? 5 5 8 4 .6 5） 2 ? 1 5 ? 1 % ? 7 4 9 .0 9 ?（2） 40 ~ 60 岁时，根据以上的分析，退休前一年为 2019 年，由模型中的预测 值可知 c1 ? 9 5 8 3 0 ，现算出基础养老金，结合不同年龄段的缴费指数，可算本人指数 化月平均缴费工资 S ，如下S ? 9 5 8 3 0 ? (1 .1 7 2 8 ? 1 .2 6 6 7 ? 1 .2 0 8 7 ? 1 .1 5 5 1) 12 ? 4 ? 1 .0 4 2 9 ? 1 0 0 0 0 .9 8把 S ? 10000.98 代入基础养老金公式得基 础 养 老 金 ? 95830 ? 10000.98） 2 ? 20 ? 1% ? 1798.68 （ ?14（3） 40~ 65 岁时，方法同上，退休前一年为 2024 年， c1 ? 164730 ，算出基础养 老金S ? 1 6 4 7 3 0 ? (1 .1 7 2 8 ? 1 .2 6 6 7 ? 1 .2 0 8 7 ? 1 .1 5 5 1 ? 1 .1 0 3 7 ) 12 ? 5 ? 1 .0 4 2 9 ? 1 6 9 1 3 .4 1把 S ? 16285 . 06 代入基础养老金公式得基础养老金 ? （
? 1 6 9 1 3 .4 1） 2 ? 2 5 ? 1 % ? 3 8 3 0 .1 1 ?根据预备知识可知： 个人账户养老金=个人账户储蓄额÷计发月数 其中 个人账户储蓄额=个人按每月工资的 8%交费+所交费产生的利息 根据 2000 年到 2035 年企业职工的月平均工资中的数据和年利率 3%和表一中的计发 月数，运用 MATLAB 编程（程序见附录 E）求出不同缴费年龄段的个人账户养老金见下 表：缴费年龄段 个人账户养老金 30―55 790.2 个人账户养老金 30―60 30―65 2.1 40―55 190.7 40―60 492.8 40―65 1329.7最后根据算出的基础养老金和个人账户养老金得出养老金，再根据替代率 ? 养老金 退休前工资算出替代率如下： 替代率及退休前工资等缴费年龄段 基础养老金 个人账户养老金 养老金 退休前工资 替代率30―55 .2 16 0.317430―60 7.41 07 0.393430―65 2.1 99 0.445340―55 749.09 190.7 939.79 640―60 .8 8 0.275140―65 9.7 16 0.36044.3 模型三 针对问题三，根据分析，由模型二可知： 缴费从 30 到 55 岁：个人储蓄总金额 w ?
元，个人账户养老金 W ? 790 . 2 ；缴费从 30 岁到 60 岁：个人储蓄总金额 w ?
元，个人账户养老金 W ? 1777 . 41 ；缴费从 30 岁到 60 岁：个人储蓄总金 额 w ?
元，个人账户养老金 W ? 2502 . 1 首先根据题意分析出计算个人缺口总额如下 情况一：缴费从 30 到 55 岁 第一个月发放个人账户养老金： W ? 790 . 2 第二个月发放个人账户养老金： W ? ( w ? W ) ? 0 . 25 %15第三个月发放个人账户养老金： W ? ( w ? 2W ) ? 0 . 25 % ?? 第 d ? 170 个月发放： W ? [ w ? ( d ? 1)W ] ? 0 . 25 % 在第 170 个月个人储蓄总金额正好发放完，但共需发放 240 个月，因此在其后 70 个月发放的个人养老金均为最后一个月所发的金额。则个人账户养老金金额有缺口情 况，缺口为：P ? W ? [ w ? ( d ? 1)W ] ? 0 . 25 % ? 70情况二：缴费从 30 到 60 岁 第一个月发放个人账户养老金： W ? 1777 . 41 第二个月发放个人账户养老金： W ? ( w ? W ) ? 0 . 25 % 第三个月发放个人账户养老金： W ? ( w ? 2W ) ? 0 . 25 % ?? 第 d ? 139 个月发放个人账户养老金： W ? [ w ? ( d ? 1)W ] ? 0 . 25 % 在 139 个月个人总金额刚好发放完，但共需发放 180 个月，因此在其后 41 个月发 放的养老保险金均为最后一个月所发的金额。则个人账户养老金金额有缺口情况，缺口 为：p ? W ? [ w ? ( d ? 1)W ] ? 0 . 25 % ? 41情况三：缴费从 30 到 60 岁 第一个月发放个人账户养老金： W ? 2502 . 1 第二个月发放个人账户养老金： W ? ( w ? W ) ? 0 . 25 % 第三个月发放个人账户养老金： W ? ( w ? 2W ) ? 0 . 25 % ?? 第 d ? 101 个月发放： W ? [ w ? ( d ? 1)W ] ? 0 . 25 % 在 101 个月个人总金额正好发放完，但共需发放 120 个月，因此在其后 19 个月发 放的养老保险金均为最后一个月所发的金额。则个人账户养老金金额有缺口情况，缺口 为：W ? [ w ? ( d ? 1)W ] ? 0 . 25 % ? 19再根据题意分析出计算统凑资金缺口总额方法如下： 先由模型一预测出 2036 年到 2045 年山东省的年平均工资如下表：2036 年到 2045 年山东省的年平均工资 38 528 1
644384年份 平均工资 年份 平均工资
根据上表和企业月工资与省与平均工资之比 1.429 求出 2036 年到 2045 年企业职工 的月平均工资，结合模型二中企业职工的月平均工资和求出基础养老金的方法，分别得 出三种情况下每月发放的基础养老金 B i 。由题意知统凑资金总额 q 为企业职工每月平均 工资的 20%之和。再分别用三种情况下统凑资金总额减去对应情况下每月发放的基础养 老金 B i 加上凑资金总额减去每减去基础养老金的利息，若最后为负值，则该值为统凑资16金缺口总额，否则无缺口。 最后根据以上方法利用 MATLAMB 编程(程序见附录 F)计算出三种情况下养老保险基 金的总缺口和缴存的养老保险基金与其领取养老金达到平衡的岁数如下： 1 缴费从 2000 年 30 岁缴养老保险到 55 岁是退休， 直至 75 岁死亡出现缺口时的月 数为 96 个月，达到平衡的岁数为 63 岁养老保险缺少的钱数为：1535160 元 2 缴费从 2000 年 30 岁缴养老保险到 60 岁是退休， 直至 75 岁死亡出现缺口时的月 数为 132 个月，达到平衡的岁数为 71 岁养老保险缺少的钱数为：181379 元 3 缴费从 2000 年 30 岁缴养老保险到 65 岁是退休， 直至 75 岁死亡都没有出现缺口， 养老保险多余的钱数为：1623460 元。 4.6 模型四 在达到目标替代率 58.5%的前提下，维持养老保险基金收支的平衡，应该考虑以下 二种措施： 措施一：其它条件不变，增加缴费率 措施二：缴费率水平不变，提高职工退休年龄。 措施一： 在退休年龄不变的前提下，增加缴费率使替代率达到目标值 58.5%和维持养老保险 基金收支平衡。具体方法见下： 假设投保人自 2000 年 30 岁时缴费到 60 岁为止，投保人 75 岁死亡。 首先，考虑个人缴费率 x 和替代率 y 的关系，为了更为直观的表现出缴费比例对替 代率的影响。再根据模型一、二的计算结果和其中的一部分中间数据，找出其函数表达 式为：y ? 1 . 2 x ? 0 . 3287其次，根据以上函数关系式用 MATLAB 画出相对应的图，来比较个人缴费率对替代 率的影响程度。如下图：10.90.8替代率0.70.60.50.4 0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5个人缴费率与替代率的关系图17最后，通过对图的观察，可知个人缴费率对替代率的影响比较强，因此只适合适当 的调整来达到所需要的替代率，又通过上面的公式当替代率为 58.5%时得出x ? 21 . 36 %在个人缴费率 x ? 21 . 36 % 下，养老保险基金出现了缺口 987620 元，通过计算当养老 保险基金收支平衡时，公司缴费率为 26.3%。 措施二 在缴费率水平不变的前提下，提高职工退休年龄使替代率达到目标值 58.5%和维持 养老保险基金收支平衡。 假设当职工从 30 岁开始缴费，且职工的退休年龄分别提高为 66 岁，67 岁，68 岁 与 69 岁，当职工的年龄达到 75 岁时死亡，利用问题 2 的计算原理对各退休年龄所对应 替代率进行计算得出结果见下表退休岁数 替代率 66 45.78% 不同退休年龄下的替代率 67 50.02% 68 56.64% 69 61.12%由上表可知，当退休年龄为 68 岁时的替代指数与未来基本养老保险的目标替代率 （58.5%）相近，因此要使达到目标代替率就需把退休年龄调整到 68 岁。 在达到目标替代率措施可得，当职工的退休年龄增加到 68 岁时已很接近目标替代 率，在这种情况下社会养老基金总和为 181379 元，然而当职工在 75 岁死亡时所领取的 基础养老金为 1422624 元（&1369500 元） ，因此出现缺口，为维持养老保险基金的收支 平衡，可以适当地增加企业缴纳到社会统筹基金账户的职工工资比例。 通过计算可得， 当这一比例提高到 21%时社会养老基金总和为 1438000 元 （&1422624 元） ，即达到养老基金收支平衡。5 模型评价与推广5.1 模型评价 1 优点 本文所选用的模型从实际出发，对该企业职工的年平均工资等进行预测，并对模型 进行了误差分析及检验，使预测得到的数据值更贴近实际，除此之外，还结合 MATLAB 软件进行求解，从而保证了预测值的准确性。 2 缺点 运用模型预测数据的时候，对数据进行了四舍五入处理，使最终得到的数据存在一 定的误差。 5.2 模型推广 从本文所选用模型本身的特点进行分析可知，所选用的模型不仅可以解决企业退休 职工养老保险制度的改革问题，还可推广到人口增长的预测问题。186 参考文献[1] [2] [3] [4] [5] [6] 《数学模型》 （第三版） 姜启源编著，高等教育出版社，北京，2003 《概率论与数理统计》 李贤平编著，复旦大学出版社，上海，2004 《经济数学基础》 顾静相编著，高等教育出版社，北京，2001 《MATLAB 7.0 基础教育》 孙祥编著，清化大学出版社，北京，2001 《数学建模案例精选》 吴建国主编，中国水利水电出版社，北京，2005 《运筹学》 吴振奎，王全文主编，中国人民大学出版社，北京，2005197 附录附录 A山东省职工历年平均工资统计表 年份 80 83 86
平均工资 566 632 745 755 769 789 985 28 1782 年份 91 94 97
平均工资 92 38 41
年份 02 05 08
320742009 年山东省某企业各年龄段工资分布表 年龄段 20-24 岁职工数 25-29 岁职工数 30-34 岁职工数 35-39 岁职工数 40-44 岁职工数 45-49 岁职工数 50-54 岁职工数 55-59 岁职工数 年龄段 20-24 岁职工数 25-29 岁职工数 30-34 岁职工数 35-39 岁职工数 40-44 岁职工数 45-49 岁职工数 50-54 岁职工数 55-59 岁职工数 附件 2:2009 年山东省某企业各年龄段工资分布表
36 0 0 0 0 0 0
6 24 36 55 64 44 37 5 82 32 11 0 3 7 6
3 6 16 21 41 21 7
94 83 74 43 32 23 17
0 2 4 13 18 8 7
42 95 83 86 32 29 27
0 0 2 3 4 3 0表一：个人账户养老金计发月数表 退休年龄 40 计发月数 23320退休年龄 56计发月数 16441 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55230 226 223 220 216 212 208 204 199 195 190 185 180 175 17057 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70158 152 145 139 132 125 117 109 101 93 84 75 65 56附录 Bfunction f=tt1 %求出一次累加生成的值 x=[566 632 745 755 769 789 985 28 ]; k=0; x1=[]; for i=1:10 k=k+x(i); x1=[x1,k]; end x1 %求出待估参数向量 x2=[]; for i=2:10 k=-0.5*(x1(i-1)+x1(i)); x2=[x2,k]; end x221B=[x2',ones(9,1)]; Y=[632 745 755 769 789 985 28 ]; a=pinv(B'*B)*B'*Y %求出预测后10年山东省职工的年平均工资 c=a(2)/a(1) x3=[]; for j=0:20 d=(566-c)*exp(-a(1)*j)+c; x3=[x3,d]; end x3 x4=566; for i=2:20 s=x3(i)-x3(i-1); x4=[x4,s]; end x4附录 Cfunction f=tt3 x=[566 632 745 755 769 789 985 28 50 2245 54 007
32074 ]; X=[]; for j=1:33 k=log(x(j)); X=[X,k]; end X; t=1:33; p=polyfit(t',X',1); a=exp(p(1)) x1=[]; for i=1:10 Y=a*exp(p(2)*i) x1=[x1,Y]; end x1; v=x(1:10)-x1' w=v./x(1:10)附录Dfunction chenlong x=1:33; y=[566 632 745 755 769 789 985 28 50 49 09 56
32074 ]; plot(x,y,'*') y1=687470./(1+exp(7.1.*x));23hold on plot(x,y1,'-.') xlabel('年份/年') ylabel('山东省职工历年平均工资')附录 E%计算个人账户储存额 function ma a=input('请输入开始缴养老保险时的年龄：\n') b=input('请输入退休时的年龄：\n') f=input('请输入计发月数：\n') y=[
960 640 970 730 280 550 140 470]; n=12*(b-a); m=b-a; i=1;z=[]; for j=1:m c=y(i)*(1.03)^j; z=[z,c]; i=++i end d=sum(z);附录F%计算30岁―55岁时养老保险的缺口和所缺金额 b=;%b为55岁时统筹基金的总金额 B=[
%B(i)为第i个月应发养老金的统筹部分 B=reshape(B,1,192); a=; p=a/139;A=[b]; for i=2:139 c=p+(a-(i-1)*p)*0.0025; A=[A,c]; end for i=140:180 A=[A,1781.85]; end %计算个人账户利息和本金的和 s=0; for i=1:139 if b&0 j=i break end b=b*(1+0.0025); end %这个时间段内个人账户部分不会出现缺口 b=b-B(i);if b&0 end if b&0%如果在170个月之内（即第j个月）统筹部分的钱已经用完，它的缺口总额为：s=-b+sum(B((j+1):180))+sum(A((140):180))%统筹部分资金仍没用完，但下个月养老金发放时个人账户已经出现缺口，用统筹部分补充。注意此时b已经算了一个月的利息 for i=140:180 b=b-B(i)-A(i); %统筹部分的钱用来发放养老金的‘统筹部分’和‘个人账户部分’ if b&0 i=i break end25b=b*(1+0.0025); end if b&0 %如果统筹部分的资金直到最后一个月即第240个月还没用完 disp('没有资金缺口') else %如果在171~240个月之间统筹部分的钱也已经用完，它的缺口总额为： s=-b+sum(B((i+1):180))+sum(A((i+1):180)) ; end end vpa(s)26
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